Hej och välkommen till den här videon där jag kommer att gå igenom matematik 1b på cirka 18 minuter. Mitt namn är Simon, jag är gymnasielärare i matte och jobbar på edler.se som är ett digitalt läromedel med tydliga videos, tusentals övningar och övningsprov. Allting har fullständiga förklaringar så att du lär dig mer och snabbare.
I den här videon kommer du utifrån det centrala innehållet i kursen få en rep... Repetition eller introduktion av hela kursen. Om du vill fördjupa dig i något så rekommenderar jag att du kikar in på edler.se och kursen matematik 1b. Där hittar du allt du behöver kunna för den här genomgången täcker inte på något sätt allt. I matematik 1b så är det centrala innehållet indelat i aritmetik, algebra och funktioner, sannolikhet och statistik samt problemlösning, verktyg och tillämpning.
Jag kommer nu gå igenom några exempel i varje sådant centralt innehåll. Så nu kör vi igång! Vi ska börja med aritmetik, algebra och funktioner som är ett stort område i kursen.
Så på detta så kommer det komma ganska många exempel. Vi ska börja med att utveckla och förenkla algebraiska uttryck och jobba med 3-parantes 3x-4. x 3y.
Här börjar vi med att multiplicera in 3 och 2 i parenteserna. Då får vi 3 x 3x 3 x 4 2x plus 2 x 3y vilket är lika med 9x 12 2x plus 6y. Här är 9x 2y. 2x av samma sort och och 6y har inte någon term som är av samma sort som dem.
Så vi lägger ihop de här x-termerna och så får vi slutligen 7x plus 6y minus 12. I nästa exempel ska vi faktorisera uttrycket 16a plus 4ab genom att bryta ut största möjliga faktor. Här kan vi dela upp termerna till 4a 4a plus 4a b så att vi ser att den största möjliga faktorn är 4a. Vi bryter ut den faktorn och då får vi uttrycket 4a 4b.
Vi tar ett exempel på linjära ekvationer. Här har vi 3x plus 10 och det är lika med 2 plus 2x plus 18. Här behöver vi först förenkla högledet. Vi har där 2 och 18 som vi kan lägga ihop till 20. Nu kan vi fortsätta med att subtrahera med 10 i bägge leden så att vi får att 3x är lika med 2x plus 10. Nu subtraherar vi med 2x så att vi får kvar x är lika med 10 som är lösningen till den linjära ekvationen.
Vi tar ett exempel på att lösa linjära olikheter där vi ska lösa olikheten 10-6x och att det är mindre eller lika med 5-8x. Nu börjar vi med att subtrahera med 5 i bägge leden och då får vi 5-6x och att det är mindre eller lika med minus 8x. Nu adderar vi med 6x här och då får vi att 5 är mindre eller lika med minus 2x.
Nu gör vi så att vi delar med en minus 2 och då byts riktningen på olikhetstecknet. Då får vi att minus 2,5 är större eller lika med x. Vi ska kika på potenser och här ska vi börja med 2 elev till 3 multiplicera med 2 elev till 4. Vi tar fram potenslagarna. Här använder vi potenslagen för multiplikation som säger att a¹x a¹y är lika med a¹x y. Så om vi har 4 så kan vi skriva det som 4 dvs En annan potenslag är den för ente ur, nämligen att a¹y är lika med a¹y.
1 delar med n och att det är lika med ente roten ur a. Så om du har 3 uppe till en femtedel så är det lika med femte roten ur 3. Denna lag är också den lag som man kan använda när man löser potensekvationer. Vi ska ta ett exempel på det och lösa x uppe till 5 är lika med 15. Här gör vi så att vi kan ta femte roten ur bägge leden här.
Så att vi får femte roten ur x uppe till 5 och att det är lika med femte roten ur 15. Det som händer då är att vi blir av med x uppe till 5 och bara har kvar x i vänsterledet. Så här kan vi använda en räknare för att beräkna femte roten ur 15. och får då att x är ungefär lika med 1,72. Vi går vidare med det centrala innehållet i aritmetik algebra funktioner.
Nu ska vi fokusera på funktioner och rätta linjens ekvation. Ett sätt att se på funktioner är som en maskin där vi stoppar in ett x-värde och sedan händer det något i maskinen och så får vi ut ett y-värde. Det vi sätter in kallas för oberoende variabel och det vi får ut kallas för beroende variabel.
Alla x vi kan sätta in kallas för definitionsmängd och alla y som kommer ut kallas för värdemängd. Det som händer inne i maskinen beskrivs med en formel f och här har vi formeln f lika med 2x plus 1. Det vill säga att vi dubblerar x och lägger till 1. Så om vi sätter in x lika med så skriver vi det som f. Det är då lika med multiplicerat med plus 1 dvs vi har bytt ut x mot Räknar vi ut det där så får vi plus 1 och att det är lika med dvs y är lika med och x är lika med Skulle vi istället beräkna f så får vi då 2 multiplicerat med 1 plus 1 och det är lika med 2 plus 1 som är lika med 3. Beräknar vi f så får vi plus 1 och att det är lika med och att det är lika med 3. 2 multipliceras med 2 plus 1 och det är lika med 4 plus 1 som är lika med 5. Nu har vi satt in tre olika x-värden och fått ut tre y-värden.
Av det kan vi nu göra en värdetabell som kan se ut på följande vis. Med hjälp av värdetabellen kan man rita ut funktionens graf. Från värdetabellen kan vi få tre punkter. x är lika med minus 1 och y är lika med minus 1. Där x är lika med 1 så är y 3 och där x är 2 så är y 5. Notera här att när man skriver ut punkterna med parenteser så skriver man först x-värdet och sedan komma och sedan y-värdet och så har man det i en parentes. Slutligen kan vi binda samman de här punkterna med hjälp av en linje vilket är vår graf och i det här fallet är det en rät linje.
Med hjälp av den här kunskapen kan vi nu lösa en... till exempel f av x är lika med minus 5. Här söker vi alltså x-värdet när y eller f av x är lika med minus 5. Vi hittar y är lika med minus 5 här nere och sedan kan vi dra en linje till grafen och upp till x-axeln och då ser vi att x är lika med minus 3 då y är lika med minus 5. Så lösningen på detta är alltså att x är lika med minus 3. Vi går nu vidare och ska gå igenom räta linjens ekvation som skrivs som y lika med kx plus m där k är lutning och m är y-värdet där linjen skär y-axeln. Så hur gör man då för att ta reda på k och m?
Ja om vi ska göra det för den linje här som är utritad så kan vi först göra så att vi markerar två stycken punkter på linjen. Här har vi punkten 3,2 och 4,4. Notera att jag även har kallat koordinaterna x1, y1 och x2, y2 här.
Ett sätt att räkna ut lutningen här är att markera ut en rätvinklig triangel mellan de två punkterna och se att avståndet delta x i x-led är 1 och avståndet delta y i y-led är 2. Då kan man få lutningen genom att beräkna 2 delat med 1 som är lika med 2, dvs delta y delat med delta x. Vi kan också beräkna k genom att använda koordinaterna till de här två punkterna. k är lika med delta y delat med delta x och då är det lika med y2 minus y1, alltså avståndet i y-led, delat med x2 minus x1 som är avståndet i x-led. Skulle vi ta de här koordinaterna så får vi 4 minus 2 delat med 4 minus 3 som är lika med 2 delat med 1 som är lika med 2. Nu vet vi k kan slutligen läsa av m som är y-värdet där linjen skär y-axeln. I det här fallet är m lika med Nu kan vi beskriva den här linjen på rätta linjens ekvation och då får vi det till y lika med 2x minus 4. Jag vill också nämna att det kan vara bra att känna till att vinkelräta linjer, då gäller det att om man multiplicerar deras lutning med varandra så får man minus 1. Skulle linjerna istället vara parallella då är ju lutningarna lika med varandra.
Vi ska avsluta det centrala innehållet som handlar om aritmetik, algebra och funktioner med att prata om exponentialfunktioner. För att göra det börjar vi med att repetera begreppet förändringsfaktor. Vi tänker oss att en tröja kostar 460 kr och priset minskar med 12 Då kommer förändringsfaktorn att vara 1-0,12 som är lika med 0,88.
Du kan beräkna det nya priset genom 460 x 0,88 som är lika med 404,8 kr. Låt oss nu istället tänka oss att tröjan ökar med 12% istället i 10 år i rad. Då är förändringsfaktorn istället 1 plus 0,12. Då kan man beräkna priset efter 1 år med hjälp av 460 x 0,88. Efter två år skulle ställetpriset vara 460 x 1,12 x 1,12 x 460 x 1,12 x 2. Skulle vi fortsätta så här till år 2010 så är priset 460 x 1,12 x 10. Det blir ungefär lika med 1429 kr.
Vi kan nu beskriva hur priset utvecklas med hjälp av en graf. Det här beskriver hur priset ökar exponentiellt. Till skillnad mot en linjär funktion som beskrivs med rätta linjers ekvation så ökar priset mer och mer då det ökar med 12 varje år.
Skulle vi beskriva det här med en funktion, alltså en Så skulle det här vara y, 460, x 1,12 upphöjd till x där x är tiden i år. Generellt kan vi beskriva exponentialfunktioner med y, c, a upp till x där c är startvärdet. Bokstaven a här beskriver förändringsfaktorn som kan vara Större än 1 är det en ökning, mindre än 1 är det en minskning och är det med lika mät så är det ingen förändring alls. Då är det egentligen inte heller någon exponentialfunktion. Variabeln x här som sitter i exponenten betyder då antalet förändringar och det är ofta tid som dagar, år och så vidare.
Jag vill också bara kort nämna att det finns något som heter potensfunktioner också som liknar exponentialfunktioner. Men här har man istället variabeln i basen. Som avslutning ska jag gå igenom lite centralt innehåll på sannolikhetslära och statistik.
Som exempel på sannolikhetslära har vi att två kort dras slumpmässigt ur en kortlek. Vad är då sannolikheten att vi får minst en dam? Låt oss säga att vi vill beräkna sannolikheten för att en händelse A ska inträffa.
Då beräknas sannolikheten P av A. som är lika med antalet gynnsamma utfall delat med antalet möjliga utfall. Svaret vi då kommer att få ska vara i decimalform mellan 0 och 1 och skriver man det i procentform så är det mellan 0% och 100%. Vi återgår till exemplet och ritar ut ett träddiagram och skriver ut sannolikheterna längs grenarna. Här finns det två vägar där vi får minst en dam.
Så om vi sätter händelse A till att vi får minst en dam så kan vi beräkna P genom att multiplicera sannolikheterna längs grenarna och addera de här två möjliga vägarna. Då får vi 4, 52 delar plus 48, 52 delar multiplicerat med 4, 51 delar. Det är lika med följande och räknar vi ut det på en räknare så får vi ungefär lika med 0,5. Jag tänkte även att vi gör så att vi diskuterar begreppet komplementhändelse som är användbart för att ibland snabba upp vissa beräkningar. Komplementet till a skriver vi som ac och för a och ac gäller att p plus p är lika med 1. Vi kan då skriva även att p är lika med 1 minus p.
Så om vi till exempel vill beräkna sannolikheten p av att inte få någon dam alls så kan vi använda att denna händelse är komplementet till att få minst en dam. Då ges detta av 1 p som är lika med 1 0,15 som är lika med 85 Nu avslutar vi den här videon med statistik och här kommer jag ganska snabbt att gå igenom väldigt många olika begrepp. Så är du osäker på dessa begrepp eller något annat i denna video så rekommenderar jag verkligen att du går till edle.se och fördjupa dig på just det du behöver träna mer på.
Här får vi reda på att en statistisk undersökning har gjort så resultatet som man har fått visas i tabellen. Vi ska beskriva korrelationen och göra en linjär regression. Innan en statistisk undersökning görs gör man också ett val av urvalsmetod. Exempel på sådana är t.ex.
obundet slumpmässigt urval där alla individer eller objekt har lika stor sannolikhet att bli valda. Vid stratifierat urval tar man hänsyn till de olika delgrupperna i en population man undersöker. Till exempel att urvalet representerar samma andel kvinnor som män i populationen. Andra begrepp vid statistiska undersökningar som du kan behöva ta reda på vad det är är felkällor och signifikans.
Nu gör vi så att vi går vidare och funderar på om det finns ett samband mellan x och y. Det vill säga finns det en korrelation? Vi ritar ut ett koordinatsystem och ritar ut alla punkter som finns i tabellen.
Korrelation och korrelationskoefficienten r mäter hur starkt ett samband är. r ligger mellan och 1 där är ett svagt samband och 1 är ett starkt samband. Här ser det ut som att det finns någon slags korrelation. Men för att få fram ett värde är det bra att använda en räknare eller datorprogram.
När jag gjorde det fick jag en stark positiv korrelation och att r är lika med 0.93. Avslutningsvis ska vi diskutera begreppet regressionsanalys där man anpassar en funktion till resultatet på en undersökning. Här skulle vi kunna göra en linjär regression. Vi vill rita ut en linje som vi anpassar för hand och då går det även att göra det digitalt.
Om vi skulle anpassa en linje här så kan vi göra det på det här viset. Det här är funktionen 1.5x plus 1 som då alltså är en linjär regression av den här datamängden som vi har framför oss. Nu är vi klara med den här snabba överblicken av matematik 1b.
Det finns massor att fördjupa sig i men jag hoppas att du fått en bra introduktion till den här kursen som kan hjälpa dig när du nu tränar vidare på egen hand.