Clase de Superficies en el Espacio

Introducción

• Asistencia: Tomada al inicio de la clase.
• Objetivo: Dedicarse a la teoría y práctica de superficies en el espacio, que es fundamental para el curso de análisis dos y álgebra.
• Referencia: Uso del libro “Stewart” (capítulo 12).

Sistema Tridimensional de Coordenadas

Coordenadas en dos dimensiones

• Se utilizan dos números para localizar un punto en el plano: coordenada x y coordenada y.
• Un plano se llama bidimensional.

Coordenadas en tres dimensiones

• Se requieren tres números: a, b, c.
• Se elige un punto O (origen) y tres ejes perpendiculares: eje x, eje y, eje z.
• Los ejes x e y son horizontales, y el eje z es vertical.
• Orientación: regla de la mano derecha para determinar la dirección del eje z.
• Los tres ejes de coordenadas determinan tres planos coordenados (xy, yz, xz).
• El espacio se divide en ocho partes llamadas octantes.

Graficación de Puntos en el Espacio

• Ejemplo: Marcar el punto (1, -2, 3).
  • Avanzar 1 unidad en x, -2 unidades en y y 3 unidades en z.
• Caja Rectangular: Determinada por tres planos coordenados.
• Proyección de un punto en los planos coordenados.

Producto Cartesiano

• r³ = conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales.
• El primer octante se describe por puntos (a, b, c) con a, b, y c positivos.

Gráficas en R³

• Graficación de ecuaciones en x, y, z representan superficies.
• Ejemplo: Z = 3 representa un plano paralelo al plano xy y perpendicular al eje z.
• Ejemplo: y = 5 en R³ representa un plano que es perpendicular al eje y y paralelo al plano xz.

Ecuaciones de Superficies

• Esferas: conjunto de puntos que están a una misma distancia (radio) de un punto fijo (centro).
  • Ejemplo: Ecuación de una esfera: (x-h)² + (y-k)² + (z-l)² = r².
  • Centro (h, k, l) y radio r.
• Ejercicio: Determinar el centro y radio de una esfera a partir de su ecuación.
  • Completar cuadrados en x, y y z.
  • Trasladar la ecuación a su forma canónica.

Regiones en R³

• Inecuaciones: Ejemplo de superficies limitadas por inecuaciones e intersección de planos.
• Ejercicio: Representar regiones en el espacio delimitadas por inecuaciones.

Cilindros y Superficies Cuádricas

Cilindros

• Superficie generada por líneas rectas paralelas a una recta fija y pasando por una curva.
• Ejemplo: Z = x² (parábola en planos paralelos).

Superficies Cuádricas

• Ecuaciones de segundo grado en tres variables x, y, z.
• Tipos: Elipsoides, paraboloides elípticos, paraboloides hiperbólicos, hiperboloides de una y dos hojas, conos.
• Traza o Sección Transversal: Curvas de intersección de la superficie con planos paralelos a los planos coordenados.

Ejercicios de Identificación y Graficación

• Usar ecuaciones para determinar tipos de superficies:
  • Elipsoides: todas trazas son elipses.
  • Paraboloides (elíptico o hiperbólico): secciones son parábolas e hipérbolas.
  • Hiperboloides (de una hoja y de dos hojas): secciones son hipérbolas y secciones circulares o elípticas.
  • Conos: secciones elípticas y secciones que pueden ser curvas o líneas rectas.
• Intersección de planos con superficies para determinar la naturaleza de la superficie.

Conclusión

• Ante ejercicios de gráficas: identificaciones por intersecciones de planos con las superficies para facilitar la comprensión de las ecuaciones dadas.
• Aplicación: Importante para análisis dos y álgebra.

Próxima clase

• Repaso de conceptos principales de la clase con presentación de PowerPoint.
• Subida del material para anticiparse a la práctica.

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