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Clase de Superficies en el Espacio

buen día cómo andan como se puede Qué pasa Qué pasa Cómo se puede está desanimado too bien Sí lo que pasa que esto cada vez peor eh cada vez peor y no es como que no da tregua nunca afloja no al contrario y bueno Qué vamos a hacer esperen que estoy tomando asistencia Hay que seguir porque si no siempre me hace renegar esto para tomar asistencia Bueno ahí estamos Bueno vamos Les comparto la pantalla hoy como les había dicho vamos a dar superficie una clase para que tengan una idea esto Generalmente teoría y práctica lo damos en una clase porque siempre lo dejamos para lo último Entonces lo damos muy rápido porque no se llega a tiempo y esta vez dijimos Bueno vamos a terminar con todo geometría así después lo que queda del año es todo este la parte de álgebra que es toda la parte más de cálculo no Bueno les la pantalla lo ven bien Ahora lo voy a agrandar pero lo ven bien Sí sí Bueno esto que yo armé eh es un este está en el Steward es un pero no sé si ustedes tienen la segunda parte del ste ven que es capítulo 12 es la que van a usar para análisis dos porque me parece que está bien explicado me gusta como está explicado y muy breve digamos así que bueno la primer parte es para que ustedes este para estar tranquilo que ustedes saben marcar un punto en el espacio e qué otra cosa les puse ven que son coordenadas Bueno ahora lo vamos a ir viendo pero má más que nada la primer parte es para que uno esté tranquilo de eso no de que de que ustedes saben este si yo les digo marcar o graficar el punto 1 men 1 3 que ustedes lo sepan hacer porque si no si no marcar un punto menos van a saber dibujar una superficie este tema jto con cónica es indispensable para análisis dos o sea por eso álgebra es correlativa No porque se usa muchísimo esto se si ustedes no saben graficar en el espacio les va a costar muchas cosas de análisis dos por eso Este es importante entenderlo bien bueno a ver si Ah pensé que alguien me pedía permiso para entrar Bueno entonces empezamos haciendo como les dije el repasito de sistema tridimensionales de coordenadas para localizar un punto en el plano son necesarios dos números No es cierto cuando nosotros tenemos que dibujar en el plano cada punto tiene dos coordenadas se sabe que cualquier punto en el plano se puede representar como un par ordenado a de números reales donde a es la coordenada x y b es la coordenada y por esta razón un plano se llama bidimensional para localizar un punto en el espacio se requieren tres números se representa cualquier punto en el espacio mediante una terna ordenada a b c de números reales a fin de representar puntos en el espacio se elige primero un punto o que es el origen y tres rectas que pasan por o que son perpendiculares entre sí llamadas ejes de coordenadas y marcadas como eje x eje y y eje Z por lo común se considera que los ejes X e Y son horizontales y que el eje Z es vertical y se dibuja la orientación de los ejes como en la figura una bueno Esto es lo que estamos acostumbrados a ver nosotros no es cierto el eje x el eje I siempre el X el y perpendicular y el eje Z perpendicular a ambos y la orientación es esta No es cierto esto esto más o menos lo manejamos la dirección del eje Z se determina mediante la regla de la mano derecha como se ilustra en la figura dos bueno es decir que el eje Z tiene que ser perpendicular a los otros dos se acuerdan cuando me daban en el en el espacio dos vectores y me pedían otro perpendicular entonces uno hacía la regla de la mano dere hecha para determinar el sentido bueno hagan de cuenta que esto es un vector Y esto es otro y Este es otro y se hace eh este vector vectorial Este Entonces me da que el eje Z tiene la eh el sentido hacia arriba y la dirección perpendicular a los dos bueno eso no lo sigo leyendo porque sol lo saben los tres ejes de coordenadas determinan los tres planos coordenados ilustrado en la figura 3a bueno la figura 3a es esta V tenemos Este es el eje x y el eje Y entonces este es el plano x y después tenemos el y este sería el plano y z y después tenemos el xz que este sería el plano xz ahí están dibujados los tres planos coordenados el plano x y es el plano que contiene Los ejes X e Y el plano y z contiene Los ejes y z y el plano xz contiene Los ejes x y z estos tres planos coordenados dividen el espacio en ocho partes llamados o octantes el primer octante en el primer plano se determina Mediante los ejes positivos está bien o sea que cada vieron que en el en el plano lo dividíamos en cuadrantes tenía cuatro cuadrantes está bien bueno acá va a tener ocho octantes y este el octante uno digamos cuando los tres son positivos el X el y el Z bueno debido a que muchas personas tienen cierta dificultad para visualizar diagramas de figuras tridimensionales se podría encontrar útil hacer lo siguiente mire cualquier esquina inferior de la habitación y llame a la esquina El Origen o sea seguramente estamos con esto ven acá tenemos e tenemos este fíjense este dibujo y este sería el origen la pared a su izquierda es el plano xz está bien esta sería la pared izquierda que es el plano xz fíjense que este plano como dijimos contiene al eje x contiene al eje Z por lo tanto contiene al origen también la pared sobre el lado derecho es el plano I Z que sería esta y el piso es el plano x y el eje x corre a lo largo de la intersección del piso y de la pared izquierda acá estamos no el eje I corre a lo largo de la intersección del piso y la pared derecha que sería este y el eje Z corre hacia arriba desde el piso hacia el techo a lo largo de la intersección de estas dos paredes lo ven como si esto fuera una habitación Entonces el piso es el x y una de las paredes el xz e la otra pared es el yz y las tres los tres planos estos se cortan en el punto 00 es el origen bueno dice usted se localiza en el primer octante y ahora puede imaginar otras siete habitaciónes situadas en los otros siete octantes tres en el mismo piso y cuatro en el piso de abajo todos conectados por el punto de esquina común o ahora si p es cualquier punto en el espacio ca la distancia dirigida del plano iz a P O sea que esto es a se ve que esta sería la distancia porque el eje x es perpendicular a este plano no Entonces esto sería la distancia a al plano y z bueno B sería la distancia al plano xz y después tenemos C Que es la distancia este el plano x y eh se representa el punto p mediante la terna ordenada a b c de números reales y se llama A B y C las coordenadas de p a es la coordenada en x B es la coordenada en y y C es la coordenada en Z así para localizar el punto a c se puede empezar desde el origen o y moverse a unidades a lo largo del eje x luego B unidades paralela al eje y y luego c unidades paralela al eje Z supónganse que a mí me dan el punto este a b c a es la coordenada en x Entonces yo Marco a supónganse que me diga que es 3 marco 3 de ahí me voy hacia la derecha en forma paralela al eje i si el B es positivo vamos a suponer que el B fuera TR Entonces yo de acá voy tres lugares para la derecha si la segunda coordenada hubiera sido negativa voy tres para la izquierda siempre en forma paralela al eje una vez que yo marqué tantas unidades para x de ahí tantas unidades para y lo que tengo que hacer es subir o bajar en forma paralela al eje Z subo si el c es positivo y bajo si el c es negativo se entiende Cómo se marca un punto en el espacio supónganse que el punto fuera 1 2 3 Entonces yo hago un en el eje x ahí donde marqué el uno voy dos a la derecha y después subo tres y ese sería el puntito p en el espacio si hubiese sido 1 - 2 3 yo hago 1 en x voy en forma paralela al eje y o sea en esta forma paralela pero para el otro lado dos y después subiría tres y ahí estaría El puntito el punto p a c determina una caja rectangular como la figura 5 si se traza una perpendicular de p al plano x y se obtiene el punto q de coordenadas A B 0 fíjense el punto p es este lo marcamos así a en x B en y y C en Z este me da p ahora quién sería q dice es el punto que tiene coordenadas a b y o es decir este puntito estaría sobre el piso digamos dibujado Entonces si se traza una perpendicular de p al plano x y se obtiene el punto q de coordenadas a0 conocido como proyección de p sobre el plano x y o sea tengo p acá y la si yo lo quiero proyectar ese punto sobre sobre el piso que tengo que hacer trazar una perpendicular hacia el piso y ese me daría q en el piso la tercer coordenada es cer0 cierto de manera similar r sería 0 b0 r sería este ven que está acá es decir en x es 0 y en I es b y en Z es C O sea que este puntito estaría ahí en el techo digamos de esta cajita s es el punto a0 c s acá fíjense que en I la coordenada vale cer0 es decir voy a lugares en x no me no me desplazo en forma paralela al eje I y directamente de acá voy para arriba Entonces la coordenada en I vale cer0 está bien bueno entonces r es la proyección de p sobre el plano y z este tengo el punto p acá Este es el p Entonces si lo proyecto en el plano este en el plano y z me da r y s Es sobre el xz Bueno vamos un ejempl supónganse que tenemos que dibujar estos dos puntos Entonces vamos el primero -4 3 - 5 lo primero que tengo que hacer es marcar el -4 en el eje x entonces Acá está el origen y yo como el X es negativo tengo que ir para el otro lado está bien fíjense que la orientación es para abajo yo -4 tendría que ir cuatro lugares para el otro lado llego acá como el I es TR ahora de ahí me muevo en dirección paralela al eje y pero hacia la derecha TR unidades como el Z es -5 de ahí donde marqué la coordenada en I bajo 5 en forma paralela al eje Z ese sería el primer puntito bien o sea 4 negativo 3 positivo y -5 es negativo vamos a este punto ahora tengo que marcar 3 en x fíjense que acá están los ejes entonces hago 3 en x como el ivale -2 en lugar de ir para la derecha voy para la izquierda dos lugares porque es negativo o sea voy para el lado de los y negativo Pero siempre manteniendo la dirección no es cierto estamos acá y ahora como el Z es negativo vale men 6 bajo 6 en forma paralela al eje Z Ese es el puntito bueno se acuerdan que nosotros habíamos visto en vectores si este fuera el vector 3 - 2 - 6 uno marca ese puntito y después desde el origen hace el [Música] vectorcast acá o Tienen alguna pregunta profe en el primero es a0c podrías hacer el ejemplo como si es0 Val día 3 por ejemplo a para para a ese sería s qu me decí de este punto por un 3 por ejemplo para que no valga cero Ah bueno y sería más o menos como marcamos el punto p claro para allá o sea vos marcas por ejemplo a sup que a fuera dos Enton dos en x ahí donde marcaste el dos si el y vale 3 como el 3 es positivo me voy en forma paralela al eje i pero hacia la derecha o sea que esto sería tres unidades p si lo hace por centímetro 3 cm y de acá donde ya marcaste el dos y marcaste el TR suponete que el c fuera 4 subís 4 4 cm y ahí marcas El puntito Está bien gracias bueno el producto cartesiano r por r por r que serían los puntos del plano x y z con x y z perteneciente a r es el conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales y se denota por r al cubo o r3 cuando a mí me dicen r3 estamos en el espacio r3 Qué quiere decir el conjunto de puntos que estoy considerando es tridimensional y que por lo tanto es una terna si yo quiero dibujar un punto es una terna y donde tanto x como y como Z pertenece a r por eso pone r3 si a m me dijera por ejemplo z3 qu quiere decir que el X el y el Z son enteros ve acá me está diciendo que el X el y el Z puede ser cualquier número real Entonces si es cualquier número real el X el y el Z estamos hablando de todo el espacio Entonces r3 sería esto r por r por r hemos dado una correspondencia uno a uno entre los puntos p en el espacio y las ternas ordenada abc en r3 se denomina sistema dimensional de coordenadas rectangulares observe que en términos de coordenadas el primer octante se puede describir como el conjunto de los puntos cuyas coordenadas son todas positivas o sea que sería r + por r + por r má cierto tanto x como y como Z son positivos eso sería el primer octante bueno en geometría analítica bidimensional la gráfica de una ecuación en x e i es una curva en r2 en geometría analítica tridimensional una ecuación en x y z representa una superficie Está bien cuando a m cuando a mí por ejemplo me hacían graficar una función y = FX lo que me daba es una curva Ahora si me hacen graficar algo que dependa de tres variables eso va a ser una superficie porque cuando me dan la X La y y la z estamos en r3 Entonces ya no es una curva sino que es una superficie Bueno vamos a un ejempo lo voy a agrandar un poquito qué superficies en r3 están representadas por las siguientes ecuaciones bueno r3 me piden Ah Z = 3 bueno fíjense Z = 3 Z = 3 Acá está el dibujito es un plano en el espacio estamos No porque yo puedo esperen que no sé a dónde acá Dónde puedo escribir se acuerdan que un un plano tenía esta ecuación a * x + B * I Más C * Z + d = 0 donde A B y C son las componentes de un vector perpendicular se acuerdan de un plano bueno fíjense que la ecuación esa que me dieron en el a yo lo puedo pensar así como 0 por x más 0 por I má 1 por Z igual a 3 era sí - 3 = 0 ven que esta ecuación que está acá es lo mismo que esto yo paso el 3 al otro lado y la x y la y no la veo no porque la x y la y sean cer sio que son cero son el a y el B se acuerdan eso Entonces esto es importante que lo sepan y que se acuerden cuando a mí me dan una ecuación Y me dice Qué representa en el espacio y hay variables que yo no veo no quiere decir que las variables sean cero las multiplica por cero te va a dar cero Bueno está bien pero no quiere decir que la x y la y sean cero sio los que son ceros son la a y la b que son las componentes del vector pero el X el y quiere decir que es para todo x y para todo I Entonces se acuerdan que cuando dimos plano nosotros habíamos dicho que este plano eh el a el b y el c es un vector perpendicular en este caso sería 00 1 es el vector perpendicular 0 0 1 es un vector que está paradito acá sería el el versor K ven que es perpendicular a este plano Sí cuando habíamos visto las características de un plano donde los dos coeficientes eran cero habíamos dicho en este caso es que si nosotros veíamos una sola variable en la ecuación es porque el plano era perpendicular al eje Z fíjense que sí este plano es perpendicular al eje Z y habíamos dicho que era paralelo a las dos variables que no veíamos se acuerdan eso cuando dimos plano este en este caso sería paralelo al plano x y o sea el plano que me determina el piso ven ahí se ve perfecto este plano Entonces es perpendicular al eje Z es paralelo al x y y fíjense un puntito cualquiera que est en el plano el x y el I no son cero está bien el X el I es cualquier número y lo que son cero e son el a y el B está bien chicos me esperan un segundito que está sonando el teléfono bueno Gracias chicos Eh bueno fíjense entonces importantísimo importantísimo y fíjense ahora se ve en este otro ejemplo qué me pueden pedir en un parcial en un final me pueden decir qué representa esta ecuación y me pueden decir en el plano o en el espacio acá porque teníamos la z ya sabemos que estamos en el espacio pero acá podría ser podría ser este una algo en el plano cierto Entonces si estamos en el plano Si estamos en el plano esto representa una recta igual a 5 está bien bueno justamente Acá está miren si si a mí me dicen Qué representa esta ecuación Generalmente eso uno lo pregunta en la teoría Qué representa esta ecuación dos puntos a en el plano B en el espacio Entonces ustedes tiene que pensar que en el plano la variable Z No existe o sea que fíjense en el plano vamos a poner así para que me entiendan lo que quiero decir en el plano la ecuación igual 5 era la ecuación y = 5 representa una recta bueno la podemos escribir así 0 * x + 1 * I - 5 igual a 0 es decir que la variable que yo no estoy viendo esen que lo vamos a remarcar la variable que yo no estoy viendo es es porque no vale cualquier cosa no es que vale cero el que vale cer el coeficiente el coeficiente este que la acompaña no o que la multiplica entonces Esta es una recta que es perpendicular al vector 01 es decir al versor J Entonces sería esta el 01 es este vorc que está acá y esta recta es perpendicular y si no la podemos pensar así el eje qué punto pertenece a ese conjunto de puntos todos los puntos que cuya coordenada en y vale 5 porque me dice que y = a 5 pero x es cualquiera Está bien entonces el punto 1 5 está el punto 6 5 está el punto 0 5 está el punto -3 5 está O sea que es esta recta pero en el espacio en el espacio ig 5 representa un plano qué plano representa entonces 0 por x má 1 por y + 0 Z - 5 = 0 Entonces esta ecuación es lo mismo que esta en el espacio no entonces ojo ojo con estas cositas se lo voy a remarcar bien para cuando se lo suba se acuerda bueno ojo con esas cositas Entonces cuando a mí me volvemos cuando a mí me dan una ecuación y me dicen por ejemplo en el plano y me falta alguna variable esa variable no es que valga cer0 quiere decir que puede valer cualquier cosa lo que vale cer0 es el coeficiente y si me dicen en el espacio Exactamente lo mismo en el espacio esto representa un plano pensé que lo dibujé Ahí va Lo dibujé eh lo tienen ahí eh serían todos los puntos del espacio donde la x y la z Vale cualquier número pero la y vale siempre 5 Está bien entonces recuerden acá en este caso la única variable que estoy viendo es la i Entonces ese plano va a ser perpendicular al eje I Ven al eje i es perpendicular y es paralelo a las otras dos variables que no estamos viendo que sería la x y la z O sea al plano xz que es paralelo a este plano de acá eso tiene que estar bien claro para poder seguir porque eso va a pasar siempre en superficie Eh bueno nota dice cuando se tiene una ecuación se debe entender del del contexto si representa una curva en r2 o una superficie en r3 en el ejemplo 1 I = 5 representa un plano en r3 Pero por supuesto y ig a 5 también se puede representar eh También puede representar una recta en r2 si se trata con geometría analítica bidimensional es lo que decíamos antes está entonces hay que ver bien dónde me lo piden si en r2 o en r3 si me dicen en r2 es en el plano si me dicen r3 es en el espacio en general si K es una constante entonces x = K representa un plano paralelo al plano I Z al plano y z porque son las variables que no vemos ven si me dan esta otra ecuación igual ká esto representa un plano paralelo al xz a las variables que no vemos y si me dan esta otra ecuación Z = K es un plano paralelo al plano x y bueno en la figura 5 que la figura 5 es esta esta que está acá en la figura 5 las caras de una caja rectangular se forma mediante tres planos coordenados x = 0 y = 0 Z = 0 y los planos x = a y = b y z = c es decir por ejemplo este plano que está abajo es el plano Z = 0 está bien todo el el el piso digamos este que está acá Este que está acá este este que está la pared digamos izquierda este sería I ig 0 mientras que este que es paralelo es I igual a b lo ven Este es un plano que es I = 0 este es I = A B este plano de abajo dijimos que era Z = 0 este de arriba sería igual a c y bueno este que está acá que sería la de frente es x = a y la pared que está en frente a ella o sea est de acá en el fondo digamos sería x = 0 estamos esta cajita se forma con todos esos planos paralelo a los eh planos coordenados Bueno vamos al ejemplo dos dice qué puntos x y z satisfacen las ecuaciones esta ecuación y esta ecuación Bueno fíjense un detalle al preguntarme qué puntos x y z me está preguntando Qué representan en el eje Perdón Qué representan en el espacio porque me están diciendo qué puntos x Z o sea como son tienen tres coordenadas me lo están preguntando en Entonces yo tengo que entender que esta ecuación hay una variable que yo no veo que es la z y esa variable no es que es cero es que Z puede valer cualquier valor y lo mismo acá esto hay dos variables que yo no veo que es la x y la y Y eso significa que la x y la y pueden valer cualquier cosa Bueno vamos a la parte a dice como Z es igual a 3 los puntos están en el plano horizontal Z = 3 del ejemplo 1 Entonces fíjense estamos en esta esen que lo que quiero ver Ah ojo ojo que yo lo leí como si fueran dos ejercicios distintos Perdón lo leí como si fueran dos ejercicios distintos es el mismo ejercicio me está diciendo a ver lo vuelvo a decir qué puntos x y z satisfacen esta ecuación y esta ecuación ojo yo lo había tomado como que eran dos distintas no entonces Z no es no puede ser cualquiera acá Z vale 3 o [Música] sea son todos los puntos x y z que verifican las dos ecuaciones se acuerdan que esto representaba una circunferencia en el plano centrada en el 00 y de radio 1 pero al decirme Z = 3 quiere decir que esa circunferencia está arriba en el plano Z = 3 o sea que sería Esto está bien serían todos los puntos estos de esta circunferencia pero en el espacio se entiende por ejemplo qué sé yo un puntito que está acá un puntito que está ahí el X el y qué relación tiene cuando los elevo al cuadrado y lo sumo me da uno está bien eh Por ejemplo qué sé yo qué punto lo verifican c 0 1 0 en x 1 en y pero en Z todos esos puntos que están acá valen tres no sé si lo ven e se entiende que lo que me están preguntando es qué punto del espacio verifican al mismo tiempo estas dos ecuaciones Bueno ya sabemos que la coordenada en Z es vale 3 para todos esos puntos vale 3 y esto me está diciendo que el x y el y están relacionados a través de una circunferencia de radio 1 y centraba en el 00 bueno entonces si juntamos todo eso es una circunferencia pero subida en igual a 3 o sea que un puntito que está en la circunferencia el Z vale 3 y el x y el y están relacionados con esta ecuación ahora fíjense el B dice Qué representa la ecuación esta o sea le estamos sacando esta la ecuación esta como una superficie en r3 bueno fíjense Esto dijimos que era una circunferencia de radio un pero al no decirme nada de Z Z puede valer cualquier cosa Entonces esta ecuación los puntos que la verifican son todos los puntos del cilindro Este es un cilindro está bien ojo que no tiene ni principio ni fin Eh Esto no es una tapa es como no sé si me están viendo en la en la cámara es como si yo tuviera esto este cilindro no s si lo ven este cilindro y que no tiene ni principio ni fin es un cilindro normalmente una superficie una lo tiene que pensar así no no es que el cilindro Sí o sí tiene que ser cerrado para que sea una superficie Entonces los puntos x y verifica lo de la que está en una circunferencia pero al decirme que Z puede valer cualquier cosa en en Z subo y bajo las veces que quiera pero en x y mantengo Esto entonces sería un cilindro Bueno vamos al ejemplo tres dice describa y bosqueje la superficie de r3 representada por esta ecuación ven esto es importantísimo en r3 me dice quiere decir que la coordenada en x la coordenada ni de los puntos tienen que ser iguales pero Z puede valer cualquier cosa al no al Mostrarme a ver si me hubiera dicho en r2 Yo di digo esto es una recta es la recta que corta al primer cuadrante en la mitad sí fíjense I = MX + H sería I = 1 * x + 0 Entonces es la recta y ig a x pero en r3 como la variable Z no la veo entiendo que la z puede valer cualquier cosa Entonces me dice la ecuación representa el conjunto de todos los puntos en r3 cuyas coordenadas X e Y son iguales es decir que los puntos son x x Z ven que las primeras son iguales perrito las primeras son iguales y la segunda eh Perdón las primeras dos son iguales y la tercera puede valer cualquier cosa este es un plano vertical que interpa al plano x y en la recta y = x y z igual a 0 la porción de este plano que se encuentra en el primer octante se bosqueja en la figura 10 no sé si la Acá está la figura 10 sí fíjense eh bueno acá ojo que la dibujó de otra manera para que se vea bien Esto Este es el eje x y este es el eje I la recta igual a x está acá Está bien o sea que tiene esa inclinación Pero ven que el Z puede valer cualquiera O sea que subo y bajo ojo que no quiere decir que esté que llegue hasta acá el plano y hasta acá Eh Esto es para dibujarlo nada más Pero esto como si fuera como todo plano Está bien es ilimitado pero tiene esa inclinación bueno eh vamos ahora a esto que me va a permitir definir esfera una esfera dice fórmula de distancia en tres dimensiones entre dos puntos entonces la distancia p1 p2 entre los puntos p1 y p2 es el módulo del vector que los une está bien si yo tengo en el espacio en el espacio dos puntos y me piden la distancia entre ellos eh Ya sabíamos que la distancia entre ellos es eh el módulo del vector que los une el vector que los une sería x2 - x1 y 2 men i1 Z2 - Z1 y a ese vector Le calculo el módulo Entonces sería la raíz cuadrada de la suma de esas cosas que les dije al cuadrado Entonces por ejemplo dice el ejemplo cuatro dice la distancia del punto p al punto q bueno tenemos que [Música] armar esperen que me lo voy a armar el vector pq el vector pq bueno esperen que vamos a poner la rayita de vector Entonces pq nosotros sabíamos de vectores que para hallar este vector Qué tengo que hacer 1 - 2 que me da -1 -3 - -1 me da -2 y 5 - 7 que me da -2 ese sería el vector pq Entonces el módulo el módulo de ese vector es la raíz cuadrada de esto al cuadrado más esto al cuadrado más esto al cuadrado Bueno eso me da raíz cuadrada 9 que es 3 entonces la distancia entre esos puntos es TR bueno dice hae una ecuación de la Esfera con radio r y centro esperen un cachito no esto esperen que esto no sé por qué se me copió ahí Qué pasó a dónde se copió ahora Ahí está está bien bueno y vamos a a cortar este lo ponemos acá Bueno dice fíjense ecuación de la Esfera ecuación de una es con centro en el punto C de coordenadas HK L y radio r es vieron que nosotros lo habíamos visto la circunferencia Bueno es muy parecida la circunferencia nada más que se le agrega la variable la variable Z en particular si el centro es el origen entonces la ecuación de la Esfera me da esto es decir lo que nosotros habíamos [Música] e eh A ver eh No lo que pasa que no me di cuenta pero lo que quería era al revés era escribir El ejemplo y después darle la la ecuación estaba bien ahí Perdón ahora les digo por qué fíjense bueno el ejemplo 4 habíamos calculado la distancia ahora me dice hay en el ejemplo 5 hay un ecuación de la Esfera con radio r y centro en C de coordenadas H dice por definición una esfera es el conjunto de todos los puntos p cuya distancia desde es r está bien fíjense la figura 12 dice es decir que la idea que nosotros teníamos en el plano de circunferencia la tenemos que extender ahora a una esfera son todos los puntos que están a una misma distancia de un punto fijo llamado r Entonces eso sería un esfera O sea que cómo tengo que plantear para llegar a esta ecuación tenemos que calcular la distancia entre estos dos puntos el p genérico y el C Me lo dieron y esa distancia me tiene que dar r y ahí va a surgir la ecuación de esta esfera ojo que cuando yo digo esfera siempre piensen en superficie no en volumen por ejemplo supónganse una una naranja sería la cáscara no sería todo la naranja la pulpa que está dentro Está bien cuando hablamos de superficie es sol la cáscara no los puntos que están adentro Bueno entonces que tengo que plantear tengo que plantear la distancia entre p y C calcularle el módulo o sea tengo que plantear el vector PC calcularle el módulo eso igualarlo r y eso me va a dar la ecuación de la Esfera Bueno entonces fí unto [Música] tiene coordenadas x y z y el c es un punto que me dieron entonces tengo que hacer el vector este CP sería x - [Música] h y - K Z - l está bien ese sería el vector ahora le tengo que calcular el módulo Entonces sería la raíz cuadrada de las componentes esas que sacamos recién al cuadrado Bueno si esa raíz cuadrada la paso al otro lado como potencia llegamos a la ecuación de una esfera Bueno entonces bueno acá me dice que esa es la ecuación de una esfera y que si el centro fuera 00 la ecuación sería esta sí O sea que esto es muy bastante esperado porque ya sabíamos la circunferencia Y esto es más o menos lo mismo pero en el espacio entonces Recuerden que cuando me hablan de una esfera solo es la superficie no es no son todos los puntos que están dentro de la Esfera sino el contorno Sería bueno seis demuestre que esta ecuación es la ecuación de una esfera y Determine su centro y su radio se acuerdan que en cónica cuando me daban una ecuación así de este tipo Obviamente que no teníamos la variable Z eh nosotros lo que hacíamos era lo que hacíamos era este completar cuadrado en X en y para llevarla a la ecuación canónica acá vamos a tener que hacer lo mismo nada más que tenemos que completar cuadrado en x cuadrado en y y cuadrado en Z entonces [Música] jun jun junto x cu con 4x junto y cu con men 6 y junto Z cu con 2z eh les recuerdo por las dudas porque el libro lo hace de otra manera les recuerdan como lo hacíamos nosotros cuando yo juntaba x cuad yo pongo x cu acá eh + 4x más 4x después juntábamos las y cuadrado con las y la i cuadrado con la i y cuadrado Entonces vamos a poner entre paréntesis [Música] también eh - 6i y ahora juntamos la z estamos en el espacio sería Z [Música] cuad poner un paréntesis también má 2z pendiente el se lo dejábamos aparte más 6 igual a 0 Cómo hacíamos para completar cuadrados nosotros agarrábamos y mirábamos la el coeficiente lineal de X lo dividíamos por 2s nos da 2 Está bien entonces eso nos queda x + 2 y se acuerdan que bueno x + 2 cuad y se acuerdan que le restamos el término que esto me está agregando porque esto tiene x al cuadrado está el doble producto está y este me agrega un cu ese 4 se lo tengo que sacar lo mismo hacemos con la coordenada con la variable I Entonces sería acá sería esto lo dividimos por dos me da -3 Entonces sería I - 3 al cuadrado y le resto 9 -9 y lo mismo hacemos con z esto lo divido por dos me da 1 o sea que sería más Z + 1 y le resto 1 más el 6 que no lo tocamos para nada igual a 0 eso es lo que tenemos que hacer bueno fíjense que me queda x + 2 cu má I - 3 cu que está bien z+ 1 cu y ahora todos estos términos independientes y lo paso al otro lado si cuando lo junto y lo paso al otro lado me da un número positivo Entonces en este caso representaría una esfera esperen que lo voy a copiar bueno Esto me da el 4 lo saco -4 bueno -9 -1 - 10 10 -4 -1 -14 + 6 -8 lo paso al otro lado y me da 8 sí así que esto lo sacamos y me da positivo un 8 Así que representa una esfera en este caso con radio raí cu 8 y con centro -2 3 - 1 - 2 3 - 1 y con radio raíz cuadrada 8 entonces tengo que hacer lo mismo que hicimos en circunferencia que hacíamos en elipse en hipérbola siempre completar cuadrados cuando lo que me da es una ecuación toda resuelta lo tengo que llamar a la canónica nada más que acá tenemos una variable más bueno se entendió esfera Entonces es muy similar a lo de circunferencia nada más que con la variable Z Bueno vamos a otro ejempl dice qué región en r3 está representada por las siguientes desigualdades fíjense x cu + y cu + Z cu mayor o igual que 1 y menor o igual que 4 y z menor o igual que 0 a ver si Nosotros tomamos esta igualdad que está del lado derecho Sería con la igualdad no con la desigualdad eh sería una esfera que tiene centro 00 y radio 2 y me está diciendo que son los puntos menores o iguales quiere decir que que sería toda la Esfera toda la parte de la cascara digamos de la Esfera de radio 2 y todos los puntos que están adentro ahí si porque tengo una desigualdad ven si yo tuviera un igual sería todos los puntos de la cáscara de esa naranja por ejemplo centrada en el 00 y de radio 2s al tener menor o igual significa que sería todos los puntos interiores también Bueno si tomo la parte izquierda pero con la igualdad sería una esfera de radio un Sí al decirme mayor o igual sería todos los puntos que están fuera de esa esfera porque dice mayor o igual que una Entonces esta estas inecuaciones que están de este lado sin considerar esto se dan cuenta que son todos los puntos que están en la Esfera de radio 1 o fuera de la Esfera inter Entonces se entiende que me da toda una esfera pero que está hueca esta parte de adentro no la tengo sí entre el radio un y el radio dos o sea todos estos puntitos están Y por qué eligió la semi la semisfera porque dice Z menor igual que cero también entonces si estuviera todao entera el Z no me diría nada estaría todo entero eso pero como me dice que Z tiene que ser negativo oer tomo la mitad inferior Bueno listo es todo esto que yo les dije eh es lo que está escrito acá se entiende entonces que todos los puntos son todos los que están en eh la f1 y todo lo que están afuera pero hasta la Esfera de radio dos bueno acá les dejo un ejercicio esto sería de todo lo que vimos hasta ahora y ahora vamos con eh cilindros y superficies cuádricas dice ya se han considerado dos tipos especiales de superficie los plan y las esferas aquí se investigan otros dos tipos de superficies cilindros y superficies cuádricas a fin de bosquejar la Gráfica de una superficie es útil determinar las curvas de intersección de la superficie con planos paralelos a los planos coordenados estas curvas se llaman trazas o secciones transversales de la superficie que yo ahora a mí me van a dar una una ecuación una ecuación en x y z y si yo no me doy cuenta de qué se trata tengo que determinar las trazas es decir la tengo que empezar a cortar con planos paralelos a los coordenados para ver si me doy cuenta que eh superficie está determinando esa ecuación bueno cilindros un cilindro es una superficie que consiste de todas las líneas rectas llamadas generatrices que son paralelas a una recta dada y pasan por una curva plana dada se acuerdan que acá habíamos hablado de un cilindro a ver si lo encuentro este ven un cilindro Entonces es supónganse que yo tengo una curva que en este o esta de acá abajo es una e circunferencia centrada en el origen y de radio un sí supónganse que yo tengo una recta que sea paralela al eje Z Y esa recta la voy moviendo la voy moviendo por esa curva lo que me va generando es este cilindro se entiende tengo esta recta y esta recta la voy moviendo en forma paralela al eje Z pero siempre moviendo sobre puntos de la curva lo que me va generando son todos estos puntitos que representan un cilindro bueno dice bosqueje la Gráfica de la superficie esta fíjense Z = x cu y la variable y no la veo entonces la variable I es cualquier valor de I es para todo I quiere decir y se observe que la ecuación de la Gráfica Z = x cu no involucra a la variable I esto significa que cualquier plano vertical con ecuación I ig a K que es paralelo al plano x Z corta la Gráfica en una curva de ecuación Z = x cu está bien qué está diciendo si yo tomo un plano que pase por acá [Música] en igual algo y = a 2 y = 3 y = -1 eh siempre siempre lo que me va a dar cuando yo lo corto es una curva donde la curva va a ser esta Z = x cu pero el valor de I va a ser eh si yo lo corto con el plano I = 1 el valor de I va a ser I = a 1 o sea que va a ser una curva que está en el plano I igual a 1 que esto es una parábola no fíjense ahí el dibujito sería por ejemplo si lo corto con i = 0 me da esta parábola que está acá Si lo corto con i igual a no sé -3 me da esta parábola que está acá Si lo corto con i = 5 me da esta parábola que está acá si yo uno todas esas parábolas me da una superficie de este tipo estamos entonces la variable I puede valer cualquier cosa pero la la x y la z están relacionad a través de esta parábola Entonces cuando yo a mí me dan que yo grafico una superficie voy a tener que hacer este tipo de cosas de intersecciones con plano para darme cuenta que presente Entonces se observa que la variable y falta en la ecuación del cilindro del ejemplo 1 esto es característico de una superficie cuyas generatrices son paralelas a uno de los ejes coordenados la figura un era la del cilindro que yo antes si una de las variables x y o z falta en la ecuación de una superficie entonces la superficie es un cilindro o sea cuando yo digo superficie cilíndrica no quiere decir que sea un cilindro propiamente dicho como vimos antes a ver está bien o sea para que me un cilindro me van a dar tiene que faltar una de las variables pero no siempre va a ser un cilindro propiamente dicho Este es un cilindro propiamente dicho por qué Porque la curva generatriz es una circunferencia ven esta por ejemplo o esta Yo podría haber tomado esta pero en este caso fíjense que no es una circunferencia la curva es una es una parábola esto también es una superficie cilíndrica está entonces cada vez que en una superficie a mí me falte una variable eso va a ser una superficie cilíndrica bueno ejemplo dos dice identifique y bosqueje las superficies esta la parte a dice X cu + y cu = 1 bueno fíjense que la variable que no está es Z quiere decir que es para todos Z Esto va a ser una superficie cilíndrica cuya curva cuya curva va a ser esta circunferencia e que la circunferencia puede ser cualquiera x cu + y cu = 1 y z = 0 por ejemplo está de abajo o puede ser x cu + y cu = Perdón igual a 1 y z = 5 que sería esta de arriba donde Z vale 5 ahí y después todas estas rectas que están dibujadas acá son paralelas al eje Z y la voy la voy este desplazando esas rectas por esa curva Entonces yo la curva la puedo tomar acá abajo la puedo tomar arriba o la puedo tomar donde quiera y esa rectas la voy haciendo pasar por esa curva y me va generando este cilindro ven entonces [Música] recuerda que las rectas se llaman generatrices sí O sea que mi generatriz acá son estas rectas que son paralelas al eje Z y esta sería la curva directriz la que yo tengo que ir recorriendo la curva con esas rectas Bueno entonces vamos a leerlo lo que dice el a puesto que Z falta en las ecuaciones esta x cu + y cu = 1 si Z le doy el valor K un K cualquiera representa una circunferencia de radio 1 en el plano Z igual a k se acuerdan que yo les dije si tomo Z = 5 va a ser una una una circunferencia x cu + y cu = 1 una circunferencia centrada en el origen de radio 1 pero en el plano Z = 5 si yo tomo Z = 3 va a ser una circunferencia centrada en el origen de radio 1 pero en el plano Z = 3 bueno y e eh Y las directrices en este caso son entonces eh rectas verticales paralelas al eje Z en el B fíjense que en el B la variable que está faltando es la x Está bien entonces esta también es una superficie cilíndrica dónde la curva la curva eh va a ser esta y las rectas que yo tengo que tomar son x igual algo ven esas las que voy a desplazar a través de la curva que me da una circunferencia ve que me genera un cilindro también se entiende o sea yo a ver para que quede claro esto cuando me dan ecuación en r3 y falta una variable esa superficie va a ser una superficie cilíndrica yo tengo que entender que la variable que no está puede valer cualquier cosa y esta esta si yo fijo Z igual Perdón x igual algo lo que me da es una curva en x igual algo por ejemplo qué sé yo x = 3 lo que me va a dar es una circunferencia en el plano x = 3 sería esta curva que está acá Bueno como la que no estaba era la x yo lo que voy a hacer es trazar rectas paralelas al eje x pero que se desplacen a través de esta curva o de esta curva la misma y ahí me va generando todo el cilindro eso Entonces es una superficie cilíndrica Bueno vamos ahora a superficies cuádricas una superficie cuádrica es la Gráfica de una ecuación de segundo grado en las tres variables la más general es esta fíjense tenemos el término que tiene la variable x cu la i cuad la z cuad todos los rectangulares o sea x * I I * Z x * Z es decir todas las rectangulares las variables multiplicadas de dos y las lineales y el término independiente O sea que esta Va a ser la más general bueno donde a b c hasta J son constantes pero por traslación y rotación se puede llevar a una de la forma estándar está bien Es decir que eh nosotros a nosotros acuérdense que las eh rectangulares no nos van a dar porque eso significa que la superficie está rotada está bien Entonces nosotros esta no nos va a aparecer bueno eh Entonces nosotros completamos cuadrados en la variable x y z que ya nos pasó en la Esfera de antes y lo vamos a llevar a una ecuación conocida las superficies cuádricas son las contrapartes en tres dimensiones de las secciones cónicas en el plano o sea ustedes lo van a asimilar mucho cónicas por eso lo damos en este momento nada más que Recuerden que como estamos en el espacio son superficies no son curvas bueno ejemplo tres dice use trazas para bosquejar la superficie cuádrica con ecuación est Bueno si yo a ver si alguien me lo puede responder esto si yo Este término en Z se lo saco y estamos en el plano se acuerdan qué representaba esto x cu + I cu sobre 9 = 1 alguien me lo puede una elipse una elipse y Cuál era el eje focal de esa elipse te acordas el eje de la i abajo claro te fijas acuerdate que dijimos que Z lo sacábamos y estábamos en el plano siempre uno era cuadrado y el otro era B cuadrado el a cuadrado siempre es el más grande en la elipse O sea que en nuestro caso la elipse sería en el plano sería paradita está bien tendría eje focal I bueno acá si yo le agrego la z ahora vamos a ver que esto va a representar una superficie obviamente porque tenemos las tres variables y esto de pas ser un elipsoide Entonces fíjense como uno lo analiza si a mí me dan esta ecuación y yo no me acuerdo de la ecuación fíjense Cómo se analiza dice al sustituir Z = 0 si yo hago Z ig 0 Recuerden que Z = 0 es el plano x y o sea yo lo estoy cortando con un plano con el plano coordenado x y en el plano xy eh lo que me da es x cu + y cu sobre = 1 que es una elipse está bien en general la traza horizontal en el plano Z = K es O sea si yo en lugar de poner Z = 0 como hicimos recién pongo Z = K o sea lo que estoy haciendo es cortar esta superficie con planos paralelos al X Y Z igual a 5 por ejemplo estoy tratando de cortarlo y ver qué curva me da Bueno entonces si Z vale K lo reemplazo ahí y lo paso al otro lado restando Este término porque ya serían todos números esto si esto si esto es eh positivo si esto es positivo yo lo paso dividiendo para que me dé un uno y Esto va a representar una elipse en el plano Z = a K está bien pero lo que pasa que esto podría ser cer0 o podría ser negativo Entonces eso es lo que tenemos que ir analizando a ver si es cer0 es porque K vale 2 o -2 Entonces si vale 2 o -2 esto estaría representando fíjense x cu + y cu sobre 9 = 0 el puntito 00 está bien 00 perdón y z = a eh 2 y -2 entonces cuando yo lo corte con los planos paralelo al plano x y en Z = 2 o z = -2 me da dos puntitos un puntito cada una de las intersecciones fíjense acá Este puntito si yo si yo trazo un plano no sé si si lo ven si yo trazo un plano acá en Z = 2 se corta en este puntito nada más si yo lo corto en Z igual a eh si yo lo corto con un plano paralelo al x y pero pasando por Z = a -2 se corta en este puntito que sería 00 -2 Está bien entonces me da dos puntos ahora si esto fuera Negativo si esto fuera negativo no estaría representando nada porque algo mayor o igual que 0 más algo mayor o igual que c0 igual a algo negativo sería el conjunto vacío Entonces cuándo Esto va a ser negativo cuando el K sea más grande que 2s o más chiquito que -2 por ejemplo qué s yo -3 Esto me va a dar negativo Está bien entonces quiere decir que ese plano no va a cortar a esta superficie Por ejemplo si yo lo corto con un plano Z = 5 por acá arriba paralelo al x y pero por acá arriba ven que no hay intersección y lo mismo en Z = -5 no hay intersección por eso me da vacío ahora Si lo corto con un plano Z = algo y ese algo está entre -2 y 2 me da una elipse son estas elipses que están acá ven paralelas al plano x y bueno ahora en forma similar Si en lugar de hacer Z = K yo hago I ig a AC y Igual acá hago lo mismo fíjense si yo reemplazo I igual a K acá al al intent buscarle por ejemplo 3 men TR O sea a qué llegas con eso para que te una elipse porque yo vos Siempre tenés que buscar las trazas las trazas serían cortar esta superficie con planos paralelo a a los coordenados Entonces los planos paralelos a los coordenados sería Z ig un número x igual un número o y igual un número entonces pon que yo hago Z ig un número bien lo reemplazo Z igualá lo reemplazo esto ya me va quedar K cu sobre 4 ya no es variable lo paso al otro lado Entonces esto ya es una curva Yo quiero ver qué curva representa y bueno va a depender del signo del lado derecho Está bien entonces Esto va a ser un elipse si este número es positivo Entonces eso es lo que determiné ahí Yo quiero ver qué curva representa para ver qué tipo de superficie es Entonces si esto es un numerito positivo eso ocurre cuando K está entre menos do y 2 o sea me fijo cuánd esto es positivo y voy despejando no O sea digo cuando 1 men K cuad sobre 4 es mayor que 0 fíate lo hago para que vean eso 1 menos K cuadr sobre 4 Cuándo es mayor que 0 bueno y lo resuelvo paso el cubre del otro lado entonces me queda que un va a ser mayor que K cu sobre 4 sigo despejando paso el cuatro para el otro lado como el cuatro es positivo la desigualdad no cambia entonces 1 * 4 es 4 y me queda mayor que K cuadrado y ahora aplico raíz en los dos lados está bien la raíz cuadrada de 4 es 2 cuando aplico raíz en los dos lados si los dos números son positivos no la desigualdad queda igual y del otro lado ojo que me queda valor absoluto de K Bueno me está me quedó el valor absoluto de K es menor que dos quiere decir que K va a estar entre -2 y 2 Así lo voy sacando esto que está acá lo saqué así entonces cuando yo lo corte con z = K que Z igual K son planos que son paralelos al piso por ejemplo qué s yo Z = -1 Z = 0 Z = 1 Z = 1,5 todo eso van a ser elipse para que yo me vaya imaginando qué superficie es lo corto con planos para ver las curvas que me quedan está bien si yo lo corto con valores más grande que dos o más chiquito que -2 no me da nada O sea que esos planos no van a cortaran nada a la superficie y si lo corto con z = 2 o z = -2 Eh me dan puntitos que serían estos este punto y este punto Entonces cuando yo junto todo eso todo ese estudio que hice eso me da veo que que con cualquier plano que yo lo corte por ejemplo acá paralelo al al xz me da elipse lo corto acá con cualquier plano paralelo al x y me da elipse en siempre me dan elipse entonces bueno si siempre me dan elipse es un elipsoide es el estudio que yo tengo que hacer mínimamente como para individualizar eh una superficie estamos perfecto ahora s gracias Bueno dice use trazas para bosquejar la superficie esta Z = a 4x cu + y cu Bueno fíjense antes de que miremos la Gráfica si yo lo corto con el plano Z = 0 Z = 0 sería el plano x y no si yo lo corto con el plano Z = 0 yo reemplazo Z = 0 acá y qué me da como intersección me da un punto nada más porque qué punto van a verificar que 4x cu + y cu es 0 el 0 0 0 nada más entonces cuando yo lo corto con el plano x y que sería el piso me da el origen me da esto ven no hay ningún otro punto de intersección ahí cuando yo lo le pongo Z igual a un número positivo esto que está acá van a ser elipse está bien supónganse Z = 4 Ese 4 lo paso dividiendo acá me da un y acá me da cuatro son elipses eh digamos alargadas en el eh con Eje focal I ahora si yo lo corto con z = a -2 por ejemplo con un número negativo no me da solución porque esto es siempre positivo entonces fíjense lo que decíamos si yo lo corto con z igual a un número negativo no me da intersección entonces la superficie acá abajo no está con z igual a 0 me daba un puntito nada más con cualquier otro Z positivo me dan elipses y fíjense que se va agrandando en I ven ven que esta elipse está alargad en I O sea que el eje focal es el I Y a medida que voy tomando valores más grandes de Z es decir a medida que voy tomando planos más arriba las elipses se van a andando ven que me da la idea de esta superficie se entiende la la idea cómo lo voy haciendo Entonces yo cuando hago eso ya me estoy dando cuenta que Eh Esto se llama paraboloide elíptico porque en realidad fíjense otro detalle si yo lo corto con igual a un número me dan parábolas en el en el en el plano igual un número sería el plano paralelo al xz No si yo lo corto con un plano acá me dan parábolas por ejemplo qu s yo ig a 1 qué parábola me daría 4x cu = Z - 1 está si yo lo corto con x igual a un número me dan parábolas pero en en el y z entonces bueno Esto se llama paraboloide porque son parábolas pero se acuerdan que cuando hacíamos Z igual algo me daban elipse por eso son elípticos Entonces ven el razonamiento que yo hice si yo lo corto con z igual a algo negativo no tengo intersección O sea que acá No hay nada si yo lo corto con z igual a algo positivo me da elipse y que a medida que voy aumentando ese Z me da elipse más grande y si yo lo corto con z = 0 me da un puntito eso me da la idea que es un paraboloide elíptico porque me dan elipse bueno acá todo eso que les fui contando se lo está escrito bueno fíjense en este en este otro caso dice la superficie es Z = i cu - x cu bueno fíjense que si si Z vale c Por ejemplo yo despejo de ahí me da que I cuadrado ig x cu O sea que y es igual a más men x me darían rectas si Z = a 0 ahí están dibujadas las rectas si Z igual a un número positivo por ejemplo 1 Esto me dan hipérbolas Sí con Eje focal el i si el Z es negativo Esto me va a cambiar de signo van a ser hipérbolas pero con Eje focal X ahora si x es igual un número o y igual un número supónganse que x igual un número Entonces qué s yo x = 1 este un que está acá restando lo paso sumando allá y me da I cu = Z + 1 me dan parábolas y lo mismo s igual a algo me dan parábolas nada más que puede ser con las ramas hacia arriba con las ramas hacia abajo entonces fíjense lo que me da con x = a K que es lo que dijimos yo tomo x = K bueno a ver empecemos con si está bien con x ig K nos dan parábolas pero en i e fíjense por ejemplo I cuadr si si esto fuera 1 no I cu = a 1 + x cu es una parábola en el I Z está bien porque tomamos x ig 1 bien Cuál es el eje de simetría el eje Z porque eh el la variable está elevado a la 1 la z y las ramas van hacia arriba Entonces serían estas eh lo que me dan en cambio Si yo tomo I igual a un número por ejemplo qué s yo I igual a 1 este 1 lo paso restando y me queda Z - 1 igual a - x cu O sea que el eje de simetría sigue siendo el Z pero ahora las ramas van hacia abajo ven me da esto en cambio si tomo Z igual a un número Esto me dan hipérbolas si Z es positivo me dan hipérbolas en el eje I ven pero si Z es negativo el signo de esto cambia porque yo necesito un uno acá supónganse que Z Vale -2 y lo paso dividiendo Esto me me cambia de signo Entonces ahora el eje focal es el X entonces están dibujadas acá ven Entonces en este caso esta superficie me dan hipérbolas o parábolas bueno esa es la superficie más difícil que que que es la la la que se llama silla de montar ven que en en algunos casos me da parábola en otro caso me da hipérbola est es una hipérbola Esta es otra sí Esta es otra entonces este para ahí el más difícil de dibujar pero me dan esta superficie Entonces yo cuando hago las intersecciones con los planos me voy dando cuenta qué curva es bueno fíjense en este caso este x cu so 4 + y cu - Z cu so 4 = 1 fíjense si yo a Z le doy el valor K acá no importa Qué valor tenga Z digamos porque está elevado al cuadrado si es positivo o negativo lo paso sumando al otro lado y me da 1 + K cu sobre 4 independientemente del valor que valga K esto siempre me va a dar positivo por lo tanto esto no cambia el signo y son elipses ven entonces en Z igual K son elipses siempre fíjense ven si yo lo corto con un plano acá me da esta elipse lo corto con un plano acá me da esta elipse lo corto con un plano acá me da esta elipse siempre cualquiera sea el Z me da elipse ahora las trazas en los planos x = Z e y = z son hipérbolas supónganse que yo tome I = 0 si tomo I ig 0 lo que me queda es un hipérbola está bien si tomo x = 0 lo que me queda son hipérbolas Entonces ven que me dan hipérbolas acá mientras que acá me da elipses está bien bueno Esto se llama hiperboloide de una hoja esta dice la idea de usar trazas para dibujar una superficie se emplea en software de graficación tridimensional para computadoras en la mayor parte de esta clase de software las trazas en los planos verticales x = k y = K se dibujan para valores Igualmente espaciados de K y parte de la Gráfica se eliminan por medio de la eliminación de líneas ocultas bueno le indican cómo lo fue graficando no ven Esto está diciendo que va dibujando acá algunas trazas eh Para que se vean Porque si las pongo todas juntas no las ven lo mismo acá Bueno bueno Esto fíjense que este el libro me pone esto que está bastante bueno para acordarme un elipsoide entonces tiene esta ecuación todas las trazas son elipses y si a es igual a b igual a c la elipsoide Es una esfera está bien si estos tres son iguales Es una esfera y ahí está el dibujito en el caso de que tengamos así dos variables que están elevado al cuadrado y se suman y otra que no esté elevada al cuadrado las trazas horizontales o sea Z igual algo esto lo hemos visto la z igual a algo son elipses las trazas verticales son parábolas la variable elevada a la primera potencia indica el eje del paraboloide O sea que si a mí me dan Z sobre un número Z que está elevado a la 1o Entonces el eje de simetría es el Z Pero si acá hubiera estado la x el eje de simetría es el X Entonces el paraboloide hubiera estado de este lado está bien si hubiera sido el I que está elevado a la 1 hubiera sido un paraboloide de este lado bueno después el paraboloide hiperbólico que se acuerdan que era lo mismo pero con un menos O sea uno era paraboloide elíptico porque parece una elipse digamos y el otro parece un hipérbola por eso pero son paraboloides porque dos de las variables están elevado al cuadrado y la otra no Bueno después tenemos el cono el cono que eh este no lo habíamos visto en todo caso después en práctica lo van a ver es cuando las tres están elevada al cuadrado pero una está despejada ven entonces esa que está despejada es la el eje de simetría del cono dice las trazas horizontales son elipsa todas las trazas son elipsa las trazas verticales en los planos igual K e i igual K son hipérbolas si K es distinto de cer pero son rectas si K vale cer si esto fuera cero son rectos Bueno e qué otra cosa Bueno este que lo habíamos visto se acuerdan hiperboloide de una hoja y este que es el que no vimos que es el holoide de dos hojas es cuando tiene o sea el la cantidad de hojas me lo está indicando el menos ven acá Tiene dos hojas en este caso tenía un solo menos se llama hiperboloide de una hoja fíjense que acá bueno acá tenemos un ejemplo miren de este que no habíamos visto dice bosqueje esta superficie si yo paso el cuatro al otro lado me queda -4 y después divido todo por -4 para lograr el 1 este me queda negativo este me queda positivo y este me queda negativo no Entonces esto que está acá es de esta forma ven están las tres variables elevadas al cuadrado y dos con un signo menos la variable que no está elevada al cuadrado me está indicando el eje de simetría O sea que este va a ser un un hiperboloide de dos hojas pero con eje de simetría en el I ven Miren el dibujito estamos Bueno e fíjense que al único eje que va a cortar es Alí Porque si yo hago por ejemplo x para para ver la intersección con el eje Z hago x = 0 y = 0 esto se me va y esto me queda negativo y nunca puede ser igual a uno está bien entonces no corta el eje Z al eje x tampoco lo corta Porque si yo hago cer0 a estas dos Esto me da negativo y no puede ser igual a uno Entonces ven que no corta ni al eje Z ni al eje x eso es una característica de esta superficie pero al eje Y sí lo corta Porque si yo hago x = 0 y z = 0 esto se me va y me queda I = a 2 e i = A -2 me dan estos dos puntitos este y este y cuando yo hago I igual a un número o sea si yo lo corto con este plano que está acá me dan elipse y me dan elipse entonces me doy cuenta que es un hiperboloide de dos hojas si ustedes se acuerdan que yo más más adelante de la clase les dije que una posibilidad era estudiarse las eh las ecuaciones con sus gráficas y la y la otra que es más fácil de justificar es hacer estas cosas con intersecciones de planos para darme cuenta qué superficie es entonces fíjense Eh bueno acá si Z Vale oer Nos dan eh hipérbolas con Eje focal y si x = 0 nos dan hipérbolas con Eje focal y si y es igual a ká como dijimos eh nos dan elipse pero ojo que esto siempre que esto sea positivo o sea esto es positivo para los K mayores que dos o menores que -2 por eso del dos para allá y del os2 para allá si K está entre -2 y 2 no tiene intersección ven entonces todas esas cosas cuando yo la junto eh Me dicen que la superficie es esta después van a ver en ejercicios en práctica Gabi creo que lo da el jueves que viene este que haciendo todos esos estudios me permiten conocer o darme cuenta queé superficie es bueno fíjense en este caso si yo tengo esta ecuación yo me doy cuenta que en x está [Música] trasladado y en I está trasladado entonces completo cuadrado en x Bueno una vez que completamos cuadrado nos queda esto está bien entonces yo ya sé que está trasladado en el el centro de esta superficie va a ser el punto 3 1 3 1 0 ven y esto tiene la forma de qué cosa si dos variables están elevad al cuadrado no esperen acá dos variables están elevada al cuadrado y la otra no y está despejada fíjense 2 elevada al cuadrado la otra no y está despejada puede ser esta o puede ser esta Bueno si tengo una suma eh No perdón acá si tengo una suma es un paraboloide elíptico si tengo una recta es un paraboloide hiperbólico fíjense en este caso como nos quedó nos quedó una suma Está bien entonces corresponde a esta que está acá una suma de dos variables que están elevada al cuadrado y la otra no pero trasladada entonces se acuerdan que la que estaba elevada a la 1 era la que la la que está elevado a la uno que en este caso sería la i es el eje de simetría pero ahora acuérdense que está trasladado entonces el eje de simetría va a ser paralelo al eje i o sea ven es este paraboloide elíptico pero trasladado a que que tenga vértice en este puntito o centro como ustedes quiera Bueno chicos listo entonces la clase que viene en en comoo es en teoría vamos a ver un Powerpoint como para repasar estos conceptos un poquito yo le había preparado un PDF con con lo del libro y un powerp este así que la clase que viene lo vamos a repasar todo y ya damos por terminado superficie y después van a trabajar en práctica van a trabajar en práctica con esto también haciendo ejercicios Así que más o menos fíjense que yo normalmente en clase esto no lo doy nunca siempre lo dejo que lo den en práctica porque es más bien todo práctica no tiene nada de teoría Pero esta vez les quise Mostrar este algo para que vean antes de hacer la práctica para que tengan una idea un poquito así que Bueno nos vemos el jueves que viene con un con un repasito de profe ese Word lo vas a subir ahora en estos días o no como siempre yo lo subo y para que ustedes lo puedan mirar antes de hacer la práctica sería conveniente Perfecto Bueno chicos nos vemos la semana que viene profe muchas gracias cho chao