Notes sur le cours de logique

Introduction

• Présentation du cours de logique.
• Objectif : Comprendre la logique de A à Z en 30 minutes.
• Exercices et correction disponibles après la vidéo.

Partie 1 : Propositions et fonctions propositionnelles

1.1. Qu'est-ce qu'une proposition ?

• Définition : Une proposition est un énoncé mathématique pouvant être vrai ou faux.
• Notation : Utilisation de lettres majuscules (P, Q, R).

1.2. Fonction propositionnelle

• Différence entre proposition et fonction propositionnelle :
  • La fonction propositionnelle contient des variables, une proposition non.
  • Exemples de propositions avec valeurs de vérité (vrai ou faux).

1.3. Exercices sur les propositions

• Exemple 1 : "3 est un nombre premier" - vrai.
• Exemple 2 : "Racine de 2 appartient à Q" - faux.
• Exemple 3 : "Racine de X^2 = 2" - dépend de la valeur de X.

Partie 2 : Opérations sur les propositions

2.1. Négation

• La négation d'une proposition P est notée P bar.
• Valeur de vérité : si P est vrai, P bar est faux, et vice-versa.

2.2. Conjonction

• Notée P et Q.
• Vraie seulement si les deux propositions P et Q sont vraies.

2.3. Disjonction

• Notée P ou Q.
• Vraie si au moins une des propositions P ou Q est vraie.

2.4. Implication

• Notée P implique Q.
• Vraie sauf si P est vrai et Q est faux.

2.5. Équivalence

• Notée P équivalent à Q.
• Vraie si P et Q ont la même valeur de vérité.

Partie 3 : Quantificateurs

3.1. Quantificateur universel

• Noté ∀ (pour tout).
• Exemple : Pour tout x dans E, P(x) est vrai.

3.2. Quantificateur existentiel

• Noté ∃ (il existe).
• Exemple : Il existe un x dans N tel que P(x) est vrai.

Partie 4 : Types de raisonnement

4.1. Raisonnement par contre-exemple

• Exemple : P est faux si on trouve un contre-exemple.

4.2. Raisonnement par équivalents successifs

• Utiliser des équivalences pour prouver une proposition.

4.3. Raisonnement par contraposée

• P implique Q est équivalent à non Q implique non P.

4.4. Raisonnement par cas

• Analyser chaque cas pour prouver une proposition.

4.5. Raisonnement par absurde

• Supposer que P est faux pour prouver que P est vrai.

4.6. Raisonnement par récurrence

• Trois étapes : Initialisation, Hérédité, Conclusion.

Conclusion

• Importance de la logique dans les mathématiques.
• De nombreux exercices et corrections disponibles pour pratique.