Orthogonale Vektoren und Produkte

Übersicht

In dieser Vorlesung geht es um orthogonale Vektoren, das Prüfen von Orthogonalität mittels Skalarprodukt, das Finden orthogonaler Vektoren und die Verwendung des Kreuzprodukts.

Orthogonalität von Vektoren prüfen

• Zwei Vektoren sind orthogonal, wenn ihr Skalarprodukt 0 ergibt.
• Skalarprodukt berechnen: Entsprechende Koordinaten der Vektoren multiplizieren und aufsummieren.
• Beispiel: (2, -1, 4) und (6, 4, -2) → Skalarprodukt = 12 - 4 - 8 = 0; Vektoren sind orthogonal.
• Skalarprodukt ≠ 0 bedeutet, die Vektoren sind nicht orthogonal.

Orthogonale Vektoren finden

• Ziel: Einen oder mehrere Vektoren finden, die zu einem gegebenen Vektor orthogonal sind.
• Vorgehen: Eine Koordinate willkürlich auf 0 setzen, die restlichen beiden tauschen, bei einer das Vorzeichen ändern.
• Dieses Verfahren kann beliebig oft mit verschiedenen Koordinaten wiederholt werden, um weitere orthogonale Vektoren zu finden.
• Test: Skalarprodukt des neuen Vektors mit dem Ausgangsvektor ergibt stets 0.

Vektor orthogonal zu zwei Vektoren finden (Kreuzprodukt)

• Für einen Vektor, der zu zwei gegebenen orthogonal ist, wird das Kreuzprodukt verwendet.
• Das Kreuzprodukt zweier Vektoren ergibt einen Vektor, der auf beiden senkrecht steht.
• Kreuzprodukt berechnen: Diagonalen der Komponenten multiplizieren, jeweils alternierend subtrahieren.
• Ergebnis passt immer, da das Kreuzprodukt per Definition die Orthogonalität sicherstellt.

Wichtige Begriffe & Definitionen

• Orthogonalität — Zwei Vektoren stehen orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist.
• Skalarprodukt — Produkt der jeweiligen Komponenten zweier Vektoren, danach Summation.
• Kreuzprodukt (Vektorprodukt) — Operation, bei der zwei Vektoren einen dritten Vektor ergibt, der zu beiden senkrecht steht.

Aufgaben / Nächste Schritte

• Trainiere das Berechnen von Skalar- und Kreuzprodukten mit eigenen Vektoren.
• Übe, selbständig orthogonale Vektoren mit dem beschriebenen Trick zu finden.