Hallo zusammen, sehr schön, dass ihr wieder mit dabei seid. Heute geht es um orthogonale Vektoren. Und in der ersten Aufgabe untersuchen wir, ob diese beiden gegebenen Vektoren orthogonal zueinander stehen, also senkrecht aufeinander. Dann gehen wir noch eine Aufgabe durch, bei der wir neue Vektoren finden sollen, die zu genau diesen da senkrecht stehen.
Und eine dritte Aufgabenstellung, da bekommen wir zwei Vektoren. und sollen einen neuen finden, der auf den beiden senkrecht steht. Also sehr ähnliche Aufgabenstellungen, die aber unterschiedlich zu lösen sind.
Wir schauen uns das Prinzip von der Orthogonalität von Vektoren erstmal hier vorne überhaupt an. Worum geht's? Wir wollen prüfen, stehen die Vektoren, die hier gegeben sind, a und b, orthogonal zueinander.
Also, wenn das mein Vektor A ist, steht der andere Vektor dann senkrecht, also im... 90 Grad Winkel auf dem anderen. Und es ist eigentlich ganz einfach zum Überprüfen, denn man muss einfach diese beiden Vektoren miteinander multiplizieren, also das Skalarprodukt von diesen beiden Vektoren bilden. Und wenn da 0 rauskommt, dann stehen sie senkrecht aufeinander. Wenn da nicht 0 rauskommt, dann halt eben nicht.
Das bedeutet, wir bilden das Skalarprodukt von diesen beiden Vektoren, schreiben die erstmal hin und multiplizieren die miteinander. Und dann schauen wir mal, was da rauskommt. Das wären sie.
Wie funktioniert das Skalarprodukt? Immer schön aufpassen. Man multipliziert die einzelnen Koordinaten, also 2 mal 6 plus, kommt dann hinten dran, jetzt geht es um die zweite Koordinate, minus 1 mal 4 plus und jetzt noch die letzte 4 mal minus 2. Und das rechnen wir jetzt aus. 2 mal 6 sind 12. Hier bekommen wir minus 4 und da hinten minus 8. Wenn wir das berechnen, 12 minus 4 minus 8 sind 0. Oh Wunder, diese Vektoren stehen jetzt senkrecht aufeinander.
Also die Frage war, stehen sie? Wir sagen, es kommt 0 raus. Also ja, diese beiden Vektoren stehen senkrecht zueinander.
Und das ist schon das ganze Prinzip davon. Das testen wir jetzt aber noch hier beim zweiten. Ich verrate euch schon mal, diese werden nicht senkrecht aufeinander stehen.
Aber das sehen wir jetzt. Wir haben also zu testen a mal b und schauen, ob da 0 rauskommt. Das bedeutet 0 mal 2 sind 0 plus 1 mal 0 sind 0 plus 3 mal minus 2 sind minus 6. Und wenn wir das ausrechnen, 0 plus 0 plus minus 6 sind minus 6. Und das ist nicht 0. Deswegen wissen wir, diese beiden hier stehen nicht senkrecht aufeinander, die stehen zum Beispiel so mit einem anderen Winkel zueinander. Diesen Winkel kann man auch ausrechnen mit dieser Formel, mit diesem Cosinus-Alpha-Zeug, aber das soll jetzt nicht hier Thema des Videos sein.
Genau, also überprüfen, ob Vektoren orthogonal zueinander stehen, ist relativ einfach. Einfach das Skalarprodukt bilden und gucken, ob 0 rauskommt. Anders sieht es aus, wenn die Aufgabenstellung eben anders heißt, nämlich wir sollen drei verschiedene Vektoren finden, die senkrecht auf dem da stehen.
Also wir bekommen gar keine zwei und sollen einfach nur gucken, ob die senkrecht stehen, sondern wir sollen selbst einen finden oder sogar drei verschiedene Vektoren finden, die senkrecht auf dem da stehen. Und da gibt es einen einfachen Trick. Und zwar, wir ändern diesen Vektor hier ein bisschen ab.
Also wir finden ja jetzt einen anderen Vektor. der senkrecht auf dem da stehen soll. Senkrecht haben wir ja gesagt, da muss 0 rauskommen, wenn wir die miteinander multiplizieren.
Okay, wenn da 0 rauskommen soll, wäre es schon mal ganz gut, wenn wir eine Koordinate von unserem 9 hier 0 setzen, dann ist die Berechnung natürlich leichter. Das ist also das, was wir machen. Eine von diesen Koordinaten, von den dreien, könnt ihr euch aussuchen, die setzt ihr 0. Und die anderen beiden Koordinaten, also den da haben wir jetzt 0 gesetzt sozusagen, die anderen beiden werden vertauscht.
Also die minus 2 von da unten schreibe ich mal dahin und die minus 3 von da kommt dahin. Und von einem von diesen beiden müssen wir jetzt noch das Vorzeichen rumdrehen. Egal von welchem, ihr könnt es euch aussuchen. Ich nehme jetzt einfach mal hier, mache ich aus der minus 2 eben eine plus 2. Und jetzt stehen die automatisch senkrecht aufeinander. Testen wir das.
Wir multiplizieren die beiden und schauen, ob da noch rauskommt. 5 mal 0 ist 0, ist schon mal gut, deswegen die 0. Dann plus minus 3 mal 2 sind minus 6. und noch die letzte, minus 2 mal minus 3 sind 6 und da haben wir es, 0 minus 6 plus 6 ist 0. Das sollte jetzt aber nicht der einzige sein, den wir finden sollen. Wir sollen ja drei Vektoren finden, die das machen und die anderen sind ähnlich aufgebaut.
Wir haben ja jetzt hier die erste Koordinate 0 gesetzt. Bei dem zweiten, den wir halt zu suchen haben, schnappen wir uns halt eine andere Koordinate, die wir 0 setzen. Machen wir es einfach mal mit der Mitte. Die Mitte setzen wir also 0. Und jetzt wieder dasselbe wie eben.
Wir vertauschen die anderen beiden. Also die 5 von da oben kommt unten hin und die minus 2 von da unten kommt oben hin. Aber bei einem von diesen beiden müssen wir noch das Vorzeichen wechseln. Mache ich jetzt am besten aus dem Minus ein Plus, dann sind die Sachen ja leichter zum Berechnen. Ihr könnt aber genauso gut sagen, ich mag Minus, wer auch immer sowas sagt.
Ich mache aus der 5 hier unten einfach eine Minus 5. Geht auch. Aber ich glaube... Die meisten von euch, so wie ich auch, mögen Minus jetzt nicht so besonders. Dann testen wir, ob a mal c auch wirklich 0 ergibt, indem wir die miteinander multiplizieren.
5 mal 2 sind 10 plus minus 3 mal 0 sind 0. Und hier unten haben wir minus 2 mal 5 sind die minus 10 und dann kommt 0 raus. Also das Prinzip funktioniert. Und deswegen schauen wir uns jetzt noch zusammen den letzten Vektor an.
Wir sollten ja drei Stück finden. Ich glaube, ihr habt das Prinzip verstanden. Wir setzen jetzt die letzte Koordinate 0. Die anderen beiden werden vertauscht. Also die minus 3 kommt hoch, die 5 kommt runter und ein Vorzeichen wird abgeändert. Und der steht jetzt wirklich auch senkrecht auf dem da.
Gut, dann gibt es noch eine letzte Aufgabenstellung, die jetzt folgendermaßen heißt. Gib einen Vektor an, der senkrecht auf a und b steht. Wir bekommen also zwei Vektoren. Ob die senkrecht aufeinander stehen, darum geht es gar nicht. Also das ist a, das ist b.
Aber wir sollen jetzt einen finden, der auf beiden senkrecht steht. Also so einen, das wird unser Vektor c, der senkrecht auf dem da steht und auch senkrecht auf dem da. Ist jetzt nicht ganz so einfach zu sehen, aber auf beiden muss der senkrecht stehen.
Wie so auf einem Tisch sozusagen. Das hier ist eure Ebene. Und ihr sucht jetzt einen Vektor, der eben senkrecht auf dieser Ebene steht.
Da hilft uns das Kreuzprodukt oder Vektorprodukt. Wenn ihr das noch nicht hattet, dann kommt es vielleicht noch, aber dann könnt ihr ja trotzdem mal schauen, wie das Ganze funktioniert. Denn wenn wir jetzt das Kreuzprodukt zwischen diesen beiden Vektoren bilden, also zwischen 2, minus 1, 4, Kreuz, 6, 4, minus 2, dann ist der Vektor, den wir da dann finden, automatisch senkrecht auf den beiden, mit denen wir das Kreuzprodukt halt gebildet haben.
Das wisst ihr vielleicht schon, also automatisch sorgt das Kreuzprodukt dafür, dass der Vektor eben senkrecht auf beiden steht. Das ist natürlich super praktisch, weil dann müssen wir ja gar nichts mehr denken, wir müssen einfach nur das Kreuzprodukt von den beiden berechnen. Das funktioniert ja folgendermaßen, dass wir...
Diese Vektoren zweimal untereinander schreiben, also wieder 2, minus 1, 4 unten drunter und auch hier 6, 4, minus 2 unten drunter. Einfach doppeln. Dann streichen wir oben und die letzte Zeile und jetzt wird berechnet in Diagonalen. Und zwar folgendermaßen.
Wir starten hier oben in der zweiten Zeile, die noch nicht durchgestrichen ist halt. Und multiplizieren. Minus 1 mit minus 2. Also die werden immer multipliziert, diese Diagonalen.
Dann kommt ein Minus immer. Und dann werden die anderen Diagonalen multipliziert. 4 mal 4. Das wird unsere erste Koordinate hier, wenn wir das gleich ausrechnen. Dann gehen wir ein Päckchen runter und gehen jetzt zu diesen Diagonalen.
4 mal 6. Auch wieder Minus die andere Diagonale. 2 mal Minus 2. Und ihr habt es verstanden, eine Stufe runter. 2 mal 4 rechnen, minus und dann die andere Diagonale, minus 1 mal 6. Klammer zu und jetzt wird nur noch ausgerechnet. Ich bleibe einfach mal in Rot. Hier kommt 2 minus 16 raus, also minus 14. Dann 24 minus minus haben wir hier, also plus 4. 24 plus 4 sind.
28 und 8 minus minus, also plus 6, 8 plus 6 sind 14. Und das wäre jetzt ein Vektor, der senkrecht auf dem und auch auf dem steht. So einfach kann es sein. Man muss nur wissen, was man wann zu tun hat. Das ist ja oft die Schwierigkeit. So das eigentlich auszuführen ist ja gar nicht so schlimm, aber man muss halt wissen, wann man es zu tun hat.
Genau, soviel zur Orthogonalität von Vektoren. Falls ihr Fragen habt, meldet euch ansonsten gerne. Bis zum nächsten Video. Macht's gut!