लेक्चर नोट्स (कैलकुलस - एप्लिकेशन ऑफ मल्टीपल इंटीग्रल्स)
परिचय
- आज का लेक्चर नंबर 10 है।
- विषय: मल्टीपल इंटीग्रल का अनुप्रयोग (Area, Volume आदि निकालना) और जैकबियन।
पिछले लेक्चर का पुनरावलोकन
- पिछले लेक्चर में केस स्टडीज़ पर चर्चा की गई थी।
- केस 1: जब y वैरिएबल लिमिट हो।
- केस 2: दोनों वैरिएबल्स (x और y) की सीमाएँ।
- केस 3 और 4: केस 3 में वर्टिकल और केस 4 में हॉरिजेंटल स्टेप्स का उपयोग किया जाता है।
नई जानकारी
मल्टीपल इंटीग्रल्स के अनुप्रयोग
- मल्टीपल इंटीग्रल्स की मदद से क्षेत्रफल और आयतन निकाला जाता है।
- जैकबियन का उपयोग करके वैरिएबल्स के परिवर्तन को बताया गया।
जैकबियन
- जैकबियन एक डेरिवेटिव मैट्रिक्स है जो वेरिएबल्स के परिवर्तन को दर्शाता है।
- इसे विभिन्न वैरिएबल्स को एक से दूसरे में ट्रांसफॉर्म करते समय आवश्यक होता है।
- फॉर्मूला:
- [ J = \frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)} ]
इंटीग्रेशन की प्रक्रिया
- वर्टिकल और हॉरिजेंटल स्टेप्स द्वारा क्षेत्रफल के इंटीग्रेशन की प्रक्रिया को समझाया गया।
- अलग-अलग तरीके से इंटीग्रेशन करने पर ध्यान दिया गया।
उदाहरण
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वॉल्यूम निकालने के लिए:
- वॉल्यूम निकालने के लिए डबल इंटीग्रल का उपयोग किया गया।
- [ V = \int_{x1}^{x2} \int_{y1}^{y2} dz ]
-
जैकबियन का उपयोग:
- जैकबियन निकालकर इंटीग्रेशन को सरल बनाया गया।
निष्कर्ष
- इस लेक्चर में हमने मल्टीपल इंटीग्रल्स के विभिन्न अनुप्रयोगों को समझा।
- जैकबियन की भूमिका और इंटीग्रेशन तकनीकों पर चर्चा की गई।
आगंतुक सुझाव
- सभी विद्यार्थियों को अगले सप्ताह विभिन्न प्रश्नों का अभ्यास करने के लिए कहा गया।
ध्यान दें: सभी विद्यार्थियों से निवेदन है कि अगले लेक्चर के लिए तैयारी करके आएं।
धन्यवाद!