Sifat Modulus Bilangan Kompleks

Pengenalan

• Ahmad Isnaini memperkenalkan topik tentang sifat modulus bilangan kompleks.
• Modulus dan argumen bilangan kompleks dibahas terpisah untuk pemahaman yang lebih baik.

Definisi Bilangan Kompleks

• Bentuk bilangan kompleks: Z = X + iY (dalam bentuk normal)
• Dalam bentuk polar: Z = R(cosθ + i sinθ)
• Dalam bentuk eksponensial: Z = R * e^(iθ)
• Modulus (R) dihitung sebagai: R = √(X² + Y²)

Contoh Penghitungan Modulus

1. Contoh 1:

   • Z = 2 + i
   • Modulus Z = √(2² + 1²) = √(4 + 1) = √5

2. Contoh 2:

   • Z = 4 + 0i
   • Modulus Z = √(4² + 0²) = √16 = 4
   • Modulus sama dengan bagian real jika bagian imaginernya 0.

3. Contoh 3:

   • Z = 2i
   • Modulus Z = √(0² + 2²) = √4 = 2
   • Modulus sama dengan bagian imaginernya jika bagian realnya 0.

4. Contoh 4:

   • Z = 4 + i²
   • Z = 4 - 1 = 3 + 0i
   • Modulus Z = √(3² + 0²) = √9 = 3

5. Contoh 5 (Pecahan):

   • Z = 2 + 4/i
   • Z = 2 - 4i
   • Modulus Z = √(2² + (-4)²) = √(4 + 16) = √20 = 2√5

Sifat-sifat Modulus

• Sifat-sifat modulus dapat ditemukan di halaman 37 buku.

Sifat 1:

• |Z| = |-Z| = |Z̅|

Sifat 2:

• Jika Z1 dan Z2 adalah bilangan kompleks, maka |Z1 - Z2| tidak komutatif.

Sifat 3:

• |Z²| = |Z|² = Z * Z̅

Sifat 4:

• |Z1 * Z2| = |Z1| * |Z2|

Sifat 5:

• |Z1 / Z2| = |Z1| / |Z2|

Pembuktian Sifat

• Contoh Pembuktian untuk Sifat 1:

  • Z2 = 3 + 2i
  • Modulus Z2 = √(3² + 2²) = √13.
  • Modulus dari Z2 negatif dan konjugat juga sama dengan √13.

• Contoh Pembuktian untuk Sifat 3:

  • Z = 3 + 2i
  • Modulus Z² = √(9 + 4) = √13, juga sama dengan modulus Z kuadrat.
  • Z * Z̅ = |Z|² menghasilkan hasil yang sama.

Soal Latihan

• Tentukan nilai modulus dari bentuk:
  • Z = (3 + 2i) / (5 - 12i)
  • Solusi: |Z| = |Z1| / |Z2|
  • Hitung modulus Z1 dan Z2 secara terpisah.

Penutup

• Ahmad mengajak audiens untuk bertanya jika ada yang kurang paham.
• Mendorong untuk like, komen, share, dan subscribe channel Airin Academy.
• Mengumumkan materi selanjutnya tentang sifat argumen dari bilangan kompleks.