Hai, kembali lagi bersama saya Ahmad Isnaini dalam channel Youtube Airin Academy Ini merupakan bagian yang keempat dari seri Bilangan Kompleks, yakni mengenai sifat modulus Bilangan Kompleks. Sebenarnya untuk modulus dan argumen itu tidak bisa dipisah tapi ini bagusnya kita pisah aja agar lebih memahami secara detail. Baik, kita mulai langsung aja ya sifat modulus dari Bilangan Kompleks Bisa kita buatkan definisi seperti ini. Jadi sebenarnya ini berawal dari pernyataan bahwa yang namanya bentuk bilangan kompleks itu, misalnya Z, ini adalah CX ditambah dengan IY. Ini kan kalau bentuknya bentuk normal, bisa kita ganti ke dalam bentuk polar, yang namanya cosθ.
Ditambah dengan I kali sin theta atau bentuk si eksponensial yakni R kali E ya pangkat I theta. Seperti itu kalau nggak salah dalam bentuk eksponensialnya. Nah ini kalau diperhatikan dalam gambar aslinya itu merupakan atau kita mencari si R ya. Si R itu kan diperoleh dari bentuk. akar X kuadrat ditambah dengan akar Y kuadrat sehingga itulah yang disebut juga dengan modulus jadi modulusnya itu bisa kita sebut dengan panjangnya atau modulus dari Z itu ditulis juga sebagai seperti ini panjang Z artinya R nya cukup dicari akar dari X kuadrat ditambah dengan Y kuadratnya.
Sehingga jika X dan Y diketahui, maka setiap modulus dari Z itu bisa dikerjakan dengan cara yang sesingkat-singkatnya. Seperti itu ya. Nah, kita lihat beberapa contoh yang mudah dipahami. Jika contoh yang pertama itu suatu bilangan Z-nya itu dinyatakan dalam bentuk 2 ditambah dengan Y. Nah, buatkan langsung.
X itu kan bagian realnya, yakni siapa? 2. Y itu bagian imaginernya, berapa? Komposisi Y, 1. Sehingga modulus Z, ini jelas adalah akar dari X kuadrat ditambah dengan Y kuadrat. Berarti X-nya adalah 2, pangkat 2, tambah dengan 1, pangkat 2. Ini hasilnya adalah akar 5, seperti itu. Jadi mungkin untuk mencari modulus ini tidak ada masalah.
Walaupun bentuknya itu angka misalnya. Sebenarnya Z itu hanya sebuah bilangan realnya saja 4. Ingat, ini adalah 4 ditambah dengan 0i. Berarti bagian si realnya adalah si X, 0nya adalah si imaginernya si Y. Sehingga modulus dari si Z adalah akar dari X kuadrat ditambah dengan Y kuadrat. Berarti akar dari 4 kuadrat ditambah dengan 0 kuadrat.
Akar 16 atau sama dengan 4. Berarti sama dia nilai resultnya sama realnya Berarti kalau ada pertanyaan Kapan modulus suatu bilangan kompleks sama dengan realnya Ya saat imaginernya sama dengan 0 Sekarang kalau kebalikannya seperti tadi Yang diketahui hanya bilangan imaginernya Misalnya 2i Ingat ini bisa ditulis menjadi 0 tambah dengan 2i ngasih X, ngasih Y berarti modulusnya itu adalah akar dari 0 kuadrat ditambah dengan 2 kuadrat menjadi akar 4 ini sama dengan 2 ya dari sini bisa kita lihat tadi modulusnya itu akan sama dengan si realnya bagian dari Z ini jika si imaginernya 0 gitu ya sama dengan 0, ini pun sama modulus nya akan sama dengan bagian imaginernya jika dan jika bagian realnya sama dengan 0 tapi ini apakah berarti berbalik ya jika realnya 0 maka sama ya oke sekarang bagaimana soalnya dikembangkan ya jika soalnya dikembangkan seperti contoh-contoh yang juga ada di modulus di keunjungan Yang pertama itu misalnya bentuknya si 4 ditambah dengan i kwadrat ya. Z sama dengan 4. ditambah i kuadrat. Kita harus nyatakan ke dalam bentuk x ditambah dengan iy, sama seperti tadi.
Kita kerjakan maka z sama dengan 4 ditambah min 1 pangkat 2 itu sama dengan 4 tambah dengan min 1 pangkat 2, eh salahnya akar min 1 pangkat 2 kita hapus saja Oke, kembali ke pen. Ini akar min 1 ya, pangkat 2. Atau min 1 hasilnya adalah 3. 3 itu adalah 3 tambah 0i. Sehingga kita peroleh bagian realnya adalah si x nya 3, bagian imaginary nya adalah 0. Sehingga modulus dari si z adalah akar. 3 kuadrat ditambah dengan 0 kuadrat. Mesti akar dari 9 sama dengan 3. Cukup mudah ya.
Baik, yang kedua. Ini jika dia merupakan pecahan. Misalnya 2 ditambah dengan 4 per i. Nah, ini sudah kita buktikan.
Jadi, anggap atau ingat selalu jika ada bentuk 1 per i, itu sama dengan i pangkat min 1 itu artinya adalah min i ini kita sudah buktikan bisa mungkin dilihat di pembuktiannya di bagian konjugat tadi ya sehingga bentuk Z ini bisa berubah menjadi Z sama dengan 2 dikurang 4i sehingga diperoleh bagian realnya Cx nya adalah 2 Y nya adalah min 4 imaginernya Sehingga modulus dari Z adalah akar dari 2 pangkat 2 ditambah dengan min 4 pangkat 2. Berarti akar dari 4 ditambah dengan 16. Berarti akar dari 20. Bisa kita selanjutnya menjadi 4 kali 5. Atau menjadi 2 akar 5. Ini tentang modulus dari beberapa soal bilangan kompleks. Sekarang sifat-sifatnya. Modulus ini juga memiliki sifat seperti konjugat.
Oke, sifat-sifat dari modulus di buku sudah ada di halaman 37 ya. Halaman 37. Sifat-sifat modulus dari bilangan kompleks. Oke, yang pertama.
itu modul dari 1z itu sama dengan modul dari minusnya atau sama dengan modul dari konjugatnya itu sama seperti yang pertama. Seperti yang kedua bahwa jika ada pengurangan 2 buah bilangan kompleks Bisa dibalik ya, sifat komutatif pengurangan. Tidak komutatif sih, maksudnya dia bisa dibalik ya, seperti ini.
Yang ketiga, jika suatu bilangan kompleks dikuadratkan, dicari modulusnya, itu sama dengan jika dicari dulu modulusnya dikuadratkan, juga sama dengan perkalian antara bilangan itu dengan konjugatnya. Kita bilang tadi ini merupakan suatu angka gitu ya Sifat yang keempat itu adalah Jika kali-kali gitu Jika ada dua buah pilihan kompleks dikalikan Maka modulusnya sama dengan jika dipisah masing-masing Z1 dikali dengan Z2 Kali-kali berlaku juga bagi berlaku gitu Jika Z1 dibagi dengan Z2 Maka ini sama dengan modulus Z1 dibagi dengan modulus Z2 nah disini bisa dibuktikan dengan menggunakan contoh langsung ke contoh soalnya kita misalkan contoh soalnya itu si Z1 sama seperti juga yang modulus yang konjugat anggap namanya 1 dikurang I sementara Z2 itu adalah 3 kita Ditambah dengan 2i. Oke.
Coba kita ingin buktikan rumus pertama gitu ya. Bukti dari rumus yang pertama. Oke, z-nya itu tadi adalah, ambil yang z2 aja ya.
Z2 itu adalah 3 ditambah dengan 2i. Maka kalau kita cari... Modulusnya berarti sama dengan akar dari 3 pangkat 2 ditambah dengan 2 pangkat 2 gitu.
Akar dari 13 ya. Minusnya, berarti kalau Z2 nya 3 dikurang tambah 2i berarti minus Z2 berarti sama dengan kali min. Min 3 dikurang dengan 2i. Cari modulusnya gitu.
Maka modulusnya adalah. Akar dari min 3 kuadrat tambah dengan min 2 kuadrat Akar min 3 kuadrat adalah 9 Akar dari min 2 kuadrat adalah 4 Sama juga hasilnya adalah akar 13 Yang sekarang kita cari dulu konjugatnya Z2 adalah 3 ditambah dengan 2i. Dari itu, maka diperoleh si konjugat dari Z2-nya adalah 3 dikurang dengan 2i. Sehingga cari modulusnya. Akar dari 3 pangkat 2 ditambah dengan min 2 pangkat 2. Akar dari 9 tambah dengan 4 sama juga hasilnya adalah akar 13. Sehingga terbukti untuk yang nomor 1 benar.
Bahwa modulus dari Z itu sama dengan modulus negatifnya. Juga sama dengan modulus konjugatnya. Tapi ini pembuktian dengan menggunakan contoh. Mungkin kalau menggunakan bentuk umumnya bisa lebih bagus. Cuma di sini saya tambahin lagi ingin membuktikan yang nomor 3. Ini nomor 3 kayak menarik nih.
Kita ingin buktikan untuk pernyataan nomor 3. Yakni, jika ada modulus dari suatu bilangan. Kompleks kuadrat itu sama juga dengan modulus dulu dicari, dikuadratkan. Juga sama dengan perkalian antara bilangan kompleks itu dengan konjugatnya. Nah, ini seru. Coba kita buktikan ya.
Tadi kita misalkan si Z-nya itu ambil Z2. Yakni adalah 3 ditambah dengan 2i. Nah, sekarang kita kuadratkan.
Jika Z ini kita kuadratkan, berarti menjadi 3 ditambah dengan 2I, kalikan dengan 3 tambah dengan 2I. Kalikan, ini kali ini 9, ini kali ini 6I, ini kali ini 6I, ini kali ini. 4I kuadrat, seperti tadi I kuadrat itu adalah min 1 ya, berarti 9 tambah 12I tambah 4 kali min 1 Berarti 9 dikurang 4 ditambah dengan 12I, itu sama dengan 5 ditambah dengan 12I Dari sini diperoleh bagian realnya berapa? 5 ya, bagian CX nya 5, bagian real nya, CY nya 12, bagian imaginernya. Berarti modulus nya adalah akar dari 5 pangkat 2 tambah dengan 12 pangkat 2 Berarti hasilnya adalah akar dari 25 ditambah dengan 144 Berarti akar dari 169 sama dengan 13 Itu yang pertama Oke yang kedua Kita buktikan yang kedua Sekarang si Z2 nya tadi adalah si 3 ditambah dengan 2I.
Kita cari dulu ini modulusnya gitu. Berarti modulusnya adalah akar dari 3 pangkat 2 ditambah dengan 2 pangkat 2 gitu kan. Berarti akar dari 9 ditambah dengan 4 sama dengan akar 13. Berarti kalau modulusnya kita kuadratkan menjadi 13. Sama ya?
Wow, sama. Yang ketiga, kita buktikan Z dikalikan dengan Z. konjugatnya tadi Z nya itu adalah C3 ditambah dengan 2I kita buat sini aja ya maka dari sini konjugat CZ adalah siapa?
ingat konjugat beda tanda berarti 3 dikurang 2I kalau kita kalikan CZ kali dengan konjugatnya berarti hasilnya adalah 3 ditambah dengan 2I kali dengan 3 dikurang dengan 2I kali masuk Ini kali ini 9, ini kali ini min 6i, ini kali ini plus 6i, ini kali ini min 4i pangkat 2. Ini habis dong. menjadi 9 kurang 4 i pangkat 2 min 1 ya berarti 9 tambah dengan 4 sama dengan 13 sama gitu tapi jika tidak mau mengalihkan bisa juga menggunakan sifat yang di konjugat ya bahwa z dikali dengan z konjugat itu adalah bagian realnya dari si z kuadrat tambah dengan dengan bagian si imajiner perhatikan ya itu sifatnya ada gitu kuadrat jadi kalau kita buat ini Z nya itu adalah 3 ditambah dengan 2i maka bagian realnya siapa 3 gitu bagian Z nya imajiner siapa 2 sama dengan 9 ditambah dengan 4 13 maka terbuktilah sifat nomor 3 atau nomor itu benar nah dengan menggunakan sifat-sifat ini Kita bisa mengerjakan soal-soal di contoh berikutnya dan juga soal di mari mencoba. Contohnya seperti ini.
Ini kita buat bagi-bagi contoh mirip di mari mencoba. Contoh, tentukanlah nilai modulus dari bentuk seperti ini. Modulus dari 3 ditambah dengan 2i per Berapalah kita buat ya Misalnya aja 5 kurang 12i gini Nah seperti ini Jawab Nah, ini kan bisa dinyatakan sebagai dua buah bilangan kompleks, Z1 per Z2.
Yang diminta adalah modulusnya dari Z1 per Z2. Dengan sifat nomor 5, ini bisa dipisah. Jadi modulus Z1 dibagi dengan modulus Z2.
Sehingga modulus Z1 mengerjakan adalah akar dari... CX nya 3, CY nya berapa? 2. Modulus Z2, CX nya berapa?