Vollständige Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion

Einleitung

• Fokus: Durchführung einer vollständigen Kurvendiskussion
• 11 Schritte werden abgearbeitet
• Funktion in zwei Klammern unterteilt

1. Definitionsmenge

• Ganzrationale Funktionen: Alle reellen Zahlen
• Probleme nur bei Wurzeln oder Brüchen

2. Nullstellen

• Schnittpunkte mit der x-Achse
• Funktion gleich null setzen
• Klammern aufspalten
  • Erste Klammer: x = -2
  • Zweite Klammer: pq-Formel anwenden
    • Nullstellen: x = 3 und x = -5

3. Schnittpunkt mit der y-Achse

• x = 0 einsetzen
• Ergebnis: y = -30

4. Symmetrie

• Überprüfung durch ausgeschriebene Form der Funktion
• Keine Symmetrie vorhanden

5. Grenzverhalten

• Verhalten im Unendlichen
• Nur der höchste Exponent relevant: x^3
• x gegen ∞: f(x) gegen ∞
• x gegen -∞: f(x) gegen -∞

6. Extrempunkte

• Ableitungen berechnen
  • Erste Ableitung: 3x^2 + 8x - 11
  • Zweite Ableitung: 6x + 8
• Erste Ableitung gleich null setzen
  • pq-Formel: Extrempunkte bei x = 1 und x = -11/3
• Zweite Ableitung überprüfen
  • x = 1: Tiefpunkt
  • x = -11/3: Hochpunkt
• y-Werte berechnen
  • Tiefpunkt: (1, -36)
  • Hochpunkt: (-11/3, 407/9)

7. Wendepunkte

• Zweite Ableitung gleich null setzen
  • Wendepunkt bei x = -4/3
• Dritte Ableitung: 6
  • Überprüfung: Unterscheidet nicht null
• y-Wert berechnen
  • Wendepunkt: (-4/3, -286/27)

8. Grafik zeichnen

• Nullstellen und Schnittpunkte markieren
• Hoch- und Tiefpunkte einzeichnen
• Wendepunkt optional
• Verlauf der Kurve skizzieren

9. Monotonie

• Intervalle bestimmen
  • [-∞, -11/3]: streng monoton steigend
  • [-11/3, 1]: streng monoton fallend
  • [1, ∞]: streng monoton steigend

10. Krümmungsintervalle

• Wendepunkte trennen die Intervalle

11. Wertebereich

• Alle y-Werte angenommen: Reelle Zahlen

Fazit

• Schritte vollständig abgeschlossen
• Fragen können in den Kommentaren gestellt werden