hallo ihr lieben heute möchte ich eine vollständige kurvendiskussion mit euch durchgehend anhand von dieser ganz rationalen funktion hier das ist ein problem auch wenn es hier in so zwei klammern unterteilt ist und wir werden jetzt schritt für schritt alle diese elf punkte abarbeiten die zu einer vollständigen kurvendiskussion dazu gehören vielleicht gehören nicht alle punkte bei euch dazu aber bei dem ein oder anderen findet sich dann jeder punkt irgendwo deswegen habe ich einfach alles hineingepackt und geh mit euch alles durch also macht euch gemütlich erster punkt definitions menge wenn wir uns die definitions menge anschauen dann sind wir bei ganz rationale funktionen sehr schnell fertig denn man darf für iks einfach alle zahlen einsetzen die es gibt und das sind eben die reellen zahlen probleme würde das ganze nur machen von der definition menge wenn da wurzeln drin wären oder brüche bei denen das ixs unten steht das ist bei polonia aber nicht der fall deswegen ist wirklich wenn ihr eine ganz rationale funktion erstehen habt immer die ganzen reellen zahlen ist eure definitions mekka sehr gut dann haben wir den ersten punkt schon mal abgehakt wenn alle punkte so schnell gehen sind wir doch ein bisschen 0 stellen da geht es darum die schnittpunkte mit der x-achse um null stellen zu finden schnappen wir uns unsere funktion und setzten die gleich null also das komplett ding einmal abschreiben und gleich null setzen lasst die jetzt auf jeden fall in den klammern das ist extra schon für euch so vorbereitet damit ihr nicht ewig darum rechnet denn wir haben eine klammer x einer anderen klammer dann dürfen wir das so aufsplitten und sagen entweder die erste klammer ist gleich null oder die zweite klammer ist gleich null und jetzt haben wir nämlich einzelne gleichungen die wir als lösen können hier rechne - zwei dann ist unsere erste 0 stelle direkt schon mal bei -2 und hier müssen wir halt pq formel an okay da können wir das schnell durch sausen - zwei halbe sind -1 plusminus wurzel aus zwei halbe zum quadrate sind 1 zum 3 1 - -15 sind plus 15 wenn wir das ausrechnen hätten wir unter der wurzel 16 also die wurzel ziehen sind vier und wir haben zwei weitere 0 stellen nämlich - 1 plus 4 sind drei und minus 1 - 4 sind - fünf und damit haben wir 30 stellen gefunden also funktion einfach null setzen und nach links außen dann kommt der dritte punkt nicht nur die schnittpunkte mit der x-achse interessieren ein sondern auch die schnittpunkte mit der y achse und die sind aber leichter denn da muss man für das ixs einfach 0 1 sätzen und das teil aus rechnen also 0 2 x 0 + 0 - 15 also mit -15 multiplizieren dann kommt da - 30 raus das ist unser schnittpunkt mit der y achse okay die punkte bisher waren eigentlich ganz okay würde ich sagen kommen wir zur symmetrie und bei der symmetrie ist es jetzt so dass man das normalerweise wenn das poly nomen in seiner ausgeschriebenen form ist kann man die symmetrie sehr einfach an den hoch zahlen erkennen aber so wie das momentan hier steht ist es keine gute form deswegen müssen wir jetzt die klar man tatsächlich aus multiplizieren jedes mit jedem leider x-mal extras sind nix hoch drei x-mal 2x sind 2x quadrat x-mal -15 sind - 15x dann das ganze natürlich noch mit der 2 hier 2 x iks quadrat sind 2x quadrat zweimal sex 4x und der letzte schritt sind - 30 dann können das aber sortieren zuerst die teile mit hoch drei da gibt es nur eins dann zwei ex quadrat plus 2x quadrat 4x quadrat - 15x loos fähig sind 11x und die -30 noch hinten dran und jetzt können wir die symmetrie nämlich sehr schön untersuchen wir müssen uns nämlich nur die hoch zahlen anschauen die sind das ist eine ungerade zahl eine gerade zahl hier hätten wir eine ungerade zahl und hierbei der -30 steht eigentlich eine x0 fällt als gerade mal wenn jetzt alle hoch seien wirklich alle ungerade wären dann hätten wir nur punkt symmetrie wenn alle hoch zahlen gerade wären dann hätten wir eine achsen symmetrie wenn aber so ein mischmasch vorkommt so wie hier das wie eine ungerade zwar lerne gerade und so weiter und so fort dann gibt es einfach keine symmetrie also ihr schreibt hin keine einfache symmetrie oder keine symmetrie das war es dann schon und wir lassen jetzt dann auch die funktion so ausgeschrieben wie sie da jetzt steht denn das ist fürs krenz verhalten und alles was jetzt kommt leichter also diese klammer schreibweise war eigentlich nur für die null stellen so schön kompakt und einfach dann und für die sachen danach nehmen wir jetzt die ausgeschriebene schreibweise die wir schon gefunden haben das grants verhalten also das verhalten im unendlich der limes dass es bei pullin um schön einfach denn wir müssen uns nur den teil raussuchen der die größte hoch zahl hat alles andere interessiert uns beim grenz verhalten nicht das wäre x3 und wir müssen jetzt uns x3 einfach nur bildlich vorstellen das ist ja nun gerade hoch zahl und das sieht so aus xo 3 und da können wir jetzt die grenzwerte ablesen wir müssen ja einmal den grenzwert für iks gegen unendlich von unserer funktion berechnen und dann auch noch den grenzwert wenn nix gegen - unendlich läuft auch da müssen wir den grenzwert berechnen iks gegen unendlich bedeutet mai nix wird immer größer also mein ex geht nach rechts und dann schauen wir was passiert rechts auf der seite was was macht unsere funktion die wird immer größer die läuft gegen unendlich das ist der grenzwert deswegen wenn man sich das so visualisiert sind die grenze hätte eigentlich ganz angenehm und hier wenn mein iks immer kleiner wird also ich es gegen - und endlich läuft nach links dann wird meine funktion immer kleiner und die läuft gegen - unendlich dann können wir das hier einfach eintragen und fertig das waren die grenzwerte check und willkommen schon zu den extrempunkten dem herzstück der kurvendiskussion dazu müssen wir die funktion ableiten ableiten bedeutet die hoch zahl kommen nach vorne die drei und die neue hoch zahl wird ein kleiner also zu 12 hier werden die beiden zahlen miteinander multipliziert viermal 28 und auch die hochzeit wird ein kleiner dann wenn nix da steht felde six weg und nur die elf wird hingeschrieben hinten das feld bereiten komplett weg weil gar kein extremes wir brauchen auch noch die zweite ableitung für die extrem punkte deswegen das ganze noch mal drei mal 26 ticks und das eichsfeld weg also bleibt nur die acht die - 11 fällt komplett weg um die extrem punkte zu finden nehmen wir unsere erste ableitung und setzten die gleich null das ist jetzt das was auch der nächsten seite schon auf uns wartet da stets und hier nochmal die zweite ableitung die brauchen wir dann gleich auch noch aber erst mal hier das müssen wir jetzt nach iks auflösen und wir müssen schon wieder die pq formeln anwenden diesmal müssen wir aber noch durch drei teilen da die drei hier noch vor dem ixs quadratisch steht dann steht da ex quadrat +8 durch drei leider wird es eine pracht dritte 6 und hier hinten sieht es auch nicht gut aus elf drittel gleich neue iq formel trotzdem alles einfach reinhauen - p halbe also acht drittel durch zwei sind 86 das kürzt sind es vier dritte könnt ihr aber auch gerne mit dem taschenrechner aufrechnen dann wird diese vier drittel quartiert also zu 16 19 und - -11 drittel also plus ganz normale pico formel nur halt mit brüchen wenn ihr das hier aus rechnet kommt ihr unter der wurzel auf 49 9 und wenn ihr dann da schön die wurzeln zieht geht es gott sei dank sind das 7 drittel und jetzt haben wir also zwei stellen gefunden einmal -4 drittel + 7 drittel das wären dann 1 und das zweite wäre - vier drittel - 7 drittel das sind minus 11 drittel das sind unsere beiden kandidaten für unsere extrem punkte wir wissen jetzt noch nicht ob das hoch oder tief punkte sind oder vielleicht sattel punkte die gibt es ja auch noch deswegen müssen wir die beiden jetzt mit der zweite ableitung testen die ich hier schon auf uns wartet wir setzen da jetzt die 1 1 also berechnen die zweite ableitung von 16 mal 18 sind dann 14 auf jeden fall eine zahl die größer als null ist wenn es größer als null ist wissen wir dass das ein tiefpunkt ist bei an der stelle 1 also bei ex gleich eins haben wir einen tiefpunkt jetzt überprüfen wir noch die zweite stelle also auch da die -11 drittel in die zweite ableitung einsetzen und ausrechnen da kommt dann was negatives raus wenn ihr das macht das sagt uns dass wir da einen hochpunkt haben also an der stelle haben wir ein hochpunkt und jetzt haben wir es fast geschafft in unseren extremen stellen wir haben hier allerdings bisher nur die iks werte von unseren tiefpunkt und hochpunkt wir müssen auch die y werte auf rechnen weil so ein punkt besteht ja immer aus einem mix und einem y wird das hier war also unser tiefpunkt das hier unser hochpunkt um den tiefpunkt anzugeben haben wir die iks koordinate wir frauen aber noch die y koordinaten dazu setzt ihr die einst einfach für jede six in der ursprungs gleichung ein in diesem elf von ex reinpacken ausrechnen da müsstet ihr auf -36 kommen und für unseren hochpunkt machen wir das selbe nur setzen wir dafür ist eben - 11 drittel ein in die ausgangs funktion rhein in jede six ausrechnen und da kommt man auf einem wunderschönen bruch von 407 und 487 okay nicht so schön damit den graf noch zeichnen müssen würde ich euch raten schreibt diese brüche noch im koma zahlen um dann hätten wir da minus 3,7 es lässt sich einfach besser zeichnen als elf drittel und 14,8 er würde damit jetzt nicht wirklich weiter rechnen aber zum zeichnen habt ihr dann schon mal die zahlen davon wir haben die extrem stellen gefunden das waren sie das war der sechste punkt und auch der umfangreichsten normalerweise dann kommen wir zu den wendepunkten da sieht die welt schon mal noch mal ein bisschen einfacher aus denn wir brauchen die zweite ableitung dafür und die zweite ableitung ist gottseidank ganz schön wir schnappen uns die zweite ableitung und setzten die gleich null wenn wir das jetzt nach eex auflösen können wir - 8 rechnen 6x gleich - 8 dann müssen wir nur noch durch sechs teilen und dann steht da es gleich - 86 man kürzt sind dass sie - vier drittel so eine zahl hat man heute schon mal da kann jetzt ein wendepunkt sein das müssen wir aber noch mit der dritten ableitung überprüfen ob das wirklich so ist die dritte ableitung haben wir aber noch gar nicht gemacht einmal noch ableiten ist aber gottseidank ganz einfach da bleibt nur die sechs übrig zu prüfen müssen wir diese -4 drittel aber noch in die dritte ableitung einsetzen wenn ihr das macht passiert da aber nichts weil er ist gar keine nix deswegen kommt da immer noch 6 raus wichtig für uns ist nur dass es ungleich 0 ist was da rauskommt und dann wissen wir dass es hier ein wendepunkt ist von dem wir bisher aber auch nur den iks wert ausgerechnet haben deswegen um den wendepunkt mit xy koordinate auszurechnen gehen wir genauso vor wie eben auch wir setzen diese nix wert in die ursprungsfunktionen ein und rechnen dass aus wenn ihr das macht kommt er auch wieder auf einem knöchelbruch und zwar - 286 7 uns ansicht auch hier schreibt das in die comma zahlen um -4 drittel sind minus 1,3 und der bruch ist minus 10,6 zum zeichnen im koordinatensystem absolut notwendig denn das waren die wendepunkte oder der wendepunkt gekommen jetzt nämlich dazu den grafen zu zeichnen und da benutzen wir jetzt alles was wir bisher gefunden haben als allererstes die null stellen die sind bei 3 bei minus zwei und minus 5 als immer schön markieren und im schnitt punkt mit der y-achse haben wir auch berechnet bei -30 okay das sind die ersten punkte dann gehen wir damit weiter und zeichnen unsere tiefpunkt ein bei 1 und minus 36 also 1 - 36 irgendwie hier so tiefpunkt kann man schon mal so als rundum mag ihren hochpunkt bei minus 3,7 und 14 8 also ungefähr hier sollen hochpunkt sein also auch schon so eine rundung dransetzen und der wendepunkt theater interessiert und sagen ich gar nicht so sehr dann muss man jetzt nicht so markieren jetzt wird nämlich einfach alles verbunden hochpunkt heißt es muss hier runter gehen und die hierdurch genauso von hier muss es hier runter gehen dann suchen wir die nächsten punkte da unten müssen wir hinkommen okay da ist ne runde und dann müssen wir da oben durch das ist unsere funktion nicht sonderlich schön deswegen habe ich das jetzt hier noch mal zeichnen lassen so wie ich die funktion aus und das ist normalerweise das ende der kurvendiskussion aber wenn man den gezeichnet hat kann man manche sachen auch einfacher berechnen oder bestimmen denn wir haben noch ein bisschen was ist hier war der graf neunter punkt ist die monotonie aber die kann man am grafen sehr schön sehen bei der monotonie geht es nämlich darum ich habe ja hochpunkt und tiefpunkt noch mal hin geschrieben monotonie fragt einfach in welchem bereich steigt meine funktion in welchem bereich fällt sie und steigt sie dann vielleicht wieder wir müssen also nur schauen die funktion steigt bis an bis zum hochpunkt der hochpunkt liegt bei minus elf dritteln dann fällt die funktion bis zum tiefpunkt der tiefpunkt liegt bei 1 und danach steigt sie wieder und das sind jetzt unsere intervalle von - unendlich ich mache mal eine runde klammer manche machen auch eine offene klammern eckige offene klammer von - unendlich bis zu unserem hochpunkt also den -11 dritteln steigt unsere funktion ist also streng monoton steigend kann man so abkürzen dann von diesen elf dritteln bis hier runter bis zu 1 fällt die funktion das ist sie streng motto fallend und dann kriegen wir noch ein drittes intervall von der einst bis zur unendlich wieder runde klammer ist die funktion wieder strenger von steigt das sind die monotonie intervalle die steigung ist intervalle wo steigt wo fällt meine funktion und das ist schon alles und das kann man am grafen halt sehr schön sehen nachdem man die hoch produktiv punkte hat ausgerechnet hat denn die hoch- und tiefpunkte trennen immer diese intervalle monotonie kommt aber eher selten vor dass man es möglich angeben muss schreibt mal ob ihr das in eurer kurvendiskussion machen müsst wir haben es jetzt mal gemacht genauso die krümmung intervalle die kommen auch eher selten vor da geht es um die wendepunkte die interessieren uns jetzt weil die trennen die krümmung intervalle dass selbst bei -4 drittel ist der wendepunkt also ungefähr an der stelle hierbei - wie drittel kommen bedeutet die funktion ist eine rechtskurve bis hierhin und dann haben wir eine linkskurve und das müssen wir einfach noch sammeln das bedeutet von - unendlich bis zu unserem wendepunkt bis zu den - vier titeln ist unsere funktion rechts gekrümmt also eine rechtskurve und ab den -4 dritteln bis unendlich haben wir dann eine linkskurve links gekrönt das ist alles auch das kann man sehr schön am grafen dann sehen und die wände punkte helfen uns dabei dann sind wir fast fertig ein teil fehlt noch die werte menge die kommt total selten dran aber wenn sie dran kommt kann man sie am grafen auch sehr schön ablesen die werte menge gibt nämlich an welche werte auf der y-achse angenommen werden vom grafen also wenn der graf hierdurch läuft dann wird die 20 vom grafen irgendwo angenommen wenn der graf hierdurch läuft dann wird der wert angenommen bei uns ist jetzt so da die funktion gegen - unendlich läuft ist er auf der y-achse alles abgedeckt und auch gehen bloß unendlich läuft die funktionäre auch hier dann ist auf der y-achse auch alles abgedeckt alles auf der y achse wird irgendwo mal von unserem grafen abgedeckt deswegen ist die werte menge hier jetzt bei uns die reellen zahlen also alles zahlen da gibt es keine ausnahme ein hinweis nur falls eure funktionen zum beispiel so aussehen würde so eine parabel bist ja auch ganz rationale funktion dann geht die nur bis zu fünf und über der 5 ist kein gras mehr dann wäre eure werte menge eben alles kleiner also könntet ihr dem aufschreiben alle reellen zahlen für die gilt y kleiner gleich müsste man genau gucken wo es ist kleiner gleich fünf das wäre dann die werte menge alle werte unterhalb werden vom grafen angenommen aber oben drüber eben nicht und das war es mehr haben wir nicht die werte mengen können auch abhaken sehr schön dass ihr mit dabei geblieben seit ich hoffe er ist einfach da hat alles verstanden so weit und falls ihr fragen habt meldet euch immer gerne in den kommentaren