Catatan Kuliah tentang Bilangan Kompleks

Pengertian Bilangan Kompleks

• Bilangan kompleks terdiri dari bilangan real dan bilangan bukan real (imajiner).
• Bilangan real: bilangan yang dapat dihitung, terletak dalam garis bilangan antara -∞ hingga +∞, termasuk 0.
• Bilangan imajiner: bilangan yang tidak dapat dihitung langsung, biasanya ditandai dengan akar dari bilangan negatif (misalnya, akar -1).

Bilangan Real dan Imajiner

Bilangan Real

• Contoh: -7, 0, 5, dll.
• Semua bilangan yang dapat dihitung dan terlihat nyata.

Bilangan Imajiner

• Contoh: akar -1 = i, akar -4 = 2i, akar -5 = akar 5i.
• Imajiner ditandai dengan "i" yang merupakan simbol untuk akar dari -1.

Bentuk Bilangan Kompleks

• Bilangan kompleks dapat ditulis dalam bentuk: X + Yi
  • X: bagian real
  • Y: bagian imajiner
• Contoh: 3 + 2i adalah bilangan kompleks; 5 + 0i adalah bilangan real.

Operasi Bilangan Kompleks

Penjumlahan

• Untuk menjumlahkan dua bilangan kompleks, jumlahkan bagian real dan bagian imajiner secara terpisah.
  • Contoh: (2 + i) + (1 - 2i) = (2 + 1) + (1 - 2)i = 3 - i.

Pengurangan

• Sama dengan penjumlahan, tetapi mengurangkan bagian real dan imajiner.
  • Contoh: (2 + i) - (1 - 2i) = (2 - 1) + (1 + 2)i = 1 + 3i.

Perkalian

• Gunakan metode kali pelangi (distributif).
  • Contoh: (2 + i)(1 - 2i) = 21 + 2(-2i) + i1 + i(-2i) = 2 - 4i + i - 2i².
  • Ingat bahwa i² = -1.

Pembagian

• Kalikan dengan konjugat untuk menghilangkan bagian imajiner di penyebut.
  • Contoh: (5 / i) = (5 / i) * (0 - i) / (0 - i) = -5i / 1 = -5i.

Contoh Soal

Persamaan Kuadrat

• Jika persamaan kuadrat tidak dapat difaktorkan, gunakan rumus ABC untuk mencari akar.
• Akar dapat berupa bilangan real atau imajiner.
  • Contoh: X² + 25 = 0, akar = ±5i.

Konjugat

• Konjugat dari bilangan kompleks mengubah tanda bagian imajiner.
  • Contoh: Konjugat dari (2 + i) adalah (2 - i).

Kesimpulan

• Bilangan kompleks terdiri dari bagian real dan imajiner.
• Operasi bilangan kompleks meliputi penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian.
• Penting untuk mengenali bilangan real dan imajiner dalam konteks bilangan kompleks.