लोगों बच्चों आज वेक्टर का सिक्थ वीडियो हम लेके आए हैं जिसमें हम बात करेंगे cross product of vector या की vector product की इसके पहले हमने dot product पढ़ लिया है आप सबको very very good evening very very good morning very very good afternoon or good night जो भी आपका समय चल रहा हो और आज का वीडियो हम स्टार्ट करेंगे cross product of vector से मुझे उमीद है दो वेक्टर को मल्टिप्लाई करने का एक अनोखा तरीका हमने एक वेक्टर A लिया, दूसरा वेक्टर B लिया, उनके बीच में क्रॉस लिखा तो जो आंसर आएगा वो भी एक वेक्टर होगा इसको हम बोलते हैं क्रॉस प्रोडक्ट, ये क्रॉस तो दो वेक्टर को मल्टिप्लाई करने पे यदि आंसर भी वेक्टर आता है आपने ये देख रखा है, class 10 में, जब आपने torque, या class 9 में, जब आपने moment of force निकाला था, torque या moment of force निकलता है, जब force को multiply करते हो displacement से, या कई लोग कह रहा होंगे r से, या कई लोग कह रहा होंगे d से, जो भी, Force or displacement, vector quantity, vector quantity. Torque or moment of force, vector quantity. दो vector को multiply करने पे answer भी vector आया, मतलब कौन सा product है?
Cross product है. तो यह है cross product की logic. यदि दो vector को multiply करने पे answer भी vector आता है, यानि कि वो दोनो vector कैसे multiply हुए हैं? Cross product या vector product.
तो क्या logic है cross product की? जल्दी समझाते हैं आपको. जैसे हम से कहा A cross B की वैल्यू बताईए हमें, तो आप बोलोगे mod A, mod B, multiplied by sin theta, जैसे यहाँ पर हमारे पास दो vector हैं, एक vector B, एक vector A, और इनके बीच में angle है theta, तो A cross B करने पर आज़र आएगा A की value, B की value, multiplied by sin theta, यह तो हो गई वैल्यू.
अब क्योंकि जो answer है वो vector है तो इसका direction होगा n cap अब ये n cap क्या चीज़ है किसी भी vector को अगर direction देना हो तो हम क्या use करते हैं unit vector पिछले videos में मैंने ये बात कई बार आपको बताई कि vector को direction देने के लिए एक ही चीज़ use होती है जो की है unit vector तो n cap लगा दिया and this is a unit vector which is perpendicular to both vector A and vector B मतलब इसका जो direction है वो A vector और B vector के perpendicular है तो A, B के perpendicular एक ऐसे हो सकता है उपर और एक ऐसे हो सकता है नीचे बाई A और B मान लो इस plane में है इस plane में A और B है तो इसके perpendicular या तो उपर या तो नीचे अब एक बात समझ लो A cross B करने पे जो answer C आता है वो C vector का direction N cap से मिला और N cap ए और बी के परपेंडिकुलर या तो ऊपर या तो नीचे मतलब जो ये वेक्टर सी होता है बच्चो इट इस परपेंडिकुलर टू वेक्टर ए एंड इस वेक्टर सी इस ऑल सो परपेंडिकुलर टू वेक्टर बी बातें ध्यान से समझो जब दो वेक्टर का क्रॉस प्र करोगे तो जो answer आएगा वो उन दोनों vector के perpendicular होगा और answer का direction निकालने का तरीका क्या बताये गया है n cap जादा confused नहीं होना है n cap में यार देखो इसका जो answer आना है वो वो विक्टर आना है अब विक्टर अगर C विक्टर है तो C के पास दो चीजे होंगी एक तो C का magnitude और एक C का direction magnitude निकलेगा mod A mod B sin theta से और direction निकलेगा N cap से ये बुकों में ऐसे ही N cap डाल देता है confused करने के लिए बाई इतना कुछ ऐसा बड़ा concept नहीं है N cap का मतलब ऐसा विक्टर जो A और B के perpendicular हो तो या तो perpendicular upwards या perpendicular downwards ले लो बन गया answer हो गया कि हमारे पास एक vector A है which is suppose 5 एक vector B है which is suppose 2 और इनके बीच में angle है suppose 30 degree हमसे इन्होंने कहा find A cross B और ध्यान से सुनना find b cross a हमसे दोनों चीज़े पूछी हैं a cross b और b cross a तो a cross b होगा mod a mod b sine theta multiplied by n cap mod a की value कितनी हो गई 5 b की value 2 sine 30 और n cap देखा जाएगा तो sine 30 कितना होता है 1 by 2 तो 5 into 2 into 1 by 2 2 से 2 मर गया answer आया 5 ये क्या होगा mod b mod a sine 30 या साइन थीटा, तो मॉड बी की वैल्यू हो गई 2, ए की वैल्यू हो गई 5, और साइन 30, यानि 1 by 2, 2 cancel, फिर answer आया 5, अब देखो क्या difference है दोनों में, ठीक है, ये vector A माल लो, ये B माल लो, दोनों plane में माल लो, और angle है कितना 30 degree तो a cross b की value कितनी आ रही है 5 b cross a की value भी कितनी आ रही है 5 तो क्या हम ये लिख सकते हैं कि a cross b is equal to b cross a नो नो, we can never write this, ये गलत है, क्यों? देखो, A cross B का दो direction हो सकता है, या तो उपर, या तो नीचे, perpendicular इन दोनों के, कैसे निकालना है, मैं आपको बताता हूँ, आप यूज़ करो, right hand thumb rule, किताब में screw rule दिया है, वो भी समझा देंगे, right hand thumb rule, आप यूज़ करो, right hand thumb, रूल, क्या कहता है ये रूल? अपने हाथ की, right hand की, fingers को फैला लो, फिर जहां से जहां जा रहे हो, वहां से वहां ऐसे fingers को curl करो, जिधर आपका thumb point करे, वही direction होगा n-cap का, या a cross b का, जो unit vector है, ये ना unit vector, जो direction बताएगा, उसका direction निकालना है, तो right hand की fingers को curl करो, vector a से b, या b से a, जहां से जहां जाना हो, जिधर thumb point करेगा, that will be the direction of A cross B.
चलो यहां करते हैं, A से B की तरफ curl किया, thumb किधर आया, उपर, यह vector A, B अंदर की तरफ है, तो A से B की तरफ curl किया, किधर आया, उपर, मतलब A cross B, जो 5 है, यह 5 किधर होगा, upwards. फिर दूसरा क्या है हमारा? B cross A अब क्या करना है?
right height की fingers को B से A की तरफ curl करो B से A की तरफ तो यार B से A एक तो ऐसे curl कर सकते हो बाहर से आके पूरा ऐसे अंदर नहीं छोटे angle में एसे बीट करना है या बीट से एक करना है छोटे एंगल में यह रहा छोटा एंगल तो आप क्या करो हाथ कोल्टा कर दो अब देखो छोटे एंगल में बीट से एक बीट से एक बीट से एक बीट से एक कर दो आप थम किदर है डाउनवर्ड्स तो बी क्रॉस एक का डारेक्शन कि क्या हो गया डाउनवर्ड्स हो गया फिर से एक रॉस भी करना है राइट हैंड खोला फिंगल्स को कर किया एसे भी अलांग दाइस मॉल एंग्ल अलांग दाइस मॉल देखो ए और बीच में एंग्ल यह है एक एंग्ल यह है 150 डिग्री वाला नहीं 360 होगा ना तो इतना हो जाएगा 3 30 डिग्री वाला एक तो 30 डिग्री है एक थी थर्टी तो छोटे एंग्ल में करना है तो एसे भी कर्ल किया थम किदर आया ऊपर तो एक रॉस भी किदर है अपवर्ड और फिर कहा क्या, B से A, तो B से A भी करल करना है इसी एंगल में, यह नहीं कि यहां घुमा दिया, तो मैंने उल्टा किया, B से A करल किया, किदर आए, डाउनवर्ड्स आया, चेक, तो A क्रॉस B का आंसर 5, उपर की तरफ, अब देखो यह वेक्टर जो आंसर आया, यह A के भी ए और बी दिखाई पड़ा आपको ये ए और बी दिख रहे हैं दोनों ए क्रॉस बी ए क्रॉस बी उपर बी बी से बी क्रॉस ए किदर नीचे बी क्रॉस ए नीचे तो यातो ये रूल यूज़ करो या दूसरा रूल आप यूज़ कर लो बच्चों दूसरा रूल हमारे पास क् इसमें क्या करना है, दोनों वेक्टर को टेल से टेल जोड लो, जुड़े हुए हैं, वहाँ पे स्क्रू को रख दो, अब जहां से जहां जाना है, वहाँ से वहाँ स्क्रू भुमाओ, जैसे A से B जाना है, तो A से B की तरफ स्क्रू भुमाओ, तो स्क्रू किधर जा रहा है, एसे बीट एगर है बीट अंदर है तो एसे बीट इस फूल किधर आया ऊपर तो डायरेक्शन के दर हो गया अपवर्ड फिर उन्हें कहा बीट से ए निकालों तो यहां पर इसको रखा कहां से कहां घुमाओ बीट से एकी तरफ तो बीट से ए घुमाया इसको किधर गया नीचे तो बी क्रॉस ठीक है यहां बनाकर दिखाओ देखो बीट थोड़ा सा अंदर की तरफ ए वेक्टर इस तरफ है तो एसे बी तो ऐसे घुमाया एसे भी किधर कुलेगा इसको इसको जब ऐसे घुमाते हैं एंटी क्लॉक वाइस तो किधर जाता है ऊपर तो घुले लगा और बी से ए घुमाया तो अंदर प्लॉक वाइस एंटी क्लॉक वाइस बोली मारो यार मतलब अपने डायरेक्शन से बिलीफ करो, जैसे यहाँ पे रखा मैंने, अब इसको स्क्रूप को अगर ऐसे-ऐसे घुमाओगे, तो पर direction wise just opposite है direction wise just opposite है can we write it like this no क्योंकि a cross b का answer एक vector है b cross a का भी answer एक vector है ये दोनों vector magnitude में तो equal है पर direction में opposite है तो हम इनको equal नहीं लिख सकते we cannot write this this is wrong ये दोनों वेक्टर magnitude में equal हैं, पर direction में opposite हैं, तो ऐसा लिखना गलत हो जाएगा, ठीक है, तो आपको direction निकालना पक्का आ गया है, या तो screw रखके direction निकाल लो, या तो thumb रखके निकाल लो, और एक बात और आपको side में यहां लिखने को पता चल गई, कि a cross b is not equal to b cross a, मतलब, जो commutative rule था, commutative क्या होता है? कि जो relation A का B से हो, वही relation B का A से हो. commutative rule vector product या cross product में valid नहीं है.
जबकि यहाँ पे valid था, पिछला वीडियो ध्यान से देखना, A.B किसके equal था? B.A. वहाँ पे commutative वैलिड था, cross product में commutative product वैलिड नहीं है. यह rule valid नहीं है.
या direction निकालने वाला काम और करना है, तो चलो कर लेते हैं, मालों मैं तुम्हें दो vector दे दू, एक vector इस तरफ है, x direction में, ठीक है, एक vector इस तरफ है, y direction में, और मैं बोल देता हूँ, एक vector इस direction में है, let it be a, एक vector y direction में है, let it be b, आप मुझे बताओ, a cross b का direction क्या होगा, a cross b का, स और छोटे एंगल के पे A से B घुमाऊंगा, A से B, A से B, तो देखो थम किदर आ रहा, outward, तो A cross B का direction किदर हो गया हमारा, outward हो गया, ठीक है, direction निकालना सिखा रहे हैं, फिर हमने कहा B cross A निकालो, तो यार B से A, या तो ऐसे घुमाऊंगा, गूमे बड़े एंगल में नहीं, छोटे एंगल में गूमना है, तो मैंने थाम अंदर कर लिया, B से, B से, B से, किदर गया, Inward, तो अगर हमसे कोई पूछे, B cross A का direction क्या होगा, तो आप बोलोगे, Inward, तो ये समझना जरूरी है, कि A cross B या B cross A, एक vector quantity है, और उसका direction है, direction होगा और जो direction होगा वो A और B के perpendicular जैसे यहाँ पे या तो अंदर आता या तो बाहर आता यानि A के भी perpendicular B के भी perpendicular दोनों के perpendicular जैसे यहाँ पे देखो यह vector जो है यह A से भी 90 degree पे है B से भी 90 degree उपर चला गया या नीचे चला जाता तो भी यह ए था यह भी था नीचे गया तो भी उन दोनों से कितना हो गया 90 डिग्री तो ए क्रॉस बी का जो आंसर आता है वो ए से भी 90 डिग्री पे होता है और बी से भी 90 डिग्री पे होता है इतनी बात आपको समझ में आ गई बहुत बढ़िया ठीक है अब मान लो हमसे वो कहते हैं कि आप और्थोगॉनल यूनिट विक्टर्स का cross-plot समझाईए, मतलब जैसे exam में सवाल आ गया, आपसे पूछ लिया i x j कितना है, आपसे पूछ लिया j x k कितना है, आपसे पूछ लिया i x i कितना है, ये सारी बातें आपसे कर ली, तो कैसे answer निकालेंगे? तो पहले जो conceptual part देख लेते हैं, इसका कि हम कैसे answer निकालेंगे, आईए, तो हमने ले लिया ये x वाला, ये y, और ये हमारा, जेट डायरेक्शन तो एक्स का यूनिट वेक्टर होता है आई कैप वाइट यूनिट वेक्टर होता है जे कैप और जेट का यूनिट वेक्टर होता है के गैप आई कैप जे कैप और के गैप ठीक है अब हमसे ने कहा कि आप पाइंट करिए आई क्रॉस आई कैप या जे क्रॉस जे कैप या के क्रॉस के कैप मतलब सेल्ट प्रोडक्ट मतलब वेक्टर ए क्रॉस वेक्टर पूछ रहे हैं आइए करते हैं क्या लिखेंगे आप मॉड आई मॉड आई, अच्छा, अब एंगल लिखना है, आई का, आई से क्या एंगल है, 0 degree, इधर आई, उसी के उपर आई, आई का खुद से क्या एंगल होगा, 0, तो आई, आई, साइन 0, साइन 0 की वैलू, 1, 1, 1, तो यार, साइन 0 की वैलू 0, sorry, 0, 1, 1, तो अंसर कितना आ गया, 0, इ इस तरह से के क्रॉस के भी जीरो तो आपको याद रखना है आई क्रॉस आई जे क्रॉस जे के क्रॉस के की वैल्यू कितनी होती है जीरो होती है अच्छा अगर याद हो तो यहीं पर एक चीज आपको याद दिल जे डॉट जे और के डॉट के की वल्यू कितनी आ रही थी बना रही थी यानि सेल्फ डॉट लोगे तो आंसर वन आएगा और प्रॉब्लम लोगे तो आंसर जी रो जैसे एक रॉसे मॉडे मॉडे और एक आईस एंग्ल कितना होगा जी रो जी रो अब ध्यान से सुनना यह जी रो वेक्टर होगा मेरा पहला वीडियो देखा मैंने समझाया कि जी रोड वेक्टर तो यह जीरो स्केलर नहीं है जीरो वेक्टर एग्जाम मान दो ऑप्शन दे दे जाए तो वह जीरो आंसर है कि जीरो प्रोडक्टर तो आंसर आएगा जीरो हम यहाँ पे लिख लेते हैं चलिए, i cross i is equals to k cross k is equals to j cross j and all are equal to 0. अब बात करते हैं बच्चों इसकी, i cross j की, क्या कहते हो? i cross j, तो i और j के बीच में angle कितना है?
90, तो mod i. मॉड जे, साइन 90, ठीक है, तो मॉड आई हो गया 1, क्योंकि unit vector है, मॉड जे हो गया 1, unit vector है, साइन 90 हो गया 1, आंसर कितना आ यहां, 1, क्या यह आंसर सही है, नहीं, क्योंकि cross प्रोफ़ करने पर आंसर क्या आना चाहिए था वेक्टर तुमने आंसर क्या दे दिया वाल तो अब इसका डायरेक्शन सोचना होगा आप सोचे आई और जे का डायरेक्शन आई क्रॉस जे का यहां पर स्क्रूटर आई से जे की तरफ घुमाव आई से जे की तरफ आई यहाँ पर या तो थम रख लो राइट हैंड का आई से जे की तरफ थम को घुमाओ आई से जे की तरफ थम को घुमाओ डारेक्शन के दराया बाहर यानि तुम्हे बाहर के डारेक्शन का एक यूनिट वेक्टर चाहिए होगा तुम्हे एक एन कैप चाहिए होगा जो कि क्या ह क्या तुम्हें इस direction का unit vector पता है? हाँ, कौन है वो?
k cap तो 1 into k cap answer will be k cap वा बाई वा, यानि i cross j की value क्या आती है? k cap आती है पक्का समझ में आया है आपको? बढ़िया से, एक और example लेते हैं और उमीद करते हैं कि इस बार आपको पक्के समझ में आएगा j cross k cap j और k यह जरहा जे वेक्टर ये रहा के वेक्टर जे क्रॉस के तो पहले तो जे और के के बीच में एंगल 90 डिग्री इसमें किसी को कोई डाउट नहीं तो मॉड जे मॉड के साइन 90 तो 1 इंटू 1 साइन 90 इस 1 तो आंसर 1 पर ये नहीं हो सकता क्योंकि आंसर एक वेक्टर होना है और उसका डि तो जे से के की तरफ हमने right hand की finger लोग curl किया और thumb देखो इधर आया जे से के अब इस direction का हमें क्या चाहिए होगा एक unit vector और इस direction का unit vector कौन है i cap तो multiply कर दो i cap से answer will be i cap इसको रखकर चक्कल लो जैसे के की तरफ स्कूल को घुमाओ जैसे के की तरफ स्कूल को घुमाओ जैसे के की तरफ स्कूल घुमाओ इसको इधर आ रहा मतलब इस डारेक्शन का तुम्हें क्या चाहिए होगा i x j आता है k, j x k आता है i, तो एक बात बताओ k x i कितना आएगा, सब भी समझ गए हैं, answer j होगा, आओ चेक करते हैं, k x i, क्या लिखेंगे, mod k, mod i, sin 90, और क्या लिखेंगे, बोलो एन कैप भी लिख लेते हैं 1 1 1 1 1 1 आया अब एन कैप is a unit vector perpendicular to K and I और कैसे निकलेगा right hand thumb rule से तो K से I की तरफ K से I की तरफ K बाहर की तरफ K से I थम किदर आया upward इस direction का unit vector उपर के direction का unit vector कौन है J cap तो multiplied by J cap answer becomes J cap ठीक है बहुत बढ़िया ठीक है? ठीक है?
तो हम बोल सकते हैं i cross j किसके equal है? k cap k. फिर क्या लिया था हमने j cross k किसके equal था? i cap. फिर हमने लिया था k cross i किसके equal था?
j cap k. ठीक है? क्योंकि cross प्रोट में जो answer आएगा ना वो vector आएगा.
तो i और j को cross किया तो k आया. j और k को cross किया तो i आया. k और i को cross किया बच्चों मैं तुमसे ये पूछ लूँ कि ये बताओ मुझको J cross I कितना आएगा I cross J पता है अब क्या पूछ लिया मैंने J cross I कितना आएगा J cross I और J cross I चेक करते हैं तो J cross I में देखो mod J, mod I, sin 90 इस तो सेम रहेगा मतलब answer तो 1 ही आएगा mod J, mod I, sin 90 answer तो 1 ही आएगा direction की बात है इस बार J से I की तरफ भूमना है तो जे से आई किधर गए अंदर, जे से आई किधर गए, जे से आई किधर गए अंदर, मतलब पीछे की direction का unit vector, यहाँ का unit vector है k cap, तो पीछे का क्या हो जाएगा, minus k cap, तो मैंने multiply कर दिया minus k cap से, answer क्या आ जाएगा, minus k cap, तो j cross i अगर हमसे पूछता है, तो हम बोल देंगे minus k cap अब या तो एक जाम में एक एक को निकालो या तो तुम्हारे पास कोई short cut हो या तो आप एक एक को determine करो भाईया या तो आपके पास कोई short cut हो जिससे आप खटाच समझे जैसे अभी मैं आपसे फुल फुल पूछ लो कि ये बताओ के cross j कितना होगा कि j cross k i आया है तो k cross j कितना हो जाएगा minus i के अब चेक करके देखें तो mod k mod j sin 91 अब k से j की तरफ तो ये right hand कहां से कहां खुमाना है k से j कैसे गुमेगा k से j ये ऐसे गुमेगा देखो k से j k बाहर की तरफ है j उपर की तरफ k से j k बाहर की तरफ j उपर की तरफ k से j thumb इधर गया मतलब इस direction में, तो इस direction के unit vector कौन हो जाएगा, minus i cap, तो यार मैं अब तुमको एक short trick बताई देता हूँ, क्योंकि काफी समय हो गया, concept आपको समझ में आ गया, तो concept समझने के बाद अब एक short trick समझो, अब तीन vector यहाँ पर लिख लो, i cap, j cap, k cap, i, j, k, ऐसे लिख लो, अब ज� जे क्रॉस के करोगे आंसर आई आएगा और के क्रॉस आई करोगे तो आंसर जे आएगा टेंशन कत्तम क्या कहा मैंने मैंने का तीन वेक्टर लिख लो आई जे के ऐसे लिख लो साइकलिक ओर्डर में ऐसे लिख लो आई जे के साइकलिक ओर्डर में लिख लो अब i से j पे जाओगे तो answer के आएगा, j से k पे जाओगे तो answer i आएगा, k से i पे आओगे तो answer j आएगा, जैसे मैं पूछूं i cross j तो इसके बाद कौन है, k तो answer बोल दो k के आप, मैं बोलूं j cross k तो आप answer बोलना i के आप आजाएगा, मैं बोलूं k cross i तो आप बोलना answer j के अब मालो उल्टा चलने लगे हम, हम आपसे पूछलें I x K कितना आएगा, I x K, मतलब उल्टा चलने लगे हम, जब उल्टा चलेंगे तो answer यही आएगा पर minus के साथ, i cross k will be minus j क्या?
जैसे हम आपसे पूछें, k cross j कितना होगा? k cross j, तो अगला वाला होगा minus के साथ, minus i क्या? हम आपसे पूछें, j cross i कितना होगा? j cross i, उल्टा चले गए, तो k ही होगा, पर किस के साथ?
i cross j के साथ, minus k के साथ, compare कलो, कोई answer गलत हो, i cross j के आया, तो j cross i, minus k आया जे क्रॉस के आई आया, तो के क्रॉस जे माइनस आई आया, तो बड़ा आसान है, क्या सिखाया मैंने आपको, फिर से देख लो यहाँ पे, अब जल्द जल्दी आंसर बताना, मैं पूछता जा रहा हूँ, आई, जे, के, आई से जे चलेंगे तो के, क्योंकि क्लॉक वाइस, तो माइनस जे के से चले तो माइनस आई समझ में आ गया आपको क्लियर हो गई यह बात कि इस तरह से आप इस बात को याद रख सकते हो बाकि यार इसको आपको रिवाइन करके देखना पड़ेगा क्योंकि वेक्टर में एक ही चीज सिर्फ अच्छी है जो जिसकी वैल्यू है 5 एक वेक्टर है वे पास भी जिसकी वैल्यू है 2 कि हमने आपसे पूछा फाइंड करिए वेक्टर A क्रॉस B, वेक्टर A क्रॉस B, तो 5 I कैप क्रॉस 2 K कैप, ऐसे लिख सकते हैं, 5 2 जा कितना हो गया, 10, अब I क्रॉस K, I क्रॉस K, I क्रॉस K, जल्दी से दिमाग में, I, J, K, I क्रॉस K, उल्टा चले, तो minus J, so answer will be minus 10 J कैप, जैसे माले जि हम दूसरा example ले ले, आपसे बी क्रॉस ए, मतलब 2K क्रॉस 5I, तो 2 5 जा पहले लिख लो 10, अब K क्रॉस I, K क्रॉस I, तो ये तो सीधा सीधा चल रहे हैं, K क्रॉस I, तो प्लस जे, तो इस तरह से आपको आंसर निकाल रहे हैं, ठीक है, कार्टीसिन फॉर्म में अगर आपसे पूछता है, अच्छा यहां से आपको एक चीज और समझ में आ रही है, काफी कोशिन्स देख लिये आपने, अब आपको एक चीज बहुत क्लियर हो गई होगी, इतने कोशिन्स देखने के बाद, कि A क्रॉस B की बी क्रॉस एक एक्वल तो नहीं होती, पर एक क्रॉस बी की वैलू माइनस बी क्रॉस एक एक्वल होती है, देखा आपने सारे एक्जांपल में, पिछले एक्जांपल में देखा, फिर से बात करो चाहो तो आई, जे, के, आई क्रॉस जे क्या आएगा, के, अच्छा और j cross i क्या आएगा, j cross i उल्टा चले गए, क्या आएगा, minus k, तो a cross b is equal to क्या हो गया, minus of b cross a, है न, दिख रहा है, तो ये relation cross product में है, जबकि dot product में क्या था, a.b, किसके equal था, b.a, यहाँ पे ऐसा नहीं है, यहाँ पे minus लगा के उल्टा होता है, एक अगर उपर आता है, तो दूसरे answer नीचे की तरफ आता है, ये difference हमने देखा है, बहुत बढ़ी है तो आपको यह तो समझ में आ गया यह आईजेके की कहानी समझ में आ गई होगी एक सवाल और कर लेते हैं देख लेते हैं आपकी तस्माज है आपस तीन लेते हैं वेक्टर ए है विच इक्वल्स टू फॉर जे कैप एक विटाम आपस आएंगे मैं आपसे निकलवाऊंगा फाइन वेक्टर एक ऑस भी पेंट पॉइंट है वेक्टर बी क्रॉस सी वेक्टर सी क्रॉस ए वेक्टर एक ऑस सी वेक्टर सी क्रॉस बी ठीक है वेक्टर B क्रॉस A चलिए अब सारी वैलूज आप जल्दे दी निकालें स्टार्ट करें चलिए A क्रॉस B तो 4 3's are 12 और J क्रॉस I मतलब उल्टा जा रहे हैं तो minus K cap तो minus 12 K cap B क्रॉस C तो 3 2's are 6 I और K I J K अब देखो क्या लिखा है I क्रॉस K मतलब उल्टा जा रहे हैं तो answer will be minus J cap C क्रॉस A तो 2 4's are 248, और k cross j, k cross j, मतलब उल्टा जा रहे हैं, minus i cap, a cross c, 428, और j cross k करना पड़ेगा, j cross k, मतलब clockwise, मतलब सीधा जा रहे हैं, i cap, C cross B तो 2 3s are 6 और K cross I K cross I मतलब सीधा जा रहे हैं clockwise तो कैसा आएगा J फिर B cross A 3 4s are 12 और I से J जा रहे हैं I से J मतलब तो इस तरह से आप A x B, B x C, IJK की कहानी को अब बढ़िया से समझ सकते हो, अच्छे से समझ सकते हो, मेरे ख्याल से आपको clear हो गया होगा IJK का concept क्या है, अच्छे से समझ में आ गया है, इदम clear हो गया है, बढ़िया, चमक रहा है दिमाग में, बहुत अच्छे, बहुत बढ आज लेट बी टू आई कैप प्लस थ्री जे कैप प्लस फोर के कैप एंड वेक्टर बी इग्वल्स टू थ्री आई कैप प्लस टू जे कैप प्लस थ्री के कैप और मैं आपसे पूछो फाइन वेक्टर एक रॉस भी कर सकते हैं क्या? A cross B कर तो सकते हैं बड़ा लंबा process हो जाएगा पहले इसको इससे multiply करो इसको इससे multiply करो इसको इससे multiply करो फिर इसको इससे multiply करो इसको इससे करो फिर इसको इससे इससे एक तो process यह होगा बहुत लंबा हो जाएगा पहले 2 को 3 से करो तो 2 3 से कितना आएगा? 6 और I cross I कितना हो जाएगा?
0 फिर 2 को इससे करो 2 2 से कितना हो जाएगा? 4 और I cross J कितना आ रहा था? K फिर 2 को 3 से करो 2 3 से कितना हो गया?
6 और i cross k मतलब उल्टा चले तो क्या हो जाएगा minus j cap फिर इस पे आ जाओ 3 को इस से करो 3 को इस से करो 3 को इस से करो 3 3's कितना हुआ 9 और j cross i मतलब उल्टा चले तो minus k cap आ जाएगा फिर इस को इस से करो 3 2's कितना हुआ 6 और j cross j सेम से किया तो 0 फिर इस को इस से करो 3 3's आ 9 और j cross k मतलब cyclic चल रहे हैं तो i cap फिर इसको तीनों से करो 4, 3, 12 और K cross I मतलब cyclic चर रहे हैं तो plus J फिर 4, 2, 8 और K cross J, I, J, K K cross J मतलब उल्टा जा रहे हैं तो minus I cap फिर इसको इससे करेंगे 4, 3, 12 और K cross K will be 0 फिर सबको जोड़ना पड़ेगा आए जोड़ें 4K cap और K cap कहाँ है minus 9 K cap और K cap कहाँ है और कहीं नहीं है तो 4K कैप माइनस 9K कैप तो पहले जे आई दूढ लेते हैं आई कहां ये रहा 9I कैप माइनस 8I कैप तो I कैप कितना हो गया सिर्फ एक बच्चे का I कैप फिर आईए जे दूढते हैं माइनस 6J प्लस 12J, तो कितना हो गया? 6J, फिर के दूड़ते हैं, 4K cap, minus 9K cap, कितना हो गया? minus 5K cap, this is the answer for vector A cross B. ठीक है तो एक तरीका तो ऐसे हो गया कि मतलब conceptually आपने समझा और logically इस बात को निकाला और आपको समझ में आया पर school में ऐसे नहीं करेंगे क्योंकि बहुत time ले रहा देखो एक एक दिया होता बसान था जैसे हमसे बोलता इसको नहीं मिटा सकता इस question फिर चलेंगे जैसे हमसे तो बच्चों कैसे cross plot निकालते हैं, shortcut क्या है?
आईए आपको सिखाते हैं एक और shortcut shortcut क्या है बच्चों? आप यहाँ पे एक determinant बना लो अभी आपको determinant नहीं पता, आप यहाँ पे एक ऐसे line खीच लो यहाँ पे लिख लो i cap, यहाँ लिख लो j cap, यहाँ लिख लो k cap बी की वैल्यू क्या है थ्री आई थू जे थ्री के अब क्या करो अब एक क्रॉस बी जब निकालना हो तो आप लिखो आई कैप पहले लिख लिए आई कैप अब इस लाइन को और इस लाइन को भूल जाओ अजय को मतलब I जिस row में है उसको भूल जाओ, I जिस column में है उसको भूल जाओ, इन दोनों को भूल जाओ, I जिसमें था, अब आगे बढ़ो, I से आगे बढ़ो, 3 को 3 से multiply करो, 3 into 3, minus 4 को 2 से multiply करो, 4 into 2, आगे बढ़ो, plus J लगाओ, अब J की row को भूल जाओ, J के column को भूल जाओ, और J स माइनस टू को थी से मिल्टीप्लाई करो क्रॉस प्रोस मिल्टीप्लाई अब आ जाओ के पे प्लेस के कैप एक इन रोजाओ के के कॉलम को भूल जाओ और आगे बढ़ जाओ आगे मतलब यहां पहुंच जाएंगे टू को टू से मिल्टीप्लाई करो टू इंटू टू अब बताओ किस को किससे करें इसकी रोजाओ इसके कॉलम को भूल गए क्या बचाए यह चार टू को टू से किया अब क्या बचा थ्री को 3 से answer check करें 3 3 is a 9 minus 8 क्या बचा i cap 4 3 is a 12 minus 6 क्या बचा plus 6 j cap 2 to the 4 minus 9 मतलब minus 5 k cap देखें यही answer वहाँ से भी आया था यह यहाँ से भी आ गया असान है नहीं आया चलिए कोई बात नहीं, फिर से समझाएंगे नहीं आया तो एक बात फिर से देखें, क्योंकि अभी कई लोग कमेंट करेंगे ये चीज नहीं समझ में आई तो इसको मैं फिर से बता रहा हूँ देखो जिन लोगों को तेजी समझ में आता है और जिनको नहीं आता है, वो यार वो आराम से देखो यहाँ पे लिखो i-cap, यहाँ लिखो j-cap, यहाँ लिखो k-cap यहाँ लिखो vector A, यहाँ लिखो vector B अब A के सामने लिखो 2, 3, 4, B के सामने लिखो 3, 2, 3, अब निकालना क्या है हमको A cross B, अब पहले लिख लो I cap, अब I की row को और I के column को भूल जाओ, बचा क्या ये चार नंबर, अब यहाँ से आगे बढ़ो, और पहले वाले को उठा के नीचे वाले से मिल्टिप्लाई कर दो, तो 3 into 3, minus ये तो छुपा हुआ है, ये भी छुपा हुआ है, बचा क्या ये, 4 into 2, फिर आओ जे पे, जे को पकड़ा तो ये पूरा गायब, और ये पूरा गायब, ये भी गायब, ये भी गायब, अब इससे आगे बढ़ो, cross multiply, 4 को 3 से, minus 2 को 3 से, तो 4 into 3, minus 2 into 3, plus k cap, अब k पे आए, ये row भूल जाओ, ये column भूल जाओ, ये row भूल जाओ, ये column भूल जाओ, आगे बढ़ जाओ, अब ये पूरा गायब है, ये भी गायब है, अब क्या होगा, 2 into 2, माइनस थ्री इंटू थ्री टू इंटू टू माइनस थ्री इंटू थ्री किताबों में एक बार बीच में माइनस जेल आगे लिखा होता है टेंशन मत लेना अंसर मेरा हंड्रेड परसेंट करेट आएगा उससे सिंपल उससे असान मैटर है तो उस पर प्लेस होता है देखाएं अंसर शॉट मिक्टम फॉर माइनस माइनस पाइट कैप फॉर थी जाए 12 माइनस 6 6 ज कैप्टर इस नाइन माइनस 8 आई आगे आंसर फिर से जब आई लिया तो इसको भूल जाओ अब आई ले लिया है थी थी जाए माइनस पूर्ट जाएट जब जे 236, जब K लिया तो इसको बुल जाओ, आगे बढ़ जाओ, आगे मतलब क्या पहुँँ, यहाँ पहुँँ जाओगे, उपर वाले को cross करो, 2204-3309, ठीक है, I लिया तो इसको बुल जाओ, next, अब इसको नीचे, 3309-4210, और इस तरह से cross product बहुत easily निकाला जा सकता है, बिना वो IJK, तब यह method अपना lengthy हो जाएगा, तो cross product, लंबा topic है, देता हूँ और question हमारे पास यह है कि find the magnitude of A cross B if A is equals to 2i cap plus j cap minus k cap and B is equals to and B is equals to 6i cap प्लस थ्री जे कैप माइनस थ्री के अप ठीक है आपको इस वेक्टर का मैंने ट्यूड बताना है ठीक है चलिए सब लोग ट्राइड करिए पॉज करके ऑप्शन में देता हूं एबी सीडी मैं निकालना तरीका पता है फाइनली जो भी इसका स्क्वेर प्लस इसका स्क्वेर प्लस इसका स्क्वेर जो भी आंसर आएगा उसके इस वाले टर्म का स्क्वेर इस वाले टर्म का स्क्वेर इस वाले टर्म का स्क्वेर इसको हम बोलते हैं एक क्रॉज बी का मैगनी चूड चलिए सब लोग निकाले पॉस करके और आंसर कि यह रूट 49 है तो आप चेक करें पॉज करके एक बार सॉल्व करें तो मैं ख्याल सबने सॉल्व कर लिया होगा सबके आंसर आ गए होंगे और सबके आंसर मेरे ख्याल से जीरो आए होंगे ठीक है तो जीरो क्यों आया आंसर यह समझते हैं सॉल्व करके देखते हैं पहले एक रॉस भी आईएस ऑल परते हैं मैं वहीं मैथड लूंगा जो बताया आई जे के यहां लिखा ए यहां लिखा भी एक ही वैल्यू है टू अ यहाँ पे value है 1, और k के सामने value है minus 1, फिर मैं b पे आया, b के सामने value है 6, दूसरी value है 3, और यह value है minus 3, अब मुझे निकालना है a cross b, तो मैंने i cap ले लिया, अब इसको, इसको भूल गया, 1 into minus 3, which will be minus 3, minus 1 into 3, पहले minus लगाओंगा, कि वन इंटू माइनस थ्री फिर माइनस लगाऊंगा फिर माइनस वन इंटू थ्री विच लीजिए गेन माइनस थ्री कि यह प्लस थ्री माइनस थ्री यह जीरो हो गया फिर जे कैप जे लूंगा इसको छुपाऊंगा इसको छुपाऊंगा यह छुप गया अब आगे बढ़ेंगे आगे बढ़ेंगे तो नेक्स्ट कौन सा होगा माइनस वन इंटू सिक्स माइनस माइनस टू इंटू थ्री 2 into minus 3, so minus 1 into 6, minus 6, फिर minus लगाया, 2 into minus 3, again minus 6, plus 6 minus 6, answer 0, k cap, इसको छुपाया, इसको छुपाया, अब, 2, 3, 6, माइनस वन इंटू सिक्स टू थी राशिक्स माइनस वन इंटू सिक्स यहां से अंसर आएगा जीरो यहां से आएगा जीरो यहां से जीरो यानि अंसर विल बी जीरो अगर ऑप्शन जीरो वेक्टर होता जीरो वेक्टर तो एक और इस पास जीरो आ सकता है जीरो आ सकता है रूप पर आ रहा था कि एक और भी कैसे डिटरमिन करते हैं ठीक है एक मैं आपको वह देखा हूं एक और भी निकालने को जरूर बताए कितना आ रहा तो वेक्टर ए हमारे पास मान लेते हैं आई प्लस जे प्लस टू के अप और वेक्टर भी हमारे पास टू आई प्लस ट्री जे माइनेस के अप और इसका अंसर आप जरूर निकाल कर चेक करें कि आपकांसर सही आ आ रहा है कि नहीं ठीक है कमेंट करें मैं थोड़े देबार कमेंट में इसका आंसर लिख दूंगा अभी मैंने क्रिएट किया ठीक है तो इसको आप जरूर सॉल्ड करके चेक करें कि आंसर आपका क्या आ रहा है मैं सॉल्ड करता है चलिए कुछ नॉट आपके लिए आई जे के वेक्टर ए वेक्टर बी तो एक वैल्यू है 112 बी की वैल्यू है 23 माइनस वन लगाया टू को थ्री से मिल्टीप्लाई किया सिक्स फिर के लगाया सॉरी है फिर j cap लगाएंगे, j को भूल गए, आगे बढ़े, 2 को 2 से multiply किया 4, minus, 1 को minus 1 multiply किया minus 1, फिर आगे बढ़े, k cap, इसको भूल गए, इसको भूल गए, आगे बढ़े, 1 into 3, आया 3, minus 1 into 2, आया 2, तो यह हो गया, minus 7 i cap, यह हो गया, 4 plus 1 हो जाएगा, बिल्कुल, यानि, plus 5 j cap, और 3 minus 2, कि मतलब कि एक बाद चेक कर लिया जाए आई लेंगे तो वन वन जा माइनस 12361 माइनस वन माइनस 6-7 आई सही है जेलेंगे यह छुप जाएगा टूटूज आफ और माइनस वन इंटू माइनस प्लस हो जाएगा प्लस पाइट जेलें देंगे तो यह छुप जाएगा 1 in 233 मानस वन इंटू टू आईएड ठीक है इस तरह से अब मान लो यहां पर मैंने चूट पूछ लेता एक रॉस बी के जगह आपसे कहता है इसका आप क्या बताइए एक रॉस बी का हमें मैंने चूट पूछ लेता है तो बच्चों मैंने क्यों निकालने तरीका minus 7 का square plus 5 का square plus 1 का square के के आगे क्या लिखा है? 1 तो 1 का square और जो भी answer होगा that would be the magnitude of A cross B तो बच्चो ये A cross B निकालने का तरीका IJ में तरीका, थीटा से तरीका ये साइड चीज़े मैंने आपको समझाई अब कुछ special points लेते हैं और अच्छे questions की बात करते हैं तो पहला सवाल ये आता है कि अगर A cross B की value 0 आ गई तो इसका क्या मतलब है? इसका क्या मतलब है? देखिए इसका मतलब हो सकता हो या तो A 0 हो या तो B 0 हो या एक और मतलब हो सकता है क्या?
A cross B कैसे निकलता है? Mod A, Mod B, sine theta is equal to 0 अगर हम कहते हैं कि A 0 नहीं है और B भी 0 नहीं है तो definitely इसको 0 होना पड़ेगा मतलब sine theta की value 0 होगी sine theta बच्चों 0 तब होता है जब theta कितना हो? 0 degree, sine 0, 0 होता है तो जब दो vector के बीच में angle 0 होता है, तब A cross B 0 आता है, मतलब ये vector A और ये vector B, अब देखो इनके बीच में angle कितना है, 0 degree, मतलब जब दो vector बच्चों parallel होते हैं, तब A cross B की value कितनी आती है, 0 आती है, क्योंकि इसमें किसका term है, sin theta का, अच्छे बच्चों एक बात और हो सकती थी अब यहाँ पर एक बात note करना, अपने notes में डालना, कि sin 180 की value भी 0 होती है, मतलब b ऐसे भी हो सकता था, पीछे की तरफ, इन दोनों में angle देखो कितना हो गया, 180, इन दोनों में 0, तो इन दोनों में कितना हो गया, 180, तो theta की दो value हो सकती है, या तो 0 हो, या तो 180 हो, मतलब a, b य तो अगर दो वेक्टर पैरलल हैं या दो वेक्टर अंटी पैरलल हैं उस केस में A cross B की value कितनी आएगी?
0 और बच्चो यहीं पे एक छोटा सा सवाल मुझे उमीद है आपको याद होगी कि A dot B की value 0 कब होती है? जब A B के perpendicular हो मतलब theta कितना हो? 90 तो exam में लिखा हो A dot B 0 हो समझ जाओ angle कितना है 90 A cross B 0 हो तो angle 0 भी हो सकता है और 180 भी हो सकता है ठीक है?
बहुत बढ़िया ठीक है? चलो हमें दिया है कि एक वेक्टर ए है जिसका मैंग्निट्यूड फांच है एक वेक्टर बी है जिसका मैंग्निट्यूड जिसका मैंग्निट्यूड एक चार मैंग्निट्यूड 6 है और एक रॉस बी कर दो कि कजो मैंने ट्यूड है यह कमेंट यूड यह बीच कमेंट यूड और एक रॉस बी का मैंने ट्यूड है बताया है एक रॉस बी कमेंट यूड है 15 तब से पूछा है फाइंड था एंगल बिट्वीन ए एंड बी ए और बी के बीच के एंगल की बात की है आप कर सकते हैं सवाल बेज़कुल कर सकते हैं एक रॉस बी के ऊपर मॉड लगाया इस इक्वल्स चुक्राव जाएगा मॉड ए मॉड बी साइन थीटा और क्या लगेगा एंड क्या नहीं इस बारें क्या जरवत नहीं है क्योंकि यहाँ पे mod लगाया है मतलब सिर्फ magnitude की बात की है तो a cross b का magnitude 15 a का magnitude 5 इसका magnitude 6 multiplied by sine theta तो यहाँ sine theta कितना हो गया 15 बटे 50 5 6 था 30 15 x 15, 15 x 30 तो sin theta की value 1 by 2 अब बच्चो sin theta की value 1 by 2 कब होती है जल्दी से बताईए मैं आपको option दे देता हूँ A, B, C, D तो आपके option है 45 degree, 30 degree, 150 degree, 60 degree सब सोच रहे होंगे क्या हलवा सवाल है सबको पता है theta की value कितनी होगी 30 degree तो सबने मार दिया 30 degree पर answer होगा 30 degree और 150 degree पिछले कुछ टन से एक बात आपको मैं बताता चल रहा हूँ कि sin 180 minus theta is equals to sin theta और cos 180 minus theta is equals to minus cos theta इसका use किया था vector addition subtraction है और ये मैंने आपको कई बार बताया था कि sin 180 minus theta किसके equal होता है sin 180 minus theta किसके equal होता है sin theta जरा check करो sin 180 minus 30 कितना होगा? sin 30 के equal sin 180 minus theta is equal to sin theta sin 180 minus 30 is equal to sin 30 और 180 minus 30 कितना हो जाएगा?
sin 150 which will be equal to sin 30 30 की value 1 by 2, तो sign 150 की value भी 1 by 2 तो answer will be 30 degree as well as 150, both will be correct answer, हो सकता हो A और B के बीच में 30 degree का angle हो, हो सकता हो 150 degree का angle हो, दोनों ही answer सही हो सकते हैं, तो पहला question हमारा इस तरह का हो गया, और सवाल लेते हैं बढ़िया बढ़िया सवाल आपके लेके आए हैं ठीक है, इसका अब अपन प्रीवियस एर भी करेंगे, अभी तो वेक्टर पे और वीडियो जाएंगे, परिशान ना हो, जैसे एक पुष्ण यह है, हमसे बोला है कि, हमसे बोला है कि a cross b का magnitude is equals to a dot b का magnitude, so find the angle between a and b, find the, एंग्ल बिट्वीन वेक्टर ए एंड वेक्टर बी यह सवाल है तो यार मैंग्निट्यूडी है सिर्फ तो मॉडे मॉडे मोड बी और क्या लग जाएगा, साइन थीटा, और यहाँ पे, मोड ए, मोड बी, डॉट में क्या लगता है, कॉस थीटा, मोड ए, मोड ए कैंसल, मोड बी, मोड बी कैंसल, साइन थीटा इसको इग्वास टॉप इसको इदर ले आया, साइन थीटा, डिवाइड बाई, कॉस थ तैन थीटा वन कब होता है वे थीटा एस फ़ॉर्टी फाइव डिग्री ठीक है यहां पाइट रॉम्स पर आपसे दिया है तो जाएगा पाइट बाइट फॉर पाइट बच्चों होता है वन एट्टी ठीक है तो पाइट बाइट फॉर कितना हो जाएगा वन एट्टी अब इस पर बात करेंगे पाइट वाले मैथमेटिकल टू जब आपको पढ़ाएंगे तब यह सारी बात करेंगे अच्छा फिर हमसे पूछा है अ कि बच्चों A.A x B किसके equal होगा? is equals to what? option A, B, C, D option A है A.B के equal होगा option B है B के equal होगा option C 0 के equal होगा option D A x B के equal होगा हमसे यह सवाल पूछा है ठीक है तो इसको थोड़ा सा ना logically सोच के करना पड़ेगा इस सवाल को आइए A cross B आइए बना लेते हैं ये मान लो vector B ये मान लो vector A इस plane के अंदर है ठीक है इस plane में है दोनों vector अब बच्चो A cross B A cross B या तो इस plane के उपर होगा या तो नीचे जैसा भी बनाओ मैं इन दोनों के perpendicular थोड़े देर के लिए मान लेते हैं ये हमारा vector है A cross B ठीक है, यह vector A cross B, पूरा का पूरा, अब इसका dot put लेना है vector A से, तो यह रहा vector A, और यह रहा A cross B, यानि हमें दो vector का dot put लेना है, एक vector A है, dot, दूसरा vector कौन है, A cross B vector है, इन दोनों की बीच का dot लेना है, बच्चों इन दोनों में angle कितना दिख रहा है 90 degree, 90 degree में आपको याद होगा कि a dot b की value कितनी होती है 0, क्योंकि भाई यहाँ पर आप लिखोगे mod a, फिर इसका mod, फिर cos 90 and cos 90 is 0, आप देखो एक vector यह है, एक vector यह है, और दोने एक दूसरे के perpendicular हैं, और दो vector अगर perpendicular हो, इसका इस फिर हमारे पास और जो सवाल है सवाल पे सवाल लेके आए हैं हम जल जली सवाल आपको करा दें आज कुछ अच्छे सवाल करेंगे हमसे बोला कि if a.b is equals to 0 a.c is equals to 0 then ए एस पैरलेल टू ऑप्शन ए वेक्टर सी वेक्टर भी सब वेक्टर है एरो नहीं लिखा रहा बी क्रॉस सी मार्च करना और बी डॉट सी ठीक है तो हमसे बोला है कि ए डॉट बी की वैलू जीरो है ए डॉट सी की वैलू भी जीरो है ऐसा होने के बाद A किस vector को parallel होगा? आओ पहले समझते हैं A.B0 का मतलब हुआ A is perpendicular to B दो vector का dot word 0 मतलब perpendicular A.C0 मतलब A is perpendicular to C dot word 0 मतलब perpendicular तो A, B के भी perpendicular है और C के भी perpendicular यहाँ बना लेते हैं यह vector B, यह vector C और जो vector A है वो बी और C के दोनों के perpendicular है मतलब ऐसे अब पूछ रहा है A किसके parallel है C के parallel है क्या नहीं C तो इधर है A तो इसके 90 degree पे है B के parallel है क्या नहीं B से भी 90 degree है B cross C अब बच्चो ध्यान दो cross c is plane के नीचे हो सकता है या plane के उपर ये तो मेरे बनाने पे है न मालो मैं बी इधर बनाना सी इधर बनाता तो बी cross c plane के उपर तो ये बनता vector बी cross c तो a is parallel to b cross c मतलब समझ में आ रहा है a dot दो बातें बस दिमाग में होनी चाहिए कि एक क्रॉस बी 0 तब होता है जब a और b परलेल हो, जब angle 0 हो या 180 हो, मतलब parallel या anti-parallel, और a.b 0 तब होता है जब angle 90 degree हो, मतलब a is perpendicular to b, इतना समझेंगे, इतनी logic के साथ आप सारे सवाल solve कर सकते हैं, ठीक है, ये बात आपको ध्यान रखनी चाहिए, तो बच्चों अभी इतनी सवाल लेते हैं इसके बाद एक वेक्टर का एक वीडियो और पोस्ट करूँगा, अभी cross-product में कुछ questions बाकी हैं, concepts हो गए हैं, कुछ अच्छे सवाल बाकी हैं, तो अच्छे सवालों के लिए मैं वीडियो निकालूँगा, और मेरा next वीडियो जरूर देखना है, जिसमें मैं बताऊँगा कि क्योंकि अभी बहुत से questions बाकी हैं, बहुत तरह के नए-नए concepts बाकी हैं, जो basic था, जो theory थी, जो बाते थी, जो questions थे करा दिये हैं, पर ऐसा नहीं है कि अभी हर तरह questions complete हो गया है, अभी ओब्डेक्टर पे और भी तरह के questions हैं, तो अभी हम लोग kinematics पढ़ेंगे, साथ में हम इंटेग्रेशन करेंगे और वेक्टर का एक दो वीडियो बीच में और आएगा जिसमें एडिटिव क्वेश्चन होंगे कि और इसारे क्वेश्चन कर लो और तरह की चीज है कुछ कंसेंट जैसे वेक्टर बाकी है जैसे आपको ट्रैंगल लॉब आकी है तक जैसे आपको यह ट्रैंगल लॉस रिलेट सवाल है कि साइन लॉब ए अपन साइन एस इक्वल्स टू बी अपन साइ फिर unit vector ऐसा निकालना, जो ए और बी के perpendicular हो, ऐसा vector बनाना, फिर हमारा position vector का topic बाकी है, तो इस तरह की कुछ चीज़ें भी भी बाकी है हमारे पास, इसको हम definitely करेंगे, आज की वीडियो में एक last बात ये समझ लो, कि जब torque निकालने को बोले, R cross F, F cross R, distance cross product force, कि force जो है, वो इस पॉइंट पे लग रही पी पॉइंट पे और इसका पोजीशन दे देगा 1,0,1 मान लो ऐसा बोल दिया और आपको बोलेगा टॉर्क निकालो about point O और O का coordinate आपको दे दिया 2,0 या 2,1,3 ऐसा ठीक है इस point के about टॉर्क निकालना है और इस point पे force लग रही है तो क्या करना आपको vector R बनाना होगा तो R ऐसे बनेगा O से P ठीक है position vector concept है यह पत्वड़ा से यहां ब पे force लग रही है और इस point के about torque निकालना है या ये axis हो या यहां के about rotate कर रहा हो तो ऐसे torque निकलेगा तो r is equals to निकालना है इसमें से ये minus कर देना 1 minus 2 minus 1 0 minus 1 minus 1 1 minus 3 minus 2 अब ये हो गया x y z तो आप लिख लोगे minus i cap minus j cap minus 2k cap r vector तैयार हो गया और force vector दिया होगा तो हमको उमीद है आशा है पूरा भरोसा है पढ़ाई कर रहे होंगे और बेस्ट बच्चों