Pourquoi on n’observe jamais un arc en ciel vu de côté ? Un truc dans ce genre par exemple. Et pourquoi ça a toujours une forme d’arc ? Pourtant, quand la pluie tombe, elle tombe partout, pourquoi l’arc en ciel ne se forme qu’à un endroit bien localisé dans le ciel, avec cette forme là ? J’imagine que vous connaissez en partie le phénomène à l’origine des arcs en ciel. C’est la dispersion de la lumière du soleil par les gouttes d’eau, de la même manière qu’un prisme permet de disperser les couleurs qui composent la lumière blanche. Mais entre ce qu’on obtient avec une prisme et un arc en ciel, il y a quand même pas mal de différences. Déjà quand on utilise un prisme, les couleurs de la décomposition se forment sur une surface donnée. Je peux m’approcher de cette surface, la toucher, la regarder de côté. Et si on est plusieurs à la regarder, on voit tous exactement la même chose. A côté de ça, un arc en ciel, on ne peut pas s’en rapprocher, en faire le tour ou le regarder de côté. On ne peut jamais passer dessous ou atteindre son pied. Et en fait, chacun de nous, suivant sa propre position, voit un arc situé différemment. L’arc en ciel n’est pas localisé quelque part en particulier, c’est plutôt un phénomène optique apparent. Rien que ça c’est déjà bizarre. Mais en plus il faut ajouter d’autres particularités, comme le fait qu’on voit parfois un deuxième arc, qui a les couleurs inversées, et qui séparé du premier par une bande plus sombre. Qu’est-ce que c’est que ce truc ? Pour essayer de comprendre d’où viennent toutes ces spécificités de l’arc en ciel, aujourd’hui on va s’intéresser à la physique qui se cache derrière. Et qui est plus subtile que ce qu’on peut imaginer au premier abord. [jingle] Pour faire un arc en ciel, il nous faut deux ingrédients : du soleil, et des gouttes d’eau, le plus souvent de la pluie. [MUR DE PLUIE Pour représenter le phénomène, on va imaginer qu’on se tient face à une sorte de mur de pluie, dans lequel on trouve des petites gouttes d’eau. On va supposer que ces gouttes sont parfaitement sphériques, et leur taille ne nous importe pas vraiment à ce stade. D’ailleurs mon dessin n’est pas franchement à l’échelle. Et aussi, on va imaginer que ces gouttes sont immobiles, en suspension dans l’air. En vrai elles ne le sont pas, puisque la pluie tombe. Mais leur vitesse n’a pas grande importance : vu la vitesse de la lumière, même si les gouttes tombent en réalité à quelques mètres par seconde, ça ne change pas grand chose. En ce qui concerne le soleil, on va supposer pour commencer qu’il est assez bas sur l’horizon, de sorte que ses rayons arrivent de cette façon. On n’a pas besoin de cette hypothèse en réalité, mais ça va me simplifier les dessins au début.] Maintenant, faisons un zoom sur une des gouttes d’eau. [RAYON Et imaginons un rayon lumineux qui vient frapper la goutte. Je vais le dessiner en blanc, et pour l’instant, ne nous soucions pas de la couleur de la lumière. Dans un premier temps, oubliez cette histoire de dispersion, de prisme. C’est juste un rayon lumineux. En arrivant à la surface de la goutte, une petite partie va être réfléchie sur la surface. Mais la majorité va entrer dans la goutte et subir une déviation de sa trajectoire. C’est le phénomène de réfraction de la lumière, qui se produit quand un rayon lumineux passe d’un milieu à un autre, ici de l’air vers l’eau.] Puisque ce phénomène de réfraction est essentiel, attardons nous un peu dessus. Je suis sûr que vous êtes familier des déformations apparentes d’un objet plongé dans l’eau, par exemple une paille dans un verre ou un corps dans une piscine. C’est à cause de la réfraction. [SNELL Plus précisément, quand un rayon passe d’un milieu 1 à un milieu 2, il ne poursuit pas sa trajectoire tout droit, mais l’angle qu’il forme avec la surface va varier, il change légèrement de direction. Si on trace la perpendiculaire au point d’impact, le rayon va se rapprocher de cet axe s’il arrive dans un milieu d’indice plus élevé, par exemple quand il passe de l’air à l’eau. Inversement s’il repasse de l’eau à l’air, sa trajectoire va s’éloigner de la perpendiculaire. Au XVIIe siècle, un physicien néerlandais, Willebrord Snellius, ou Snell pour les intimes, a mis au point une formule permettant de calculer exactement l’angle de réfraction. On l’appelle la loi de Snell. Sauf en France, où l’on appelle loi de Snell-Descartes, puisque Descartes l’aurait également énoncée une quinzaine d’année plus tard. La loi s’énonce ainsi : n1 sinus i = n2 sinus r. Dans cette formule, n1 et n2 désignent les indices optiques des deux milieux, i c’est l’angle du rayon incident, mesuré par rapport à la perpendiculaire, et r l’angle du rayon réfracté. Pour de l’air, l’indice optique vaut quasiment 1, et pour de l’eau, c’est environ 1.33. Comme l’indice de l’air est 1, on peut simplifier la formule en appelant simplement n l’indice de l’eau. On a donc sin i = n sin r. Et avec ça, pour ceux que ça amuse, vous pouvez même en déduire l’angle r en fonction de l’angle incident. Il y a une formule explicite, qui fait intervenir l’arcsinus, qui permet d’inverser le sinus.] Bien, maintenant appliquons ça à notre goutte d’eau frappé par son rayon lumineux. [GOUTTE Dans le cas d’une goutte, la surface est sphérique, mais on peut quand même tracer la perpendiculaire au point d’impact, simplement en prolongeant le rayon. Ca va évidemment dépendre de la position exact du rayon par rapport à la goutte, à quel endroit il vient la frapper, mais prenons un cas générique. L’angle d’incidence est donc noté i, et la loi de Snell-Descartes permet de calculer l’angle réfracté r, qui va être plus petit. En arrivant dans l’eau, on se rapproche de la perpendiculaire. Ensuite le rayon se prolonge en ligne droite dans la goutte, et atteint la surface opposée. Et là que se passe-t-il ? Eh bien la majorité de la lumière franchit l’interface, passe de l’autre côté, et poursuit sa route. Mais il y en a une petite fraction, quelque %, qui va être réfléchie à l’interface. La réflexion se fait comme pour un miroir, avec le même angle, et le rayon repart alors dans la goutte. Il va finir par atteindre à nouveau la surface, et là, la majorité va être réfracté en sortie. Sur ce dessin, on peut faire un peu de géométrie, et donner les valeurs des différents angles impliqués, rien de très compliqué. Même si les valeurs numériques exactes vont dépendre de l’incidence du rayon initial, suivant qu’il arrive sur la goutte proche de son axe, ou au contraire plus éloigné.] Ce schéma est très bien, car il nous permet de voir le détail de ce qu’il se passe dans une goutte, mais pour ce qui nous intéresse, on s’en fiche un peu car quand on observe un arc en ciel, on est situé très loin des gouttes d’eau, qui en plus sont minuscules. [DEZOOM Si on dézoome ce schéma avec toutes ces trajectoires compliquées, on se rend compte que finalement la seule chose qui compte, vu de loin, c’est l’angle entre le rayon incident et le rayon qui ressort. On l’appelle la déviation, notée D. Et le détail de la trajectoire dans la goutte d’eau, vu de loin, on s’en fiche un peu. Seul D nous importe.] [GOUTTE Si je reviens sur mon schéma zoomé, cet angle D on peut le voir ici. En faisant à nouveau un peu de géométrie dans le triangle, on peut montrer qu’il vaut 4r - 2i. 4 fois l’angle réfracté moins 2 fois l’angle incident. Mais on sait que l’angle réfracté r dépend de l’angle incident i du fait de la relation de Snell-Descartes. On l’a dit tout à l’heure, on peut en sortir une expression explicite pour r en fonction de i. Donc dans ma formule de déviation, je peux simplement tout exprimer en fonction de i. Alors rassurez-vous si les équations vous effraient, la formule exacte, on s’en fiche un peu. La première chose remarquable à noter, c’est que tout ça ne dépend pas du tout de la taille des gouttes d’eau, le rayon de la goutte n’intervient pas dans le calcul. Donc que j’aie des grosses gouttes ou de la bruine, c’est pareil, les rayons du soleil seront renvoyés de la même manière. Ensuite, ce qui est intéressant, c’est de comprendre comment ça varie quand je fais changer l’angle d’incidence, c’est-à-dire la position du rayon initial par rapport à la goutte.] Je me suis amusé à coder une petite simulation pour voir ce qu’il se passe quand on fait varier le rayon incident. Pour les curieux, c’est fait avec Godot, je vous mettrais la simulation en partage quelquepart. [SIMULATION Ici je vois la trajectoire d’un rayon, et je peux faire varier différents paramètres. Notamment, je peux changer l’endroit où vient taper le rayon incident, ce qui revient à changer l’angle i. Vous pouvez visualiser ici la valeur de la déviation. Quand on fait varier le rayon incident, on voit une chose intéressante : pour des faibles angles d’incidence, quand on est proche de l’axe, la déviation est faible, puis quand on s’éloigne elle augmente. Mais quand on arrive sur le bord de la goutte, regardez, elle redescend. C’est à dire qu’il y a une valeur maximum de la déviation, à peu près dans ce coin là. Sur les valeurs numériques, on voit que le maximum de déviation est autour de 41 degrés, et d’ailleurs pour les matheux, on aurait pu trouver cette valeur en faisant des calculs sur la formule analytique. Puisqu’en pratique la goutte est complètement illuminée par le soleil, ce qui est intéressant, c’est de tracer plein de rayons incidents sur la goutte. Ici j’augmente le nombre de rayons incidents dans la simulation, et ça nous permet de constater deux choses : premièrement la réflexion de l’ensemble des rayons dans la goutte a une forme de cône. Et l’angle de ce cône c’est le maximum de déviation, donc autour de 41 degrés. Mais on voit également un truc intéressant, il y a une accumulation de rayons sortant autour de l’angle maximum. Ici j’ai pris des rayons incidents qui sont régulièrement espacés. Et on voit qu’ils ressortent de façon régulièrement espacée…sauf sur les bords du cône. On constate qu’il y en a plein qui se concentrent sur les bords du cône, autour de 41 degrés.] Essayons de comprendre ce que ça signifie du point de vue de l’observateur qui est au sol et regarde le rideau de pluie. Chacune des gouttes du rideau va donc en quelque sorte réfléchir légèrement la lumière du soleil qu’elle reçoit. Et cette réflexion va avoir une forme de cône, avec une concentration de lumière sur les bords de ce cône. [LOIN Prenons la vue de loin. Si mon observateur regarde dans cette direction, que verra-t-il ? Eh bien il recevra des rayons en provenance de cette goutte-ci. Cette goutte renvoie un cône de lumière qui est comme ça. Et donc les rayons qui atteindront mon observateur seront en provenance du milieu du cône, donc modérément intenses. Pareil, si il regarde un peu plus bas sur l’horizon, il reçoit des rayons en provenance de l’intérieur du cône de réflexion. Mais si l’observateur lève complètement la tête et regarde cette zone là, tout en haut. Eh bien il ne verra rien de spécial. Les gouttes situées ici renvoient elle aussi de la lumière dans un cône, et vous voyez qu’aucun des rayons en provenance du cône ne ne va atteindre l’oeil de l’observateur. Et maintenant s’il regarde pile dans cette direction, il va regarder des gouttes qui lui envoient leurs rayons les plus concentrés, ceux qui sortent sur le bord du cône, souvenez vous, là où on a une accumulation de rayons réfléchis. Donc en provenance de cette direction en particulier, l’observateur verra pas mal de luminosité. Et cette direction, c’est celle qui est située dans la direction à 41°, puisque c’est l’angle du cône. Je résume tout ça. Vu d’en bas, on a un peu de lumière réfléchie par les gouttes situées en face, puis on passe par un maximum de luminosité autour de 41°. Et puis au dessus plus du tout de lumière réfléchie par les gouttes qui parvienne jusqu’à l’observateur.] Juste avec cette description on pourrait penser que ce qu’on devrait voir dans le ciel c’est des bandes horizontales. Ici peu brillant, une fine bande très brillante, et au-dessus rien du tout. Mais c’est trompeur, en fait la direction verticale ne joue aucun rôle particulier ici. Souvenez vous qu’on a parlé de cône pour la lumière réfléchie. Evidemment mes dessins sont en 2 dimensions, mais la traduction en 3 dimensions ce serait vraiment un cône de lumière. Et du point de vue de l’observateur c’est pareil. Si vous avez une zone brillante à 41° à la verticale, eh bien elle va se retrouver dans n’importe quelle autre orientation située à 41°. Et donc la zone de surbrillance va en fait former un arc. [SURBRILLANCE Ce que je suis en train de vous dire, c’est que d’après les calculs qu’on vient de faire, si l’observateur a en face de lui ce genre de paysage. Eh bien du fait du phénomène de réflexion de la lumière du soleil dans les gouttes d’eau, il devrait voir ça : en superposition de sa vue normale, il verra une surbrillance en forme d’arc. La surbrillance sera légère au centre, intense sur les bords de l’arc, et pas de surbrillance du tout au-dessus de l’arc. Evidemment je dis depuis le début que mon rayon est blanc, et donc j’ai dessiné ce phénomène de surbrillance en blanc. Mais je pense que maintenant vous commencez à voir où je veux en venir. J’ai pour l’instant totalement ignoré le phénomène de dispersion, celui qu’on peut le voir avec le prisme de Newton. Alors voyons ce que ça change.] [jingle] L’origine de la dispersion de la lumière, c’est le fait que l’indice de réfraction d’un milieu peut dépendre très légèrement de la longueur d’onde. Dans le cas de l’eau, ça se balade en gros entre 1.33 pour le rouge et 1.345 pour le violet. [PRISME Ca veut dire que les rayons violets ou bleu sont réfractés légèrement plus fortement que les rayons orange ou rouge. Avec un prisme, c’est ce qui redonne la fameuse dispersion qu’avait observé Newton.] Et dans le cas de notre goutte d’eau, voyons ce que ça donne. [SIMULATION Ici dans ma simulation, je peux faire varier légèrement la longueur d’onde, et donc l’indice de réfraction de l’eau de la goutte. Si je prends qu’un seul rayon et que je change sa couleur, on peut voir un petit impact sur l’angle de déviation. Mais si je trace plein de rayons, et que je fais varier la longueur d’onde, c’est plus visible. Observez les bords du cône, là où les rayons réfléchis sont concentrés. On voit que le cône change subtilement de forme. L’angle est légèrement plus faible pour le violet, légèrement plus élevé pour le rouge. Donc contrairement à ce que je disais initialement, la valeur de l’angle critique n’est pas exactement 41°, mais se situe entre un peu plus de 40° pour le violet et 42° pour le rouge.] Et donc à cause de la dispersion, chaque goutte va émettre des cônes de réflexion qui vont être légèrement différents pour chacune des longueurs d’onde. Vu de loin, notre arc de surbrillance sera en fait constitué de plusieurs arcs légèrement décalés les uns par rapport aux autres. [ARCS COLORES Un tout petit peu plus grand pour le rouge, un tout petit peu plus petit pour le violet. Et ce qu’on va voir au total, c’est la superposition de toutes ces arcs en surbrillance. Et voici le résultat, dans la zone centrale, toutes les longueurs d’onde sont présentes en faible intensité, il en résulte une légère surbrillance, mais qui nous apparait toujours comme blanche, puisque c’est le mélange de toutes les longueurs d’onde. Mais aux abord de la limite, les arcs de surbrillance de chacune des couleurs sont légèrement décalés, et donc on observe : un arc en ciel. Et notez que ça permet d’expliquer deux choses qu’on constate souvent. Premièrement, le fait que l’intérieur de l’arc en ciel soit plus lumineux que son extérieur. C’est normal, c’est parce qu’il y a un peu de lumière blanche réfléchie que l’on capte en provenance des gouttes situées à l’interieur, mais rien en provenance de l’extérieur.] [DOUBLE Et aussi, ça explique pourquoi le rouge est souvent plus contrasté que par exemple le bleu ou le violet. A l’angle critique où se trouve le rouge, il n’y a vraiment que lui comme couleur. Alors que dans la zone du violet, on a déjà une superposition de toutes les couleurs du dessus, même si elles y sont en plus faible intensité. Ce qui a tendance à délaver un peu le bleu et le violet.] Enfin un point important à comprendre concernant cet arc : il n’est localisé nulle part en particulier. Chacun voit le sien en fonction de sa position. [DEUX OBSERVATEURS Ici si je place un deuxième observateur plus proche du rideau de pluie, il verra l’arc en ciel lui aussi à 41° dans la même direction, mais en provenance de gouttes qui sont différentes de celles du premier observateur. Ca signifie que même si le premier observateur se déplace, et avance, il continuera de voir l’arc en ciel en provenance du même angle, à la même position apparente, même si ce seront en fait des gouttes différentes qui seront la source des couleurs.] Tout à l’heure je faisais la comparaison avec les couleurs créées par le prisme de Newton. Voyons exactement la différence. [COMPARAISON Dans le cas de la dispersion créée par un prisme sur disons une feuille de papier, chaque point de la feuille réfléchit une couleur différente, mais la réfléchit dans toutes les directions, donc pour tous les observateurs où qu’ils se situent. Donc tout le monde voit le même rouge, le même vert, le même bleu, et localisés aux même endroit de la feuille. Mais dans le cas de l’arc en ciel, chaque goutte émet l’ensemble des longueurs d’onde, le rouge, le vert, le bleu, mais dans des directions qui sont légèrement différentes pour chaque couleur.] Bien maintenant, que tout cela est clair, j’espère, on peut passer à la dernière pièce du puzzle : le double arc-en-ciel. [jingle] [DOUBLE Je suis sûr que vous avez déjà vu un double arc-en-ciel : le second arc apparait parfois un peu au-dessus du premier. Et vous avez peut-être noté une bizarrerie : il est inversé. Le rouge à l’intérieur, le bleu à l’extérieur. Et pour le comprendre, il faut revenir au schéma de ma goutte.] [GOUTTE Je vous ai dit qu’à la fin, le rayon qui resortait de la goutte était réfracté. C’est vrai pour la majorité de la lumière, mais comme toujours, un petit pourcentage de l’intensité lumineuse va à nouveau être réfléchi à l’interface, et repartir pour un trajet dans la goutte avant de finalement ressortir. Donc chaque rayon entrant va en réalité donner lieu à deux rayons sortants, dirigés différemment. Le deuxième étant moins intense du fait de la réflexion supplémentaire qu’il a subi à l’intérieur de la goutte.] [SIMU Je peux activer dans ma simulation la visualisation de ces rayons secondaires. Cette fois ce sont plutôt les rayons qui arrivent sur la partie inférieure de la goutte qui vont être renvoyés vers le bas, dans la direction de l’observateur. Et pour avoir l’image complète, on peut là aussi tracer plein de rayon incidents. On constate alors que l’ensemble va former un motif bien particulier qu’on peut appeler disons un anti-cône. Tous les rayons secondaires qui ressortent le font à l’extérieur d’un cône, dont on peut estimer l’angle, ici environ 53°. Et comme dans le cas des rayons primaires, on voit une accumulation sur les bords du cône, une surbrillance. Et si je fais varier la longueur d’onde, on voit que l’angle limite est plus élevé pour bleu-violet, environ 54°, et plus faible pour le rouge, autour de 50°.] [DOUBLE SURBRILLANCE Et si on trace ce motif pour les différentes couleurs, voici ce qu’on obtient. On retrouve bien un dégradé de couleurs, car l’angle critique dépend toujours de la longueur d’onde, mais comme on le voit en quelque sorte à l’envers, c’est inversé. Et la surbrillance blanche légère est située cette fois au-dessus de l’arc. Au total, quand le phénomène d’arc en ciel est vraiment intense, on peut donc observer une surbrillance blanche entre 0 et 42°, qui se termine par un arc en ciel, et une autre sur-brillance à partir de 53°, qui commence par un arc en ciel inversé. Et entre les deux, on n’a aucune surbrillance. Et donc on a ce qui se manifeste parfois comme une bande sombre située entre les deux arcs, on l’appelle la bande d’Alexander. Mais notez que si cette zone est sombre, ça n’est pas parce qu’il s’y passe quelque chose de particulier qui l’assombrit. C’est plutôt le contraire, c’est le reste des directions qui subit des surbrillances dues aux réflexions du soleil dans les gouttes.] Pour finir, un petit commentaire sur la géométrie de la situation. Au tout début, je vous ai dit qu’on prenait des rayons du soleil qui arrivaient d’assez bas sur l’horizon histoire de se simplifier les dessins. Tout ce que je vous ai raconté ici reste valide si ça n’est pas le cas, la seule différence c’est la référence des angles, on doit les prendre par rapport à la direction des rayons du soleil. [SIMULATION Quand je vous ai dit que l’arc était à un angle d’environ 41°, dans le cas général il faut compter 41° à partir de la direction des rayons. Je peux jouer avec ça dans ma simulation. Plus le soleil va être haut dans le ciel, derrière l’observateur, plus les rayons incidents arrivent avec un angle élevé, plus la zone de surbrillance aura un angle faible, et donc plus l’arc apparaitra bas sur l’horizon. C’est pour ça que les arcs en ciel ne s’observent pas en général en milieu de journée, mais assez souvent en fin d’après-midi.] Détail amusant, puisque l’arc apparait à un angle fixe de l’axe des rayons du soleil, le centre apparent de l’arc, c’est l’ombre de votre tête, si vous en avez une. Ca n’est pas facile à voir mais sur certaines photos comme celle-ci, quand le soleil est suffisamment bas, on le voit bien. Ou bien encore si on voit un arc en ciel vu d’avion. Voilà c’est tout ce qu’on pouvait dire sur l’arc-en-ciel en utilisant uniquement les lois de l’optique géométrique, on pourrait aussi évoquer d’autres phénomènes plus rares qui surviennent parfois. Mais si vous voulez en savoir plus je vous renvoie au billet de blog qui accompagne l’épisode. Merci d’avoir suivi la vidéo, pour prolonger la discussion retrouvez moi sur le serveur Discord de la communauté Science étonnante, le lien est en description, et je vous dit à très vite pour une nouvelle vidéo. A bientôt.