हेलो प्यारे बच्चों सभी को मेरी तरफ से हमेशा की तरह जय श्री कृष्ण राधे राधे वेलकम तू दिस सेशन ऑन मैटरेसेस माइंड मैपिंग सीरीज यानी के हम इस सीरीज में यानी आज के इस लेक्चर में मैट्रिक्स को पढ़ेंगे जमीन से लेकर आसमान तक यानी उसे कोने से लेकर उसे कोने तक यानी पूरा का पूरा मैटरेसेस हम इस लेक्चर में कोशिश करेंगे जल्दी से जल्दी रिवाइज कर दें तो चलिए लिए बिना वक्त गवाए शुरुआत करते हैं मीटर में जो आज हम पढ़ेंगे मैट्रिक्स को कहते हैं स्क्वायर मैट्रिक्स अलजेब्रा फिर मल्टीप्लिकेशन और fitress और ट्रांसपोर्ट ऑफ मैट्रिक्स और सिमिट्रिक और उसकी सिमिट्रिक मैट्रिक्स सारे नाम सुने सुने से लग रहे होंगे obbvious सी बात है सुना सुना लगना चाहिए सोना सोना नहीं सुना सुना लगना चाहिए हर नाम फिर पॉजिटिव इंटीग्रल पावर्स ऑफ मैट्रिक्स एडज्वाइंट हो गया इन्वर्स हो गया मेथड सॉल्यूशन ऑफ लीनियर इक्वेशंस करैक्टेरिस्टिक थिंग्स डेट विल बी कवरिंग इन दिस लेक्चर तो शुरुआत करते हैं मैट्रिक्स के साथ मैट्रिक्स जैसा की जानते हैं इट इस जस्ट अन सिंपल अरेंजमेंट ऑफ सैम एलिमेंट्स इन डी फॉर्म ऑफ रोज एंड कॉलम्स यानी कुछ एलिमेंट्स को अगर हम रोज और कॉलम्स में अरेंज कर दें तो इस अरेंजमेंट को हम मैट्रिक्स कहते हैं और मैट्रिक्स मैन लीजिए हम कहते हैं जिसका रोज और कॉलम्स को मैं अरेंज करते हैं मैन लीजिए नंबर ऑफ रोज है एम नंबर ऑफ रोज कितने हैं नंबर ऑफ रोज हैं एम नंबर ऑफ रोज डेम एंड नंबर ऑफ कॉलम्स इस इन नंबर ऑफ कॉलम्स कितने हैं वो है ना है तो रोज तो होती है आप समझते हैं इसको रो कहते हैं डीज आर डी रोज ये क्या है रोज और ये क्या है सारे के सारे ये हैं कॉलम ये हैं कॉलम्स डीज आर ऑल कॉलम्स ऑफ डी मैट्रिक्स डीज आर ऑल कॉलम्स ऑफ डी मैट्रिक्स तो ये मैट्रिक्स कितने ऑर्डर की हो गई ऑर्डर जो हम बोलते हैं वो बोलते हैं रामचंद्र रामचंद्र मतलब रोज इन तू कॉलम रोज इन कॉलम यानी नंबर ऑफ जो नंबर ऑफ कॉलम का प्रोडक्ट तो पहला नंबर दिनो करता है रोज और दूसरा नंबर दिनो करता है कॉलम्स को तो नंबर ऑफ रोज और ये हो गया नंबर ऑफ कॉलम जैसे याद रख सकते हैं रामचंद्र से बिल्कुल सर तो ये नंबर ऑफ कॉलम्स हो गया फिर अगर किसी मैट्रिक्स का ओड अगर किसी मैट्रिक्स का ऑर्डर मैक्रोस एन है तो उसमें कितने एलिमेंट्स होते हैं सर एम * एन एलिमेंट्स होते हैं कितने एलिमेंट्स होते हैं एम * एन एलिमेंट्स होते हैं ये है जो एलिमेंट्स किसी भी मैट्रिक्स के अंदर होते हैं वह उसकी एंट्रीज वह उसकी एंट्रीज या फिर जस्ट एलिमेंट्स का सकते हैं यानी जो भी मैट्रिक्स के अंदर आता है ये जो नंबर्स आते हैं मैट्रिक्स के अंदर ये सब के सब क्या कहलाते हैं उसके एलिमेंट्स या फिर उसकी एंट्रीज मैट्रिक्स रियल भी हो सकती है परिसर भी हो सकते हैं डिपेंडिंग ऑन डी एंट्री ऑफ डी मैट्रिक्स आर रियल नंबर और परिसर नंबर थोड़ा सा मैट्रिक्स के बारे में मैं आपको बता डन की मैट्रिक्स जब हम रिप्रेजेंट करते हैं एम रोज और एम कॉलम से तो यहां जो एलिमेंट लिखते हैं वो लिखते हैं A1 वैन यहां a12 यानी पहले रो नंबर फिर कॉलम नंबर फिर ए 13 फिर ए 14 और लास्ट में a1n कॉलम नंबर एन फिर ए तू वैन फिर ए तू तू फिर ए तू थ्री ए 24 और फिर लास्ट में a2n और इसी तरह से कार्यक्रम चलता जाता है और लास्ट यहां ए जाता है एम वैन am2 am3 और फिर ए M4 और ए एम एन दिस इस ए मैट्रिक्स ऑफ ऑर्डर एंड क्रॉस एन और उसको हम एवरीबाड़ी फॉर्म में ऐसे लिखते हैं ए आई के एम क्रॉस एन ऐसे लिख सकते हैं यहां ध्यान रखिएगा ए आई जे में आई के में जो आई है दिनो करता है रो नंबर को और के डिनोट करता है कॉलम नंबर को रो नंबर को दिस इसे डी कॉलम नंबर तो इसमें कितने एलिमेंट्स होंगे सर में एलिमेंट्स होंगे तो किसी भी मैट्रिक्स ऑफ ऑर्डर के साथ जैसे के अगर एम बराबर एन हो जाए तो हम मैट्रिक्स को बोलते हैं स्क्वायर मैट्रिक्स अगर एम बराबर क्या हो जाए एन तो हम कहते हैं स्क्वायर मैट्रिक्स यानी स्क्वायर मैट्रिक्स क्या होती है जिसमें नंबर ऑफ रोज और नंबर ऑफ कॉलम्स बराबर हो फिर अगर में के बराबर नहीं है तो हम उसे बोलते हैं रैक्टेंगुलर मैट्रिक्स हम बोलते हैं उसे रैक्टेंगुलर मैट्रिक्स उसे हम रैक्टेंगुलर मैट्रिक्स बोलते हैं तो स्क्वायर मैट्रिक्स क्या होगा इसमें नंबर ऑफ रोज बराबर हो और रैक्टेंगुलर जिसमें नंबर ऑफ रोज बराबर एम बराबर कितना हो वैन और एन कुछ भी हो सकता है यानी की उसके अंदर एन की वैल्यू वैन होगी एम कुछ भी हो सकता है जीरो मैट्रिक्स हान भैया यह बड़ी कम की चीज है जीरो जीरो एनल मैट्रिक्स क्या होती है ऐसी मैट्रिक्स इसकी सारी एंट्रीज जीरो हो जैसे की यह नल मैट्रिक से कितने ऑर्डर की सर तीन रो हैं और सर दो तीन तो रो हैं और सर दो कॉलम है तो इसका ऑर्डर हो गया फ्री क्रॉस तू अब जैसे ये भी नल मैट्रिक्स है कितने ऑर्डर की सर इसमें तीन तो रो हो गई और तीन कॉलम हो गई यानी ये 3/3 की ऑर्डर की नल मैट्रिक्स है और ये स्क्वायर मैट्रिक्स है और वो रैक्टेंगुलर मैट्रिक्स है जी सर फिर हॉरिजॉन्टल मैट्रिक्स हॉरिजॉन्टल मतलब जो तुम्हें मैट्रिक्स पढ़ी हुई दिखाई दे पड़ी हुई लेती हुई ऐसा कब होगा जब उसमें नंबर ऑफ कॉलम्स ज्यादा हो नंबर ऑफ रोज कम हो जैसे यहां पर अगर मैं तुमसे पूछूं नंबर ऑफ रोज कितने हैं सर नंबर ऑफ रोज है तू रोज ऐसे होते हैं हॉरिजॉन्टल और कॉलम कितने हैं इसीलिए यह मैट्रिक्स हॉरिजॉन्टल मैट्रिक्स kahlayegi वर्टिकल का जो खड़ी हुई दिखाई दे खड़ी हुई कहां दिखाई देगी सोच के देखो जब नंबर ऑफ रोज नंबर ऑफ रोज नंबर ऑफ रोज क्या हो ज्यादा हो नंबर ऑफ कॉलम से यानी एम ग्रेटर दें हो जैसे ये मैट्रिक्स आपको खड़ी हुई दिखाई दे रही है हान सर बिल्कुल सही का रहे हैं आप ये तो खड़ी भी मैट्रिक्स दिखाई दे रही है वर्टिकल मीटर दिखाई दे रही है इसमें एम कितना है सर एम है एक दो तीन चार और एन कितना है बेटा सर एन है दो तो यहां पर अगर देखा जाए तो में से बड़ा है इसलिए मैट्रिक्स वर्टिकल है तो अभी तक मैट्रिक जान लिया क्या होती है हान सर में ऑर्डर की मैट्रिक्स में कितने एलिमेंट्स होंगे सर में एलिमेंट्स होंगे फिर उसके बाद हमने देखा की एम बराबर है तो स्क्वायर मैट्रिक्स अगर एम बराबर एन नहीं है तो रैक्टेंगुलर मैट्रिक्स फिर हॉरिजॉन्टल वर्टिकल मैट्रिक्स मैं आपको बता चुका हूं अब स्क्वायर मैट्रिक्स के बारे में जैसे कितने ऑर्डर की मैट्रिक्स है फिर 3/3 की अब जैसे देखो a12 लिखा है इसका मतलब क्या है इसका रो नंबर वैन है कॉलम नंबर तू है तो पहले रोका सेकंड कॉलम का एलिमेंट है पहले रोका सेकंड कॉलम का एलिमेंट है जैसे ये है देख लें a31 यानी इसका रो नंबर तीन है तो थर्ड रो का पहला एलिमेंट है फर्स्ट कॉलम का एलिमेंट है मैन लो लिखा ए तू थ्री तो इसको क्या समझोगे सेकंड रो का थर्ड एलिमेंट है यानी थर्ड कॉलम का एलिमेंट है ऐसे समझ सकते हैं इसको ठीक है तो अगर ए एन क्रॉस एन मैट्रिक से बेटा मैन लो ए है एन क्रॉस असली सपोस आई हैव अन वैन अन तू अन थ्री एंड सन ऑफ तू ए एन एन तो आप मुझे बताएं ऐन यानी इसका ऑर्डर कितना है ये है एक एन क्रॉस एन की मैट्रिक्स है ऑर्डर ऑफ ए ऐसे लिखते हैं देखो ऑर्डर ऑफ ए है एन क्रॉस एन लिखने वाले से ऐसे भी लिखते हैं ऑर्डर ऑफ है ठीक है वैसे ये लिखना नहीं चाहिए ऑर्डर ऑफ यही है मैनली ऑर्डर ऑफ encross एंड कई बार वो डिटर्मिननेंट है इसे कई बार क्या हो सकता है कन्फ्यूजन हो सकता है तो ऑर्डर ऑफ एन इसमें नंबर ऑफ एलिमेंट्स कितने होंगे जल्दी बताओ हान सर बोल दिया तुमने नंबर ऑफ एलिमेंट्स होंगे सर n² नंबर ऑफ एलिमेंट्स कितने होंगे n² अब जरा देखो यहां पर जो एलिमेंट्स लगे होते हैं कहां पर भाई यहां पर जो एलिमेंट्स लगे होते हैं डायग्नल पर ये इनको हम बोलते हैं हान सर ये डायगोनल एलिमेंट्स हैं तो ये है कितने एलिमेंट्स होंगे एलिमेंट्स होंगे सर 1122 एन एलिमेंट्स होंगे एन एलिमेंट्स यहां कितने एलिमेंट्स हैं फिर जो बच्चे ऊपर ये है ये है इसमें गौर से देखो सबका कॉलम नंबर ज्यादा है सबका कॉलम नंबर ज्यादा है आई इस लेस दें के आपको याद होगा एआईजी में अभी बताया था मैंने यह तो होता है रो नंबर और वह होता है कॉलम नंबर हान सर यह कॉलम नंबर कॉलम नंबर विश्वास कॉलम नंबर हान सर अब यह ऊपर कितने एलिमेंट्स हो गए टोटल कितने एलिमेंट्स लगे हैं एन एलिमेंट्स लगे हैं तो कितने बचे सर n² - एन जितने ऊपर होंगे उतने ही नीचे होंगे तो ऊपर और नीचे में ध्यान रखना यहां कितने एलिमेंट्स आएंगे और यहां आएंगे n² - एन / 2 एलिमेंट्स आएंगे ऊपर स्क्वायर मैट्रिक्स में और नीचे की डायरेक्शन में n² - एन / 2 एलिमेंट्स नीचे आएंगे और गौर से देखना इन सब में रो नंबर ज्यादा है कॉलम नंबर कम है यानी की यहां पर होता है आई > जे आई इसे ग्रेटर दें के यानी पुरी स्क्वायर मैट्रिक्स का हमने आपके सामने पोस्टमार्टम कर दिया बेंगलुरु पर लगे होते हैं एलिमेंट्स डायगोनल के ऊपर लगे होते हैं n² - एन / 2 नीचे लगे होते हैं ग्रेटर दैन डी कॉलम नंबर ट्रायंगुलर मैट्रिक्स और डायगोनल मैट्रिक्स तो ट्रायंगुलर मैट्रिक्स पहले देख लें ट्रायंगुलर मैट्रिक्स में डायगोनल के नीचे वाले सारे जीरो नीचे वाले सारे जीरो तो नाम है अपार ट्रायंगुलर यानी ऊपर वाले नॉन नीचे वाले सारे जीरो होने चाहिए अपार ट्रायंगुलर में नीचे वाले डायगोनल के डायगोनल ये है वाली डायगोनल है ना डायगोनल के नीचे जीरो डायगोनल के नीचे के नीचे सारी एंट्रीज डायग्नल के नीचे वाली सारी एंट्रीज जीरो होंगी नीचे वाली सारी एंट्रीज वाली सारी एंट्रीज हान सर समझ में ए गया नीचे वाली सारी एंट्रीज जीरो होंगी अब देखो इस चीज को मैथमेटिकली कैसे लिखेंगे नीचे वाले में से रो नंबर ज्यादा होता है नीचे वाले में रो नंबर ज्यादा नीचे वाले में नीचे वाले में रो नंबर ज्यादा होता है कॉलर नंबर ज्यादा होता है सर नीचे वाले में रो नंबर इसे बिगड़ दें डी कॉलम नंबर और ऊपर वाले में रो नंबर इस लेसर दा बिगर पर नंबर है ना हान सर तो इस केस में ऑल आई बताओ क्या यार यहां होना चाहिए फॉर ऑल आई < कॉलम नंबर से तो हम का सकते हैं करती है और यहां क्या होता है डायग्नल के ऊपर वाली सारी एंट्रीज डायगोनल के ऊपर वाली सारी एंट्रीज जीरो होती हैं डायगोनल के ऊपर वाली सारी एंट्रीज जीरो होती हैं अपर ट्रायंगुलर मैट्रिक्स अपार्ट ट्रायंगुलर मैट्रिक्स डायग्नल पर भी यहां जीरो लगा है नहीं डायग्नल पर जीरो नहीं होता है डांगलर पर यहां जीरो नहीं होता है क्या होता है भाई यहां पर यहां पर सब नॉन जीरो इंक्रीज होती हैं डीज आर ऑल नॉन जीरो एंट्रीज ये भी नॉन जीरो ये भी नॉन जीरो यह भी नॉन जीरो ये भी नॉन जीरो व्हाट डोस क्रॉस शो क्रॉस हेयर शोस डेट जरा अच्छे से समझना यहां पर शर्त किस पर लगी है डायग्नल के नीचे वाली एंट्रीज पर डायगोनल पर और डायगोनल के ऊपर कोई शर्त नहीं लगी यानी वो जीरो भी हो सकती है नॉन जीरो भी हो सकती है लेकिन डायगोनल के नीचे वाली सारी एंट्रीज जीरो होंगी यहां क्या है यहां पर डायगोनल के ऊपर वाली सारी एंट्रीज जीरो होंगी डायगोनल के ऊपर वाली सारी एंट्रीज जीरो होंगी एज इस इक्वल तू जीरो फॉर ऑल आई < स आई < ये कहां होता है डायग्नल के ऊपर होता है तो यहां पर क्या याद रखना है डायगोनल के ऊपर वाली सारी एंट्रीज जीरो डायगोनल के ऊपर वाली डायग्नल के ऊपर वाली सारी एंट्रीज वाली तारी एंट्रीज एलिमेंट्स जीरो और लोअर ट्रायंगुलर में क्या होगा लोअर ट्रायंगुलर में होगा ऊपर वाली सारी जीरो तो डेट इस हो सी कैन डिफाइन अपर ट्रायंगुलर एंड लोअर ट्रायंगुलर मैट्रिक्स फिर आते हैं डायग्नल मैट्रिक पर नौ व्हाट इसे डी डायग्नल मैट्रिक्स डायग्नल मैट्रिक्स एक ऐसी मैट्रिक्स नॉन डायग्नल एंट्रीज जीरो होती हैं यानी डायग्नल को छोड़ के बाकी सब जीरो डायग्नल को छोड़कर बाकी सब जीरो यानी यहां पर लिखा है नॉन डायग्नल एंट्रीज जीरो होनी चाहिए डायगोनल के बारे में यह भी साइलेंट है डायग्नल के बारे में ये डेफिनेशन वाली कुछ भी हो सकती है जीरो भी हो सकती है नॉन जीरो भी हो सकती हैं लेकिन हमेशा जीरो होंगी तो यहां पर क्या है नॉन डायगोनल एंट्रीज नॉन डायग्नल एंट्रीज इक्वल तू जीरो होती हैं लेकिन ट्रायंगल एंट्रीज के बारे में यह साइलेंट है जिस तरह से यह कोई डेफिनेशन साइलेंट है कहां यहां बोला की डांगलर के नीचे वाले सारे एंट्रीज जीरो तो ऊपर वाले या डायगोनल के बारे में कुछ नहीं कहा गया वो जीरो भी हो सकते नॉन जीरो भी हो सकते हैं लेकिन नीचे वाले सारे जीरो होने चाहिए यहां पर daigler के ऊपर वाले सारे एंट्री जीरो होने चाहिए डायगोनल पर या डायगोनल के नीचे क्या होगा उसे बारे में डेफिनेशन साइलेंट है यानी वो जीरो भी हो सकते हैं नॉन जीरो भी हो सकते हैं बिल्कुल इसी तरह यहां पर नॉन डायग्नल एंट्रीज कितनी होती है जीरो नॉन डायगोनल एंट्रीज जीरो होती हैं और डायरेक्टली कुछ भी हो सकती हैं फिर आ अगर ये सारे लिमिट्स बराबर हो जाएं तो हम उसे कहते हैं स्केलर मीटर्स ये सारे के सारे यहां हो जाएगा 333 तो ये हो जाएगी स्केलर मे ट्रिक्स और अगर ये सब वैन हो जाए तो वो हो जाएगी आइडेंटिटी मैट्रिक्स अगर सारी डायग्नल एंट्रीज कितनी हो जाए वैन हो जाएं एंड इट इसे कॉल्ड आगे एन आइडेंटिटी मैट्रिक्स या फिर यूनिट मैट्रिक्स इसको तो हम आई से रिप्रेजेंट करते हैं तो यह थर्ड ऑर्डर की आइडेंटिटी मैट्रिक्स है यह एक थर्ड ऑर्डर की थर्ड ऑर्डर की थर्ड ऑर्डर कैसे थ्री क्रॉस थ्री ऑर्डर की यह एक आ स्केलर मैट्रिक्स है डायग्नल तो है ही और यह भी एक डायग्नल मैट्रिक्स है तो ये दी थी ध्यान रखेंगे अपार ट्रायंगुलर एंड लोअर ट्रायंगुलर तो अभी हमने क्या पढ़ा निचोड़ क्या हुआ भाई निचोड़ यह हुआ स्क्वायर मैट्रिक्स को हम क्लासिफाई करते हैं डायग्नल में जिसकी सारी नॉन-डाइंग्रेजीरो फिर ट्रायंगुलर में ट्रायंगुलर में अपर ट्रायंगुलर लोअर ट्रायंगुलर अपार ट्रायंगुलर कैसे उसमें डांगलर के नीचे वाले सारे जीरो लोअर ट्रायंगुलर में लोअर ट्रायंगुलर में क्या होगा डायगोनल के ऊपर वाले सारे जीरो ठीक है ना सर इसका नाम ट्रायंगल क्यों रखते हैं बेटा ट्रायंगल इसलिए रखते हैं क्योंकि ये जो है ना ये देखो यहां अगर इन्हें जोड़ देना जो ट्रायंगल बनता है हान इसको देख लो इसको jodoge तो या फिर से क्या दिखाई देगा आपको ट्रायंगल बनता हुआ दिखाई देगा तो इसलिए ट्रायंगुलर मीटर से बोलते हैं बात समझ में ए गया पर ट्रायंगुलर लोअर ट्रायंगुलर बिल्कुल सर ये बात समझ में आई हान तो बहुत अच्छे से रिवाइज हो गया चलिए अब आगे बढ़ते हैं आगे बढ़ते हैं हान मिनिमम नंबर ऑफ जीरोज इन अपर ट्रायंगुलर लोअर ट्रायंगुलर कम से कम कितने जीरो होंगे सर कम से कम अपार ट्रायंगुलर में सर नीचे वाले जीरो होते हैं और नीचे वाले डायग्नल के एलिमेंट्स होते हैं n² - एन / 2 लिखा है भाई n² - एन / 2 डायगोनल के नीचे वाले जीरो तो कम से कम उतने तो जीरो होंगे ही ना हान सर अपार ट्रायंगल ऊपर वाले जीरो और ऊपर डायगोनल के ऊपर कितने इंक्रीज होती है n² - एन / 2 से तू से तो कम से कम कितने जीरो होंगे n² - एन / 2 मिनिमम नंबर ऑफ सी फॉर सी फॉर का मतलब जीरोज इन डायगोनल मैट्रिक्स या स्केलर मैट्रिक्स ये यूनिटरी में ट्रिक्स मैं कम से कम कितने जीरो होते हैं कम से कम जीरो होते हैं एन ऑर्डर की मैट्रिक्स में सर बैंगलोर में ऊपर भी जीरो द नीचे भी जीरो तो टोटल होता है n² बस डायग्नल वाले निकल दो बाकी सारे तो होने चाहिए तो n² - n² - n² होगा टोटल एलिमेंट्स - एन हो गई डायग्नल एंट्रीज हटा दो तो डेट इसे मिनिमम नंबर ऑफ जीरो इन अन डायग्नल या स्केलर या यूनिट मैटेरियल्स फिर यहां एक चीज याद रखें की हर स्क्वेयर में ट्रिक्स के साथ हम मैट्रिक्स की कोई वैल्यू नहीं होती मैट्रिक्स और डिटर्मिननेंट्स में सबसे बड़ा फर्क क्या है मैट्रिक्स की कोई वैल्यू नहीं होती जबकि डिटर्मिननेंट की वैल्यू होती है सो डेट इस डी में डिफरेंस बिटवीन मैट्रिक्स एंड डिटर्मिननेंट अन डिटर्मिननेंट हैज अन वैल्यू वेयर इस अन मैट्रिक्स इसे जस्ट एंड अरेंजमेंट ऑफ सैम नंबर्स इन फॉर्म ऑफ रोज एंड कॉलम्स इट इसे जस्ट अरेंजमेंट एंड डेट अरेंजमेंट हज नो वैल्यू लेकिन हम हर स्क्वायर मैट्रिक्स के साथ एक उसका डिटर्मिननेंट एसोसिएट कर सकते हैं यानी हम क्या करें तो एवरी स्क्वायर में ट्रिक्स देयर इसे अन कॉरस्पॉडिंग डिटर्मिननेंट फाउंड बाय डी एलिमेंट्स ऑफ ए इन डी से ऑर्डर यानी के जो मैट्रिक्स है हमारे पास उसे मैट्रिक्स में हम वो जो साथ में स्क्वायर ब्रैकेट लगाते हैं वह हटा देते हैं और वहां क्या लगा देते हैं एक डिटर्मिननेंट्स का सिंबल तो ये बन गया डिटर्मिननेंट्स तो यह कहलाएगा डिटर्मिननेंट ऑफ ए और अगर डिटर्मिननेंट ऑफ ए जैसे मैन लो मैट्रिक्स ए है सपोज मैट्रिक से इस 1234 अब डिटर्मिननेंट्स ऑफ ए क्या होगा इसको ऐसे लिखते हैं या फिर ऐसे लिखते हैं रेट ए और ये हो जाएगा वैन तू थ्री फोर वैन तू थ्री फोर ये हो जाएगा डिटर्मिननेंट ए अगर डिनॉमिनेटर जीरो है तो मैट्रिक्स को बोलते हैं सिंगुलर और अगर डाटा जीरो नहीं है तो मैट्रिक्स को बोलते हैं नॉन सिंगुलर मैट्रिक्स और अगर ए जीरो मैट्रिक्स है तो उसका डिटर्मिननेंट जीरो होगा प्रोवाइडेड वो स्क्वायर भी हो क्योंकि नल मैट्रिक्स स्क्वायर भी हो सकती है रैक्टेंगुलर भी हो सकती है तो अगर नल मैट्रिक्स और टर्मिनेटर जीरो होगा लेकिन अगर डिटर्मिननेंट्स जीरो है तो मैट्रिक्स का जीरो होना जरूरी नहीं है बट नॉट कन्वर्सली ये चीज याद रखें यहां एक चीज और पता था चलूं डिटर्मिननेंट्स ऑफ अपर ट्रायंगुलर मत अपार ट्रायंगुलर दोनों में से कोई डिटर्मिननेंट्स ऑफ अपर डिटर्मिननेंट ऑफ़ अपर लोअर या डायगोनल मैट्रिक्स जिसमें स्केलर भी ए गई होता है इट इस इक्वल तू प्रोडक्ट ऑफ डायगोनल एंट्री याद रखें प्रोडक्ट ऑफ डायगोनल एंट्रीज यानी के डायगोनल एंट्रीज के प्रोडक्ट के बराबर होता है इट इस इक्वल तू प्रोडक्ट ऑफ डायगोनल एंट्रीज जैसे एग्जांपल के तौर पर अगर ए मैट्रिक्स है मेरे पास 123 और यहां मैन लीजिए जीरो तू वैन जीरो जीरो थ्री अगर कोई आपसे पूछे डिटर्मिननेंट ए तो डिटर्मिननेंट्स कैसे लिखोगे ये लिखेंगे 1 2 3 ये क्या हुआ सर ये हुआ अपार ट्रायंगुलर जीरो तू वैन जीरो जीरो तो इसी कारण से डिटर्मिननेंट ऑफ आइडेंटिटी मैट्रिक्स कितने भी ऑर्डर की हो उसका रिटायरमेंट हमेशा वैन होता है उसका रिटायरमेंट हमेशा वैन होता है तो ये चीज याद रखेंगे तो यू शुड रिमेंबर दिस थिंग अच्छे से याद रखेंगे की datanant ऑफ अपार ट्रायंगुलर लोअर ट्रायंगुलर सबका डिटर्मिननेंट की वैल्यू क्या होती है प्रोडक्ट ऑफ डायगोनल एंट्रीज तो अब बात करते हैं अलजेब्रा ऑफ मैट्रिक्स की एक बार हमने ये अच्छे से समझ लिया हान सर तो एक चीज याद रखें डिटर्मिननेंट्स ऑफ नल मैट्रिक्स भी ध्यान रखें डिटर्मिननेंट्स ऑफ नल मैट्रिक्स अगर नल मैट्रिक्स एन यानी एन ऑर्डर की तो उसका डिनॉमिनेटर वैल्यू जीरो होता है उसका डाटा हमने वैल्यूज जीरो होता है हान सर ये याद रहेगा अलजेब्रा ऑफ मैट्रिक्स इसमें 2 मीटर होती हैं जब उनके कॉरस्पॉडिंग एलिमेंट्स इक्वल हो यानी की दोनों का ऑर्डर से हो जितनी पहले में वो उतनी दूसरे में हो जितने पहले मैं कॉलम उतनी दूसरे में कॉलम यानी ऑर्डर से होना चाहिए और दूसरा रिस्पेक्टिव एलिमेंट से होने चाहिए यानी कुल मिलाकर दोनों एक दूसरे की जेरॉक्स देखनी चाहिए फोटो कॉपी देखनी चाहिए तब हम कहते हैं दोनों मैटर से इक्वल होंगी बोथ हैव से ऑर्डर एज इस इक्वल तू बी आई के यानी इसका ignment और इसका ignment बराबर होना चाहिए जब मैं बोलता हूं जीजा था एलिमेंट जैसे अगर मैं बोलूं इसका तू थर्ड एलिमेंट तो तू थर्ड एलिमेंट का मतलब हो गया तू थर्ड एलिमेंट तू थर्ड एलिमेंट इसका मतलब क्या हुआ इसका मतलब हुआ आई एम टॉकिंग टॉप a23 823 का मतलब सेकंड रो का थर्ड एलिमेंट होगा लेकिन होगा थर्ड एलिमेंट तो जब हम कहते एलिमेंट ऑफ फर्स्ट शुड बी इक्वल तू जीजा था एलिमेंट ऑफ सेकंड इसका मतलब पहले वाले का हर एलिमेंट दूसरे वाले का हर एलिमेंट बराबर होना चाहिए तो ये चीज याद रखेंगे फिर एडिशन पहली चीज तो है याद रखो की एडिशन ऑफ मैट्रिक्स से ऑर्डर की मैट्रिक्स को ही ऐड किया जा सकता है और एडिशन कैसे होता है कॉरस्पॉडिंग एलिमेंट्स को ऐड कर देते हैं कॉरस्पॉडिंग एलिमेंट्स को एडिटिव इन्वर्स क्या होता है अगर ए + बी करके नल मैट्रिक्स आए तो बा का एडिटिव इन्वर्स और ए बी का एडिटेड इन्वर्स कहलाता है दे आर से तू बी एडिटेड इन्वर्स ऑफ एच आदर तो एडिटर मैंने बस का मतलब जोड़कर जीरो ए जाना चाहिए नल मैट्रिक्स ए जाना चाहिए जीरो नहीं है बेटा नामी ट्रिक्स याद करना हान जीरो नहीं है ये स्केलर मल्टीप्लिकेशन अगर किसी मैट्रिक्स को आप स्केलर से मल्टीप्लाई करते हैं के से तो उसका हर एलिमेंट के से मल्टीप्लाई हो जाता है डिटर्मिननेंट्स में हमने पढ़ा था की अगर हम किसी डिटर्मिननेंट्स को कैसे रिप्लाई करेंगे तो या तो उसका एक रो या फिर उसका कोई एक कॉलम कैसे मल्टीप्लाई हो जाएगा लेकिन मैट्रिक्स में ये चीज बिल्कुल विपरीत है यहां हर एलिमेंट कैसे मल्टीप्लाई हो जाता है फिर मल्टीप्लिकेशन और मैट्रिक्स मल्टीप्लिकेशन ऑफ मैट्रिक्स के लिए पहली चीज अगर एक ऑर्डर एम क्रॉस एन है और बी का ऑर्डर एंड क्रॉस पी है तो जो प्रोडक्ट आएगा उसका ऑर्डर होगा एम क्रॉस पी एम क्रॉस पी यानी के मैट्रिक्स multiplaye तभी हो सकती हैं जब नंबर ऑफ नंबर ऑफ कॉलम्स इन ए नंबर ऑफ कॉलम्स नंबर ऑफ कॉलम्स इन ए = सभी मल्टीप्लाई कर सकते हैं मल्टीप्लिकेशन है जाएगा बीच में से और मल्टीप्लाई कैसे करते हैं रो बाई कॉलम यानी की रो बाई कॉलम करते हैं जरा देखो जैसे मैन लो हम कहें हम कहें ये है ये है ये हमारे पास एक मैट्रिक्स है कितने ऑर्डर की सर ये ऑर्डर है तू क्रॉस थ्री की और एक मैट्रिक्स है हमारे पास बी क्रॉस तू ऑर्डर की थ्री क्रॉस तू ऑर्डर का मतलब उसमें तीन तो रो हैं और दो कॉलम है और दूसरे कॉलम से मल्टीप्लाई करो मल्टीप्लाई करोगे पहले कॉलम से यानी की मल्टीप्लाई दिस विद दिस अलसो फिर इसी तरह से दूसरा कॉलम तो वो देगा आपको पहले एंट्रीज फिर इसी तरीके से आप इसको मल्टीप्लाई करोगे मल्टीप्लाई होता है जैसे समान लीजिए यहां हो वैन तू तू थ्री वैन तू जीरो तू वैन जीरो और बस इतना ही लिख लेते हैं और मैन लीजिए यहां मल्टीप्लाई करोगे तो रॉ बाय कॉलम करोगे तो पहली रो * पहला कॉलम वैन इन वैन वैन प्लस तू प्लस तू इन तू प्लस जीरो इन वैन ये हो गया पहला एंट्री पहली रॉ पहला कॉलम फिर पहली रो दूसरा कॉलम 1 * 3 1 * 3 + 2 * 1 और प्लस जीरो इन टू प्लस जीरो पहला रो ये करो पहले कॉलम से रो बाय कॉलम ध्यान रखें रो बाई कॉलम तो 2 * 1 = 2 10 में हो जाएगा 2 * 3 फिर 1 * 1 + 0 * 2 तो ये मैट्रिक्स अगर आप गौर से देखें यहां ये है कितने ऑर्डर की मैट्रिक्स थी पर यहां ये है मैट्रिक्स थी ऑर्डर तू क्रॉस थ्री और ये है थ्री क्रॉस तू तो आंसर आना चाहिए था तू क्रॉस तू का जो की आया अभी तू क्रॉस तू मैट्रिक्स मल्टीप्लिकेशन मैट्रिक्स मल्टीप्लिकेशन होता है रो बाई कॉलम होता है ध्यान रखें और यह दोनों मैट्रिक्स कंफर्मेबल कहलाती है फॉर मल्टीप्लिकेशन जब ये कंडीशन फॉर मल्टीप्लिकेशन व्हेन कंडीशन फॉर मल्टीप्लिकेशन ए रही है तो सबसे बड़ी गलती बच्चे का करते हैं सर ये भी जीरो बी जीरो या दोनों में से कम से कम कोई एक जीरो ऐसा होना जरूरी नहीं है दो नॉन जीरो मैट्रिक्स को मल्टीप्लाई करके आंसर जीरो ए सकता है मैट्रिक्स मल्टीप्लिकेशन एसोसिएटिंग होता है यानी ए * बी * सी लिखा हो तो पहले आप ए बी को फिर सी से मल्टीप्लाई कर लिया फिर पहले ई को और फिर ए से मल्टीप्लाई कर लें ध्यान रखें यहां यह नहीं कहा गया की पहले ए और सी को कर लो फिर बी से कर देना नहीं भाई या तो शुरू कर दो कर लो पहले तीसरे से लास्ट में कर दो या फिर लास्ट के दो कर लो और शुरू से शुरू वाले से मल्टीप्लाई कर दो वैन इन डी से थिंग मैट्रिक्स मल्टीप्लिकेशन इस डिस्ट्रीब्यूटर सब जगह लिखा है आर कंफर्मेबल फॉर प्रोडक्ट कंफरटेबल का मतलब है ये मल्टीप्लाई करने काबिल होने चाहिए मल्टीप्लाई करने का बिल होने चाहिए मतलब पहले मैं नंबर ऑफ कॉलम्स शुड बी इक्वल तू सेकंड में नंबर ऑफ रोज वो कंडीशन सेटिस्फाई हो नहीं चाहिए मैट्रिक्स मल्टीप्लिकेशन डिस्ट्रीब्यूटर्स ओवर एडिशन ऐसा नहीं हो सकता ऑर्डर इंपॉर्टेंट है हान सर यह याद रखेंगे फिर उसके बाद मैट्रिक्स मल्टीप्लिकेशन में अगर अब और बी है तो हम कहते हैं ए और बी कोमट करते हैं सी से ए एंड बी कोमट और अगर ए बी बराबर - बी ए हो जाए दें सी से ए एंड बी एंड टी कोमट क्या बोलते हैं एंटी कोमट करते हैं फिर इसके बाद अब आता है सो मैट्रिक्स ट्रेस कोई खास बड़ी चीज नहीं है पहली चीज तो ये ध्यान रखें इट इस अन टर्म डिफाइन फॉर ओनली स्क्वायर ए मैट्रिक्स यानी स्क्वायर मैट्रिक्स के लिए ही बात कर सकते हैं और स्क्वायर में ट्रिक्स में सैम ऑफ डायगोनल एलिमेंट्स ऑफ स्क्वायर मैट्रिक्स इसे कॉल्ड ट्रेस यानी ट्रेस क्या होता है उसकी डायग्नल एंट्रीज का सैम सर डायग्नल तो ये भी हो सकती है सर नहीं बेटा डायग्नल जो हम लेते हैं हालांकि स्क्वायर मीटर इसमें दो डायगोनल हो सकती है क्या ऐसे और एक ऐसे दो डायगोनल हो सकती हैं लेकिन हम सिर्फ यही डायग्नल लेते हैं जिस पर रो नंबर और कॉलम नंबर से हो तो जब कोई बोले डायगोनल एलिमेंट्स तो आप समझ जाएं रोल नंबर और कॉलम नंबर से हो यानी आई वांट तू एन तो a11 a22 ए एन एन इन सब का सैम होता है प्रेस ऑफ ए प्लस के ए ये होता है के टाइम स्ट्रेस ऑफ ए यानी के बाहर ए जाएगा ट्रेस में फिर इसी तरह से के टाइम्स सॉरी हान ये बात तो क्लियर हो गई हान सर ये है बात क्लियर हो गई आगे प्रॉपर्टीज देख लो मैं इस प्रॉपर्टी पर वापस आता हूं यहां देखें के टाइम्स ए का डिटर्मिननेंट्स मैन लो ये कोई मैट्रिक्स है और उसका डाटा मैंने भाई ये बहुत इंपॉर्टेंट प्रॉपर्टी बहुत इंपॉर्टेंट ये बहुत ही इंपॉर्टेंट है बच्चे अक्सर इस प्रॉपर्टी में मत खा जाते हैं जैसे मैन लो हमने किसी मैट्रिक्स को मल्टीप्लाई कर दिया के से तो भैया क्या होगा सर उसका हर एलिमेंट के से मल्टीप्लाई होगा तो बच्चे अक्सर क्या गलती करते हैं मैन लीजिए की वैन के बी तू और के बी थ्री ये मैट्रिक्स को मल्टीप्लाई कर दिया हमने के पी थ्री और के सी वैन के सी वैन के सी तू और के सी थ्री ये मैट्रिक्स को हमने के से मल्टीप्लाई कर दिया तो आप समझ सकते हैं ये सारी की सारी चीज यहां रखूंगा तो पहली रो से के कॉमन आएगा दूसरी रॉ से के कॉमन आएगा और तीसरी रो से के कॉमन आएगा यानी कितनी बार कोमन का तीन बार यानी आंसर ए जाएगा के कब डिटर्मिननेंट्स ऑफ ए तो बच्चे अक्सर इसमें गलती क्या करते हैं सिर्फ के लिख देते हैं बाहर तो ध्यान रखो अगर मैट्रिक्स तीन ऑर्डर की है और उसका डिटर्मिननेंट्स में अंदर तू टाइम्स ए लिखा है तो क्या बाहर आएगा तू का कब अगर अंदर वाली मैट्रिक्स अंदर वाली मैट्रिक्स दो ऑर्डर की है और अंदर लिखा है फोर टाइम्स ऑफ वाटर तू फोर टाइम्स ये लिखा है तो बाहर आएगा फोर का स्क्वायर यानी जितना ऑर्डर होता है मैट्रिक्स का उतनी पावर लक कर यहां ए जाती है तो फोर स्क्वायर मैट्रिक्स ऑफ ऑर्डर एंड के की पावर एन ए जाता है तो यहां जैसे की थ्री ऑर्डर की मैट्रिक्स थी तो 3³ ए गया अगर चार ऑर्डर की मैट्रिक्स होती तो के की पावर 4 ए जाता अब प्रॉपर्टीज ऑफ ट्रेस को देख लें सबसे पहली प्रॉपर्टी प्रेस ऑफ ए प्लस बी होता है भाई ट्रेस ऑफ ए + बी यानी दो मैट्रिक्स को ऐड करो फिर रेस लो या दोनों की ट्रेस को ऐड कर दो बात एक ही है फिर रेस ऑफ लामबीडीए टाइम से इस इक्वल तू लामबीडीए टाइम स्ट्रेस ऑफ ए इस इक्वल तू लामबीडीए टाइम ट्रेस ऑफ ए सर ये तो अभी आपने बता भी दिया पीछे बिल्कुल अभी बताया मैंने आपको यहां पर भी ये के टाइम से तो के टाइम स्ट्रेस ऑफ ही हो जाता है फिर स्ट्रेस ऑफ अब ये है रिवर्सल लॉ ऑफ ट्रेस रिवर्स लॉ रिवर्सल लॉक या चाहे आप अब का ट्रे इसलिए बा का ट्रेस लें दोनों का ट्रेस का वैल्यू से आएगा और ध्यान रखिएगा तो यानी के जब मैं बात करता हूं अब की और बा की तो ये दोनों ऑर्डर तो यह दोनों स्क्वायर मैट्रिक्स है मॉडल की ऑर्डर की मैट्रिक्स होगी तो से मैट्रिक्स तभी तो अब और बा दोनों डिफाइंड होंगे ठीक है ना तो ट्रेस ऑफ ए बी बराबर ट्रेस ऑफ बा होता है फिर आते हैं ट्रांस्पोज पर ट्रांस्पोज क्या है ट्रांस्पोज है अगर आप किसी मैट्रिक्स को क्या कर दें किसी मैट्रिक्स के रो का कॉलम बना दे कॉलम का रो तो ऐसी मैट्रिक्स कहलाती है ट्रांस्पोज ऑफ डी गिवन मैट्रिक्स यानी के मैट्रिक्स ऑब्टेंड बाय चेंजिंग डी रोज इन कॉलम्स एंड कॉलम्स * ट्रांसपोर्ट यानी के भाई अगर यह है 123 हो यह फोर फाइव सिक्स हो इसका ऑर्डर है तू क्रॉस थ्री तो ए ट्रांस्पोज मेरे भाई वह हो जाएगी रो का कॉलम पहली रो पहला कॉलम बन जाएगा और दूसरी रो दूसरा कॉलम बन जाएगा थ्री क्रॉस तू हो जाएगा यानी की अगर ऑर्डर ऑफ ए है इलेक्ट्रोंस एंड तो ऑर्डर ऑफ ए ट्रांस्पोज हो जाता है ट्रांसफर्स अगर ए ट्रांस्पोज का ट्रांसफर किया जाए वापस ए जाएगा भाई एक बार रोक कॉलम बदला फिर दूसरी बार बदल दो तो वापस वहीं पहुंच जाओगे जहां से फिर a+b का ट्रांसफर ये होता है ए ट्रांस्पोज प्लस बी ट्रांस्पोज यहां ट्रांस्पोज किसी भी मैट्रिक्स के लिए डिफाइन होता है स्क्वायर के लिए भी रैक्टेंगुलर के लिए भी ठीक है माइंड यू फिर उसके बाद के टाइम से का ट्रांसफर होता है के टाइम्स ए का ट्रांसफर यानी की बाहर ए जाता है ए ट्रांस्पोज हो जाता है फिर अब का ट्रांस्पोज इस इक्वल तू बी ट्रांस्पोज ए ट्रांस्पोज ये है फिर से रिवर्सल लॉ है रिवर्सल लॉ ऑफ ट्रांस्पोज है रिवर्सल ऑफ ट्रांसपोर्ट है यानी की अब के प्रोडक्ट का ट्रांस्पोज होता है बी ट्रांस्पोज इन ए ट्रांस्पोज ठीक है प्रोवाइडेड वह दोनों मल्टीप्लाई कर ही जा सकती हैं तभी ऐसा होगा हान सर ये है क्लियर है क्लियर सिमेट्री का उसे क्यों सिमेट्री की मैट्रिक्स क्या होती है सर सिमिट्रिक मैट्रिक्स होती है अगर किसी स्क्वायर मैट्रिक्स में स्क्वायर मैट्रिक्स का ट्रांस्पोज लेने पर से मैट्रिक्स वापस ए जाए तो वो मैट्रिक्स कहलाती है सिमिट्रिक मैट्रिक तो व्हाट इसे डी सिमिट्रिक मैट्रिक्स स्क्वायर मैट्रिक्स नोट करने वाली बात क्या है स्क्वायर मैट्रिक्स यानी सिमिट्रिक जो शब्द है यह डिफाइन है किसके लिए स्क्वायर मैट्रिक्स के लिए एक ऐसा स्क्वायर मैट्रिक्स इसका ट्रांसफर करने पर क्या हो जाए वही का वही मैट्रिक्स वापस ए जाए यानी की जैसे ये है देखो यह वाली मैट्रिक्स है यह मैट्रिक्स क्या होता है इसमें क्या होगा सर ए ट्रांस्पोज होगा ए ट्रांस हो जाएगा पहली रो बन जाएगी पहला कॉलम ये बन जाएगी दूसरा कॉलम और ये बन जाएगी 15 - 2 एक तरीके से देखा जाए तो ये रोते कर देते हैं इसके अबाउट लाइक हो जाती है फ्लिक मतलब समझते हो पलट दो इसको पकड़ो पलट दो पलट दिया तो नीचे वाला ऊपर ऊपर वाला नीचे ऊपर वाला नीचे ऊपर वाला ए जाएगा नीचे नीचे वाला ऊपर डायगोनल वही रहेगा तो मैट्रिक्स सिमिट्रिक कब होगी तो ए ट्रांस्पोज वापस से आया हान सर ये तब बराबर होगी सर जब ये है दोनों बराबर हो जब ये है दोनों बराबर हो और जब ये है दोनों बराबर हो यानी की ये वाला एलिमेंट क्या है सर ये है ए तू वैन ये कौन सा मैट्रिक्स ये कौन सा एलिमेंट है ए तू वैन और ये कौन सा है a12 है ये कौन सा है भाई सर ये है a31 और ये कौन सा है ये है a13 यह कौन सा है सर यह 32 और यह है ए तू थ्री यानी के अगर कोई मैट्रिक्स सिमिट्रिक चाहिए तो a12 बराबर होना चाहिए ए तू वैन के यानी आई के इंटरचेंज तो एआईजी शुड बी इक्वल तू आगे तो वो मैट्रिक्स क्या हो जाती है सिमिट्रिक मैट्रिक्स हो जाती है तो मैक्सिमम कितने डिस्टिंक्ट एंट्रीज हो सकती हैं ज़रा सोचो नीचे वाली ऊपर वाली तो से होनी चाहिए तो मैक्सिमम डिस्टेंस एंट्रीज होगी सर डायगोनल पर एन और नीचे सर आपने बताई थी होती हैं n² - एन / 2 तो कितने ए गई बेटा एन + 2n + n² - एन / 2 यानी के एन * एन + 1 / 2 एंट्री मैक्सिमम इतनी एंट्रीज डिस्टिंक्ट हो सकते हैं डिस्टिंक्ट मतलब अलग-अलग क्यों क्योंकि नीचे वाली तो ऊपर वालों के साथ से होनी ही है तो डिस्टिंक्ट यही बचेंगे एन * एन + 1 / 2 डायगोनल वाली अलग-अलग ले लो नीचे वाली अलग अलग ले लो ऊपर वाली तो से लेनी है हान करिए समझ में ए गया फिर उसके बाद आता है एक्सक्यूज मी ट्रिक मैट्रिक्स एक ऐसी मैट्रिक्स इसका ट्रांसफर लेने पर क्या ए जाए आज इसका ट्रांसपोर्ट लेने पर माइंस ए जाए यानी ए ट्रांस्पोज इसे इक्वल तू माइंस ए मैट्रिक्स को बोलते हैं ऐसी मैट्रिक्स को बोलते हैं हम स्क सिमिट्रिक मैट्रिक्स और इसमें क्या खासियत होती है ध्यान रखिएगा सारी डायग्नल एंट्रीज जीरो होती हैं हान सर पहली डायगोनल एंट्री जीरो होती हैं और डिटर्मिननेंट वैल्यू ऑफ क्यों सिमेट्री मैट्रिक्स ऑफ ओडी ऑर्डर हमेशा जीरो होता है दिस इस अन वेरी इंपॉर्टेंट फैक्ट आईडी में इसके ऊपर प्रॉब्लम भी ए चुका की और ऑर्डर क्यों सिमेट्री मिति इसका डिटरमिनेट हमेशा जीरो होता है यानी कोई 3/3 ऑर्डर की सिमिट्रिक मैट्रिक्स है क्यों सिमेट्री की मैट्रिक्स का डाटा वैल्यूज जीरो होगा अगर ए सिमेट्री के और क्यों सिमेट्री के तो ऐसी दुनिया में एक ही मैट्रिक्स है भाई जो खट्टी भी हो मीठी भी हो समझ रहे हो हान सर वो कौन सी मैट्रिक्स होगी वह होगी नल मैट्रिक्स सिमिट्रिक भी है इसकी उसे सिमिट्रिक भी है दोनों हैं तो सिमेट्री का उसे क्यों सिमेट्री में अंतर समझ में आना चाहिए सिम डिस्ट्रिक्ट में तो यह ट्रांसपोर्ट बराबर है और यहां पर क्या हो जाता है यहां पर हो जाता है ए ट्रांसपोर्ट इस इक्वल तू माइंस ए ट्रांस हो जाता है - ए और इसमें खासियत क्या होती है सारी की सारी डायगोनल एंट्री जीरो होती हैं और जो दूसरे एंट्रीज हैं वो दूसरे के एडिटेड इन्वर्स होते हैं यानी एआईजी = - ए आई होता है इस केस में तो ये एक्सक्यूज मीटर की मैट्रिक्स कहलाती है फिर प्रॉपर्टीज ऑफ क्यों सिमिट्रिक और सिमेट्री मीटर अगर ए ट्रांस्पोज ए के बराबर तो सिमेट्री हान सर ये तो पढ़ लिया इफ ए इस समय ट्रिक दैन के ए या फिर ए ट्रांस्पोज या फिर एक ही पावर इन सब के सब सिमेट्री होते हैं यानी एक ही कुछ भी पावर कर दो a² a³ a³ नेचुरल नंबर वो सब के सब क्या होंगे सिमिट्रिक मैट्रिक्स होंगे फिर क्यों सिमिट्रिक मैट्रिक्स है और ए की पावर आपने बन जाएगा वो क्या बन जाएगा सिमिट्रिक और ए की पावर के सिमिट्रिक होगा अगर एन ओडी होगा यानी ए की पावर थ्री होगा तो उसे के सिमेट्री में सिमेट्री की तो हर पावर सिमेट्री की तो हर पावर सिमेट्री होती है भाई और के सिमेट्री की एवं पावर सिमिट्रिक और सिमेट्री सिमेट्री एवरी स्क्वायर सैम ऑफ सम एंड सम ऑफ़ द सम ऑफ़ ए सिमिट्रिक एंड सियो सिमिट्रिक मैट्रिक्स यानी के हम किसी भी मैट्रिक्स को स्क्वायर मैट्रिक्स को लिख सकते हैं सैम ऑफ सिमिट्रिक एंड के सिमिट्रिक मैट्रिक्स जैसे की ए को लिख सकते हैं ए + ए ट्रांस्पोज प्लस ए माइंस ए ट्रांस्पोज इसका हाफ और यहां पर इसका हाफ तो ये वाला जो मैट्रिक्स है ये तो हो गया सिमिट्रिक है और यह वाला मेडिसिन किसी भी पावर किसी भी स्क्वायर मैट्रिक्स की आप कोई भी पावर कर सकते हैं ओडी मतलब रैक्टेंगुलर मैट्रिक्स की कोई भी पावर नहीं कर सकते रैक्टेंगुलर मैट्रिक्स का स्क्वायर एक्जिस्ट नहीं करेगा क्यों अगर आप सोचो A3 क्रॉस तू है इसका स्क्वायर करके देखो A3 क्रॉस तू ये तो डिफाइंड ही नहीं होगा नॉट से डिफाइन नहीं होगा क्यों कंडीशन सेटिस्फाई नहीं करता मल्टीप्लिकेशन की तो रैक्टेंगुलर मैट्रिक्स का मल्टीप्लिकेशन नहीं होता फिर स्क्वायर मैट्रिक्स का ही पावर मतलब रैक्टेंगुलर मैट्रिक्स से 19 से मल्टीप्लाई नहीं होता यानी रैक्टेंगुलर मैट्रिक्स का स्क्वायर कब की बात नहीं कर सकते स्क्वायर मैट्रिक्स ही कर सकते हैं और a² का मतलब होता है जैसे मैन लीजिए अगर हमें लिखें ए के वो होगा ए * ए * ए तीन बार या फिर a² * ए यानी लॉ ऑफ एक्स्पोनेंट्स सारे के सारे जो हमने पढ़े हैं वो यहां वैलिड होते हैं ध्यान रखें सब म और एंड नेचुरल नंबर है यह बहुत इंपॉर्टेंट पॉइंट है यहां यहां बहुत इंपॉर्टेंट पॉइंट है अभी बताया था एंटी कम्युनिटी का मतलब है अब बराबर माइंस बी है तो उसमें आंसर आता है a² + b² सबसे इंपॉर्टेंट बात जो है वो ये है अगर ए और बी कोमट करते हैं और वो स्क्वायर मेट्रिसिस हैं तो ए प्लस बी की पावर एन में आप binemial थ्योरम का एक्सपेंशन लगा सकते हैं यानी nc0a की पावर nc1 ए की पावर एन - 1 * बी बिनोमियल थ्योरम से उसे खोल सकते हैं यानी जितने भी अलजेब्राइक आइडेंटिटी जितने भी फॉर्मूला तुमने पढ़ रखे हैं वो सारे फॉर्मूला यहां चले जाएंगे ए + बी चल जाएगा ए माइंस बी का होल कब चल जाएगा जो आपने अलजेब्रा में पढ़ रखा है a³ - b³ - 3a²b + 3ab² वो सब चल जाएगा कब जब ए और बी कोमट करते हो यानी ए बी बराबर बी ए हो कंप्यूट मतलब ये भी बराबर भी हो तो हम इसको बिनोमियल थ्योरम से एक्सपेंस कर सकते हैं किसी भी यूनिट मैट्रिक्स के लिए उसकी कोई भी पावर कर ली जाए तो आंसर आइडेंटिटी मैट्रिक्स ही वापस ए जाता है ये ध्यान रखिए सिस्टम स्क्वायर करने पर से मैट्रिक्स ए जाए और ऐसी मैट्रिक्स के लिए ए की पावर हमेशा ए के बराबर होता है फॉर ऑल इन ग्रेटर दें इक्वल तू तू अगर कोई मैट्रिक्स यानी उसका स्क्वायर उसी के बराबर है तो अगर आप ए कब भी निकलने चले हैं तो सर वह हो जाएगा a² * ए और वो a² वापस से तो ये बन गया a² यानी वापस ए गया यानी के ए की पावर 3 भी ए होगा एक ही पावर फोर भी ए होगा तो ए की पावर एन हमेशा ए होगा फॉर ऑल इन >= 2 आइडेंटिटी मैट्रिक्स का डिटर्मिननेंट वैल्यू होता है जीरो या वैन यहां मैं आपको एक चीज और बता डन डिटर्मिननेंट्स ऑफ ए * बी अगर ए और बी क्या है यह दोनों की दोनों क्या हैं स्क्वायर मैट्रिक्स है डीज आर स्क्वायर लिख सकते हैं डिटर्मिननेंट ऑफ ए इन डिटर्मिननेंट ऑफ बी सो दिस इस अगेन अन वेरी वेरी इंपॉर्टेंट पॉइंट विच यू शुड रिमेंबर तो डिटर्मिननेंट्स ऑफ ए बी होता है डिटर्मिननेंट ऑफ ए * डाटा एमिनेंट ऑफ बी तो यहां का रखा है डिटर्मिननेंट्स इंपॉर्टेंट मैट्रिक्स या तो जीरो होगा या वैन होगा और सिर्फ दुनिया में एक ही इनवर्टिबल आइडेंटिटी मैट्रिक्स है एक ही invertebral एंड इंपॉर्टेंट मैट्रिक्स जो है आइडेंटिटी मैट्रिक्स इसे डी ओनली इंडेक्स 3 इस अनल मैट्रिक्स ऑफ इंडेक्स 3 डेट इस व्हाट सी सी विल से इंडेक्स क्या होता है वो सबसे छोटी पावर जिस पर लगाने पर आइडेंटिटी जिस पर लगाने पर कोई मैट्रिक्स क्या दे दे नाल मैट्रिक्स दे दे क्या हर मैट्रिमोनियल इंपॉर्टेंट होगी नहीं जरूरी नहीं है तो कुछ मैट्रिक्स ये प्रॉपर्टीज शो करती हैं जैसे जैसे उनकी पावर बढ़ते हैं तो एक हद के बाद आ वैल्यू nalmetry आने लगती है जैसे किसी मैट्रिक्स में अगर आप स्क्वायर करें जैसे आप ये देखो ये इंपॉर्टेंट बैटरी से अगर आप इसका स्क्वायर करके देखेंगे ना तो आंसर ए जाएगा फिर कब करेंगे तो obbvious सी बात है वो भी नल मैट्रिक्स आएगा यानी दो ऑनवार्ड्स सारे जीरो होते चले जाएंगे सारे आंसर nalmitories आते चले जाएंगे तो इसलिए ये नीलपोटेंट मैट्रिक्स है कितने इंडेक्स की तू इंडेक्स की इंडेक्स 2 तो इंडेक्स क्या होता है वो सबसे छोटी पावर जिसको लगाने पर किसी मैट्रिक्स का आंसर पावर में लगाने पर किसी मैट्रिक्स का आंसर नल मैट्रिक्स ए जाए ठीक है तो डिटर्मिननेंट्स वैल्यू नल मैट्रिक्स की हमेशा क्या होती है जीरो होती है यहां एक चीज और बताता चलूं डिटर्मिननेंट्स ऑफ ए की पावर एन भाई ये हो जाता है डिटर्मिननेंट ऑफ ए की पावर होल यानी या फिर एम लगा लो यहां पर ध्यान रखें और वेयर ए इसे अन स्क्वायर मैट्रिक्स यहां पर ए क्या है स्क्वायर मैट्रिक्स है वेयर ए इसे अन स्क्वायर मीटर स्क्वायर मैट्रिक्स तो किसी भी स्क्वायर मैट्रिक्स मगर पावर एम लगाते हो तो उसके डिटर्मिननेंट की जो वैल्यू होगी वो होगी डिटर्मिननेंट्स ऑफ ए की पावर है इस इक्वल तू डिटर्मिननेंट्स ऑफ ए की पावर होल एम तो यहां पर आपको यह समझ में आना चाहिए की एक ही पावर पी कितना है नल मैट्रिक्स है तो अगर मैं दोनों साइड पर डिटर्मिननेंट ले लूं डिटर्मिननेंट्स ऑफ एक ही पावर पी बराबर डिटर्मिननेंट ऑफ nulometric ये हो गया डाटा इसका डाटा एमिनेंट तो जीरो ही होता है तो डिटर्मिननेंट्स ऑफ ए जीरो ए गया तो इसलिए डिटर्मिननेंट्स ऑफ अनिल इंपॉर्टेंट मैट्रिक्स इसे ऑलवेज जीरो इट इस ऑलवेज सिंगुलर हमेशा सिंगुलर होती है फिर इसके बाद involudari मैट्रिक्स एक ऐसी मैट्रिक्स इसका स्क्वायर करने पर नीलपोटेंट में आइडिया इंपॉर्टेंट में गया था वही की वही वापस आती है यहां क्या है आइडेंटिटी वापस आएगी सो डेट इसे कॉल्ड आगे इन वॉल्यूम मैट्रिक्स जैसे ए इसमें मैट्रिक्स को इसी से मल्टीप्लाई करो ऑलरेडी ए जाती है तो दिस इसे इन मैट्रिक्स इसका डाटा मीनिंग वैल्यू जो होगा या वैन या माइंस वैन होगा और ये कभी भी सिंगुलर नहीं होगी invalidari मैट्रिक्स अपने आप का ही इन्वर्स होती है involvedari मैट्रिक्स सेल्फ इन्वर्स यहां पर चाहे वो नेलपेंट हो चाहे वो identifotent हो चाहे वो इंवॉल्यूटरी हो वो सबकी सब मैट्रिक्स कैसी है वो सारी की सारी मैट्रिक्स स्क्वायर मीटर हैं क्यों अभी मैंने आपको बताया था की पावर सिर्फ कहां लगा सकते हैं स्क्वायर मैट्रिक्स में तो यानी ये सब की सब मटेरियल स्क्वायर मेट्रिक्स हैं involudari का जब उसका स्क्वायर anilpotent का जब कोई पावर करने पर namitories ए जाए और आइटम कब जब उसका स्क्वायर करने पर वही वापस ए जाए ठीक है अब आता है प्रिडिक मैट्रिक्स प्रिडिक सब कहलाती है की अगर मैन लो किसी स्क्वायर मीटर इसकी पार एक के प्लस वैन की तो वापस ए जाए ए की पावर के + 1 की और वापस ए जाए तो हम ऐसी मैट्रिक्स को बोलते हैं स्क्वायर डेट इस कॉल्ड अस अन प्रिओडिक मैट्रिक्स सर इस हिसाब से तो identifotent मैट्रिक्स भी प्रिडिक हो गई हान बिल्कुल सही और इसके पीरियड को क्या बोलते हैं के के इस कॉल्ड आज डी पीरियड के इस कॉल्ड आगे अन पीरियड तो यहां पर मैट्रिक्स कैसी होती है प्रिडिक होती है पीरियड ऑफ आईना एंड मैटर्स कितना होता है सर वैन होता है आप समझ गए कैसे वैन होता है तो इसे लिखेंगे वैन प्लस वैन बराबर ए तो के की वैल्यू कितनी हो गई 1 तो यहां पर पीरियड हो गया के तो प्रिडिक मैट्रिक्स वो होती है जिसमें हम अगर पावर लगा दें जिसमें अगर हम पावर लगा दें और वही मैट्रिक्स कोई पावर लगाने पर वही मैट्रिक्स वापस ए जाए तो वो मैट्रिक्स प्रायोरिटी होगी और जिस सबसे छोटे इंटीरियर के लिए ऐसा हो पॉजिटिव इंतजार के लिए वो कहलाएगा वो कहलाएगा उसका पीरियड ठीक है मैट्रिक्स क्या होती है औरतों के मैट्रिक्स ऐसी मैट्रिक्स होती है जिसको उसके ट्रांस्पोज से मल्टीप्लाई करने पर मल्टीप्लाई करने पर आंसर आइडेंटिटी मैट्रिक्स ए जाए आइडेंटिटी ए जाए तो हम बोलेंगे ऑर्थो नल मैट्रिक्स फिर आता है एडज्वाइंट ऑफ स्क्वायर मैट्रिक्स नौ लेट अस सी व्हाट इस एडज्वाइंट एडज्वाइंट ऑफ स्क्वायर मैट्रिक्स क्या होता है कई लोग जॉइंट सोच रहे हैं यहां पे जॉइंट है ये तो जॉइंट जॉइंट मैट्रिक्स क्या है एडज्वाइंट मैट्रिक्स है मैन लीजिए हमारे पास एक स्क्वायर मैट्रिक्स है हम इसको इस हर एलिमेंट का कोई फैक्टर निकलती हैं जैसे डिटर्मिननेंट्स में निकलती हैं रो गया कोलंबिया 20 * 20 माइंस दिस इन दिस और यहां उसका कलक्टर लिख देते हैं साइन के साथ प्लस माइंस भी आता है ना उसमें हान तो साइन के साथ लिख दिया यानी ये हो गई को-फैक्टर मैट्रिक्स ये क्या हो गई को फैक्टर मैट्रिक्स तो फैक्टर मीटर इसलिए यानी हर एलिमेंट को हमने उसके रिस्पेक्टिव को फैक्टर से रिप्लेस किया और फिर उसी का ट्रांस्पोज कर दो जैसे आप उसका ट्रांसपोर्ट करोगे तो यह जो निकल कर आएगा वह कहलाएगा एडज्वाइंट ऑफ मैट्रिक्स क्या चीज होती है कोई खास बड़ी चीज नहीं होती किसी मैट्रिक्स का कलक्टर ले लो को फैक्टर से हर एलिमेंट को उसकी कलक्टर से रिप्लेस कर लो और फिर उसी का क्या कर दो ट्रांसपोर्ट तो ट्रांसपोर्ट करने पर जो आएगा वह आपका एडज्वाइंट कहलाएगा उसे मैट्रिक्स का और यहां एक छोटी सी ट्रिक है की अगर आपको किसी 2/2 ऑर्डर के डाटा मैट्रिक्स का एडज्वाइंट लिखना है तो कैसे लिखेंगे आप उसमें डायगोनल एंट्रीज को तो इंटरचेंज कर दो इन दोनों को और इन दोनों का साइन चेंज कर दो यानी डायग्नल एंट्रीज वो इंटरचेंज कर दो और इन दोनों नॉन-डाइज का साइन चेंज कर दो तो आपको एडज्वाइंट मिल जाएगा सो डेट इस डी ट्रिक तू फाइंड इट्स जॉइंट इन केस ऑफ तू बाय तू मैट्रिक्स और 3/3 के लिए भाई आई एम सॉरी करना पड़ेगा इट इसे हेक्टिक टास्क इंपॉर्टेंट रिजल्ट देखें बहुत इंपॉर्टेंट पहला रिजल्ट बहुत बच्चों गलतफहमी रहती है की अगर यहां के लगा है और एक ऑर्डर एन है एक ऑर्डर क्या है यहां पर कितना है ध्यान रखें सब में ऑर्डर ऑफ क्रॉस एन क्रॉस तो के टाइम से बाहर ए जाता है इसे बोलते हैं रिवर्सल ऑफ एडज्वाइंट रिवर्सल ऑफ एडज्वाइंट सो दिस इसे रिवर्सल ऑफ हेड जॉइंट फिर एडज्वाइंट ऑफ ए ट्रांस्पोज होता है एडज्वाइंट ऑफ ए का होल ट्रांसपोर्ट सो एडज्वाइंट ऑफ ए का ट्रांसफार्मर यानी के अगर ए सिमिट्रिक है अगर ए सिमेट्री यहां से एक चीज निकलती है इफ ए इसे सिमिट्रिक हो इफ ए इसे सिमिट्रिक इसका मतलब ए ट्रांस्पोज बराबर ए होगा और इस प्रॉपर्टी यानी के एडज्वाइंट अभी जॉइंट ए बी सिमेट्री होगा इस अलसो सिमिट्रिक यानी की अगर ए मैट्रिक्स सिमिट्रिक है मैट्रिक होगा फिर कुछ प्रॉपर्टीज एडज्वाइंट की थ्योरम नंबर वैन दे इन आइडेंटिटी में दे इन आइडेंटिटी मैट्रिक्स और ए अगर नॉन सिमिलर मैट्रिक्स है तो एडज्वाइंट ऑफ ए का डिटर्मिननेंट्स होता है डिटर्मिननेंट ए की पावर एन - 1 डिटर्मिननेंट्स ए की पावर एन - 1 यानी की थ्री ऑर्डर के लिए होगा एडज्वाइंट एक ही पावर reterminant ए की पावर 2 अच्छे से देख लेना अच्छे से रिवाइज कर लो की ए * एडज्वाइंट है डिटर्मिननेंट ए * आई होता है और ए * ए अगर नॉन सिंगुलर है तो एडज्वाइन दे का डाटा मैंने एक ही पावर एन - 1 और अगर ये नॉन सिंगुलर हो तो एडज्वाइंट ऑफ एडज्वाइंट ए होता है ये होता है डिटर्मिननेंट ए की पावर एन - 2 * स्क्वायर मेरे मैन में बसा लो रग-रग में मसाले क्योंकि यह उसे बहुत होती है बहुत ज्यादा उसे होती हैं टाइम तू टाइम तो ये ध्यान रखें की अगर नॉन सिंगुलर मैट्रिक्स है जॉइंट ऑफ एडज्वाइंट ए ये होता है डिटर्मिननेंट ए की पावर एन - 2 * ए और साथ ही साथ एडज्वाइंट ऑफ एडज्वाइंट ए का होल्ड डिटर्मिननेंट्स होता है डिटर्मिननेंट्स ऑफ ए की पावर एन - 1 का होल स्क्वायर ये बहुत इंपॉर्टेंट पॉइंट है बल्कि अगर मैं इसको एक्सटेंड करूं तो यह भी कर सकता हूं की अगर मुझे डिटर्मिननेंट्स ऑफ एडज्वाइंट ऑफ एडज्वाइंट ऑफ एडज्वाइंट ऑफ ऐसे जलता जाए और लास्ट में एडज्वाइंट ए लिखा हो इसका डिटर्मिननेंट निकलना और ये कितनी बार लिखा हो सपोज ये लिखा हो पी टाइम ये लिखा हो इसका जो टर्मिनल होता है वो होता है डिटर्मिननेंट्स एक ही पावर एन - 1 की पावर लिखा है दो बार तो एन - 1 का होल स्क्वायर ए गया अगर यहां एडज्वाइंट जॉइंट ऑफ जॉइंट तीन बार लिखा होता तो एन - 1 की पावर थ्री ए जाता तो पी बार लिखा हो तो एडज्वाइंट ऑफ ए मतलब बी पी बार लिखा हो तो उसे केस में ए जाएगा डिटर्मिननेंट ए की पावर एन - 1 तू डी पावर पी अब आते हैं इन्वर्स ऑफ मैट्रिक्स पर नौ लेट्स कम डाउन तू इन्वर्स ऑफ मैट्रिक्स इन्वर्स ऑफ मैट्रिक्स की अगर हम बात करें इन्वर्स और मैट्रिक्स की अगर हम बात करें तो स्क्वायर मैट्रिक्स है इस सेट तू बी इनवर्टिबल अब कहते हैं इनवर्टिबल जब उसे मैट्रिक्स के लिए एक ऐसी मैट्रिक्स मिल जाए जिसको उससे प्री या पोस्ट मल्टीप्लाई करके आइडेंटिटी मैट्रिक्स ए जाए तो एस तब हम कहते हैं की कोई मैट्रिक्स ए इनवर्टिबल है अब सवाल उठाता ऐसी मैट्रिक्स कब मिलेगी जब वह नॉन सिंगुलर होगी जब वे नॉन सिंगुलर होगी यानी के ए जीरो ए क्या होगा डिटर्मिननेंट्स ऑफ ए 9 = 0 यानी नेसेसरी और सबमिशन कंडीशन की अगर मैं बात करूं तो इन्वर्स किसी मैट्रिक्स का तभी एक्सेस करेगा जब वो नॉन सिंगुलर मैट्रिक्स होगी ओनली दें इट्स इन्वर्स विल एक्जिस्ट तो यहां यह समझ लेना चाहिए किसी भी मैट्रिक्स का इन्वर्स कब एक्जिस्ट करेगा जब वह नॉन सिंगुलर होगी यानी अगर उसका डिटर्मिननेंट वैल्यू नॉन जीरो है तभी उसका इन्वर्स एक्जिस्ट करेगा और ए इन्वर्स जो होता है वह क्या होता है सर्वे होता है एडज्वाइंट ऑफ ए अपॉन डिटर्मिननेंट्स ऑफ ए एडज्वाइंट ऑफ ए अपॉन डिटर्मिननेंट्स ऑफ ए डेट इस ए इन्वर्स यानी के अगर आप ए इन्वर्स को ए इन्वर्स को ए से प्री मल्टीप्लाई या पोस्ट मल्टीप्लाई कर दें यानी पहले मल्टीप्लाई कर दें या बाद में मल्टीप्लाई कर दें तो दोनों से आंसर आइडेंटिटी आएगा क्योंकि इनवर्टिबल का मतलब है ऐसी मैट्रिक्स ढूंढ लेना जिससे प्रिया पोस्ट मल्टीप्लाई करके आंसर आइडेंटिटी ए जाए और यहां वो उसे केस में कौन है वो ए इन्वर्स है वह किसके बराबर होता है एडज्वाइंट ऑफ है अपॉन डिटर्मिननेंट्स ऑफ ए के बराबर होता है ये चीज याद रखें अच्छा involverine की अगर मैं बात करूं इन वालीदैन अगर आपको याद हो तो a² = आई होता है तो ए को यहां किस मैट्रिक से मल्टीप्लाई मैट्रिक्स इस सेल्फ इन्वर्स अपने आप का ही इन्वर्स होती है ऑन involverine मैट्रिक्स फिर प्रॉपर्टी वैन समझ में ए गई हान सर ये है हमने समझ ली की कोई भी मैट्रिक्स इनवर्टिबल तब होगी जब वो नॉन सिंगुलर होगी फिर अगर ये नॉन सिंगुलर है तो डिटर्मिननेंट्स ऑफ ए का इन्वर्स होता है 1 / डिटर्मिननेंट्स ए तो ए के इन्वर्स का डाटा वैल्यू होता है ए के डिटर्मिननेंट्स वैल्यू का रिसिप्रोकल यहां मैं आपको एक चीज और बता डन बीच-बीच में मैं आपको डिटर्मिननेंट की प्रॉपर्टी चल रहा हूं डाटा मिनट ऑफ ए ट्रांस्पोज बराबर होता है डिटर्मिननेंट्स ऑफ एक डिटर्मिननेंट्स ऑफ ए ट्रांस्पोज बराबर होता है डिटर्मिननेंट्स ऑफ ए क्यों ए ट्रांस्पोज मिलता है रो और कॉलम को इंटरचेंज करके और हम जानते हैं किसी भी डिटर्मिननेंट में अगर रो और कॉलम को इंटरचेंज किया जाए उसकी वैल्यू पर कोई फर्क नहीं पड़ता इसलिए डाटा ट्रांसफर होता है डिटर्मिननेंट्स ऑफ ए प्रॉपर्टी थ्री यूनिवर्स ऑफ नॉन सिंगुलर डायग्नल मैट्रिक्स अब देखो नॉन सिंगुलर डायग्नल मैट्रिक्स बोला नॉन सिंगुलर डायग्नल मैट्रिक्स यानी के आ उसका डाटा मिनट वैल्यूज जीरो नहीं होना चाहिए अभी सिलेक्शन में बताया था जल्दी से याद करो मैं डायग्नल मैट्रिक्स का जो डिटर्मिननेंट होता है k1 K2 नोट तू किन मैन लो ये मैट्रिक्स है इसका जो डिटर्मिननेंट वैल्यू होता है सर वो होती है डायगोनल एंट्रीज का प्रोडक्ट k1 K2 सन ऑफ तू किन यानी यह जीरो नहीं होना चाहिए नॉन सिंगुलर का मतलब ये है प्रोडक्ट जीरो नहीं होना चाहिए यानी k1 K2 किन में से कोई भी जीरो नहीं हो तो ऐसी मैट्रिक्स का इन्वर्स होता है ऐसी मैट्रिक्स का जो इन्वर्स होता है वो होता है इसका रिसिप्रोकल उसके डायग्नल एंट्रीज का रिसिप्रोकल यानी जीरो जीरो तू जीरो जीरो हाफ जीरो जीरो जीरो वैन बाय थ्री डायग्नल एंट्रीज का रिसिप्रोकल हो जाएगा फिर इसके बाद प्रॉपर्टी फॉर यह कहलाता है रिवर्सल लॉ तो रिवर्सल लॉ अभी तक हम ने मेरे ख्याल से 3 या 4 पढ़े रिवर्सल ऑफ इन्वर्स सबसे पहला इन्वर्स रिवर्सल लॉ पढ़ा था कहां बी बराबर ट्रेस ऑफ बा होता है फिर दूसरा हमने पढ़ा अब का ट्रांस्पोज बराबर बी ट्रांस्पोज ए ट्रांस्पोज रिवर्सल ऑफ ट्रांसपोर्ट बोला हमने फिर तीसरा रिवर्सल लॉ पढ़ा हमने एडज्वाइंट में एडज्वाइंट ऑफ ए बी बराबर एडज्वाइंट बी इन एडज्वाइंट ए और चौथा पद रहे हैं यहां पर अब का इन्वर्स होता है बी इन्वर्स इन ए इन्वर्स और अगर ए इन्वर्टर से इनवर्टिबल इनवर्टिबल का मतलब नॉन सिंगुलर यानी इसका डिटर्मिननेंट्स वैल्यू जीरो नहीं है तो ए ट्रांस्पोज का इन्वर्स होता है ए इन्वर्स का ट्रांस्पोज यानी के अगर आपको अगर आपको ए ट्रांस्पोज का इन्वर्स निकलना है तो क्या करो ए का इन्वर्स निकल के उसका ट्रांसफर कर दो बात एक ही है एयर ट्रांसपोर्ट का यूनिवर्स निकलना है तो एक इन्वर्स निकल कर उसी का ट्रांसफर कर दो बात एक ही है प्रॉपर्टी नंबर सिक्स ए इन्वर्स का इन्वर्स वापस ए होगा ए इन्वर्स का इन्वर्स कौन होगा ए फिर ए की पावर नेगेटिव पावर कैसे डिफाइन होती है मैन लो कोई बोले ए की पावर माइंस थ्री है तो एक ही पावर -3 का मतलब है यह ए इन्वर्स का कब है अगर ए की पावर माइंस फोर लिखी है तो इसका मतलब ए इन्वर्स की पावर फोर सो डेट इस हो सी डिफाइन नेगेटिव पावर्स ऑफ स्क्वायर मैट्रिक्स ए जो की इनवर्टिबल है ठीक है ना उसके लिए ही पावर्स लिख सकते हैं फिर अब देखते हैं सिस्टम ऑफ इक्वेशन मेथड यानी हमारे पास यहां पर तीन वैरियेबल्स हैं एक्स ए और स उनमें हमारे पास तीन लीनियर इक्वेशंस हैं और हमें इस लीनियर इक्वेशंस के सिस्टम को सॉल्व करना है तो हम क्या करते हैं इस केस में कॉएफिशिएंट मैट्रिक्स लिख लेते हैं A1 A2 A3 b1 B2 B3 C1 c2c3 और फिर यहां पर लिखते हैं कॉलम विक्टर किसका वैरियेबल्स का यानी एक्स ए स को और लास्ट में कॉलम वेक्टर लिखते हैं इन कांस्टेंट्स का इस मैट्रिक्स को अगर मैं एक का डन और इस मैट्रिक्स को इफ आई कॉल दिस मैट्रिक्स ए इसको ए का दें दिस मैट्रिक्स इस ए इफ दिस मैट्रिक्स कॉम आउट तू बी ए सी कॉल दिस मैट्रिक्स आज ए इसको ए का दे इसको एक्स का दें और इसको बी तो ये सिस्टम बन जाएगा ए * एक्स = बी अब अगर ए इनवर्टिबल हुआ डिटरमिनेट नॉट इक्वल तू जीरो तो इसका मतलब ये इन्वर्स एक्जिस्ट करेगा तो दोनों साइड आप ये इन्वर्स से मल्टीप्लाई कर दें तो एक्स आने वाली हो जाएगी यह इन्वर्स बी और अगर अगर ये कब है जब आपके पास डिटर्मिननेंट्स 0 ना हो और अगर डिटर्मिननेंट जीरो है डिटर्मिननेंट है अगर जीरो है तो फिर आप क्या चेक करेंगे चेक करेंगे एडज्वाइंट ए * बी एडज्वाइंट ए * बी अगर एडज्वाइंट ऑफ ए * बी जीरो ए जाए नल में ट्रिक्स ए जाए एडज्वाइंट ऑफ ए * बी करने पर आंसर नल मैट्रिक्स ए जाए एडज्वाइंट ऑफ ए * बी करने पर nulometrics ए जाए तो दें इसके यू विल हैव इंफिनिटी मिनी सॉल्यूशन इंफिनिटी में सॉल्यूशन मिल जाएंगे और अगर एडज्वाइंट ऑफ ए * बी करने पर एडज्वाइंट ऑफ ए * बी करने पर नो सॉल्यूशन नो सॉल्यूशन तब आपके पास एक भी सॉल्यूशन नहीं आएगा अगर इन नहीं है तो फिर एडज्वाइंट इन बी निकले अगर वह नल मैट्रिक्स इंफिनिटी में नहीं सॉल्यूशन और जीरो नहीं आए तो नो सॉल्यूशन तो एडज्वाइंट ऑफ है यही सब लिखा है यही सब अच्छे से समझ गए रिवाइज हो गया अब आते हैं करैक्टेरिस्टिक इक्वेशन पर मैन लो मेरे पास एक स्क्वायर मैट्रिक्स है अगर उसकी डायग्नल एंट्रीज में से उसे मैट्रिक्स में से ए - लामबीडीए आई कर दें यानी मैट्रिक्स से ऐसे लामबीडीए ही सब्सट्रैक्ट कर दें और उसका डिटर्मिननेंट ले लें तो हमें लामबीडीए में एक इक्वेशन मिलेगी पॉलिनॉमियल इक्वेशन मिलेगी जिसे हम कहते हैं करैक्टेरिस्टिक इक्वेशन ऑफ ए तो व्हाट इसे करैक्टेरिस्टिक्स इक्वेशन ऑफ ए माइंस लामबीडीए आई जैसे एग्जांपल के तौर पर अगर मेरे पास और 2 3 1 2 - मैन लो ये है ए है तो अगर मैं ए माइंस लामबीडीए आई करता हूं तो ए - लामबीडीए आई विल बी नथिंग बट तू थ्री वैन तू माइंस लामबीडीए से मल्टीप्लाई तू माइंस लामबीडीए ये हो गया अब अगर मैं इसका reterminent देखूं ए - लामबीडीए आई का डिटर्मिननेंट्स डेट विल बी डिटर्मिननेंट ऑफ 2 - लामबीडीए 3 और 1 2 - लामबीडीए और ये हो जाएगा 2 - लामबीडीए का होल स्क्वायर माइंस 3 तो आपको क्या मिल गया सर ये मिल गया lambda² + 4 - 4 लामबीडीए - का थ्री तो सी विल हैव lambda² - 4 लामबीडीए + 1 ये मिल गया अब अगर आप इसे जीरो रख दें ए - लामबीडीए ए = 0 तो इसका मतलब हुआ लामबीडीए स्क्वायर -4 लामबीडीए + 1 = 0 ए गया अब जैसे ये जीरो आया आप ये है जो इक्वेशन आई है ये इक्वेशन एक ही करैक्टेरिस्टिक करैक्टेरिस्टिक इक्वेशन ऑफ ए जो होती है अकेले हैमिल्टन थ्योरम यह कहती है की एवरी मैट्रिक्स सेटिस्फाई इट्स करैक्टेरिस्टिक इक्वेशन एवरी स्क्वायर मैट्रिक्स से सेटिस्फाई इट्स ऑन करैक्टेरिस्टिक इक्वेशन तो यहां पर जो ये करैक्टेरिस्टिक इक्वेशन आई है अगर हम लामबीडीए की जगह पर तो ए क्या था हमारे पास ए था सर तू वैन तू थ्री वैन तू यही था हमारे पास ए और हमारे पास इसकी जो करैक्टेरिस्टिक्स इक्वेशन आई है वो आई है lambda² - 4 लामबीडीए + 1 = 0 दिस इसे डी करैक्टेरिस्टिक्स इक्वेशन करैक्टेरिस्टिक इक्वेशन ये ए गई हान सर तो यह कैरेक्टर की इक्वेशन ए गई अगर हम इस इक्वेशन में लामबीडीए की जगह पर ए रख दे तो a² - 4a प्लस आई इक्वल तू नल मैट्रिक्स होगा यानी के यह जो हमारी charactoristication है अगर लामबीडीए की जगह ए रख दे तो वो रिलेशन बी ट्रू रहेगा ए ए मैट्रिक्स से इस रिलेशन को भी क्या करेगी सेटिस्फाई करेगी सवाल उठाता है अकेले हैमिल्टन थ्योरम का उसे कहां होता है अकेले हैमिल्टन थ्योरम का उसे होता है इन नंबर वैन फाइंडिंग इन्वर्स उसे इन फाइंडिंग इन्वर्स इन्वर्स फाइंड कर सकते हैं इसकी मदद से जैसे की अगर यहां पर देखा जाए ए इनवर्टिबल मैट्रिक से हान तो ए यूनिवर्सल दोनों साइड को मल्टीप्लाई कर दो तो यहां से ये हो जाएगा ए क्योंकि ए इन्वर्स इन ए स्क्वायर है और -4a इन्वर्स इन ए और प्लस ए इन्वर्स तो ये हो गया ए - 4i + a⁻¹ = 0 नल मैट्रिक्स तो ए इन्वर्स की वैल्यू ए गई 4 आई - ए तो आप इस तरह से इन्वर्स फाइंड आउट कर सकते हैं किसी भी मैट्रिक्स का बाय यूजिंग केले हैमिल्टन थ्योरम दूसरा 2 सिंपलीफाई हायर पावर्स ऑफ ए मैट्रिक्स तो सिंपलीफाई हायर पावर्स ऑफ मैट्रिक्स को भी सिंपलीफाई करने में उसे हो सकता है पावर्स ऑफ ए मैट्रिक्स में लिखो तो आप पहले लिखना है जैसे अब यहां ए जाएगा 16 है इसको माइंस 8a प्लस आई प्लस आई ये आएगा हान अब a² की जगह रख देंगे वापस सर ए स्क्वायर की जगह हम रख देंगे 4a माइंस आई प्लस आई और जब इसे वैल्यू ऐड करेंगे तो हमारे पास अल्टीमेटली 64 - 8 64 - 8 आई थिंक इस अन 50 64 64 - 856 ए 56 ए और 16 आई - + 1 - 15 है कैलकुलेशन देख लेना कैलकुलेशन हो सकती है बट कॉन्सेप्ट इंपॉर्टेंट है तो तू सिंपलीफाई हायर पावर्स ऑफ मैट्रिक्स तो एक ही पावर फोर को एक ही टर्म्स में हमने लिख दिया तो इस तरह से यहां उसे हो सकती है और तो इस तरह से हमने देख लिया की हम कैसे खेले hamleton थ्योरम का उसे कर सकते हैं तू फाइंड हायर पावर्स ऑफ गिवन मैट्रिक्स जैसे की हमने यहां पर आपके सामने एक ही पावर फोर की वैल्यू निकल एक ही टर्म्स में तो इस तरह से आप के लिए हम थ्योरम का उसे कर सकते हैं किसी मैट्रिक्स की हायर पावर को पावर वैन या पावर तू के टर्म्स में ब्रेकडाउन करने के लिए सो डेट दिस फाइंड्स अन यूटिलिटी देयर के एडवांस में भी इस प्रॉब्लम इस थ्योरम के ऊपर प्रॉब्लम ए चुके हैं हालांकि के के सिलेबस में नहीं है बट देयर हज bintacely यूज्ड संवारे निगी मांस आगे वेल आगे इन एडवांस तो इसलिए इस थ्योरम को बहुत अच्छे से padhiyega अच्छे samjhiega सिंपल स्टेटमेंट है की हर मैट्रिक्स अपनी करैक्टेरिस्टिक्स की इक्वेशन को सेटिस्फाई करती है तो बस आज के इस लेक्चर में इतना ही रखेंगे और हमने इस 1 घंटा लगभग 10 मिनट में पुरी की पुरी मैट्रिक्स की सारी थ्योरी बहुत अच्छे से रिवाइज कर ली है मैट्रिक्स पूरा पूरा रहा में बस गया है हर पॉइंट दिमाग में फिर दोबारा से रेनीवेट रिजूवनेट हो गया है और कहना चाहिए की दिमाग में कैद हो गया है अब हमारा एक अच्छा सा रिवीजन हो चुका है अब सिर्फ आपको इस वीडियो देखने के बाद करना क्या है यह वीडियो देखने के बाद अब आपको अपने जो शीट है या अपनी तभी आप बुक ट्राई करते हैं उससे कुछ प्रॉब्लम उठाकर और करके देख लीजिएगा ताकि वह कॉन्सेप्ट एक बार और सॉलि़डीफाइड हो जाए बाय डी मिज़ ऑफ डूइंग सैम प्रॉब्लम्स और हान इसका जो पीपीटी है वो आपको प ऐप पर उपलब्ध होगा वहां मिल जाएगा आप जाइए वहां से आप डाउनलोड कर सकते हैं तो बस इसी संदेश के साथ सभी को फिर से मेरी तरफ से जय श्री कृष्ण राधे राधे फिर मिलेंगे बहुत जल्द धन्यवाद