इंटीग्रेशन का परिचय

इंटीग्रेशन की आवश्यकता

• डिस्प्लेसमेंट और वेलोसिटी का संबंध: जब वेलोसिटी से डिस्प्लेसमेंट निकालना हो, तो इंटीग्रेशन की आवश्यकता होती है।
• ग्राफ के एरिया की गणना: x-axis के साथ ग्राफ के एरिया की गणना करने के लिए इंटीग्रेशन का उपयोग होता है।

इंटीग्रेशन की प्रक्रिया

• इंटीग्रेशन डिफरेंशियेशन की उलटी प्रक्रिया है।
• ग्राफ के एरिया को छोटे-छोटे स्ट्रिप्स में बाँटकर जोड़ने की प्रक्रिया से इंटीग्रेशन किया जाता है।

इंटीग्रेशन की विशेषताएँ

• डिफरेंशियेशन से भिन्नता: सभी फंक्शन को डिफरेंशियेट किया जा सकता है, लेकिन सभी का इंटीग्रेशन संभव नहीं है।
• बेसिक फॉर्मूला:
  • ( \int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C )
  • ( n \neq -1 )

महत्वपूर्ण इंटीग्रेशन फॉर्मूला

• लॉग फॉर्मूला: ( \int \frac{1}{x} , dx = \log |x| + C )
• साइन और कोसाइन के फॉर्मूला:
  • ( \int \sin x , dx = -\cos x + C )
  • ( \int \cos x , dx = \sin x + C )

इंटीग्रेशन के प्रकार

• इंडेफिनिट इंटीग्रेशन: जब रेंज नहीं दी जाती है, तब ( C ) जोड़ते हैं।
• डेफिनिट इंटीग्रेशन: रेंज दी होती है, तब ( C ) नहीं जोड़ते।

इंटीग्रेशन के नियम

• जोड़ और घटाव के लिए:
  • ( \int (f(x) + g(x)) , dx = \int f(x) , dx + \int g(x) , dx )
• गुणा के लिए: ( \int u , v , dx = u \int v , dx - \int \left( \frac{du}{dx} \int v , dx \right) , dx )

इंटीग्रेशन के विशेष तकनीक

• आईएलएटीई फॉर्मूला: क्रम: इनवर्स, लॉगरिदमिक, एलजेब्रिक, ट्रिग्नोमेट्रिक, एक्सपोनेन्शियल
• लॉग का इंटीग्रेशन:
  • ( \int \log x , dx = x \log x - x )

उदा. द्वारा समझना

• जटिल इंटीग्रेशन: जैसे ( \int x \sin x , dx ) के लिए पार्ट्स के द्वारा इंटीग्रेशन।
• सब्स्टिट्यूशन फॉर्म: जब सीधे इंटीग्रेशन संभव नहीं, जैसे ( \int \frac{x}{1+x^2} , dx ) में ( 1+x^2 ) को ( t ) मानकर।

निष्कर्ष

• इंटीग्रेशन गणित का एक महत्वपूर्ण भाग है, जिसका उपयोग फिजिक्स और अन्य विज्ञानों में होता है।
• इसे डिफरेंशियेशन की उलटी प्रक्रिया के रूप में समझा जा सकता है।