हेलो बच्चों, आज हम बात करने जा रहे हैं इंटिग्रेशन पे अगर आपने अभी तक मेरा डिफरेंशियेशन का वीडियो नहीं देखा है तो गूगल पे टाइप करें या यूटूब पे टाइप करें differentiation physics वाला और वीडियो को देखें मैंने एक घंटे में differentiation के सारे concept बताए हैं जो physics में हमें use कर ले हैं तो आज बच्चों हम integration की बात करेंगे अब बच्चों पहली बात यह आती है कि integration हमें क्या use है क्यों लेना integration क्यों समझना है माल नीचे लिखा है s is equal to t square यह displacement है, यह time है और मैं आपसे पूछूं कि velocity क्या है तो आप बोलो कि velocity क्या होती है ds by dt अगर आपने यह वीडियो नहीं देखा है कैसे velocity निकालते हैं ds by dt तो इसको हम differentiate कर देंगे तो यहाँ जाएगा 2t ठीक है मैं differentiation पता था बहुत बढ़िया और velocity क्या होती है change in displacement upon change in time पर बच्चों मान लो हम आपको बोलें V is equals to T square plus 1 और आपसे पूछे हम displacement कितना होगा अब आप क्या करोगे अगर मैं displacement देता तो आप velocity निकाल लेते हैं dS by dt करके पर जब मैंने velocity दी और आपसे displacement पूछा भाई velocity क्या होती है ds by dt यानि displacement को differentiate कर दो पर या velocity से displacement कैसे निकालें तो इस problem को solve करने के लिए हमें पढ़ना पड़ेगा integration see integration is the reverse process of differentiation reverse process of differentiation तो देखो पिछले वाला जो example दिया मैंने उसमें भी हमको reverse पीछे जाना था displacement से velocity निकालने के लिए क्या किया differentiation velocity से displacement निकालने के लिए करना पड़ेगा integration reverse process ये मालो मेरे पाई इस ग्राफ है Y वर्सेज X का और ये ऐसा बना है मैं आपसे कहूँ XX के सितार आप ग्राफ का एरिया निकालिये किसके साथ? XX के साथ ग्राफ का एरिया निकालिये तो बड़ा आसान है आप इस triangle का area निकाल दोगे very good मैं बोलूं मेरा graph ऐसे बना है अब मैं बोलूं x-axis के साथ आप area निकाल दोगे तो भी आसान है आप इस rectangle का area निकाल दोगे very good तो बच्चों problem कब आएगी? मान लो ये ग्राफ कुछ ऐसा हो जाए अब मैं बोलू एक्स एक्सिस के साथ इस ग्राफ का area बताईए अब आपके पास कोई maths नहीं है जो ये काम कर पाए नोट्स बनाएं, इसको बना लें, चलें मैं क्या करता हूँ यहाँ पर पतली सी स्ट्रिप काट लेता हूँ बहुत पतली सी एक स्ट्रिप काट ली बहुत पतली सी है बहुत पतली से एक strip काट लिए ये length बहुत चोटी है तो बहुत चोटी length को हम क्या बोलते है dx क्योंकि ये x axis है बहुत चोटी length को हम बोला dx और इस length को मैंने बोल दिया y1 मतलब यहाँ पे मैंने बोल दिया जो y की value है वो y1 है अब इस छोटी सी strip का आप area निकाल सकते हो area of strip इस पतली सी strip का area निकाल जा सकता है ये strip है इसकी length कितनी है बच्चों y1 और इसकी breadth कितनी है?
dx तो area क्या हो जाएगा? length into breadth रिक्टांगल है तो y1 into dx इसी तरह से एक strip मैंने यहाँ काट ली छोटी सी strip तो dx और length मान ली इसकी मैंने y2 कुछ change हो गया बाई यह हो गया y2 इस वाली strip की area कितना होगा, area of this strip, ठीक है, area of this strip will be y2 into dx length into breadth, ऐसे ही कर करके मैंने कई पतली स्ट्रिप्स काटी और सबका एरिया निकाल लिया, इसका भी एरिया, पतली स्ट्रिप्स के एरिया निकाले, मैंने पतली स्ट्रिप्स बनाया और उन जो हमें required है यहाँ पर, वो हम कैसे निकाल सकते हैं, कि सारी छोटी-छोटी strip के area को जोड़ दे, मतलब y1 dx को जोड़ दे, y2 dx से, उसको जोड़ दे, y3 dx से, और जोड़ते-जोड़ते-जोड़ते, last तक क्योंकि n की value कभी 1 है, कभी 2 है, कभी 3 है, सारी पतली-पतली strip को जोडेंगे तो पूरा area आ जाएगा, तो मैंने लिखा n को start करो 1 से और n को लेके जाओ n तक किसी value तक यह आपका आग्या area ठीक है, पर अभी integration की बात नहीं आगे, अब बच्चों इस submission में एक problem है, problem समझाता है, जब इस script का area आपने लिया, तो आपने इसको complete rectangle माना है, जबकि ध्यान से देखो, ये part तुम्हारा छूड गया, इस part के बारे में हम बात नहीं कर पा अगर straight line होती तो area नहीं छूपता पर क्योंकि यह curve है तो यह area हर बार छूप जाता है तो इस area को बचाने के लिए हम submission की symbol को change करते है और यह symbol लगाते हैं यह symbol curve को दिखा रहा मतलब integration यहां लिखेंगे y dx तो यहां से कहा करना है तो हम माल लेते हैं यहां x की value 0 है और यहां माल लेते हैं x की value कुछ x1 है तो x is equal to 0 से लेकर x is equal to x1 तक integrate कर देंगे तो हमें पूरा area मिल जाएगा मतलब integration क्या होता है y versus x graph का जो area होता है y versus x graph का जो area होता है जो x axis के साथ graph enclose करता है उसको बोलते है integration जैसे मैं बोलूं मुझे यहां से यहां तक का area चलिए कोई बात नहीं आप मान लो यहाँ x की value है x2 और यहाँ x की value है x3, x चेंज हो रहा है, तो आप लिख लो x is equals to x2 से लेके x is equals to x3 तक, integrate कर दें y, d, x को, तो पहली बात यह समझ में आई कि integration हमें देता है area of y versus x, और differentiation देता था slope of y versus x, differentiation देता था slope of y versus x integration देता है हमें area of वाइ वर्सेज एक्स वेरी इंपोर्टेंट तो अभी आपको बेसिक कंसेप्ट समझ में आया होगा इंटीग्रेशन वाइ डी एक्स का मतलब क्या है ग्राफिकली वेरी बुल्ड अब बच्चो जो इंटीग्रेशन है हम यहाँ पे उतना ही integration पढ़ाएंगे जितना हमको physics में use होगा और कुछ integration हम रास्ते में सीखेंगे अपनी journey में 11th की बीच में जब सवाल आएंगे तो बताएं दूसरी important बात हर function को differentiate आप कर सकते हो निर्रली हर function को सारे function differentiate भी नहीं होते पर integration कुछ particular function ही होते हैं तो उसको integrate करना possible नहीं है differentiate भले कर सकते हैं तो integration के लिए हम आपको सबसे पहले basic formula बताते हैं, which is very important, आप note करेंगे, सबसे basic formula, जहां से integration start होगा, मां लिचे लिखा है y is equals to x की power n, हमने कहा integrate करिए x की power n dx, यहां ऐसे बोल लो पहले, integrate करिए y dx, तो y की जगह लिख दोगे x की power n dx का integration बच्चों, इसका integration होता है x की power n plus 1 upon n plus 1, ठीक है, n plus 1 upon n plus 1, अगर यहां कुछ लिखा है, जैसे लिखा है 1 से 3, तो ऐसे ही ठीक है, तो ठीक है, अगर कुछ नहीं लिखा बच्चों, तो इसको हम बोलते है indefinite integration, कि कुछ definite नहीं है, कहां से क चलिए तो formula क्या है x की power n का x की power n plus 1 upon n plus 1 जैसे हम आप से पूछे integration of x dx तो बच्चो x की power 1 है तो क्या हो जाएगा x की power 1 plus 1 2 और नीचे 1 plus 1 2 और साथ मिले क्लो plus c जैसे बच्चो हम आप से पूछे integration of x square dx तो x की power 2 है n plus 1 3 n plus 1 3 उपर क्या करना है? n plus 1, नीचे भी n plus 1 जैसे हम आप से पूछें, under root x dx बच्चों, under root x का मतलब x की power 1 by 2 dx लिख सकते हैं अब integrate करेंगे, तो उपर x की power n plus 1, नीचे भी n plus 1 और साथ में लिख देंगे plus c, यहाँ पे भी plus c प्लस C तब लिखना है जब यहाँ कुछ ना लिखा हो जब range ना बताई हो जब limit ना बताई हो कहां से कहां integration हो रहा है सबसे पहला formula x की power n का इसमें बच्चों एक important बात यह है कि n should not be equal to minus 1 n की value minus 1 नहीं होनी चाहिए क्यों नहीं होनी चाहिए मानलो n की value minus 1 नहीं होती तो minus 1 plus 1 कितना हो जाएगा 0 and anything divided by 0 is not defined in maths तो n की value minus 1 नहीं होनी चाहिए और कुछ भी हो सकती है बस minus 1 ना हो जैसे हम आप से बोलें आप हमें integrate करके दो integration of 1 by under root x dx बच्चों इसको आप क्या लिख सकते हो, यह x की power half है, उपर आएगा तो x की power minus half bx हो जाएगा, इसको integrate करोगे x की power minus half plus 1 upon minus half plus 1 और साथ में plus c लिख लोगे, x की cube हो, x की power 4 हो, बाकी सब integrate हो जाएगा, बस क्या नहीं होना च जैसे मान लीजिये हम बोले x की पार minus 1 dx का integration या exam में ऐसे आएगा 1 by x dx का integration तो बच्चो 1 by x dx का integration है वो है log mod x plus c mod इसलिए लगाया क्योंकि log के अंतर कभी भी negative number नहीं हो सकता log negative चीज़ का defined नहीं है तो मान लोग 1 upon x और x की value negative होती तो इसलिए हमने mod लगा दिया कि यहाँ पे value कैसी रहे positive x की power minus 1 dx क्या बन जाएगा?
log base e mod x plus c, very easy, ठीक है? अच्छा अगर आप याद करो, तो differentiation में आपने देखा था, कि log x को differentiate करने पर, log x को differentiate करने पर 1 by x आता है, देखा था? log x का differentiation क्या होता है?
1 by x, तो 1 by x का integration क्या हो गया? log x, इसलिए मैंने बोला integration is the reverse process of differentiation तो formulas आज की class में ज़रूर note करें ठीक है, पहली class है तो आपको formulas ज़रूर note करने पाएं चलिए, इसी x की power n पे एक सवाल और बताईए फिर आगे बढ़ते हैं integration of x की power 4 dx क्या हो जाएगा बच्चों x की power 4 plus 1 upon 4 plus 1 प्लस C तो पावर एक बढ़ा दो और प्लस C लिख दो तो X की पावर N DX का इंटिग्रेशन आपको याद हो जाना चाहिए x की power n plus 1 upon n plus 1 plus c, ऐसे कर सकते हैं, अभी यह मत सोचो कि differentiation में क्या था, उसको बाद में revise करना, mix करोगे तो confused होगे, ठीक है, अच्छा बच्चों, अब बात आती है कि अगर limit लगी हो तो क्या करें, जैसे मालो लिखा हो x dx को integrate करना है 2 से लेके 3 तक अब क्या कहें तो बच्चों पहले तो इसको integrate करो तो यह x की power 1 है x की power 1 plus 1, नीचे भी 1 plus 1, कहां से कहां, 2 से लेकर 3 तक, अब क्या करना है, पहले x की जगह 3 रखो, फिर minus लिखो, फिर x की जगह 2 रखो, चलिए दिखाते हैं, पहले x की जगह 3 रखा, तो 3 का square by 2, फिर minus लिखो, फिर x की जगह 2 इस बार plus C नहीं लिखेंगे, जब limits दी हो तब plus C नहीं लिखना है, तब कोई constant नहीं आएगा, और जब limits ना दी हो तो constant आएगा, इसको बच्चों बोलते हैं definite integration, क्योंकि अब definite है, कहां से कहां जाना है, तो जब definite हो तब constant नहीं लिखना है, ज तो आप integrate करोगे, x की power 2 है, तो 2 plus 1, नीचे भी 2 plus 1, 0 से लेकर 3 तर, पहले x की जगा 3 रखो, 3 का cube by 3, फिर लगाओ minus, फिर x की जगा 0 रखो, 0 का cube by 3, तो 3 का cube 27, जिवाइब by 3, the answer will be 9, और कोई constant C नहीं आएगा, ठीक है, तो clear हो रहा है कि कब C लगाना है और कब C न लगाके कोई दूसरी चीज़ करनी है ठीक है, जैसे बच्चों हम आपसे बोलें कि आप integration of 1 by x dx करो, x की value ले लो 2 से लेके 5 ता, तो आप बोलोगे 1 by x ये तो वही case है, कौन सा integration of x की power minus 1 dx वाला, इस case में क्या answer आना चाहिए, इस case में answer आना चाहिए log mod x और कहा से कहा 2 से लेके 5 5 अब तो mod की जरूरत minus log x की जगह 2 रख दो, log a minus log b, log a बटे b बन जाएगा, तो clear हो रही है बात कि इसको definite बोलते हैं, इसमें plus c नहीं लगाते, और जब limit ना दी हो तो plus c लगाते हैं, तो बच्चों first and foremost formula आपने पढ़ा, integration of x की पार n dx, x की पार n plus 1 upon n plus 1 plus 6 इसी में आपने exception पढ़ा कि n की value minus 1 नहीं होनी चाहिए, यदि n की value minus होगी, तो क्या बनेगा, n की value अगर minus 1 हुई, x की power minus 1 dx, इसको इस तरह से भी लिख सकते हैं, 1 by x dx, और इसका integration आएगा log mod x plus c, अब तीसरे formula भी आते हैं बच्चों तो इसका integration भी क्या होगा e की power x plus c इसका differentiation ये तो इसका integration ये reverse process है इक दूसरे का तो ये तीन बहुत ही basic formula है सबसे पहले आपको ये आजाएं अब इन से जुड़ते हुए formula question number 4 जो की कुछ अलग नहीं है जैसे हम आप से बोले integration of dx बताईए कुछ नहीं लिखा तो यार integration of dx को आप ये लिख सकते हो x की power 0 dx अब ये इसी form में चला गया, ये n हो गया, और n-1 भी नहीं है, तो आप लिखोगे x की पार 0,1, नीचे भी 0,1, plus c लिखेंगे, चेके, तो x आजाएगा answer, तो आब याद रखो कि integration of dx बच्चों x होता है, although ये सब कर सकते हो, पर छोटी-छोटी बातें ठीक है, अच्छा, next चीज़ आपको बताते हैं, number 5, ठीक है, वहाँ पर include कर लेंगे, integration of मालो लिखा हो 2x square dx, अब जब साथ में कोई चीज़ multiply हो रही हो, तो उस चीज़ को बाहर ले लो, integration of x square dx, तो तू को बाहर रखो, x की power 2, तो और उसके बाद integrate कर दो जैसे next question integration of 3dx तो बच्चों जो चीज multiply हो रही है उसको बाहर कर दो integration of dx कितना होता है x होता है तो हमारा आ गया 3x plus c तो इतनी बातों को note करें बहुत basic चीजें बताईं अब चलो कुछ formula और देख लेते हैं integration के लिए ठीक है यह समझ में आ गया जो भी चीज multiply हो रही है constant चीज तो इसको बाहर और integrate कर लो जैसे हम पुछे integration of 5bx क्या होगा तो यह बाहर आ जाएगा डीएक्स का इंटेग्रेशन x प्लस c का लेंगे तो बच्चों यह basic फॉर्मले हमने आपको बता दी हैं इंटेग्रेशन के अब कुछ और फॉर्मले हम आपको बता देते हैं और अभी आपको सारे फॉर्मले याद करने की जरूरत भी नहीं उसको भाड़के अपने घर में चिपका लीजिए अभी लिस्ट दिखाते हैं पहले हम कुछ पढ़ना थे आपको, चले लिस्ट पहले देखा रहे थे, तो तो आपने list देख ली formless के अब जैसे हम इसमें कुछ चीज़े समझाना चाहेंगे integration of sin x dx तो बच्चो sin x का integration होता है minus cos x plus c लगा दिया है अब आप याद करो cos x का differentiation होता था minus sin x यानि minus cos x अगर लिखा है cos x का differentiation क्या होगा minus sin x और एक minus और लगा है minus plus मतलब इस चीज का differentiation करोगे तो ये चीज आएगी और उसका integration करोगे तो ये चीज आएगी थोड़ा सा इसमें change हुआ है sin x का differentiation होता था cos x और sin x का integration होता है minus cos x sin x के differentiation में cos x और integration में minus cos x जैसे integration of cos x dx आपने भी देखा कितना आ रहा है? sin x plus c और यादो cos x का differentiation था minus sin x तो ये change है, तो मैं कहूँगा सिर्फ आप एक चीज़ यादरखो ये वाली क्या? कि sin x को जब हम differentiate करते हैं बस ये चीज़ यादरखो, तो answer आता है cos x अब sin x को integrate करोगे तो minus cos x आजाएगा cos x को differentiate करोगे तो minus sin x आजाएगा cos x को integrate करोगे तो sin x आजाएगा बस ये याद रखो कि sin x का differentiation cos x अब integration of sin x करेंगे तो उल्टा कर देंगे minus cos x अब differentiation of cos x किया हमने cos x का differentiation तो sin x का cos x था तो cos x का minus sin x अब integration of cos x किया तो differentiation of cos x is minus sin x तो integration क्या हो जाएगा plus sin x ठीक है तो ये basic हो गया इसके बार trigonometry में फॉर्मलेस की कमी नहीं है जैसे एक बहुत ही आपको असान चीज़ में याद कराओं कि tan x का differentiation क्या होता था ठीक है बस example दे रहा हूँ तो tan x का differentiation होता था sex square x अब मैं आपसे पुछूं कि sex square x dx का integration क्या होगा तो वापस आ जाएंगे 10x प्लस c लिख देंगे जैसे आपको अगर याद हो कि कोसेक x का differentiation क्या होता था याद है क्या कोसेक x का differentiation मुश्किल है जाद हो चली मैं बताता हूँ, होता था minus cosec x cot x, अब आपसे मैं पूछू integration of cosec x cot x क्या हो जाएगा, तो आप लिख दोगे minus cosec x plus c, just reverse process है, ठीक है, तो इतना जानने के बाद, कुछ formulas देखने के बाद, मैं आपको अगली चीज जो पढ़ा हूँगा tackle करना है multiplication को कैसे tackle करना है इसके बारे में बात करते हैं तो बात करते हैं algebra of integration की तो पहले बात करते है addition या subtraction कि दो function add या subtract हो रहे हो तब कैसे integration करना है जैसे हमसे बोला y is equals to x square plus 1 by x को आप integrate करो तो आप लिखोगे integration of y dx फिर आप लिखोगे integration of x square plus 1 by x और इस पूरे का integration अब करना क्या है एक को अलग कर लो मैंने लिख लिया x square dx plus 1 by x dx और दोनों को अलग integrate कर लो इस dx को इसमें भी दे दो इसमें भी integration का symbol दोनों में डाल दो और दोनों को अलग integrate कर लो बच्चो x square का integration x की power n plus 1 upon n plus 1 और 1 by x का integration बार बता रहा हूँ log mod x और साथ में क्या लग जाएगा, plus c, constant लग जाएगा, ठीक है, तो करना क्या है, सबको अलग-अलग करके integrate कर देना है, जैसे मान दो एक सवाल आ ले लेते हैं हम, y is equals to e की power x plus sine x plus root x, हमसे कहाँ integrate करो, integration of y dx is equals to integration of e key power x dx plus sin x dx plus under root x, dx, सब को अलग-अलग integrate कर लो, e की पार x का integration, e की पार x, sin x का क्या था, minus cos x, और root x को क्या समझ सकते हो बच्चों, यह हो गया x की पार half, तो x की पार half plus 1, और नीचे भी half plus 1, और last में plus c, मतलब अलग-अलग सब को integrate कर दो, यही है addition या subtraction की technique, ठीक, फि multiplication और बच्चों ये part हम complete नहीं कर सकते हैं सिब आपको समझा सकते हैं कुछ example करा सकते हैं क्योंकि मैंने बोला integration एक बहुत बड़ा सागर है तो कुछ आपको हम basic समझा सकते हैं जैसे हमसे लिखा हो uv मतलब दो function multiply हो रहे हो example x multiplied by sin x हमसे किसी ने कहा x sin x को integrate करो अब sin x होता तो integration minus cos x x होता integration तो x square by 2 अब दोनों multiply हो रहे हैं, तो बच्चों multiply होने का case देखो, integration of uv, आपको करना क्या है, u को बाहर रखो, integration of vdx, minus, अब सुनना, u को differentiate करो, du by dx, integration of vdx, तो पहले इस formula को अपने notes इसको हम एक चीज और कोलते हैं, क्या कोलते हैं इसको हम? integration by parts, integration by parts करने का तरीका यह होता है कि U को बाहर करो, integration of Vdx minus integration, फिर bracket में आओ, U को differentiate करो, DU by DX, फिर integration VDX, bracket flows, और यहाँ पर भी लगेगा एक पूरे का इंटेग्रेशन करो कि यू वी में से पहले एक को बाहर ले लो यू को फिर इंटेग्रेशन करो वी डी एक्स माइनस फिर इंटेग्रेशन का सिंबल लगाके एक बड़ा सा ब्रैकेट डिफरेंशियेट DU by DX फिर इंटिग्रेशन आफ VDX और पूरे अपने DX इसको जन्रूर से नोट करने पहले ठीक है और फिर इस पे कुछ questions कर लेते हैं तो यहाँ पर मैं इस फांडे पर देता हूँ अगर U, V को इंटिग्रेट करना है with respect to DX तो हम U को बाहर लेंगे integration of VDX फिर minus का symbol लगाएंगे फिर integration का symbol लगाएंगे अब लिखेंगे DU by DX फिर integration of VDX पूरे को bracket पर close करेंगे चलिए अब करते हैं x, sin x का integration with respect to dx चलिए start करते हैं तो मैंने x को बाहर ले लिया, u को बाहर integration of sin x dx, ठीक है, minus अब differentiate करना है किसको, पहले function को, u को पहला function कौन है, x तो मैंने दिखा dx by dx, x को differentiate कर दिया फिर integrate करना है v को v कौन है sin x sin x dx और इस पूरे के बाहर लिख दिया dx ठीक है अब x अब बच्चो sin x का integration क्या होता है minus cos x ठीक है ये बावाल खतम minus dx by dx 1 by x का differentiation u क्या है x x का differentiation क्या होता है 1 तो ये 1 आ गया sin x dx का integration minus cos x और साथ में लिखा है dx यह हो कि हम minus x cos x माइनस, अब ये माइनस बाहर ले लो, प्लस हो जाएगा, कॉस एक्स का इंटिग्रेशन, बच्चों कॉस एक्स का इंटिग्रेशन होता है, साइन एक्स, और साथ में लिख लेंगे प्लस, सी, तो ये इंटिग्रेशन कंप्लीट हो गया, कॉस ए नीट वाले, मेडिकल वाले परिशान ना हो, उनके लिए मैं जितने फॉर्मले बता रहा हूँ सफीशिंट है, बाकि पढ़ाते कोर्स बीच में कुछ फॉर्मले अपने आ पाएंगे, ठीक?
जैसे हम अगला लेते हैं E की पावर X और X ठीक है U V किसको B लेना है ILEAD PRINCIPLE ये principal बताता है कि U किसको लेना है इन दोनों वे से U कौन बनेगा I मतलब होता है inverse function, अगर कोई inverse function दिखें, inverse मतलब sin inverse x, cos inverse x, तो इनको U लो, L का मतलब होता है logarithmic, अगर कोई logarithmic function बनता है तो इनको U लो, A का मतलब algebra, algebra मतलब x मिल जाए, root x मिल जाए, x square मिल जाए, इस टाइप का, T का मतलब तो इन में से सबसे पहले कौन आता है? I, फिर L, फिर A, फिर T, फिर E तो U उसको लेना जो पहले आए देखो यहाँ पे एक X है X मतलब Algebraic और एक E की Power X है मतलब Exponential अब देखो इन दोनों में से पहले कौन आ रहा? तो पहले algebra का रहा तो इसलिए x को क्या मानेंगे u और e की power x को क्या मानेंगे v जैसे पिछली बार देखो क्या था x sin x तो मैंने आपको बिता बिना बताए x क्या था एलजेब्रिक और साइन एक्स क्या था ट्रिग्नोमेट्रिक तो मैंने आपको बिना बताए एक्स को देखो यू लिया था क्योंकि एलजेब्रिक पहले आता है तो यहाँ पे आपको एक्स को यू लेना पड़ेगा ठीक है चलिए आइए इसको मैं integrate करें integration of x की e x e की power x d x तो x को बाहर किया integration of e की power x d x minus इसका differentiation d x by d x integration of e की power x d x और पूरे के आगे लिख लिया d x x, e की power x का integration, e की power x, minus dx by dx कितना होगा? 1 होगा e की power x का integration e की power x और साथ में dx x e की power x minus e की power x का integration e की power x plus c तो ऐसे करते हैं बच्चो इसी logarithmic वाले sorry इसी integration by part वाले तरीके से हम आपको एक बहुत खास चीज़ सिखा रहे हुए कि log x को कैसे integrate करें 1 by x को integrate करते हैं तो log x आता है log x को कैसे integrate करें तो बच्चो log x को integrate करने के लिए हम क्या करते हैं जैसे हम से कहा log x को integrate करो तो इसको हम ये लिख सकते हैं 1 multiplied by log x लिख सकते हैं अब देखो ये logarithmic हो गया और 1 कहां आएगा algebra में आता है वन algebra हो गया और ये logarithmic पहले कौन आ रहा है पहले logarithmic तो ये U बनेगा ये भी तो चलिए लिख लेते हैं log x और यहां लिख लिया अब तरीका क्या है, U को बाहर करूँ, बाहर किया, integration of VDX, मतलब 1DX, minus, DU by DX, यह U है, यानि differentiation of log X with respect to X, integration of VDX, लीका उन है, 1DX, और पूरे के बाहर एक लगा लिया, DX, अब यह हो क्या, log X, integration of DX क्या होता है, आपको सिखा minus log x का differentiation x के respect में log x का differentiation 1 by x क्योंकि 1 by x का integration log x फिर dx का integration x पूरे के बाहर लगा है dx तो x ए x मर गया 1 बचा तो finally लिखेंगे हम वहाँ क्या बचा x log x minus dx का integration x बाकि सब तो cancel हो गया तो x log x minus x चेके तो बेटर होगा आप log x का integration याद भी रखो सभी लोग याद रखते हैं log x का integration होता है x log x minus x तो इसको अपनी copy में उपर लिख लो या notes में कहीं लिख लो कि log x का integration है x log x minus x और करने का तरीका यही i-lead principle से x log x minus x तो बच्चों इस तरह से question तो बहुत बन सकते हैं questions repeat करके एक बार देख लीजेगा अगर नहीं समझ में आया method ये था ये principle जैसे आपसे कहा integration of sin2x कर लिये, तो आपको integration of sinx तो पता है, आपसे sin2x बोला, तो आप tension मत लो, sinx का integration क्या होता है, minus cosx, तो sin2x का minus cos2x, ठीक, आपने मान लिया यह x था, अब यह चीज x को है नहीं तो इसको आपने x माना है एक काम करो इसके differentiation से इसको divide कर दो 2x को differentiate करोगे क्या आएगा तो 2 से divide कर लिया एक और example लेते हैं टेंशन मतलब जैसे दिखा है e की पार 4x और हमसे बोला integrate करो तो e की पार x का integration होता है e की पार x तो e की पार 4x का e की पार 4x divided by इसको तुमने x माना है तो इसके differentiation से divide कर दो 4x का differentiation 4 चलो एक और example लिखते हैं जैसे integration of ध्यान से लिखना cos x square plus 1 dx, cos x का integration होता है plus sin x, ठीक है, तो ये पूरा x मान लिया, तो हो जाएगा sin x square plus 1, अब ये x तो है नहीं, तो इस पूरे के differentiation से इसको divide कर दो, तो x square plus 1 का differentiation, 2x, 1 का differentiation, 0, और साथ में plus c तीनों में लगेगा, plus c, plus c क्यों लगा रहे हैं, क्योंकि क sin x square plus e to the power x dx तो आप क्या करों?
आप sin x का integration जानते हो minus cos x square plus dx अब ये x तो है नहीं पूरा तो इसके differentiation से divide कर दो x square का differentiation 2x e to the power x का e to the power x समझ में आ रहा है? तो इस तरह से differentiate करना आ रहा है integrate करना पड़ेगा अगर x की ज़गह कोई दूसरा टम आपको दिख जाए ठीक है, clear हो गया बच्चो इसके बाद integration यहाँ खतम नहीं होता क्योंकि integration कभी खतम नहीं होता बहुत से form है, जैसे आपको कुछ example में substitution form का दिखा दू कुछ example substitution form का जैसे मालों हम लिखें x upon 1 plus x square को आप integrate करो with respect to dx अब आपको लग रहा है ये U by V form है पर integration में कोई U by V form नहीं होता, वो differentiation में था, अब इसके लिए एक substitution method है, ध्यान देना, अगर मैं बोलूं कि 1 plus x square को मैं T मान लूं, अगर मैं 1 plus x square को T मान लूं, अब मुझे बताओ, ऐसे लिख सकते हैं, T is equals to 1 plus x square का 2x यहां से आप dt is equal to 2x dx ठीक है, अब आओ यहाँ पर, उपर लिखा है x dx, तो x dx क्या बन जाएगा, dt by 2, x dx को क्या लिख सकते हो, dt by 2, और 1 plus x square को क्या माना है, t, तो यह हो गया t, अब यहाँ से 1 by 2 बाहर, integration of dt by t, यानि 1 by t, और 1 by t का integration क्या होगा बच्च t plus c, अब t है क्या 1 plus x square, तो half log 1 plus x square plus c तो बहुत से तरीके के integration होते हैं, यह just एक example दिया है मैंने, ठीक है, जैसे एक example और दे देता हूँ, तो यह चीज़ आपको और clear हो जाएगी, जो अभी-अभी मैंने किया, same यही चीज और clear हो जाएगी, मालों उनसे कहा कि sin x minus cos x upon sin x plus cos x, dx को integrate करूँ, अब आपको कोई तरीका नहीं पता इसको integrate करने का, पर मैं आपको बताता हूँ, अगर sin x plus cos x को हम t मानें, तो t is equals to sin x plus cos x, अब जड़ा t को differentiate कर दो, dt by dx is equals to sin x का differentiation minus cos x, cos x का differentiation sin x, तो हम बोल सकते हैं dt is equals to sin x minus cos x into dx, अब देखो उपर क्या लिखा है, sin x minus cos x into dx, तो उपर की जगा हम dt लिख सकते हैं, और नीचे sin x plus cos x क्या बन गया, t बन गया, dt by t का integration, log t plus c, फिर t की जगा value put कर दो, log, क्या है अपने पास, sin x plus cos x plus c, तो यह just एक example ता बच्चों, इसके बहुत से example है substitution form के तो इसका कोई दूसरा वीडियो ले आएंगे बीच में या syllabus के बीच में भी example मिलते रह