Matrice Associata ad un'Applicazione Lineare

Jul 22, 2024

Lezione sulla Matrice Associata ad una Applicazione Lineare

Introduzione

  • Argomento: Matrice associata ad un'applicazione lineare.
  • Importanza: Presente in ogni compito d'esame.
  • Pre-requisiti: Applicazione lineare, spazio vettoriale, basi, generatori.

Applicazione Lineare e Matrice Associata

  • Definizione: La matrice associata è formata dalle componenti dei vettori immagine.
  • Obiettivo: Comprendere il meccanismo per trovare la matrice associata.

Concetti Chiave

  • Applicazione lineare: Funzione definita tra due spazi vettoriali.
  • Basi: Necessarie sia per il dominio (V) che per il codominio (W).
  • Scrivere la matrice: Considerare la base di partenza e di arrivo (es. base canonica).

Procedura

  1. Scegliere le basi:
    • Base di partenza V: ({v_1, v_2, ..., v_n}).
    • Base di arrivo W: ({w_1, w_2, ..., w_m}).
  2. Calcolare i vettori immagine: Applicare la funzione a ciascun vettore di base di V.
  3. Scrivere le componenti: Espandere ogni vettore immagine sulle basi scelte.
  4. Costruire la matrice: Le componenti dei vettori immagine costituiscono le colonne della matrice.

Esempio

Applicazione Lineare:

[ f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2 ] [ f(x, y, z) = (2x + y, y - z) ]

Basi Canoniche

  • Base di partenza ( \mathbb{R}^3 ): ( e_3 = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} ).
  • Base di arrivo ( \mathbb{R}^2 ): ( e_2 = {(1, 0), (0, 1)} ).

Calcolo delle colonne della matrice

  1. Calcolare ( f(1, 0, 0) ) = (2, 0)
  2. Calcolare ( f(0, 1, 0) ) = (1, 1)
  3. Calcolare ( f(0, 0, 1) ) = (0, -1)

Matrice Rispetto alle Basi Canoniche

[ M = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} ]

Cambio di Base

  • Nuova base di partenza ( A = {(1, -2, -2), (0, 1, 1), (0, 0, 1)} ).
  • Nuova base di arrivo ( B = {(1, 1), (1, -1)} ).

Calcolo delle colonne della matrice con nuove basi

  1. Vettore immagine: ( f(1, -2, -2) = (2, 0) )
  2. Espansione in B: Risolvere il sistema per trovare le componenti rispetto alla nuova base.
  3. Vettore immagine: ( f(0, 1, 1) = (1, 0) ) e ( f(0, 0, 1) = (0, -1) )

Matrice Rispetto alle Nuove Basi

[ M' = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} ]

Conclusione

  • Comprendere la costruzione delle matrici associate è cruciale in algebra lineare.
  • Importance del vedere la matrice in diverse basi per comprendere meglio la trasformazione.

Video Suggeriti

  1. Auto-valori e auto-vettori di una matrice.
  2. Determinazione di nucleo e immagine di un'applicazione lineare.