Il prodotto scalare di due vettori è il numero che si ottiene moltiplicando il modulo di un vettore per la componente dell'altro vettore lungo di esso. Quella componente, cioè la lunghezza della proiezione del secondo vettore sul primo, è pari al modulo del secondo vettore moltiplicato per il coseno dell'angolo formato dai due vettori. Perciò il prodotto scalare è dato dal prodotto dei moduli dei due vettori moltiplicato per il coseno dell'angolo che essi formano.
Quando due vettori sono perpendicolari tra loro, dunque il loro prodotto scalare vale zero. Quando l'angolo formato dai due vettori è ottuso, il prodotto scalare ha valore negativo. In valore assoluto il prodotto scalare è massimo quando i due vettori sono paralleli. Il prodotto vettoriale di due vettori A e B, che si indica con un segno per a forma di X, è un terzo vettore che si costruisce così. La sua direzione è perpendicolare al piano che contiene i due vettori di partenza.
Il suo verso è dato dalla regola della mano destra. Se si orienta il pollice della mano destra nel verso di A, e le altre dita nel verso di B, il prodotto vettoriale esce dal palmo della mano. Il modulo del prodotto vettoriale è pari all'area del parallelogramma che ha come lati A e B.
Lo si ottiene facendo il prodotto dei moduli dei due vettori e moltiplicando poi per il seno dell'angolo che essi formano. Il prodotto vettoriale non è commutativo. Se si inverte l'ordine dei due vettori di partenza, infatti, il modulo e la direzione del vettore risultato non cambiano, ma il suo verso è opposto.