Pembelajaran Fungsi Inverse dan Contohnya

Sep 30, 2024

Catatan Materi Fungsi Inverse

Pembukaan

  • Pembicara: Denny Hendayani
  • Topik: Fungsi Inverse (bagian ketiga dari seri komposisi fungsi)
  • Materi pokok:
    1. Definisi fungsi inverse
    2. Menentukan inverse fungsi linear
    3. Menentukan inverse fungsi rasional
    4. Sifat-sifat fungsi inverse

Definisi Fungsi Inverse

  • Inverse = kebalikan dari suatu fungsi.
  • Misalnya, fungsi F memetakan himpunan A ke B (F: A → B).
    • Notasi inverse: F⁻¹ (dibaca "F inverse")
    • Jika F: A → B, maka F⁻¹: B → A.
    • Contoh: Jika F(x) = 4x, maka F⁻¹(x) = x/4.

Menentukan Inverse Fungsi Linear

Contoh Soal 1: f(x) = 3x - 5

  1. Ganti f(x) dengan y:
    y = 3x - 5
  2. Tukar posisi x dan y:
    3x - 5 = y
  3. Pindahkan -5 ke ruas kanan:
    3x = y + 5
  4. Bagi dengan 3:
    x = (y + 5) / 3
  5. Ganti y dengan f⁻¹(x):
    f⁻¹(x) = (x + 5) / 3

Contoh Soal 2: f(x) = 2x + 4

  1. Ganti f(x) dengan y:
    y = 2x + 4
  2. Tukar posisi x dan y:
    2x + 4 = y
  3. Pindahkan 4 ke ruas kanan:
    2x = y - 4
  4. Bagi dengan 2:
    x = (y - 4) / 2
  5. Ganti y dengan f⁻¹(x):
    f⁻¹(x) = (x - 4) / 2

Menentukan Inverse Fungsi Rasional

Contoh Soal 1: f(x) = (2x - 3) / (3x + 4)

  1. Ganti f(x) dengan y:
    y = (2x - 3) / (3x + 4)
  2. Pindahkan pembagi ke kiri:
    y(3x + 4) = 2x - 3
  3. Kembangkan:
    3xy + 4y = 2x - 3
  4. Pindahkan 2x dan 4y ke kiri:
    3xy - 2x = -4y - 3
  5. Keluarkan x: x(3y - 2) = -4y - 3
  6. Bagi dengan (3y - 2):
    x = (-4y - 3) / (3y - 2)
  7. Ganti x dengan f⁻¹(y):
    f⁻¹(x) = (-4x - 3) / (3x - 2)

Contoh Soal 2: f(x) = (x + 4) / (2x - 1)

  1. Ganti f(x) dengan y:
    y = (x + 4) / (2x - 1)
  2. Pindahkan pembagi ke kiri:
    y(2x - 1) = x + 4
  3. Kembangkan:
    2xy - y = x + 4
  4. Pindahkan x ke kiri:
    2xy - x = y + 4
  5. Keluarkan x:
    x(2y - 1) = y + 4
  6. Bagi dengan (2y - 1):
    x = (y + 4) / (2y - 1)
  7. Ganti x dengan f⁻¹(y):
    f⁻¹(x) = (x + 4) / (2x - 1)

Sifat-sifat Fungsi Inverse

  1. Inverse dari fungsi inverse menghasilkan fungsi semula:
    F⁻¹(F⁻¹(x)) = F(x)
  2. Komposisi fungsi dan inverse menghasilkan fungsi identitas:
    F(F⁻¹(x)) = x dan F⁻¹(F(x)) = x
  3. Posisi fungsi pada komposisi dibalik saat diinvers:
    F(G⁻¹(x)) = G⁻¹(F(x))

Contoh

  • Jika diketahui F⁻¹(x) = (x + 1) / 2 dan G⁻¹(x) = x - 3, maka:
    • G(x) = G⁻¹⁻¹(x) = x + 3
    • G(F⁻¹(x)) = F⁻¹(G(x)) =

Penutup

  • Video berikutnya akan membahas cara mudah menentukan inverse suatu fungsi.