Assalamualaikum Wr Wb ketemu lagi dengan saya Dini Handayani di channel ATLAM ini adalah video kedua saya ngebahas materi matrix pada video ini kita akan belajar operasi matrix meliputi operasi penjumlahan pengurangan perkalian skalar dengan matrix dan perkalian matrix dengan matrix bagi teman teman yang belum lihat video sebelumnya silahkan cek aja linknya di deskripsi video ini Oke, kita masih membahas matriks Pada video ini kita akan belajar beberapa operasi matriks Yang pertama, operasi penjumlahan matriks Cara menjumlahkan 2 buah matriks atau lebih, caranya cukup sederhana. Kita tinggal menjumlahkan elemen atau entry yang seletak, yang posisinya sama. Biar lebih jelas, kita coba jumlahkan 2 buah matriks berikut ini. Matriks ini ordonya 3 baris 2 kolom.
1, 4, 3, negatif 1, dan 3, 0. Kita jumlahkan dengan matriks ini. Nah, 2 buah matriks atau lebih itu bisa kita jumlahkan, syaratnya ordonya harus sama. Jadi, tidak bisa kita jumlahkan kalau kedua matriks ini ordonya beda. Karena kita akan menjumlahkan yang entry-nya, yang elemennya posisinya sama.
Nah, kita coba jumlahkan matriks ini. Cara menjumlahkannya sederhana. Teman-teman lihat yang letaknya sama, yang seletak. Misalkan yang ini, 1. 1 ini kan ada di baris pertama, kolom pertama. Kita jumlahkan dengan yang baris pertama, kolom pertama lagi.
1 kita tambahkan dengan negatif 5 Maka jawabannya negatif 4 kita simpan disini 4 kita jumlahkan dengan 2 Pokoknya yang posisinya sama 4 kita jumlahkan dengan 2 6 3 kita jumlahkan dengan 2 jumlahkan dengan 3 lagi 6, kemudian negatif 1 kita jumlahkan dengan 0 negatif 1 3 ini kita jumlahkan dengan negatif 2 positif 1 dan 0 ditambahkan dengan 1 hasilnya 1 nah seperti ini cara menjumlahkan 2 buah matrik sederhana ya kita tinggal menjumlahkan yang posisinya sama ingat matrik itu bisa kita jumlahkan kalau ordo nya sama jumlah baris dan jumlah kolom nya sama Nah sekarang kita ke operasi kedua Pengurangan matriks Ini caranya sama aja Dengan penjumlahan Kita tinggal mengoperasikan yang Posisinya sama, yang seletak Contoh Matriks ini akan kita kurangi dengan matriks ini Kita kurangi saja yang posisinya sama Berarti 1 kita kurangi dengan negatif 5 1 dikurangi negatif 5 itu berapa? 6 4 kita kurangi dengan 2 2 Kemudian 3 kita kurangi dengan 3 0 Negatif 1 dikurangi 0 Negatif 1 kemudian 3 dikurangi negatif 2 Berapa? 5 0 kita kurangi dengan 1 Negatif 1 Nah ini hasil pengurangannya Simpel ya Kita kurangi yang elemen yang posisinya sama Yang seletak Oke sekarang kita bahas perkalian skalar dengan matriks Langsung saja contoh, jika A ini suatu matriks, tentukan matriks 3A 3 ini skalar, jadi skalar itu suatu bilangan, bilangan real bisa berapapun Dan A ini adalah matriksnya Bagaimana cara mengalihkan suatu skalar dengan matriks? Kita jawab soal ini, kita akan mencari matriks 3A 3A itu berarti 3 kali matriks A Caranya cukup sederhana, kalian kalikan saja bilangan skalar ini dengan semua elemen matriks Matrixnya Kita kalikan 3 dengan negatif 5 Berarti negatif 15 Seperti itu 3 kita kalikan dengan 2 6 3 kita kalikan dengan 3 9 Kemudian 3 kita kalikan dengan 0 0 Kemudian 3 kali negatif 2 Negatif 6 3 kali 1 3 Nah ini adalah matrix 3A Jadi Perkalian skalar dengan matriks caranya teman-teman kalikan skalarnya dengan semua elemen pada matriks tersebut Oke sekarang kita bahas operasi berikutnya yaitu perkalian matriks dengan matriks Nah operasi ini tidak sesederhana 3 operasi sebelumnya Misal diketahui matriks A ordonya M kali N dan matriks B ordonya N kali P Perkalian matriks A dan B akan menghasilkan matriks baru yang berordo M kali P Jadi ditulis A, ordo M kali N dikali B, ordo N kali P sama dengan matriks AB, ordonya M kali P. Maksudnya gini, 2 buah matriks itu bisa kita kalikan, nah ordo itu kan baris kali kolom ya, ini baris, ini kolom.
Nah syarat 2 buah matriks itu bisa dikalikan kalau jumlah kolom pada matriks pertama itu sama dengan jumlah baris pada matriks kedua. Analoginya begini, biar teman-teman lebih paham. Tahu kan kartu domino? Yang kayak gini nih Kartu domino ini bisa dipasangkan jika gimana?
1, 3 ini bisa dipasangkan jika disini 3 lagi kan? 3 berapa? 3, 4 misalkan Nah sama Jadi domino ini kalau kita analogikan sebagai Ordo matrix Itu bisa kita kalikan Jika ujung matrix pertama Atau jumlah kolomnya itu sama dengan awal matrix kedua Atau jumlah baris pada matrix kedua Nah, biar lebih jelas, kita coba beberapa contoh berikut ini Diketahui matriks-matriks berikut Ada matriks A, B, C, dan D Ini ordonya beda-beda Di antara perkalian berikut, manakah yang dapat diselesaikan?
Dan tentukan ordo hasil perkaliannya Yang pertama Matrix A kita kali dengan matrix B ini bisa dikalikan tidak? Bisa kita selesaikan tidak? Lihat saja ujungnya, jumlah kolomnya. Di sini 3. B, jumlah barisnya di sini 2. Sama tidak?
Tidak sama, kan? Karena tidak sama, berarti ini tidak bisa kita selesaikan. Simpel kan Oke Sekarang coba Kalau A dikalikan dengan C A nya 2 kali 3 Oke disini jumlah kolomnya 3 C nya disini jumlah barisnya 3 Karena ini sama Kolom sama dengan baris Kalau matriks pertama sama dengan baris matriks kedua Maka ini bisa diselesaikan Dan hasil kalinya nanti akan menjadi matriks AC Ordonya itu setisanya Ini 2 x 2 Yang ketiga Matrix C kita kali dengan matrix D Bisa gak? Bisa Karena ini 2, ini 2 Maka hasilnya akan menjadi matrix C D Ordo nya 3 kali 5 Oke Yang keempat B kali C Ini bisa kita kalikan tidak? Di sini 4 Di sini 3 Karena beda berarti ini tidak bisa kita kalikan Simpel ya Nah sekarang kita akan belajar cara mengalikannya Tidak sesederhana penjumlahan dan pengurangan Misalkan ada matriks A, di sini matriksnya 3 baris 2 kolom, 3 kali 2, dan B-nya 2 baris 3 kolom.
A-nya kan 3 kali 2, 3 kali 2. B-nya 2 kali 3, karena ini sama berarti ini bisa kita kalikan. A dan B bisa kita kalikan. C sama dengan A kali B, tentukan matriks C Jadi kita akan mencari matriks C, caranya kita kalikan A dan B Matriks A nya 1, 2, 3, 4, 1, 0 Kalikan dengan B nya negatif 1, 2, 1, 3, 2, 4 Nah cara mengalikannya perhatikan Pertama dari matriks pertama, teman-teman lihat barisnya. Lihat baris pertama.
Baris, kalikan dengan kolom. Triknya ingat baskom. Baris kali kolom.
Baris pertama kita kalikan dengan kolom pertama. Cara mengalikannya, kalikan entry-nya dulu. 1 kita kali dengan negatif 1. 1 kita kali dengan negatif 1 itu negatif 1. Lalu ditambah. 2 kita kalikan dengan 3. 6. Paham ya? 1 kali negatif 1, negatif 1. 2 kita kali 3, 6. Nah, sekarang baris pertama kita kali dengan kolom kedua.
1 kali 2, 2. Ditambah 2 kita kali 2, 4. Baris pertama kita kali dengan kolom ketiga 1 x 1, 1 Ditambah 2 x 4, 8 Nah sekarang matiks pertama kita pindah ke baris kedua Baris kedua ini kita kali dengan kolom pertama 3 x negatif 1, negatif 3 Kemudian ditambah 4 x 3, 12 Baris kedua kita kali dengan kolom kedua 3 x 2, 6 Ditambah 4 x 2, 8 Kemudian baris kedua kita kali dengan kolom ketiga 3 x 1, 3 Ditambah 4 x 4, 16 Kemudian kita pindah ke baris ketiga Baris ketiga kali dengan kolom pertama 1 x negatif 1, itu negatif 1 0 x 3, plus 0 Kemudian, baris ketiga kolom kedua. 1 x 2, 2. Ditambah 0 x 2, 0. Baris ketiga kolom ketiga. 1 x 1, 1. Ditambah 0 x 4, 0. Oke, nah ini tinggal kita selesaikan. Negatif 1 tambah 6, 5. 2 tambah 4, 6. 1 tambah 8, 9. Negatif 1 tambah 6, 5. Negatif 3 tambah 12 itu 9 6 tambah 8, 14 3 tambah 16, 19 Negatif 1 tambah 0, negatif 1 2 tambah 0, 2 1 tambah 0, 1 Dan ini adalah hasil perkaliannya Oke Nah, sekarang kita coba beberapa Contoh soal Yang melibatkan 4 operasi yang sudah kita pelajari barusan Oke, kita bahas contoh pertama Diketahui matriks A negatif 1, 0, 3, 8 dan matriks B 0, 9, 6, negatif 7 Jika A dikurangi B sama dengan C, maka matriks C transverse adalah Kita akan mencari C, C itu A dikurangi B C sama dengan A dikurangi B Matriks A nya negatif 1, 0 Kemudian 3, 8 kita kurangi dengan matriks B nya 0, 9, 6, negatif 7 Jadi matriks C nya negatif 1 dikurangi 0, negatif 1, 0 dikurangi 9, negatif 9 3 dikurangi 6, negatif 3, 8 dikurangi negatif 7, 15 Nah ini matriks C, kita akan cari C transverse Masih ingat transverse di video 1 Transverse itu merubah baris dengan kolom ya Menukar baris dengan kolom Jadi baris pertama, negatif 1, negatif 9 Ini kita jadikan kolom pertama Negatif 1, negatif 9 Baris kedua, ini kita jadikan kolom kedua Negatif 3, 15 Nah ini hasilnya Ada nggak?
Negatif 1, negatif 3, negatif 9, 15 Jawabannya adalah E Oke, sekarang kita bahas contoh kedua E Diketahui matriks A, ini matriks A dan ini matriks B Jika C sama dengan 2A dikurangi B transpose Maka matriks C sama dengan C sama dengan 2A dikurangi B transpose Berarti 2A itu 2 kali matriks A Matriks A nya 5, 6 1, 3. 1, 3 dikurangi B transpose. Nah, B transpose-nya kita langsung saja transpose kayak yang ini. Transpose itu baris kita jadikan kolom atau sebaliknya.
Baris pertama 1, 2 kita jadikan kolom pertama. 1, 2. Baris kedua 5, 3. Jadi kolom kedua. 5, 3 Nah ini perkalian skalar dengan matriks Masih ingat kan?
Cara mengalihkan skalar dengan matriks Teman-teman kalikan aja skalar dengan semua elemen matriksnya 2 x 5, 10 2 x 6, 12 2 x 1, 2 2 x 3, 6 Kita kurangi dengan B transpose 1, 5 2, 3 Ini tinggal kita kurangi Elemen yang posisinya sama 10 dikurangi 1, 9 12 dikurangi 5, 7 2 dikurangi 2, 0 6 dikurangi 3, 3 Nah ini hasilnya 9703 Ada gak 9703? Yang E ya Oke sekarang kita bahas contoh ketiga Diketahui matriks K, L, dan M Jika n sama dengan k tambah lm, maka matriks n sama dengan Nah disini ada 2 operasi ya, penjumlahan dan perkalian Oke kita akan mencari matriks n, n itu sama dengan k ditambah l kali m Matriks k nya kita tulis dulu, k itu negatif 10, 15, 8, 4 Kita tambahkan dengan L kali M. L nya 4, 4, negatif 9, 2. Kali matriks M.
0, negatif 6, 5, 7. Nah, kita dulukan perkalian dulu ya. Jangan tambah dulu. Kita dulukan kali dulu.
Oke. Jadi ini kita tulis dulu. Negatif 10, 15, 8, 4. Nah ini kita kalikan, cara mengalikannya ingat baris kali kolom ya Baris pertama kita kalikan dengan kolom pertama 4 x 0, 0 Kemudian ditambah 4 x 5 Tambah 20 Baris pertama kita kalikan dengan kolom kedua 0 x negatif 6 Negatif 24 Kemudian 4 x 7 Negatif 28 Nah sekarang baris kedua kolom pertama Negatif 9 kali 0, 0 Ditambah 2 kali 5, 10 Kemudian baris kedua kolom kedua Negatif 9 kali negatif 6 Positif 54 ya Kemudian 2 kali 7, 14 Sama dengan Negatif 10, 15, 8 4 kita tambah dengan Nah ini kita jumlahkan dulu 0 tambah 20, 20 Negatif 24 tambah 28 Positif 4 Kemudian 0 tambah 10, 10 54 tambah 14 68 ya 68 Nah ini tinggal kita tambahkan yang Posisinya sama, yang seletak Negatif 10 tambah 20 Itu positif 10 15 ditambah 4, 19 8 ditambah 10, 18 Dan 4 ditambah 68, 72 ya Nah ini hasilnya 10, 19, 18, 72 Ada nggak? Yang C ya Jawabannya adalah C Oke, sekarang kita bahas contoh keempat Diketahui matriks A, matriks B, dan matriks C Dan matriks D, ada 4 matriks Jika A tambah B sama dengan C kali D A tambah B, A nya itu negatif 2Z, 4, 2, 5 Kita tambah dengan matriks B, B nya itu negatif 4, negatif X Negatif Y dikurangi 5 dan positif Y Sama dengan C kali D C nya negatif 1, 3, 0, 2 Kali D nya 4 1 negatif 2 3 Nah ruas kiri ini tinggal kita tambahkan aja ya Negatif 2 Z ditambah negatif 4 Negatif 2 Z kurang 4 Kemudian 4 ditambah negatif X Ya 4 min X 2 ditambah negatif Y dikurangi 5 Berarti negatif Y negatif 5 tambah 2 itu negatif 3 Kemudian 5 ditambah Y Y plus 5 Nah yang ini ruas kanan ini kita kalikan Ingat baris kali kolom Baris pertama kita kali dengan kolom pertama Negatif 1 kali 4 itu negatif 4 Ditambah 3 kali negatif 2 negatif 6 Ditambah negatif 6 berarti kurangi 6 ya Baris pertama kolom kedua Negatif 1 kali 1 negatif 1 3 kali 3 9 Kemudian baris kedua kolom pertama 0 x 4 0 2 x negatif 2 negatif 4 Baris kedua kolom kedua 0 x 1 0 2 x 3 6 tambah 6 Jadi negatif 2z dikurangi 4 4 min x Negatif y dikurangi 3 Y tambah 5 Sama dengan Negatif 4 dikurangi 6 itu negatif 10 Negatif 1 tambah 9, 8 0 dikurangi 4 negatif 4 0 tambah 6, 6 Nah, di sini kita gunakan kesamaan 2 buah matriks Kesamaan 2 buah matriks itu 2 buah matriks sama jika entry yang letaknya sama, nilainya sama Jadi, kita bisa nyari nilai X misalnya Nilai X berarti yang ini, dari sini ya Dia harus sama dengan ini, teman-teman 4 dikurangi X sama dengan 8. Maka negatif X sama dengan 8 dikurangi 4. Negatif X sama dengan positif 4. Maka X-nya adalah negatif 4. Kita sudah dapat X-nya.
Sekarang kita cari Y-nya. Kita bisa pakai yang ini. Y tambah 5 kan sama dengan 6 Maka Y nya berapa?
Berarti 6 dikurangi 5 Y sama dengan 1 Atau teman-teman bisa juga pakai yang ini Negatif Y dikurangi 3 sama dengan negatif 4 Negatif Y sama dengan negatif 4 tambah 3 Negatif 1 Maka Y sama dengan 1 Hasilnya sama aja Ya, Y nya 1 Nah, sekarang kita akan mencari Z Kita pakai yang ini Dia harus sama dengan ini Negatif 2Z dikurangi 4 sama dengan negatif 10 Jadi negatif 2Z sama dengan negatif 10 ditambah 4 Negatif 6 Maka Z nya negatif 6 dibagi negatif 2 positif 3 Nah disini kita sudah dapat X, Y, dan Z Yang ditanyakan adalah X tambah Y tambah Z ya, X nya berapa? X nya negatif 4 Negatif 4 ditambah Y nya tadi 1 Kemudian ditambah Z nya 3 Ya, berapa tuh? Negatif 4 ditambah 1 ditambah 3 0 ya Jadi jawabannya adalah C Oke, sekarang kita bahas contoh kelima Ini soal terakhir yang akan kita bahas pada video kali ini Diketahui matriks P dan Ki jika P transpose kali X Y sama dengan 5 Ki nilai X dan Y berturut-turut adalah nah disini P P-transpose P-transpose P-transpose itu kita menukar Baris dengan kolom ya Baris pertama 2-3 itu kita jadikan kolom pertama 2-3 Kemudian baris kedua kita jadikan kolom kedua 6-1 Nah ini P-transpose Disini P-transpose kita kali dengan X-Y P-transpose 2-6-3-1 Kita kalikan Dengan X-Y P transpose kali XY XY Sama dengan 5 key 5 kali matrix key Matrix key nya 0,2 Nah ini kita kalikan aja Baris pertama kali kolom pertama 2 kali X itu 2X Tambah 6 kali Y 6Y Kemudian baris kedua kolom pertama Ini karena 1 kolom ya Negatif 3 kali X Negatif 3X 1 kali Y Sama dengan Nah ini kita kalikan Sekalar dengan matriks 5 x 0, 0 5 x 2, 10 Nah dari sini kita dapat 2 persamaan Sistem persamaan linear 2 variable 2x tambah 6y sama dengan 0 Lihat baris pertama 2x tambah 6y sama dengan 0 Kemudian baris kedua Negatif 3x ditambah y Sama dengan 10 Nah ini kita eliminasi Oke kita eliminasi Oke kita samakan koefisiennya Disini saya samakan koefisien Y nya aja Jadi ini kita kali 1 Biar tetap 6 Nah ini biar jadi 6 kita kali 6 Biar koefisiennya sama Ini kita kali 1 berarti gak berubah ya 2X tambah 6Y Sama dengan 0 Yang ini, persamaan kedua, kita kali 6 Negatif 3x kali 6 negatif 18x Y kali 6 plus 6y sama dengan 10 kali 6 60 Nah ini kita kurangi teman-teman Kita kurangi 2x dikurangi negatif 18x Berarti positif 20x ya 6y dikurangi 6y habis 0 dikurangi 60 negatif 60 jadi x nya berapa?
negatif 60 dibagi 20 negatif 3 x nya negatif 3 sekarang kita nyari y nya saya substitusi aja ke yang ini negatif 3x tambah y kan 10 berarti y itu sama dengan 10 ditambah 3x 10 ditambah 3x Negatif 3, jadi 10, 3 kali negatif 3 kan negatif 9 Dikurangi 9, 10 kurangi 9, 1 Jadi kita dapat X-3, Y-1 X-3, Y-1 Jadi jawabannya adalah A, negatif 3 dan 1 Berturut-turut kan Jadi X dulu baru Y Oke itulah beberapa contoh soal Untuk materi operasi penjumlahan pengurangan Perkalian skalar dengan matriks Dan perkalian matriks dengan matriks Sampai ketemu di video berikutnya Insya Allah kita akan belajar Determinan matriks Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh