Appunti sulla lezione delle funzioni a valori vettoriali
Introduzione alle funzioni a valori vettoriali
Funzioni che vanno da Rn a Rm
Interessi principalmente nel caso in cui n e m > 1
Argomenti trattati: continuità, limite, differenzialità, teorema della catena
Trasformazioni di coordinate
Definizione: funzione f da Rn a Rn
Trasformazioni di coordinate: dimensione dello spazio di arrivo = dimensione dello spazio di partenza
Esempio: trasformazioni lineari (x associato a y = Ax, A matrice n per n)
Condizione per invertibilità: A non singolare (det A ≠ 0)
Trasformazioni regolari di coordinate
Definizione: funzione f è di classe C1 se tutte le derivate parziali esistono e sono continue
Determinante della matrice jacobiana deve essere diverso da zero, eccetto al più qualche punto (misura zero)
Teorema di invertibilità locale
Sia F definita in un insieme D contenente x0, se il determinante della matrice jacobiana in x0 è diverso da zero, allora esiste un insieme U e V tale che F è invertibile
La trasformazione inversa F^{-1} è una trasformazione regolare di coordinate in V
Formula: lo jacobiano della trasformazione inversa è l'inverso della jacobiana nel punto corrispondente
Esempi di trasformazioni
Trasformazione lineare
Esempio: y = Ax
Jacobiano è la matrice A
Se A è non singolare, allora la trasformazione è invertibile
Coordinate polari
Trasformazione da (0, +∞) × (0, 2π) a R2
Formula: (ρ, θ) → (ρ cos θ, ρ sin θ)
Punti singolari: ρ = 0 (corrisponde all'origine)
Coordinate cilindriche
Trasformazione da (0, +∞) × (0, 2π) × R a R3
Formula: (ρ, θ, t) → (ρ cos θ, ρ sin θ, t)
Punti singolari: ρ = 0 (corrisponde all'asse z)
Coordinate sferiche
Trasformazione da (0, +∞) × (0, 2π) × (0, π) a R3
Formula: (ρ, θ, φ) → (ρ sin φ cos θ, ρ sin φ sin θ, ρ cos φ)