Transcript for:
Concepts Clés des Variables Aléatoires

[Rires] [Musique] bonjour dans cette vidéo je te propose de revoir tout le cours sur les variables aléatoires l'objet de cette séquence est de te rappeler et de t'expliquer les éléments les plus importants de ce chapitre plus précisément on commencera par définir ce que c'est une variable aléatoire on parlera ensuite d'espérance de variance d'écart type et ensuite on verra comment effectuer des changements de variables aléatoires pour préparer un contrôle ou même un examen ceci ne suffira évidemment pas il te faudra faire encore de nombreux exercices en tout cas pour le court c'est parti alors pour introduire la notion de variables aléatoires et définir ce que c'est qu'une variable aléatoire on va partir d'un exemple soit l'expérience suivante qui consiste à lancer un dé comme celui ci est assis face et à regarder donc le résultat quand ils s'arrêtent l'ensemble de toutes les issues possibles qui s'appelle l'univers des possibles et donc on va le noter oméga 1 2 3 4 5 ou 6 donc les six faces de noter et chaque élément de cet ensemble on l'a bien compris s'appelle une issue par exemple ça c'est l'issue 3 alors on considère maintenant le jeu suivant si le résultat est un nombre pair donc 2 4 ou 6 eh bien on gagne 2 euros si le résultat est un tout simplement le 1 et bien on gagne 3 euros par contre si le résultat est trois ou cinq eh bien on perd 4 euros on alla bien scanner l'ensemble des issues possibles et pour chaque issue eh bien on a un gain alors je précise que ce gain peut être négatif donc on va dire par exemple dans le cas où le résultat est trois ou cinq on a un gain de moins 4 euros on perd 4 euros on va définir une variable on va noter x et qui nous donne le gain à ce jour car je le répète qui peut être négatif cette variable peut donc renvoyé trois valeurs différentes 2 2 euros 3,3 euros ou moins 4 - 4 euros donc chacune de ces valeurs correspondent aux gars aient bien x la variable x est appelée variable aléatoire aléatoire car elle en fait elle peut prendre ces valeurs dans l'univers des possibles 1 2 3 4 5 ou 6 et ceci de façon aléatoire on sait pas a priori sur quelle phase va s'arrêter note d et donc on ne sait pas a priori si à la variable on va lui donner la valeur 1 où on va lui donner la valeur 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 e si c'est de façon aléatoire et du coup on ne sait pas non plus quelle valeur va nous renvoyer la valeur la variable aléatoire et ça on pourrait le résumer on pourrait l'écrire ça donne ceci si ax je lui donne la valeur 1 alors je vais écrire x 2 1 de cette façon là et bien cela signifie donc que le résultat est un et qu'on gagne 3 euros or la variable aléatoire x me renvoie le gain donc x2 un égal à 3,6 à x je donne la valeur 2 je lui donne donc ici un chiffre pair quand c'est un chiffre pair on gagne 2 euros j'écris 2,6 à x je donne la valeur 3 dans ce cas là on se trouve dans la dernière situation où on va perdre 4 euros donc moins 4 et caetera et on a là toutes les situations possibles et on comprend finalement qu'une variable aléatoire et bien c'est une fonction une fonction qui dépend elle-même d'une variable eh bien on dira qu une variable aléatoire x c'est une fonction qui est défini sur un univers oméga donc elle va prendre ses valeurs dans l'univers oméga donc avec toutes les issues possibles qui sont ici et elle renvoie ses valeurs ou ça et bien dans r on voit que la les valeurs qui sont renvoyés par la variable aléatoire peuvent être n'importe quelle valeur réelle on a dit ici deux euros mais on aurait pu dire 2,55 euros par exemple c'était pas un souci et tout l'intérêt d'utiliser une variable aléatoire c'est de simplifier la présentation des calculs éviter d'écrire trop de textes parce que toute l'information est concentré et dit de façon implicite grâce à la variable aléatoire variable aléatoire par exemple ici qui compte le gain donc c'est plus la peine de le réécrire par exemple si je demande quelle est la probabilité que x soit égal à 3 eh bien je comprends bien que je voudrais calculer la probabilité que le gain soit égal à 3 ou autrement dit la probabilité d'obtenir 1 1 en lançant un d assise face donc de cette manière là on arrive à visualiser très très rapidement un calcul une information ou une donnée de l'exercice est par ailleurs lorsque notre expérience aléatoire ça sur une situation qui est connu alors quand je dis connu c'est universellement connu c'est à dire on s'appuie sur des lois de probabilité connu et bien là ça simplifie encore les les calculs et la présentation parce qu'on va s'appuyer sur des formules des formules là aussi qu'ils sont connus mais ça on le verra un peu plus tard alors justement ça nous permet de faire la transition parce que même si on va pas étudié cette année des lois de probabilité connu on va quand même travaillé sur la notion de loi de probabilité de façon générale et donc on va travailler avec des lois de probabilité absolument quelconque alors qu'est ce que c'est qu'une loi de probabilité c'est assez simple à comprendre on a vu que notre variable aléatoire x prend ces valeurs qui sont donc x1 x2 x3 et c'est donc tout à l'heure notes lois de probabilité gains prenez donc les valeurs 2 euros 3 euros ou moins 4 euros et bien qu'est ce que c'est que la loi de probabilité est bien pour construire la loi de probabilité il suffit juste de regrouper toutes les probabilités possible pour les valeurs prise par chi x donc c'est pour ça qu'on les appelle les p les probabilités que x égale x y dans notre cas ça serait quoi là la loi de probabilité eh bien ça serait le regroupement des trois calculs de probabilité p 2 x égal de 1 à 10 2 euros p 2 x probabilité que x égal 3 euros et probabilité que x égal moins 4 euros je résume ça dans un tableau j'ai ainsi toutes les probabilités des valeurs prise par x c'est ce qui s'appelle la loi de probabilité eh bien on va le construire ce tableau et on va calculer ses probabilités de cette façon là ça va tu habites eu un tout petit peu à cette notation nouvelle qui utilise donc les variables aléatoires voilà on est d'accord que je n'ai pas d'autres choix possibles soit x est égal à 2 je gagne 2 euros soit je gagne 3 euros soit je perd 4 euros donc là j'ai tous les cas possibles j'ai tous les et de x égale x ix y donc 2 3 et -4 se sont salées valeur que peut prendre x eh bien je vais les calculé en utilisant tout simplement le contexte de l'exercice en commençant par la première quelle est la probabilité que x ou égale à 2 la probabilité que x et soit égale à deux on le rappelle c'est la probabilité d'obtenir un chiffre pair alors des chiffres pairs j'en ai combien j'ai 2 4 6 j'en ai trois donc ça me fait 3-3 sur combien 3 sur 6 j'ai trois chances sur six d'obtenir un chiffre perd 3 sur 6 ça fait un don quelle est la probabilité quick soit égale à trois on gagne 3 euros dans quels cas seulement quand on sort le un donc on n'a qu'une chance sur 6 ha il n'y a aucun calcul à faire de sortir le 1 c'est-à-dire il ya une chance sur six de gagner 3 euros la probabilité que x soit égal à 3 est égale 1 1 6e quelle est la probabilité que x ou est égal à -4 la probabilité de perdre 4 euros on a vu que là il y avait deux cas possibles c'était quand on sortait 1 3 ou 1 5 on a donc deux chances sur 6 de perdre 4 euros de chance sur 6 s'écrit plus simplement un tiers et bien voilà on a la liste de toutes les probabilités on a là en quelque sorte notre loi de probabilité mais habituellement dans les manuels dans les cours on présente ceci dans un tableau donc il n'y a pas trop de valeur prise par la variable aléatoire x voilà donc habituellement ça se présente comme ça on met sur la première ligne les xxi c'est à dire toutes les valeurs que peut prendre la variable aléatoire x elle peut prendre la valeur de on l'a déjà dit trois ou moins 4 est sur la deuxième ligne la probabilité que grant xna variable aléatoire grand tic soit égal à xxi c'est à dire les probabilités correspondante probabilité que grand tic soit égal à 2 probabilité que le gain soit égal à 2 l et 2 1/2 probabilité que x soit égal à 3 1 6e et habilité que x égal à -4 un tiers voilà ceci ce tableau résume la loi de probabilité de la variable aléatoire x si on te demande dans un exercice d'établir une telle loi eh bien il faudra préparer un tableau de ce type en commençons déjà par repérer quelles sont les valeurs prise par la variable aléatoire x une fois que c'est fait et bien calcule toutes les probabilités les unes après les autres alors des fois oui ça peut être laborieux à noter que p2 ips égale xxi peut parfois aider fois ces pratiques bon plus dans les formules le noter de façon abrégé tout simplement et est deuxième petite remarque c'est que ici là on trouve donc tous les cas possibles toutes les valeurs toutes les probabilités pour chacune des valeurs prise par la variable aléatoire x donc il n'ya pas d'autre alternative possible ce qui veut dire que normalement si je fais la somme de toutes ces probabilités ça doit me donner un alors on peut essayer si on fait un demi plus un sixième plus un tiers on met tout ça au même dénominateur ça nous fait donc trois sixièmes et plus un sixième + 2/6 3 4 5 6 soit 6 6e qui est bien donc égale à 1 eh bien on va poursuivre avec maintenant les calculs d'espérance variance et écart type on va s'appuyer sur un exemple et on va garder le même exemple ça que je n'ai pas effacer le tableau comme on l'a bien en tête ça sera plus facile en particulier à la fin pour interpréter les résultats on va donc commencer par l'espérance l'espérance mathématique est ce que c'est que l'espérance en gros c'est la moyenne mais quand on parle de moyenne on n'est plus dans le domaine des statistiques et lorsqu'on parle d'espérance dans le domaine des probabilités espérance donne une idée de la valeur qu'on peut espérer en gros à mon jeu c'est un jeu de gains eh bien je voudrais savoir sur un grand nombre de jeux en moyenne quelle est la valeur quel est le gain que je peux espérer obtenir est ce que il est en ma faveur où il est en ma défaveur donc voilà donc c'est que c'est à ça qu'on va répondre alors l'espérance à ce calcul à l'aide d'une formule si on reprend donc x1 x2 x3 etc les valeurs prise par la variable aléatoire x et donc p1 p2 p3 les probabilités correspondante donc on a vu tout à l'heure la notation pays c est 2 x égale xxi et bien le calcul est le suivant il suffit de faire payer 1 x x 1 plus p 2 x x 2 plus et cetera il ceci jusqu'au bout alors dans notre tableau ça veut dire quoi si ça c'est les pays et ça c'est lille qui est bien il suffit de faire sa foi sa plus sa foi sa plus sa foi ça c'est très facile à comprendre et à retenir bas écrivant le alors eu 2 x égal on nous dit on fait les pays x x y donc fait un x x 1 1/2 fois de plus ce pays x et xi 1/6 multiplié par trois plus le troisième un tiers x - clatot tu vois c'est extrêmement facile lorsque le tableau résumant la loi de probabilité est bien fait il suffit à chaque fois de multiplier sur les colonnes et on additionne tout ça alors par contre je passe sous les calculs l'idée dans cette séquence est pas de faire du calcul numérique donc la réponse ici que tu dois trouver et un sixième alors on peut en interpréter en donner une interprétation de ceux ci alors un sixième c'est quoi si on divise ça fait 0,1 6-6-6 donc on va dire 0,17 parce que on est en europe donc on s'arrête au centième c'est à dire au centime et bien sûr un grand nombre de jeux de ce type là je lance plein de fois un dé et à chaque fois je gagne je perds je gagne le père si je vais la moyenne de tous mes jeux et bien en moyenne je peux espérer donc gagné 0,16 euro en gros 17 on va dire si on arrondit correctement en gros 17 centimes 17 cents passons à la variance et j'ai envie de dire dans la foulée à l'écart type car autant l'espérance nous donne une idée de la position c'est une caractéristique de position que la variance et l'écart type qui vient derrière nous donne une idée sur la dispersion des valeurs autour de cette espérance alors la variance c'est en fait juste un passage vers l'écart type car c'est l'écart type dont le résultat est dans la même unité que les valeurs c'est à dire que l'écart type à la fin sera en euros alors que la variance pas encore puisque on va le voir enfin on peut déjà l'affiché l'écart type est la racine carrée de la variance ou la variance est égal au quart et de l'écart type alors comment ça se calcule c'est un peu plus compliqué il va falloir faire à chaque fois xxi - l'espérance élevé ça au carré et le x pays la probabilité correspondante alors je vais pas le faire pour les trois parce que c'est c'est un peu long je monte pour les deux premiers et puis après tu pourras poursuivre sur le troisième on travaille toujours avec nos colonnes de notre tableau qui résume la loi de probabilité v2x égal on a dit on fait x 1 - l'espérance donc le premier x ici vaut deux donc je vais faire 2 - l'espérance l'espérance qui vaut un sixième est ce si je l'élève aucun et qu'est ce que je fais devant je mets en facteurs et y le p1 donc un demi donc là en facteur je mets un demi l'âge et le calcul pour un terme pour la première colonne p 1 x x 1 - l'espérance au carré plus eh bien on fait la même chose pour le deuxième donc on peut le faire dans le bon sens maintenant on met donc la probabilité en facteur facteur de quoi de la valeur - l'espérance qu'on élève au carré pour le troisième alors si on effectue tout ça on trouvait une valeur approcher cette fois ci qui est 8 gül 8 et on enchaîne directement avec l'écart type puisque l'écart type c'est très facile on indique que l'écart type 2 x est égal alain racine carrée de la variance 2x soit la racine carrée de 8,8 alors je suis déjà en valeur approché ici et si on effectue sa on trouve environ 2,97 et bien qu'est ce que cela signifie que l'écart type et de 2,97 alors on rappelle que ces deux points 97 euros donc on pourrait dire 3 euros eh bien avec un écart type environ égal à 3 euros ça signifie qu'avec une espérance proche de 0,17 euro le risque de perdre de l'argent est très important puisqu'on rappelle que l'écart type mesure la dispersion autour de la moyenne moyenne qui est proche de zéro donc on voit qu'on peut passer très très vite dans les négatifs et donc perdre de l'argent alors on poursuit et on va finir avec les changements de variables si on a une variable aléatoire x qui est donc défini sur un univers oméga et de nombreux réel a et b et bien l'espérance de ax plus b est égal à a fois l'espérance de geeks plus b c'est très intéressant parce que ça nous permet de cette façon-là de modifier un calcul d'espérance en passant d'une variable aléatoire x à une variable aléatoire à x + b et ça marche et également pour la variance la variance de ax plus b est égal à akkar et la variance de x alors on va voir tout de suite l'intérêt d'une telle propriété sur un exemple très simple voici un tableau d'une loi de probabilité voilà on a donc le tableau de la loi de probabilité x et on voit qu'il ya quelque chose de pas sympathique ici ce sont les valeurs prise par x qui sont compliqués et si on a des calculs à faire en particulier calcul d'espérance ou de variance on va avoir à saisir du 8 le 98 99 et c'est l'idée est de faire un changement de variables et de passer par une variable aléatoire dont les valeurs ici sont plus simples alors ici dans ce court je vais la lire et la variable aléatoire qu'il faudrait prendre ces y égale 100 x - 898 alors souvent dans les exercices elle est donnée mais pas nécessairement ça peut être à toi de la trouver bien évidemment il peut y avoir plusieurs solutions mais y en a toujours une qui est meilleur que l'autre qui permettra de simplifier davantage encore les calculs alors du coup sa chance ou si je vais construire maintenant un nouveau tableau pour la loi de probabilité de y maintenant alors rebellé noté y/y toutes ces valeurs bon on aurait pu garder le même nom ici ça n'a pas d'importance mais cela évite à confusion donc il faudrait les calculer ses valeurs prise par y bien comment on va faire vu que y égale 100 x - 898 on va prendre cette première valeur et je vais donc faire sans x 8.98 - 898 alors ça se calcule son x 8,98 ça fait 8 198 - 898 2 0 donc là j'ai zéro on voit déjà que c'est beaucoup plus sympa on fait pareil pour la deuxième avec 100 x 8.99 maintenant - 880 18 alors 100 x 8,8 points 99 ça fait 8 199 - 898 1 je passe sur le calcul de la dernière tu as compris ça va donner cette et les probabilités ne change évidemment pas 0,4 0,1 0,5 du coup maintenant si on a par exemple à calculer l'espérance je vais donner l'exemple pour l'espérance pour la variance ça sera un raisonnement du même type eh bien on voit comment c'est par calculer l'espérance de vie y est ça ça va aller très vite contrairement à ce qu'on avait ici eudeline y égal zéro x 0 4 ça fait zéro une fois 01 01 plus cette fois 057 x 0,5 tu vois à quelle rapidité on y vend ni arrive 01 plus cette fois 057 x 0,5 ça fait 3 5 donc le tout fait 3,6 l'espérance de la variable y est égal à 3 6 mais l'espérance de la variable y si j'applique la formule qui est juste au dessus elle est égale à l'espérance 200 x - 898 or l'espérance 200 x - 898 en appliquant la formule ça me fait sans foi l'espérance de x - 898 et l'espérance de y on vient de la calculer ses 3,6 et là qu'est ce qu'on obtient on obtient une équation 3,6 égal à 100 x l'espérance de 8 - 898 et reste plus qu'à résoudre cette équation très simple 3,6 plus 898 le tout divisé par 100 et on obtient l'espérance du x là aussi je passe les calculs l'idée n'est pas de résoudre une équation on trouve eu 2 x égale 9,0 cesse alors là bien évidemment la plus value n'est pas significatif parce qu'il n'y a pas énormément de colonne mais si on imagine une variable aléatoire x qui prendrait beaucoup plus de valeur alors là ça serait très vite rentable de passer à des calculs simples sur des entiers en partant de calcul compliqué avec des décimaux alors bien sûr il faut quand même que les valeurs se prête bien au jeu du changement de variables et il faut également bien évidemment repéré le changement variable le plus pertinent s'il n'est pas donnée en tous les cas on voit quand même tout l'intérêt parce qu'ensuite ici faire le petit passage de l'espérance de lune à l'espérance de l'autre on voit que c'est extrêmement rapide et je le répète c'est également extrêmement rapide salle et même plus d'ailleurs pour la variance cette séquence est terminée