Notes sur le Cours : Variables Aléatoires

Introduction

• Objet de la séquence : Révision des concepts clés des variables aléatoires.
• Contenu : Définition, espérance, variance, écart-type, et changements de variables aléatoires.

Définition d'une Variable Aléatoire

• Exemple : Lancer de dé à six faces.
  • Univers des possibles : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
  • Chaque élément est une issue.
• Jeu : Résultats et gains en euros.
  • Pair (2, 4, 6) : +2€.
  • Résultat 1 : +3€.
  • Résultats (3, 5) : -4€.
• Variable Aléatoire X : Fonction qui associe une issue à un gain.
  • Valeurs possibles : 2€, 3€, -4€.
  • Fonction définie sur Ω, valeurs dans R.

Loi de Probabilité

• Définition : Probabilités associées à chaque valeur possible de X.
  • P(X = 2) : 3/6 = 1/2.
  • P(X = 3) : 1/6.
  • P(X = -4) : 2/6 = 1/3.
• Tableau récapitulatif : Présentation habituelle dans les cours.

Espérance Mathématique

• Définition : Moyenne pondérée des valeurs possibles, donne une idée de ce qu'on peut espérer.
• Formule : E(X) = Σ(p_i * x_i)
  • Exemple : E(X) = 1/2 * 2 + 1/6 * 3 + 1/3 * (-4) ≈ 0.17€.
• Interprétation : Gain moyen espéré sur un grand nombre de jeux.

Variance et Écart-Type

• Variance : Mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance.
  • Formule : V(X) = Σ(p_i * (x_i - E(X))^2)
  • Exemple : V(X) ≈ 8.8.
• Écart-Type : Racine carrée de la variance, même unité que les valeurs d'origine.
  • σ(X) = √V(X) ≈ 2.97€.

Changements de Variables

• Utilité : Simplifier les calculs d'espérance et de variance.
• Propriétés :
  • Espérance : E(aX + b) = a * E(X) + b.
  • Variance : V(aX + b) = a^2 * V(X).
• Exemple : Transformation pour simplifier une loi de probabilité complexe.
• Conseil : Choisir la variable aléatoire y = aX + b pour simplifier les calculs.

Conclusion

• Importance de bien choisir les transformations pour simplifier les calculs.
• Exercice pratique indispensable pour bien maîtriser le sujet.