Catatan Kuliah: Domain, Kodomain, dan Ring dari Fungsi

Pengantar

• Pembahasan mengenai domain, kodomain, dan ring untuk fungsi-fungsi sederhana.
• Terdapat enam soal yang akan dibahas.

Soal dan Pembahasan

Soal 1: ( f(x) = 3x - 5 )

• Domain: ( X \in \mathbb{R} ) (bilangan real, tidak ada syarat)
• Kodomain: ( Y \in \mathbb{R} ) (bilangan real, tidak ada syarat)
• Ring: Mencari invers, ( y = 3x - 5 )
  • Invers: ( x = \frac{y + 5}{3} )
  • Ring: ( X \in \mathbb{R} )

Soal 2: ( f(x) = x^2 - 4 )

• Domain: ( X \in \mathbb{R} ) (bilangan real, tidak ada syarat)
• Kodomain: ( Y \in \mathbb{R} ) (bilangan real, tidak ada syarat)
• Ring: Mencari invers,
  • Invers: ( y = x^2 - 4 )
  • Syarat: ( x + 4 \geq 0 ) sehingga ( x ext{ harus lebih besar atau sama dengan } -4 )
  • Ring: ( X \geq -4, X \in \mathbb{R} )

Soal 3: ( f(x) = x^2 - 6x - 5 )

• Domain: ( X \in \mathbb{R} ) (bilangan real, tidak ada syarat)
• Kodomain: ( Y \in \mathbb{R} ) (bilangan real, tidak ada syarat)
• Ring: Mencari invers,
  • Invers: ( y = (x + 3)^2 - 14 )
  • Syarat: ( x + 14 ext{ harus lebih besar sama dengan } 0 ) sehingga ( x ext{ harus lebih besar sama dengan } -14 )
  • Ring: ( X ext{ harus lebih besar sama dengan } -14, X ext{ elemen bilangan real} )

Soal 4: ( f(x) = \frac{2x + 1}{3x - 6} )

• Domain: Penyebut tidak boleh sama dengan 0
  • Syarat: ( 3x - 6 \neq 0 )
  • Jadi, ( x \neq 2 )
  • Domain: ( X \neq 2, X \in \mathbb{R} )
• Kodomain: ( Y \in \mathbb{R} )
• Ring: Mencari invers,
  • Invers: ( \frac{6x + 1}{3x + 2} )
  • Syarat: ( 3x + 2 \neq 0 )
  • Jadi, ( x \neq -\frac{2}{3} )
  • Ring: ( x \neq -\frac{2}{3}, x \in \mathbb{R} )

Soal 5: ( f(x) = \sqrt{2x + 4} )

• Domain:
  • Syarat: ( 2x + 4 \geq 0 )
  • Jadi, ( x \geq -2 )
  • Domain: ( X \geq -2, X \in \mathbb{R} )
• Kodomain: ( Y \in \mathbb{R} )
• Ring:
  • Invers:
    • ( y^2 = 2x + 4 )
    • Ring tidak memiliki syarat tambahan: ( X \in \mathbb{R} )

Soal 6: ( f(x) = \frac{\sqrt{x - 3}}{x - 4} )

• Domain:
  • Syarat untuk akar: ( x - 3 \geq 0 )
  • Syarat untuk penyebut: ( x - 4 \neq 0 )
  • Jadi, ( x ext{ harus kurang dari } 4 ext{ atau lebih besar sama dengan } 3 )
  • Domain: ( X < 4 ext{ atau } X \geq 3, X \in \mathbb{R} )
• Kodomain: ( Y \in \mathbb{R} )
• Ring: Mencari invers,
  • Syarat: ( y^2 = \frac{x - 3}{x - 4} )
  • Penyebut tidak boleh sama dengan 0:
  • ( x - 4 \neq 0 )
  • Jadi, ( x \neq 1 ext{ dan } x \neq -1 )
  • Ring: ( X \neq 1, X \neq -1, X \in \mathbb{R} )

Kesimpulan

• Penting untuk memahami dasar-dasar domain, kodomain, dan ring dari fungsi.
• Pertanyaan dan klarifikasi diperbolehkan untuk pemahaman yang lebih baik.