Calcul des dimensions optimales d'une casserole

Introduction

• Importance des proportions des casseroles pour une utilisation efficace du métal
• Observation des dimensions de différentes casseroles

Objectif

• Trouver les dimensions optimales (rayon et hauteur) d'une casserole de 8 litres en utilisant le minimum de tôle

Formules et définitions

• Volume d'un cylindre : $V = \pi r^2 h$
• Conversion : 8 litres = 8000 cm³
• Surface d'une casserole sans couvercle : $S = 2\pi rh + \pi r^2$

Étapes de calcul

Conversion et installation des équations

1. Volume en cm³: $$ \pi r^2 h = 8000 $$
2. Objectif minimisation de la surface: Surface totale de la casserole

Décomposition en une variable

1. Exprimer $h$ en fonction de $r$ : $$ h = \frac{8000}{\pi r^2} $$

2. Substituer $h$ dans la formule de la surface: $$ S = 2\pi r \left( \frac{8000}{\pi r^2} \right) + \pi r^2 $$

   Simplification: $$ S = \frac{16000}{r} + \pi r^2 $$

Dérivation pour trouver le minimum

1. Dérivée de $S$ : $$ S' = \frac{-16000}{r^2} + 2\pi r $$
2. Résoudre $S' = 0$ :

$$ \frac{-16000}{r^2} + 2\pi r = 0 $$

Résolution

• Trouver $r$ :

  $$ -16000 + 2\pi r^3 = 0 $$ $$ r^3 = \frac{16000}{2\pi} $$ $$ r \approx 13.65 $$

Calcul de $h$ avec $r$

• $$ h = \frac{8000}{\pi (13.65)^2} $$
• $$ h \approx 13.65 $$

Conclusion

• Validité de la règle: diamètre = 2 * hauteur
• En présence d'un couvercle, ajouter une surface supplémentaire.

Remerciements

• Remerciements à Nicolas pour ses précisions initiales.