Binomialfordeling

Indledning

• Binomialfordeling er en sandsynlighedsfordeling.
• To vigtige principper i sandsynlighedsregningen:
  1. Overprincippet.
  2. Enten eller-princippet.

Enten eller-princippet

• Eksempel: Slå med en terning.
• Ønsker enten en 6'er eller en 5'er:
  • Sandsynligheden lægges sammen: 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3.
  • Der er 1/3 chance for enten en 6'er eller 5'er.

Overprincippet

• Eksempel: Slå to gange med en terning.
• Ønsker både en 6'er og en 5'er:
  • Sandsynligheden ganges: 1/6 * 1/6 = 1/36.
• Hvis rækkefølgen er ligegyldig, inddrages kombinatorik.
  • Vigtigt i binomialfordeling.

Binomialfordeling

• Gælder for eksperimenter gentaget et bestemt antal gange.
• Kun to mulige udfald: succes eller fiasko.

Definition

• Viser sandsynligheden for at få succes et bestemt antal gange.
• Eksempel: Slå med en mønt:
  • Sandsynligheden for 0, 1, 2, osv. antal gange plat.

Formel

• Formel: P(X = r) = (n vælg r) * p^r * (1-p)^(n-r).
• Faktorer:
  • n: Antal forsøg.
  • p: Sandsynlighed for succes (lille p).
  • 1-p: Sandsynlighed for fiasko.
  • r: Antal succeser.

(vælg r): Binomialkoefficienten, beregnet som: - n! / (r! * (n-r)!)

Eksempel på beregning

• Problem: Slå med terning 4 gange:
  • Succes = få en 6'er.
  • Fiasko = få alt andet end en 6'er.
• Indsæt værdier:
  • p = 1/6.
  • n = 4.
  • 1-p = 5/6.
  • r = 1.
• Udfør binomialkoefficient beregning:
  • 4! / (1! * (4-1)!) = 4.
• Sæt ind i binomialformel:
  • 4 * (1/6) * (5/6)^3 ≈ 38,6%.

Wordmat og Binomialfordelingen

• Software til beregning af sandsynligheder.
• Indtast sandsynligheder og antal forsøg.
• Viser både enkeltsandsynligheder og kumulerede sandsynligheder.
• Eksempel: Slå terning 10 gange med p=1/6.
  • Sandsynligheder for 0 til 10 succeser.
  • Kumulative sandsynligheder kan ses grafisk.

Binomial Test

• Test om terning er fair ved at slå 100 gange.
• Anvender et signifikansniveau (ofte 5%).
• Eksempel: Slå terning 100 gange.
  • Test om terningen er fair med henblik på antallet af 6'ere.
  • Signifikant forskel, hvis resultater er udenfor forventede værdier.

Pascals trekant

• Alternativ metode til beregning af binomialkoefficienten.
• Opbygning af trekant:
  • Øverste række: 1-tal.
  • Næste række: To 1-taller.
  • Tredje række: 1, 2, 1.
  • m.fl.
• Bruges til at finde antal måder at få et bestemt antal succeser.