I den her video skal vi se på binomialfordelingen. Binomialfordelingen er en fordeling inden for sandsynlighedsregningen. Inden vi starter med binomialfordelingen, så skal vi lige se på to principper, som er vigtige inden for sandsynlighedsregningen. Det er både overprincippet og enten eller-princippet. Lad os starte med enten eller-princippet. Vi forestiller os, at vi slår med en terning, og vi enten vil have en 6'er eller en 5'er. Jamen da det er enten eller, så skal vi lægge sandsynlighederne sammen her Og da der er en 6. del chance på at få en 6'er og en 6. del chance på at få en 5'er Så lægger vi en 6. del plus en 6. del, så er det lige en 2. 6. del eller lige en 3. del Det vil sige, at der er en 3. del chance for enten at slå en 6'er eller en 5'er Nu slår vi to gange med en tern Og vi vil både have en 6'er og en 5'er I første slag vil vi have en 6'er og i anden slag vil vi have en 5'er Da det er båd over princippet her, så skal vi gange sandsynligheden. Så her bliver det altså en 6. del gange en 6. del, og det er en 36. del. Vær opmærksom på, at det kræver selvfølgelig, at vi i første slag skal have 6'eren og i anden slag 5'eren. Hvis rækkefølgen var ligegyldig, så skulle vi have inddraget kombinatorikken. Det kommer vi til senere, når vi kommer til binomerikfordelingen. Binomialfordelingen er en fordeling, hvor vi regner på et eksperiment, som kan gentages et bestemt antal gange. I det her eksperiment er der kun to mulige løsninger, enten en succes eller en fiasko. Det kunne være plat eller krone, eller en sekser eller en ægesekser. Selve binomialfordelingen viser sig, hvor stor sandsynligheden er for at få succes et bestemt antal gange. Vi kan fx se på, at vi slår med en mønt, plat eller brune, hvor vi slår fem gange. Jamen, hvad er så sandsynligheden for, at man får 0 kroner, 1 gange kroner, 2 gange kroner osv.? Og alle de her sandsynligheder til sammen, det kalder vi binomialfordelingen. For at regne på de her sandsynligheder i binomialfordelingen, der har vi den her formel, som vi ser på anden linje. Helt søndag. p'x'r'k'n'r'p'e-p'n-r. Der må vi jo lige se, hvad de forskellige faktorer betyder. Endet i formelen her, det er antallet af forsøg. Altså hvis vi slår med en terning og slår det 10 gange, så endelig 10. P er sandsynligheden for succes, og det er vigtigt, at det er et lille p, vi taler om her. Slår vi med en terning, og vi vil gerne have en 6'er, jamen så er sandsynligheden for at få succes, det er en sjælddel. 1 minus p, det er sandsynligheden for at få fiasko. Og hvis vi slår med terningen, og vi vil have en 6'er, jamen så må 1 minus p være 5 sjælddel, altså sandsynligheden for at få en 1, 2, 3, 4 eller 5. R er antallet af succeser, og så har vi k'1,r. Det er den, vi kalder binomialkoefficienten. Det er på mange måder, vi kan opnå det resultat på, som vi ønsker. Og den kan vi beregne ved hjælp af formelen n-frakuritet divideret med r-frakuritet gange n-r-frakuritet. Den kommer vi ind på om lidt, når vi skal se på et eksempel med binomielkvartdeling. Så er der endelig store p'x'er lige er. Jamen det er jo så selve sandsynligheden for at opnå R-succeser i vores eksperiment. Læg mærke til, at der er tre faktorer her, altså vi ganger de her faktorer. Det er jo fordi, at det er både overprincippet, vi benytter os af her. Vi får jo både succeser og fiaskoer, og så har vi flere måder, vi kan gøre det på. Så derfor ganger vi de tre faktorer, når vi skal beregne sandsynligheden for et vist antal succeser. Lad os se på et eksempel, hvor vi bruger binomialfordelingen til at regne på. Et eksperiment. Vi slår med en terning fire gange og vil undersøge, hvad er sandsynligheden for at få en sekser. Det vil sige, at vores succeskriterie er at få sekser. Og vores fiaskokriterie er at få ikke sekser, altså en 1, 2, 3, 4 eller 5. Lille p vil så være en sjælddel, da der er en sjælddel chance for at få en sekser. N er den 4, da vi slår med en terning fire gange. 1 minus p. R er 5 sjælddele, da der er 5 sjælddele for at få en 1, 2, 3, 4 eller 5. Og R er lige 1, da vi vil undersøge sandsynligheden for at få 1 6. Det sætter vi ind i binomialformelen. Og vi ser, at vi har binomialkoefficienten, hvor vi har indsat 4 på n's plads og 1 på r's plads. Og så ganger vi med en sjælddele i første. gange en 5-tjætdel i 4 minus 3, og det får vi jo så til at blive 4 gange en tjætdel i første, gange en 5-tjætdel i tredje, som er lige med 0,386, eller 38,6%. Måden vi har regnet binomialkoefficienten ud på, det er at sige 4-fakultet divideret med 1-fakultet, gange 4 minus 1-fakultet. Og at sige 4 fakultet, det betyder 4 gange 3 gange 2 gange 1. 1 fakultet, det er bare 1. Og 4 minus 3 fakultet, det er jo det samme som 3 fakultet, eller 3 gange 2 gange 1. Og det bliver 4. Og det er altså, hvor mange måder vi kan få en succes på, når vi slår maternen 4 gange. Det kunne være ved første slag, ved anden slag, ved tredje slag, eller fjerde slag. I Wordmat er der et program, der kan beregne på binomialfordelingen. I det her tilfælde har vi valgt en sandsynlighed for succes på en sjælddel, eller 0,1667, som I kan se oppe i venstre hjørne. Og vi har valgt, at vi vil slå materien 10 gange, inden altså lige 10. De to parametre skal vi taste ind i programmet. Så kan vi se nede i tabellen, nederst til venstre, jamen der har vi hele binomialfordelingen. Vi kan se, at vi har fra ærlig 0 op til 10, det er altså fra 0 succeser op til 10 succeser. Anden søjle, der har vi sandsynlighederne. Den første sandsynlighed er 16,15% for at få 0 sexer. Den næste sandsynlighed er 32,3% for at få 1 sexer osv. Den tredje søjle er den kumulerede sandsynlighed. Hvis vi fx ser ved R'2, så står der, at der er en kumulerede sandsynlighed på 77,52%. Og det betyder altså, at der er 77,52% chance for at få 0, 1 eller 2 6'er, når vi slår med 10-terninger. Vi kan se binomialfordelingen grafisk til højre i den øverste af figurerne, og vi kan se den kumulerede binomialfordeling nederst til højre. I programmet kan vi også vælge at regne ud eller få en beregning på, hvad er sandsynligheden for at få 2 eller færre 6'er. Der kan vi se, at hvis vi indtaster 2, så er der en beregning. Øverst op til højre, så har vi 77,52% chance for at få 2 sekser eller færre sekser. Vi kan også undersøge, hvad sandsynligheden for at få mellem 2 og 5 sekser, og det er det i tredje række øverst, som vi kan se, der er indtastet, og der er altså 51,3%. Det bliver også illustreret på figurene nedeunder, altså de røde søjler, det svarer til det, vi vil undersøge. sandsynligheden på. Vi kan også lave en binomial test. Og i vores tilfælde, jamen der vil vi så undersøge, om vores terning er færre, hvis vi slår med den 100 gange. Og vi vil undersøge, om den er færre med hensyn til antal sekser, vi får. Hvis vi nu får 100 sekser, når vi slår terningen 100 gange, jamen så vil vi nok kunne sige, at den terning ikke er færre. Men hvad nu hvis vi slår 60 sekser af tærningens affærd, eller hvis vi slår 2 sekser? I WorldMath, jamen der kan vi lave testen. Og vi kan se selve binomialfordelingen til venstre på figuren her. Vi kan se, at i den første kolonne, jamen der har vi antallet af succeser, altså R. Og vi har kun taget fra 0 til 29 med her Anden kolonne, jamen der er da sandsynlighederne Og vi kan se fra 0 til 6, jamen det er en meget lille sandsynlighed Det er først når vi kommer op på 9,6, altså der hvor r er lige 9, at vi er op på 1,2% Så ser vi, at sandsynligheden stiger op til 16 sekser, og så begynder den at falde igen. Men hvad skal vi nu slå for, at vi kan sige, at vores terning er færre? Hvis vi kigger på binomialfordelingen grafisk, og det kan vi se over til højre ved hjælp af de her pinde. Så kan vi se, at fra ca. 7 og op til omkring 28, der kan vi i hvert fald se pændene. Hvorimod, hvis vi slår mindre end 7,6 eller mere end 8,7,6, så kan vi ikke se sandsynlighederne. Men det man gør, det er, at man vælger et signifikansniveau. Og ofte så vælger man et signifikansniveau på 5%. Det betyder, at vi... Så hvis vi kigger på de kumulerede frekvenser, jamen hvis de ikke er op på 2,5% på begge sider af den her binomialfordeling, jamen så siger vi, at forsøget ikke er færre, eller terningen ikke er færre. Og i det her tilfælde, jamen så skal vi altså op og slå 10 sekser, eller mellem 10 sekser og 24 sekser, for at vi holder os indenfor. Så for de her 2,5% er det kumuleret fra kvinds. Vi siger, at de kritiske værdier er 9 og 25. Så vi skal altså slå mellem 10 og 24 6'er, for at vi antager, at vores terning er færre. Der er selvfølgelig en chance for, at vi slår 8 6'er eller 7 6'er. Det kan man selvfølgelig godt, selvom terningen er færre. Men det er altså de usikkerheder, der ligger inden for sandsynlighedsregningen. Vi kunne have valgt et andet signifikansniveau, 5%, men oftest vælger man 5% som signifikansniveau. En alternativ måde at beregne binomialkoefficienten, altså den der hedder k'indkommet er, jamen det er ved hjælp af Pascals trækant. Pascals trækant er er bygget op på den her måde, at vi kan se i øverste række, jamen der har vi et 1-tal. Så i næste række, der får vi to 1-taler. Tredje række, jamen der får vi et 1-tal, et 2-tal og et 1-tal. 2-tallet fremkommer ved, at vi har lagt de to tal sammen, der ligger ovenover, altså de to 1-taler. I fjerde række får vi 1, 3, 3 og 1. Tretallet kommer ved at vi kigger på de tal, der ligger ovenover. Et ettal og et totalt. Så lægger vi de to tal sammen. Tilsvarende nede i femte række, der kan vi se, at nummer 3 er 6. Det fremkommer af, at vi har lagt 3 plus 3 sammen, som er de tal, der står ovenover. Pascalstrækant kan vi lave lige så langt som vi vil, men det her er i hvert fald princippet, hvordan den er bygget op. Hvis vi vil bruge Pascalstrækant til at beregne binomialkoefficienten, altså hvor mange måder vi kan gøre et forsøg på at få et vist antal succeser, så må vi kigge på, hvad de forskellige rækker består af. Første række, jamen det er hvis vi udfører forsøget 0 gange, altså n er lige 0. Det er lidt absurd, så derfor hopper vi videre. Vi kan hoppe ned til n lige 3, det vil sige nede i 4. række. Der har vi jo 4 tal, 1 tal, 3 tal, 3 tal og 1 tal. Og det er altså, hvor mange måder vi kan udføre et forsøg, eller hvad mange måder vi kan få et vist antal succeser på, hvis vi udfører forsøget 3 gange. Hvis vi ser på 3-tallet her i en rød ramme, det betyder altså, at vi har 3 måder at få 1 succes, når vi slår med tærningen 3 gange. Havde vi valgt 1-tallet ved siden af til venstre, så er det bare mange måder, vi kan få 0 succeser, hvis vi slår med tærningen 3 gange.