दोस्तों प्रदीप ग अकेडमी चैनल में आपका बहुत-बहुत स्वागत है आज हम स्टार्ट करने जा रहे हैं दोस्तों कॉप्लेक्स इंटीग्रेशन अगर आप चाहते हो कि आपका सिलेबस मैं फटाफट पूरा का पूरा कंप्लीट करा दूं तो प्लीज वीडियो को जितना हो सके उतना शेयर करो जिससे हमें एक मोटिवेशन मिलेगा और हम जल्दी-जल्दी आपके पूरे के पूरे सिलेबस को कवर कराएंगे हां आपका जो फर्स्ट लेसन था लीनियर अलजेब्रा अगर आप देखोगे तो ऑलरेडी मैंने उसके वीडियोस बनाए हुए हैं तो उसमें कोई प्रॉब्लम नहीं इसलिए मैंने आज कॉम्लेक्स इंटीग्रेशन से चीजों को स्टार्ट किया जिसके अंदर हमारा फर्स्ट टॉपिक है दोस्तों लाइन इंटीग्रल लाइन इंटीग्रल के अंदर दोस्तों हमें दो चीजों के बारे में पढ़ना है एक है हमारा सर्कल और दूसरा है पैराबोला एंड स्ट्रेट लाइन के बारे में हमें पढ़ना है तो दोस्तों आज के लेक्चर में हम पूरा का पूरा सर्कल से रिलेटेड पार्ट कवर करेंगे और यहां पे जो चीजें मैं आपको कवर कराने जा रहा हूं अगर आप यह पूरे के पूरे बेसिक चीजों को ध्यान से देखोगे तो आप मैक्सिमम चीजें आपको समझ में आ जाएगी और बहुत सारी चीजें आपकी 11थ की है दोस्तों सबसे पहले आपको दोस्तो कौन सा इमेजिनरी पार्ट है देन दोस्तों अगर सपोज मुझे यहां पे इसे ही इसी वाले पार्ट को अगर समझो मुझे r के फॉर्म में अगर डिनोट करना है तो मैं कैसे करूंगा r e रे आ थीटा एक्सपो शियल फॉर्म इसे हम क्या बोलेंगे दोस्तों एक्सपो शियल फॉर्म फ ये दोनों फॉर्म है पर मोस्टली हम कौन सा फॉर्म सर यूज करने वाले हैं तो यार मैं आपको बता देना चाहता हूं कि हम ये वाला फॉर्म यूज करेंगे सर्कल के लिए तो हमेशा याद रखना z का मतलब ये भी है ये भी है आपने पढ़ा होगा कि इसको हम एक्सपो शियल फॉर्म बोलते थे और r e ^ i थ तो यह दिमाग में आपके बैठ जाना चाहिए मैंने बोला स्टार्टिंग का 4 से 5 मिनट अगर आप मेरे लेक्चर को बहुत अच्छे से सुनोगे तो आगे की चीजें आपको बहुत अच्छे से समझ में आएगा अब दोस्तों यहां पे आपको हमेशा देखो यहां पे मड ऑफ z दिखाई दे रहा है मड ऑफ z मतलब क्या होगा ये भी मैं आपको बता दूं तो इसी का मतलब क्या होता है अंडर रूट ऑफ यहां पे क्या है दोस्तों x स् है और यहां पे क्या है दोस्तों y स् बट हमें इसकी कोई रिक्वायरमेंट यहां पे नहीं है और इसी को दोस्तों मैं r भी बोलता हूं तो आपको कहीं पे भी अगर मोड ऑफ z दिखाई दिया तो उसके जगह प आप r ले सकते हो और दोस्तों मैं यहीं पे आपको एक और चीज क्लियर कर दूं कि अगर सपोज कहीं पे अगर समझो ऐसा लिखा है z चच इ इक्वल ू e ^ आ थीटा और हमें अगर z बार निकालना है तो दोस्तों बस क्या करना है आपको सा ऑफ i को क्या करना है चेंज करना है तो यहां पे क्या हो जाएगा - आ थीटा तो ये चीजें बेसिक चीजें आपको दोस्तों बस क्या होना चाहिए पता होना चाहिए अगर कहीं पे ऐसा है समझो यहां पे इसका वैल्यू टू है यहां पे भी इसका r का वैल्यू टू है जैसे r की जगह पर r का वैल्यू टू है तो हम फाइनली इसको ये भी हमने कर दिया अब दोस्तों कहीं पे आपको क्वेश्चन के बीच में आएगा यूनिट सर्कल ये बार-बार बारबार आपको दिखाई देगा यूनिट सर्कल हमने 11थ में यह पार्ट कवर किया था आज आप इंजीनियरिंग के सेकंड ईयर में हो फोर्थ सेमिस्टर में हो बहुत सारे लोग जो मेरे लेक्चर को देख रहे हो हो सकता है कि बहुत सारे लोगों को ये अलग सेमेस्टर में हो पर आज आप इंजीनियरिंग में हो और आपने 11थ में ये कांसेप्ट पढ़ा था यूनिट सर्कल जहां पर हमने ट्रिग्नोमेट्री का पहला ही क्वेश्चन हमारा यूनिट सर्कल के ऊपर पर रहता था तो यूनिट सर्कल मतलब सर्कल जिसका रेडियस क्या होता है दोस्तों वन होता है अब दोस्तों यहां पर आपको एक नॉर्मल सा साइन कन्वेंशन पता होगा एंगल्स क्या-क्या होते हैं जैसे यहां पर हम क्या लेते हैं 0 डिग्री लेते हैं यहां पर हम क्या लेते हैं अगर मैं रेडियन में लिखूं तो पा बाटू लूंगा यहां प मैं क्या लूंगा दोस्तों पाई यहां पे क्या लूंगा 3 पाई बा 2 मतलब 270 और फाइनली यहां पे क्या आएगा 2 पाई तो यह आपको बहुत अच्छा आईडिया है इसके बारे में शायद आपको दिख रहा है कि नहीं दिख रहा हां दिखाई दे रहा होगा थोड़ा सा मैं कैमरा प्रॉप कर दो अभी आपको सभी लोगों को सब चीजें दिखाई दे रही है अब दोस्तों अगर आप ध्यान से कभी भी अगर आपके क्वेश्चन में अपर हाफ सर्कल आया अपर हाफ सर्कल आया तो अपर हाफ सर्कल में क्या है यहां पर दोस्तों जीरो है और यहां पर क्या है दोस्तों पाई है तो आपको हमेशा वहां पर जो आप वैल्यू लोगे लिमिट का व क्या लोगे जीरो टू पाई लोगे तो यह सब आपको हिंट है जब आप सम सॉल्व करोगे तो आपको बहुत हेल्प होगा दोस्तों कभी भी अगर समझो आपको क्वेश्चन में आट माइन आ दिखाई दिया बट यहां पर लिखा गया दोस्तों हमें z को कहां से लेके जाना है - आ से आ और हमेशा याद रखना कि हम y एक्सिस पे इमेजिनरी पार्ट को दिखाते हैं आपको पता है ये सब 11थ में आपने पढ़ा है x एक्सिस पे हम रियल पार्ट को दिखाते हैं तो दोस्तों ये i होगा और ये - आ होगा और आपको पता है कि हमें - आ से i पे जाना है तो इनडायरेक्टली यहां पे हमें जो थीटा का वैल्यू मिलेगा वो दोस्तों क्या होगा तो - आ पहले लेना तो - आ पे वैल्यू क्या है दोस्तों 3p / 2 और i पे वैल्यू क्या है दोस्तों i प वैल्यू क्या है हमारा पा / 2 तो इनडायरेक्टली हमने पूरा का पूरा पार्ट क्या कर दिया दोस्तों कवर कर दिया हां साथ में यह भी बता देना चाहता हूं कि जल्दी हमारे जब तक शायद यह लेक्चर आपको मिले उसके कुछ दिनों में हमारे एप्लीकेशन पे भी आपके m4 के लेक्चर आने स्टार्ट हो जाएंगे क्योंकि यहां पे मेरे पास कुछ लाइम लिमिट्स है मैं पूरे के पूरे सम्स नहीं सॉल्व करा सकता अब यहां पे मैं जितने सम सॉल्व करा रहा हूं उतना आपको चीजें समझ में आ जाएगी पर अगर आपको और एक्स्ट्रा सम सॉल्व करना है तो एप्लीकेशन जॉइन करना होगा हमारा एप्लीकेशन है प्रदीप गिरी अकैडमी अब दोस्तों देखो यहां पे अगर सपोज कभी भी आपको ऐसा लिमिट दिखाई दिया -5 टू 5 है तो आपका -5 प वैल्यू क्या है आपको पता है पाई है यहां पे वैल्यू क्या है रो तो उस टाइम पे आपका वैल्यू क्या होगा दोस्तों पा टू 0 होगा ये भी आपको पता होना चाहिए किसी ना किसी सम्स में इसका यूज होगा अगर दोस्तों देखो यहां पे ये दिया है और अगर समझो यहां पे इन्होंने क्वेश्चन दिया और क्वेश्चन में उन्होंने कोई हमें लिमिट मेंशन ही नहीं किया कि अपर लेफ्ट हैंड साइड अपर हाफ ऐसा कुछ भी बोला ही नहीं है तो हमेशा भाई सर्कल पूरा क्या होता है 0 टू 2 पा होता है मतलब कंप्लीट सर्कल आपको हमेशा ले लेना है तो यह चीज़ के ऊपर थोड़ा सा आपको फोकस रखना है इसमें बेसिक डेरिवेटिव भी आना चाहिए और सभी चीज़ें आपको गारंटी है कि समझ में आएगा देखो वन बाय वन क्वेश्चन स्टार्ट करता हूं इवेलुएट देखो यहां पे हमें यहां पे इंटीग्रेशन दिया है और यहां पे वहां पर पढ़ने वाले पर यहां पर हमारा क क्या है सर्कल और पैराबोला पैराबोला मैं आगे पढ़ाऊंगा तो यहां पर इन्होंने हमें समथिंग समथिंग ऐसा दिया है और हमें क्या बोला है दोस्तों अपर हाफ ऑफ द सर्कल हमें लेना है आ का उन्होंने वैल्यू भी हमें दे दिया है तो देखो दोस्तों सबसे पहले हम क्या लेते हैं ज इक्वल टू हमें पता है ज इक्वल टू क्या है दोस्तों आ है e रे आ थीटा यह तो सबको बेसिक पता है अब आपको पता है कि आ का वैल्यू आपको बोला है दोस्तों आ का वैल्यू क्या दिया है वन दिया है अब यहां पर अगर मैं आ का वैल्यू पुट करू तो ये क्या हो जाएगा e रे आ थीटा अब यहां पर देखो एक डी ज दिखाई दे रहा है आप सम देख के आप बहुत सारी चीज अपनी अपनी रिक्वायरमेंट के हिसाब से आप चीजों को फाइंड आउट करो तो देखो मैं यहां प डिफरेंशियली होना चाहिए था यहां पर रूल वाइज इसके आगे आ आया तो जो भी बैड फंक्शन आता हम डेरिवेटिव में क्या करते हैं उसको साथ में मल्टीप्लाई करते हैं तो हमने मल्टीप्लाई किया और फाइनली दोस्तों d ज चच इ इक्वल टू आ है e रे आ थीटा है और d थीटा मैं यहां पे भेज दूंगा तो यहां पे इस तरह से हमने ये वाला पार्ट का भी आंसर निकाल दिया क्योंकि हमें बस b ज चाहिए अब ये पार्ट का आंसर निकालने के बाद सबसे पहले मैं क्या कर रहा हूं अपनी चीजों को जमा कर रहा हूं कि मुझे क्या-क्या चाहिए अब अगर मैं अगर ध्यान से देखूं तो दोस्तों यहां पे मुझे z बार चाहिए ठीक है कोई दिक्कत नहीं है दोस्तों z कहां पे है देखो z आपने यहां पे निकाल लिया तो ज बार क्या आएगा दोस्तों मैंने बोला बस आप आएगा साइन चेंज कर दो तो माइनस आ थीटा यह भी आपको मिल गया अब कोई प्रॉब्लम नहीं है दोस्तों आपको अब देखो आप अगर चीजों को सॉल्व करना चाहो तो देखो यहां पर सबसे पहले आप लिमिट क्या लोगे दोस्तों हां देखो अपर हाफ सर्कल है अपर हाफ सर्कल मतलब मैंने क्या बोला था ऊपर अपर हाफ सर्कल मैंने आपको पीछे भी लिख के दिया है मेरे लेक्चर में आपको कोई भी टेंशन लेने की जरूरत नहीं अपर हाफ सर्कल जीरो टू पा तो देखो यहां पर आप आराम से यहां पर आप लिमिट क्या लोगे दोस्तों जीरो टू पा अब आपने यहां पे 0 टू पा तो ले लिया दोस्तों अब यहां पे अगर आप ध्यान से देखोगे तो यहां पे z बार है z बार का आंसर क्या है दोस्तों e ^ - आ थीटा द वैल्यू ऑफ़ dz2 एंड देन 0 टू पा यस आपको यह पता होना चाहिए दोस्तों यह माइनस में है मतलब ये माइनस और ये प्लस टर्म हमेशा क्या हो जाएंगे कैंसिल हो जाएंगे ये आपको पता होना चाहिए क्योंकि ये अपॉन में जाएगा तो दोनों कैंसिल हो जाएगा पर आप हमेशा याद रखना e रे - आ थीटा और e रे आ थीटा कैंसिल होगा देन दोस्तों यहां पे आ है और यहां पे क्या है दोस्तों d थीटा है अब फाइनली अगर मैं आगे चलूं तो आपको क्या करना है दोस्तों देखो प्लीज ध्यान से अब यहां पे आ क्या है दोस्तों मेरा कांस्टेंट है क्योंकि विद रिस्पेक्ट टू थीटा है एंड थीटा वाला अगर कोई टर्म दिखाई दिया तो बस अपने को वही सॉल्व करना है तो आ कांस्टेंट को हम बाहर ले ले रहे हैं अब सर अंदर तो कुछ दिखाई नहीं दे रहा है कोई दिक्कत त नहीं है मैं आपके साथ इंटीग्रेशन ऑफ कुछ भी नहीं कुछ भी नहीं मतलब वन कुछ भी नहीं का इंटीग्रेशन क्या आता है दोस्तों हमने जो फार्मूला पढ़ा है वो x है बट यहां प विद रिस्पेक्ट टू थीटा है तो हमारा आंसर क्या आएगा दोस्तों थीटा आएगा और यहां पे हमारा लिमिट क्या है दोस्तों जीरो टू पाई एंड देन फाइनली आ यस व्ट इज थीटा की जगह प आप पाई पुट करो माइनस यहां पे क्या आएगा जीरो देन दोस्तों यहां पे क्या आएगा पा आ तो फाइनली दोस्तों हमने यहां पर फाइनली अपना आंसर ला दिया तो इसका आंसर क्या है पा तो आपको कुछ कर ही नहीं यार बस ये स्टार्टिंग का पार्ट सॉल्व करो और जस्ट वैल्यू पुट अप करो आपका आंसर आ जाएगा चलते हैं नेक्स्ट क्वेश्चन की ओर अब नेक्स्ट क्वेश्चन देखो अब देखो आपको खुद समझ में आएगा कि सर क्या क्या करना है जो रिक्वायरमेंट है उसके हिसाब से काम करो कुछ आपको कोई भी स्टेप्स याद करने की जरूरत नहीं है अब देखो भाई यहां पर हमें सर्कल दिया है सर्कल का हमारा इक्वेशन है और आपने यह 11थ क्लास में पढ़ाए किय भाई स्टैंडर्ड सर्कल है और स्टैंडर्ड सर्कल को हम देखो यह मैं इक्वेशन नंबर वन है मैं इसे कंपेयर करूंगा यह सब एक्चुअली इंजीनियरिंग में तो लिखने की जरूरत भी नहीं है कंपेयरिंग इक्वेशन वन कंपेयरिंग इक्वेशन वन विथ x स् + y स् व्हिच इज इक्वल r स् एंड देयर फॉर द वैल्यू ऑफ़ r स् व्हिच इज इक्वल ट 1 द वैल्यू ऑफ़ r व्हिच इज इक्वल टू 1 यस टेकिंग स्क्वायर रूट ऑन बोथ साइड एंड देयर फोर ये जो स्क्वायर है वहां पे जाएगा रूट हो जाएगा और r का वैल्यू माइनस में नहीं रहेगा देन वन आया अब हमारे पास r का वैल्यू वन आ गया तो एक चीज तो क्लियर हो गया है दोस्तों एक चीज तो यहां पर क्लियर हो गया है कि हमारा r का वैल्यू कितना है दोस्तों वन है अब देखो मैं आगे क्या कर रहा हूं जैसे ही r का वैल्यू आ गया पहले वाले क्वेश्चन में यूनिट सर्कल दिया था बट यहां पे अब देखो मैं यहां पे क्या कर रहा हूं दोस्तों जो मेरा z का इक्वेशन है जो मैं इन जनरल लेता हूं e रे आ थीटा अब मुझे पता है कि r का वैल्यू कितना है वन है तो डायरेक्ट यहां प e रे आ थीटा अब मुझे यहां पे क्या चाहिए दोस्तों d ज चाहिए तो वो भी निकाल दे रहा हूं तो देखो हर एक क्वेश्चन में यही चीज करना है z अगर आप मेरा एक क्वेश्चन अगर अच्छे से समझते हो तो d z बा d थीटा और यहां पे देखो e रे आ थीटा का e रे आ और माइनस इनटू आ से मल्टीप्लाई करेंगे तो यहां पे क्या होगा d ज च इ इक्वल टू आ ऐसे ही रहेगा e रे आ थीटा एंड देन d थीटा तो यह पूरा का पूरा पार्ट आपका हो गया अब देखो ये आपने d z भी निकाल दिया आपने अब आपको यह वैल्यूज निकालने है यस आपको पता है यार z बार क्या होगा बताओ z आपके पास है तो ये क्या हो जाएगा माइनस थीटा सर यह भी हमने फाइंड आउट कर लिया यस व्ट इ ज द वैल्यू ऑफ ू ज देखो यह वाला वैल्यू मैं क्या कर रहा हूं डायरेक्टली लिख दे रहा ह डायरेक्ट हम सॉल्व कर ले रहे क्योंकि अपने ज है तो देखो मैं इवेलुएट कर रहा हूं यहां प यहां प क्या है जड बार प्लसटू ज और यहां पर क्या दोस्तों डी ज और यहां पर अभी मैं लिमिट लिखूंगा अब देखो ज बार का वैल्यू क्या है e रे माइनस आ थ ज का वैल्यू क्या है e रेट आ थीटा अब यहां पे d जड का वैल्यू क्या है दोस्तों d जड आ e रेट आ थीटा एंड d थीटा एंड देन लिमिट द वैल्यू ऑफ लिमिट यस लिमिट तो दिया नहीं है दोस्तों पर हमारा स्टैंडर्ड सर्कल है और यह कंप्लीट सर्कल है कंप्लीट सर्कल जब भी हमें लिमिट्स नहीं दिया तो कंप्लीट सर्कल तो बाजू में दिया है तो हम क्या लेंगे 0 टू 2 पाई कोई तकलीफ की जरूरत नहीं है जो आपको दिया है उसके अकॉर्डिंग आपको सम क्या करना चाहिए दोस्तों सॉल्व करना चाहिए अब चलते हैं वन बाय वन अब देखो अगर आप इसे सॉल्व करने जाते हो अब क्या करेंगे दोस्तों देखो यहां पे ये देखो ये 0 टू 2 पा रहेगा अब यह वाला पार्ट क्या होगा दोस्तों अंदर आएगा देखो ये वाला पार्ट e ^ आ थीटा - e ^ - आ थीटा से मल्टीप्लाई होगा मैंने क्या बोला आंसर वन आएगा तो यहां पे बस i वाला पार्ट आएगा इसके साथ क्या आएगा i और ये d थीटा लेना है तो लो नहीं तो बाद में हम एक ही साथ लेते हैं देन ये वाला पार्ट में भी जब ये मल्टीप्लाई होगा तो ये टू रहेगा साथ में दोस्तों आ रहेगा और दोस्तों जब ये इससे मल्टीप्लाई हो हो तो यहां पर देखो यह वाला पार्ट यह वाला पार्ट यहां पर क्या हो जाएगा माइनस नहीं है अगर माइनस होता तो क्या हो जाता वहां पर डायरेक्ट वन हो जाता परट अब अगर ये दोनों पार्ट सेम है देख यहां पे तो हम क्या करेंगे ऊपर वाले पार्ट को प्लस करेंगे तो ऊपर वाले पार्ट को प्लस करके ये क्या हो जाएगा 2 आ थीटा और यहां पे क्या आएगा d थीटा जैसे इंडस का रूल है हमने ए क्लास में पढ़ा है आप आज इंजीनियरिंग में हो तो हम क्या करते हैं ऊपर के जो भी वैल्यूज है उसको हम एडिशन करते हैं अगर यहां पर आप एडिशन करते तो जीरो आता और e रे 0 1 होता देखो दोस्तों यहां पे 0 टू 2 पा है यहां पे i है यहां पे 2i e ^ 2i थीटा और d थीटा अब मैं क्या कर रहा हूं दोस्तों इसी को आगे सॉल्व करने की कोशिश कर रहा हूं जस्ट मैं इसे आगे सॉल्व करूंगा प्लीज यहां पे अच्छे से आपको ध्यान देना चाहिए अब यहां पे अगर आप ध्यान देने की कोशिश करोगे यस i कांस्टेंट है देन यहां पे आंसर क्या आएगा थीटा आएगा साथ में और दोस्तों प्लस ये देखो ये 2i कांस्टेंट है देन e रेट यहां पे क्या हो जाएगा दोस्तों e रेट यहां पे 2i थीटा वैसे ही रहेगा बट ये इंटीग्रेशन है तो यहां पे क्या होगा दोस्तों ये 2i से डिवाइड होगा आप बोलोगे सर डिवाइड क्यों किया भाई इंटीग्रेशन में जो भी कांस्टेंट होता है उससे अपन डिवाइड करते हैं डेरिवेटिव में मल्टीप्लाई करते हैं तो यहां पे कांस्टेंट थीटा के आगे था उससे हमने डिवाइड किया और फाइनली हमने ये पूरे पार्ट का इंटीग्रेशन निकाल दिया यहां पे लिमिट है 0 टू 2 पा अब फाइनली अगर मैं इसे सॉल्व करने की कोशिश करूं देखो दोस्तों ध्यान से देखो ये दोनों कैंसिल हो जाएगा अब यहां पे क्या बचा i थीटा यहां पे क्या बचा e ^ 2i थीटा और यहां पे क्या है 0 टू 2 पा देन फाइनली अगर मैं सॉल्व करने की कोशिश करूं तो थीटा की जगह पे ये वैल्यू पुट करना तो यहां पे क्या आएगा दोस्तों यहां पे 2 पा एंड देन यहां पे क्या आएगा दोस्तों ये 2 आ रहेगा यहां पे भी क्या आएगा 2 पा एंड दोस्तों अब फिर हम जीरो पुट करेंगे तो यहां पे क्या हो जाएगा देखो यहां पे जीरो हो जाएगा और देखो उसके आगे क्या होगा दोस्तों थोड़ा सा ध्यान से देखो ये पार्ट हमने पुट कर दिया अभी देखो य पर ये वाला पार्ट अभी यहां पर अगर मैं जीरो पुट करू तो ये क्या हो जाएगा दोस्तों रे 0 हो जाएगा तो फाइनली अगर मैं इसे आगे सॉल्व करने की कोशिश करूं तो यह क्या हो जाएगा दोस्तों 2 पा आ यहां पर क्या हो जाएगा दोस्तों रे टू 4 4 पा आ और दोस्तों इसके बाद यहां पर अगर आप आगे सॉल्व करोगे तो ये जीरो है और यहां पर क्या हो जाएगा माइनस और यहां पर क्या आएगा दोस्तों वन आंसर क्योंकि e0 होता है तो फाइनली हमारा आंसर यह आया अगर आप चाहोगे तो इसको और चेंज करना चाहते हो तो और चेंज कर सकते हो कोई दिक्कत नहीं है बट मेरे हिसाब से आपको यहीं तक आंसर रखना चाहिए और अगर आपको थोड़ा बहुत चेंज करना है तो आप कर सकते हो चलते हैं नेक्स्ट क्वेश्चन की ओर चलते हैं दोस्तों अब नेक्स्ट क्वेश्चन की ओर और मैं पहले यह क्वेश्चन सॉल्व करना चाहता हूं देखो यहां पर ध्यान से अच्छे से देखना बहुत बार एग्जाम में पूछा गया है देखो यहां प हमें क्या फाइंड आउट करने बोला है पहले वो आप लिख लो यहां प हमें मोड ऑफ ज बोला है और यहां प क्या है दोस्तो तो d z अ लेफ्ट हाफ य यूनिट सर्कल हमें यहां पे देखो लेफ्ट हाफ यूनिट सर्कल बोला है और मड ऑफ z का आंसर भी डायरेक्ट दे दिया दोस्तों वन तो फाइनली मैं अगर मोड ऑफ ज का आंसर वन है तो अन इसको डायरेक्ट अब d z लिख सकते हैं क्योंकि यहां पे आंसर वन हो गया तो डायरेक्ट अब d ज मतलब इनडायरेक्टली अपने को ये फाइंड आउट करना है और यहां पे हमें कुछ लिमिट भी दे दिया है दोस्तों z का तो मैंने क्या बोला था जब भी z का लिमिट - आ टू आ है देखो मैंने यहां पे आपको यह चीज पहले ही क्लियर कर दिया कि अगर समझो माइन आ से आ है तो ये लिमिट क्या हो जाएगा यहां पे क्या होता है 3 पा बा 2 टू पा बा 2 तो यहां पे लिमिट क्या हो जाएगा आपका 3 पा बा 2 पा बा 2 तो देखो तो सबसे पहले हम स्टार्टिंग में जो पार्ट लेते हैं z = e रे आ थीटा साथ में r देन z व्हिच इज इक्वल टू यस अब देखो मड ऑफ जव है देखो मैंने क्या बोला था म मड ऑफ ज को ही हम क्या बोलते हैं r बोलते हैं और इसका आंसर क्या है वन है तो यहां पे वन आ जाएगा और वन अपन लिखेंगे नहीं तो e रे आ थीटा हो जाएगा फिर फाइनली हम क्या करेंगे दोस्तों इससे d ज का वैल्यू निकालेंगे तो d ज वच इ इ इ e ^ आ थीटा साथ में i आएगा और यहां पे क्या आएगा d थीटा तो ये भी हमने फाइंड आउट कर लिया तो मतलब ये भी अपने पास हो गया लिमिट भी है अपने पास अब हम डायरेक्टली सम को क्या कर सकते हैं दोस्तों सॉल्व कर सकते हैं अब देखो आपका लिमिट क्या है आपको पता है 3 पा / 2 ू यहां पे क्या आएगा दोस्तों पा / 2 अब यहां पे dz2 और यहां पे क्या आएगा d थीटा तो फाइनली अगर मैं इसे सॉल्व करने की कोशिश करूं तो किस तरह से आप सॉल्व करोगे प्लीज यहां पे ध्यान देना अब देखो दोस्तों यहां पे ये आ ऐसे ही रहेगा e रे आ थीटा का इंटीग्रेशन e रे आ थीटा और आपको पता होना चाहिए कि भाई थीटा के आगे जो टर्म है उससे हम क्या करेंगे यहां पे डिवाइड करेंगे तो हमने आ से क्या किया डिवाइड किया और फाइनली हम क्या करेंगे दोस्तों जो भी हमें लिमिट दिया है 3 पा बा 22 पा बाट हम लेंगे अब एक चीज आप ध्यान रखना यह आ आ कैंसिल हो गया तो जस्ट यहां पर आप वैल्यू पुट अप करोगे तो यहां प यह आ ही रहेगा या तो आप ऐसे भी ले सकते हो थीटा का वैल्यू क्या है दोस्तों पा बाटू आ और यहां पर क्या आएगा 3 5/2 आ अब यहां तक आपका आंसर सही है पर आप अपने बुक में देखोगे तो उन्होंने आगे और सॉल्व किया है और वहां पे आगे उन्होंने और उसका आंसर निकालना तो आप यहां तक भी अगर आंसर रखते थे तो परफेक्ट है बट अगर आप चाहते हो कि आगे और सॉल्व करना है तो यहां पे आपको थोड़ा सा क्या है एंगल पा बा 2 और प्लस यहां पे क्या आएगा दोस्तों i सा यहां पे भी क्या आएगा दोस्तों पा बा 2 तो ये हमेशा आपको याद रखना है कि ये e रे आ थीटा को मैं हमेशा क और सा थीटा में कन्वर्ट कर सकता हूं और सा के साथ क्या है i और प्लस दोस्तों देखो यहां पे माइनस है उसके नीचे वाला पार्ट यहां लिख रहा हूं इसको भी सेम करोगे तो क्या आएगा क थीटा का वैल्यू कितना है दोस्तों 3 पा बा 2 और प्लस यहां पे क्या आएगा आ सा क्या आएगा 3 पा बा 2 अब यहां पे अगर आप इसे सॉल्व करोगे तो कस 90 क्या होता है जीरो होता है यहां पर आ है और सा 90 क्या होता है वन होता है इसलिए व आ को ऐसे ही रखा देन दोस्तों यहां प यह कस 3 पा बा यह भी क्या होगा जीरो होगा और फाइनली य प आ इसका आप आंसर निकालो 3 पा बाटू तो माइव आएगा चेक कर लेना एक बार तो यहां पर दोस्तों क्या हुआ आ और यहां पर अगर आप ध्यान से देखोगे ये और यहां पर क्या हो जाएगा दोस्तों माइन आ तो फाइनली ये आ प् आ च इ इ 2i तो यह क्वेश्चन भी दोस्तों हमने क्या कर दिया बहुत ही अच्छे तरीके से सॉल्व कर लिया अब चलते हैं दोस्तों एक और क्वेश्चन है लास्ट क्वेश्चन है आज के सेशन का इसे भी हम खत्म करने की कोशिश करते हैं और यह भी एग्जाम में पूछा गया अगर आप अपने बुक में चेक करोगे तो तीन से चार बार कोई दिक्कत नहीं है देखो यहां पे यहां पे जो इन्होंने दिया है लग ज और यहां पे क्या है दोस्तों d ज और फाइनली हमें इसे क्या प्रूफ करना है दोस्तों 2 पा आ मतलब उन्होंने हमें आंसर भी पहले से दे दिया है बस अपने को क्या करना है दोस्तों सॉल्व करके दिखाना है अब देखो यहां पे अगर मैं इसे सॉल्व करने की कोशिश करूं तो आप क्या करोगे सबसे पहले देखो यूनिट सर्कल बोला है तो देखो मैं z इक्वल टू क्या लूंगा r ^ i थीटा देन z = r का वैल्यू वन हो जाएगा तो e ^ i थीटा देन dz2 और आपको पता है i आगे आएगा क्योंकि यहां डेरिवेटिव मैं ले रहा हूं इसलिए मल्टीप्लाई कर रहा हूं वही इंटीग्रेशन होता तो हम डिवाइड करते तो ये पार्ट तो नॉर्मल आपका प्रैक्टिस हो चुका है तो मतलब d z हो गया है अब देखो मैं लॉ z का आंसर निकालने की कोशिश करूं l z तो यहां पे लग ज का वैल्यू क्या है दोस्तों e रे आ थीटा देन आपको इंडस ये लोगरिथम का रूल पता है तीन प्रॉपर्टीज है जिसमें से मैं इसको कैप रूल बोलता हूं कैप अगर है तो उसको आगे उठा के रख दो तो यह वाला पार्ट मैं अगर आगे रख दूं तो यहां पे क्या हो जाएगा दोस्तों लग e और लॉग e का आंसर क्या होता है दोस्तों वन तो लग e हमेशा याद रखना वन होगा तो फाइनली इसका आंसर आ थीटा आया अब आपके लिए थोड़ी बहुत चीजें बहुत इजी हो जाएगी अब देखो मैं इसे अगर सॉल्व करने जाऊं तो देखो दोस्तों लॉग ज का आंसर सर कितना आया है i थीटा d z का आंसर कितना आया दोस्तों i e ^ आ थीटा और d थीटा हां अब यहां पे हम लिमिट क्या लेंगे दोस्तों यह सोचने वाली बात है तो यहां पे सबसे पहला कि हमें दोस्तों यहां पे कोई कुछ भी उन्होंने मेंशन नहीं किया तो अपन क्या लेंगे दोस्तों 0 टू 2 पा मैंने आपको स्टार्टिंग में ही बोला है अब यहां पे ये होने के बाद आपको क्या करना है दोस्तों प्लीज ध्यान से देखो ये i * i i स् होगा और i स् का आंसर क्या होता है दोस्तों -1 तो ये आपको मैंने ऑलरेडी कॉम्प्लेक्शन बाय पार्ट्स का यूज करना है आप वैसे भी सॉल्व कर सकते हो या तो अगर आपको उतना नहीं मेहनत करना है तो आपको एक तरीका हमने ऑलरेडी उसके ऊपर सम सॉल्व किए हैं आपको क्या करना है इसमें से एक पार्ट को य लेना है और एक पार्ट को v लेना लेना है कौन से पार्ट को सर य लेना है जिसका डेरिवेटिव जीरो हो सके जैसे अगर आप समझो यह वाले को u ले रहे हो और यह वाले को v ले रहे हो अगर सपोज आपने इसको u ले लिया तो e रे आ थीटा आगे आगे कितना भी आप सॉल्व करते जाओ उसका आंसर जीरो नहीं आ रहा तो मतलब आपका u लेने वाला पार्ट रंग हो गया है तो आपको य ऐसे पार्ट को लेना है जो अलजेब्रिक फॉर्म में हो तो यहां पे तो भाई सब थीटा के फॉर्म में तो जैसे यहां पे थीटा का रोल अलजेब्रिक का रोल कौन कर रहा है दोस्तों थीटा कर रहा है तो यहां पे अगर समझो हमें क्या करना है सबसे पहले य सेम लिखना है तो हमने सबसे पहले सेम लिखा और ये वाले पार्ट का इंटीग्रेशन लेना है इंटीग्रेशन लेना है तो e ^ आ थीटा का इंटीग्रेशन क्या आएगा e ^ आ थीटा ही आएगा बट साथ में i डिवाइड में आएगा वही डेरिवेटिव रहता तो i मल्टीप्लाई में फिर हम क्या करेंगे दोस्तों इसके बाद ये देखो ये वाला जो पार्ट है उसका डेरिवेटिव लेंगे जैसे x का डेरिवेटिव वन होगा वैसे थीटा का भी क्या हो जाएगा वन क्योंकि विद रिस्पेक्ट टू थीटा है फिर से इस वाले पार्ट का इंटीग्रेशन जो यहां पे आंसर आया है सेम टू सेम इस पार्ट का इंटीग्रेशन तो यहां पे देखो e ^ आ थीटा का e ^ आ थीटा और साथ में वो जो आया है उसको ऐसे ही रखे रहो कोई दिक्कत नहीं है बट फिर से अगर मैं इसका इंटीग्रेशन लेता हूं तो एक और आय नीचे आ जाएगा तो यहां पे क्या आ जाएगा आ तो यह वाला पार्ट हो गया अब आप आगे और जाते हो जैसे वन का फिर से आप डेरिवेटिव लेने जाते हो तो वन का डेरिवेटिव क्या आएगा ज़ीरो तो रो मिल गया तो मतलब आगे आपको नहीं जाना है और हम अल्टरनेट साइन लेते हैं प्लस माइनस और आगे लेने की जरूरत नहीं है तो ये थोड़ा जल्दी होता है या तो आप इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स का भी फॉर्मूला यूज़ करके सम को सॉल्व कर सकते हो कोई तकलीफ नहीं है अब देखो अब यहां पे किस तरह से हां यहां पे लिमिट क्या आएगा दोस्तों 0 टू 2p अब आपको चाहिए तो इसका स्क्रीनशॉट लेना है तो ले लो अब मैं क्या कर रहा हूं यह वाले पार्ट को बहुत अच्छे से सॉल्व करना मेरा एम है बट अगर आंसर नहीं आया तो आपके पास आंसर तो पड़ा हुआ है यार उसको भी आप लिख सकते हो कोई दिक्कत नहीं है ब ध्यान दो कि आंसर खुद से आए अब देखो यहां पे यह थीटा ऐसे ही है यह e रे आ थीटा है और नीचे क्या है दोस्तों आ माइनस यहां पे देखो ये आ स् आ न आ आ स्क होगा और आ स्क -1 होता है और माइव और ये माइन क्या दोस्तो प्लस य क्या रे आ थ और य पर क्या हो 0 पा अब मैं फाइनली अगर मैं इसे लिखने कोशिश करो तो देखो दोस्तो यह पा जहां पर थ है वहा पर क्या जाएगा पा यहां पर भी क्या हो जाएगा पाई और यहां पर भी क्या हो जाएगा आ अब यहां पर भी क्या हो जाएगा दोस्तों अब यहां पर अगर मैं आगे सॉल्व करने की कोशिश करू तो देखो अभी य ये वाला पार्ट हमने लिया अब हम क्या करेंगे जीरो पुट करेंगे जहां पर थीटा है वहां पर जीरो पुट किया तो यह पूरा पार्ट जीरो हो गया यहां पर अगर मैं जीरो पुट करू तो ये e रे 0 हो जाएगा अब देखो यहां प ये 2 पाई रे आट पाई और नीचे आ है यहां पर दोस्तों यह e रे आट पा और ये दोस्तों क्या हो जाएगा माइनस हो जाएगा और आरे 0 मतलब व तो ये माइव हो जाएगा एक चीज का आपको यहां पर ध्यान देने की जरूरत है देखो अपने को प्रूफ क्या लाना है सबसे पहले वो आप देख लो प्रूफ क्या लेकर आना है दोस्तों अपने को प्रूफ लाना है 2 पाई आ क्या प्रूफ लाना है 2 पाई आ 2 पा आ ये अपने को प्रूफ लेकर आना है तो प्लीज यहां पर ध्यान देने की जरूरत है तो यहां पे यह जो है इसका आंसर दोस्तों वन होता है यह आप ऐसे भी याद रख सकते हो या तो इसको कॉस वाले फॉर्म में कन्वर्ट करके भी आप कर सकते हो कॉस और जैसे मैंने अी थोड़ी देर प पहले किया वैसे करके आप इसका आंसर निकाल सकते हो कि cos2 पा का आंसर क्या आता है फिर सा 2 पा का आंसर क्या आता है तो उसको आप सॉल्व करोगे तो इसका आंसर कितना आएगा दोस्तों वन तो यहां पे अब हमें पता चल गया कि इसका आंसर वन है तो मैं अब इसको सिंपलीफाई कैसे करूं तो देखो यहां पे 2 पा हो गया यहां पे इसका आंसर वन हो गया तो वन लिखने की जरूरत नहीं है यहां पे आ लिख रहा हूं ये वन है और ये क्या है दोस्तों -1 तो ये दोनों क्या हो गया कैंसिल तो फाइनली दोस्तों यहां पे क्या है -2 पा अप i अभी तक ये हमारा आंसर है फाइनली हमें ये प्रूफ करना है नहीं आ रहा यार क्या करें सर क्या क्या कर कोई दिक्कत नहीं है कोई प्रॉब्लम नहीं है नीचे आए चाहिए क्या नहीं चाहिए ऊपर आए चाहिए ठीक है ऊपर आया चाहिए तो आप क्या करो ऊपर नीचे आ से मल्टीप्लाई कर दो मल्टीप्लाई किया नीचे बैलेंस किया और ये नीचे एक और आया पहले से ही है अब अगर आप इसे सॉल्व करोगे तो क्या आ जाएगा 2 पा आ और नीचे क्या आ जाएगा दोस्तों आ स्क्र तो फाइनली क्या हो जाएगा -2 पाई आ आ स्क्र मतलब क्या होगा माइव माइनस माइनस कैंसिल तो क्या आएगा 2 पा आ हो गया तो यहां पर आपका पूरा का पूरा आंसर आ गया और उम्मीद कर रहा हूं कि पूरा का पूरा पट आपको कॉम्प्लेक्शन का समझ में आया होगा अब इसके बाद जो पार्ट हम लेंगे दोस्तों वोह स्ट्रेट लाइन एंड पैराबोला का लेंगे जो आपके सिलेबस वाइज में चल रहा हूं तो मिलते हैं दोस्तों नेक्स्ट लेक्चर में बाय बाय टेक केयर जय हिंद दोस्तों