Transcript for:
इंटीग्रल कैलकुलस का परिचय और प्रगति

हेलो पीपल सो हम लोग स्टार्ट कर रहे हैं इंटीग्रल कैलकुलस के साथ ठीक है तो अ इस पूरी वीडियो में हम लोग पूरी जो इंटीग्रल कैलकुलस है इनफिट इंटीग्रेशन डेफिनेट इंटीग्रेशन एरिया अंडर द कर्व और आपका डिफरेंशियल इक्वेशंस इन चारों की पूरी जो थोरेट्स है है ना और उसमें जितना भी हम डेप्थ में जा सकते हैं जितना भी एडवांसमेंट में जा सकते हैं वो सब हम लोग इस सेशन में देखने वाले हैं ठीक है तो शुरू करते हैं डायरेक्टली ठीक है अ हां और इस इसमें बेसिकली क्या बेसिक्स की जरूरत होगी तो बेसिक आपको आईडिया होना चाहिए डेफिनेट बेसिक डिफरेंशियल का आपको इसका ठीक है बाकी थोरी समझ में आ जाएगी ठीक है या ट्स इट कोई खास प्रॉब्लम सॉल्विंग की भी जरूरत नहीं है ठीक है आप वैसे भी समझ सकते हो अगर आपको लग रहा है कि भा मैंने ज्यादा लिमिट की कंटीन्यूटी डिफें बिलिटी डिफें एओडी इन सबकी प्रैक्टिस नहीं कर रखी है देन आल्सो इट वड बी मोटा मोटा इट वड बी ल राइट ठीक है इतनी दिक्कत नहीं आईगी आपको ठीक है सो या [संगीत] लेट्स ऑलराइट सो यहां पर कहानी की जो शुरुआत है वो होती है एरिया कि भाई मानो तु सामने एक रैंडम फिगर बना दूं ठीक है ओवल जैसा मैंने कुछ बना दिया एलिप्स जैसा और मैं बोलू इसके बीच का एरिया क्या होगा ठीक है वहां से सारी कथा जो है वो शुरू होती है ठीक है तो अब उसका भी एक जो थोड़ा एडवांस वर्जन है वो ये है कि अगर मैं ग्राफ बना देता हूं लो ये ग्राफ बना दिया मैंने और मैं पूछूं कि इसके इसका एरिया क्या होगा ले इन सेंस कि अगर मानो मैं यहां प कोई एक पॉइंट बोल दूं ए और एक दूसरा पॉइंट बोल दूं बी ठीक है और मैं सोचू कि a से बी तक का क्या एरिया होगा और ये कोई फंक्शन है मान लेते हैं f है ना ये कोई फंक्शन है ठीक है आपका ये वाली बात तो दैट मेक्स सेंस ये जो मैं अभी येलो से शो कर रहा हूं ठीक है ये आपका ये क्या होगा ठीक है ये अब उसको निकालने के लिए जो तरीका निकाला गया वो बहुत ही कमाल की चीज है उन्होंने जिस तरीके से मैथमेटिका एरिया निकालना है देर इज नो अदर वे राइट मतलब अगर मैं कोई ऐसी चीज होती मान लेते ऐसा कुछ होता ठीक है तो अगर मैं बोलता कि a से b निकाल लो तो ये तो एक ट्रेपीजियम बन गया राइट ये a है ये b है है ना ये वाला पॉइंट क्या हो जाएगा जल्दी से बोलो ये हो जाएगा ए और ये वाला हो जाएगा fb2 है ना और ये क्या होगा ये है f है ना और ये क्या है ये है fb0 है वो कितना है वो है b - a राइट तो क्या हो जाएगा 1 अप वो सॉरी 1/2 और ट्रेपीजियम का कैसे निकालते हैं उनके बीच का जो जो हाइट इसको आप बोलते हो और सम ऑफ द पैरेलल साइड्स राइट तो यहां हो जाएगा ए प् f ब और निकल गया एरिया निकल गया एरिया ठीक है एंड दिस इज द एनटायर एरिया राइट ये आपका एरिया हो गया ठीक है तो इन इस टाइप की जो शेप्स है उनको तो मैं डायरेक्टली निकाल लेता लेकिन जो कर्वड सरफेस हो जाते हैं वो बेसिकली मेन बात वो है कि किसी भी कर्वड सरफेस का कैसे एरिया निकाला जाता है जैसे हम लोग को बचपन से ये तो पता ही होता है पा r स् ठीक है पर उसका भी इसी से ही निकलता है ठीक है बेसिकली कोई भी अगर मैं आपसे ऐसे बोल दूं कर्व है ऐसे करके बना दिया तो इसको हम किस तरीके से सोच सकते हैं हम इसको ऐसे सोचेंगे कि यार ये दो कर्व्स हैं ठीक है हम इसको ऐसे सोचेंगे हम क्या बोलेंगे हम बोलेंगे देखो ये एक कव है ध्यान से देखो ये एक फंक्शन f एक लिखा हुआ है ठीक है और जो नीचे वाला है ये जो नीचे से मैंने बनाया दिस इज g एक ठीक है और फिर हम बोल देंगे एक काम करो एक काम करो क्या करो ना कि इसको गिरा लो नीचे तक ठीक है गिरा लिया तुमने पहले पूरा रेड वाला एरिया निकाल लो निकाल लिया फिर पूरा येलो वाला एरिया निकाल लो ठीक है वो भी तुमने निकाल दिया निकालना हम सीखेंगे कैसे अब रेड वाले में से येलो वाला माइनस कर दो तो जो बच गया वही तुम्हारा रिक्वायर्ड अ हो गया ठीक है सो दिस टाइप ऑफ थिंग्स राइट तो एक अलग से चैप्टर है पूरा ए अंडर द कर्व राइट तो वो सब हम इसी में देख लेंगे आपको पता चलेगा कुछ खास अलग डिफरेंस नहीं लेकिन अब अगर हम बेसिक बात करें तो ये कैसे निकाला जाएगा राइट अगर मैं मानो इसी की बात कर लू मैं और मुझे a से b तक का मुझे इसका एरिया निकालना है तो उसका तरीका क्या है उसका तरीका जो है वो बड़ा इंटरेस्टिंग है उन्होंने क्या बोला उन्होंने बोला कि अगर मैं यहां पर इसको ऐसे देखूं कि मुझे किसका एरिया आता है मुझे रेक्टेंगल का एरिया निकालना आता है तो मैंने इसको अगर मैं रेक्टेंगल में बांट दूं ध्यान से समझना इस चीज को ऐसे ठीक है अ या फिर ऐसे वाला करते हैं मतलब ऐसे मान लो ऐसे हम या अगर आपको यहां से कंफ्यूजन हो रहा हो तो आप यहां से समझ सकते हो कि मैंने क्या करा ये जो पूरी ये जो पूरी लेंथ है मेरे पास ये कितनी लेंथ है ये कितनी लेंथ है ये आप ऐसा मान लो b - a के बराबर होगा राइट b में से a हटा गया उतना बड़ा हो इसको मैंने इक्वल n पार्ट्स में डिवाइड कर दिया b - a डिवाइड बा n मतलब छोटे-छोटे इक्वल पार्ट्स में डिवाइड कर दिया ठीक है ठीक है ना तो जब मैंने इक्वल पार्ट्स में डिवाइड कर दिया तो ये आपका एक रेक्टेंगल बन गया है ना ये दूसरा बन गया ये तीसरा बन गया एंड सो ऑन ठीक है ना अब मैंने बोला कि एक रेक्टेंगल बनाते हैं तो रेक्टेंगल अगर मैं बनाऊंगा तो ऐसा बनेगा मतलब अगर आप समझ पा रहे हो तो समझ में आ भी आ भी जाएगा कि ऐसे बनेगा है ना फर ये आपका दूसरा फिर ये तीसरा है ना एंड सो ऑन ये आपका चौथा बनेगा ठीक थोड़ा सा शेप प ना जाए पांचवा एंड सो ऑन राइट ऐसे आप बना सकते हो अभ ये जो रेड वाला मैं बना रहा हूं ठीक है अगर आप समझ पा रहे हो तो तो चलो पूरे बना लिया ठीक है अब अगर मैं बोलू कि रेड वाले जो रेक्टेंगल है क्या तुम उसका एरिया बता सकते हो तुम बो हां बताया जा सकता है अगर मैं इतने पार्ट का तो मुझे पता है सर है ना ये आप बता दिया क्या है ये ये जो मैं बना रहा हूं ये इसकी इसकी वृत किती है हां ये अगर मैं निकालना चाहूं ये ये किसके बराबर होगा ये जो l है ये किसके बराबर होगा आर यू एबल टू अंडरस्टैंड दैट कि ये बराबर होगा b - a / बा n के है ना b - a डिवा बा n होगा ना क्योंकि सारे पार्ट्स तो इक्वल होंगे ना ये सारे पार्ट्स एक ही चीज के बराबर मानो इसको मैंने बोल दिया कुछ भी बोल दो मानो l बोल दो l बोल दिया चलो ठीक है तो अब ये भी l है ये भी l है ये भी l है ये भी l है ये भी l है राइट और कितने l होंगे टोटल कितने l होंगे n n ए होंगे कितने होंगे n क्योंकि ने n इक्वल पार्ट्स में डिवाइड किया ठीक है और n ए अगर आप समझ पा रहे हो तो वही बराबर हो जाएगा b - a के ठीक है आई गेस ऑल ऑफ दिस मेक्स सेंस ठीक है थोड़ा सा पॉज करके देखिएगा समझ में आ जाएगा इतनी कोई बहुत भयंकर बात नहीं कर दी गई है अब अगर मैं तुमसे बोलूं कि ये वाला जो रेक्टेंगल है इसका एरिया क्या होगा तो इसका एरिया क्या होगा ध्यान से देखो तुम सिर्फ रेक्टेंगल को देखो तो ये जो रेक्टेंगल मैंने बनाया हुआ है ये जो मैंने रेक्टेंगल बनाया हुआ है इसकी मुझे लेंथ तो पता चल गई लेंथ क्या है भाई लेंथ इसकी आ गई है सर l के बराबर ठीक है अब ये बता दो ये कितना होगा तो ये जो इसकी हाइट है हाइट ये किसके बराबर होगा सर ये b के बराबर होगा मतलब b मतलब जब आप फंक्शन में b डाल दोगे दैट वुड बी द थिंग राइट ये जो पूरा आपकी लाइन आ रही है व्हाट इज दिस दिस इज निकालेंगे कैसे हाउ विल वी फाइंड दिस हाइट उसके लिए हमें ये x निकालना पड़ेगा ना तो थोड़ा सा हमने और इसको क्लेटर है ना ये पूरा क्लेटर सा बन गया है ठीक है इसको थोड़ा सा साफ करके देखते हैं और समझते हैं कि चल क्या रहा है ठीक है थोड़ा सा समझने की कोशिश करना थोड़ा सा कॉम्प्लिकेटेड लगता है स्टार्टिंग में फिर समझ में आ जाता है देखो अगर ये l है तो क्या हम बोल सकते हैं कि ये जो मैंने येलो कलर से बनाया ये पॉइंट होगा a + l फिर ये हो जाएगा a + 2l फिर ये हो जाएगा a + 3l a + 4l a + 5l एंड सो ऑन और जो b है आपका वो क्या है आपने n टुकड़ों को जोड़ा है है ना पहला दूसरा तीसरा ऐसे आपने n ों को जोड़ दिया यानी कि आपने a में जब n ए के टुकड़े जोड़े तभी तो b तक पहुंच होगे ना राइट तो ये जो ठीक पहले वाला होगा ये क्या होगा ये होगा a प् n-1 * l ये क्या होगा ये होगा a प् n - 2 * l राइट एक ए बनती हुई आपको दिख गई होगी ठीक है तो ये जो a + n-1 l है आपने यहां पे फंक्शन के अंदर क्या डाला है आपने फंक्शन के अंदर क्या डाला है आपने फंशन के अंदर डाला है a + n-1 * l यही तो डालोगे ना और ये क्या हो जाएगा ये l हो जाएगा राइट तो आपने इसको l से मल्टीप्लाई कर दिया तो ये आपका एरिया हो जाएगा सेकंड ट्रायंगल का ये पहला जो सबसे बड़ा ट्रायंगल था सबसे बड़ा जो रेक्टेंगल था उसका हो गया फिर ये दूसरे का हो गया ऐसे करते करते अगर आप चाहे तो आप सारे रेक्टेंगल का एरिया एरिया निकाल सकते हो ठीक है आर यू एबल टू अंडरस्टैंड कि भाई हमने सबसे पहला क्या किया था fbn1 के a + nl2 - 1 * l * l प्लस क्या आप समझ पा रहे हो कि ये तो सर पूरा आगे तक जाएगा a + n - 2 * l है ना ऐसे करते करते आखिरी में आ जाएगा क्या आ जाएगा आखिरी में आखिरी में हो जाएगा सर अ ये हो जाएगा f के अंदर आप डालोगे a + 2l है ना और ये भी इसको भी फिर आप l से मल्टीप्लाई करोगे फिर आप करोगे f के अंदर a + l * l भाई आखिरी जो रेक्टेंगल है मेरा जो ये वाला रेक्टेंगल है आखरी इसकी जो विड्थ है वो तो अभी भी l ही है और हाइट क्या होगी हाइट देखो वाइट वाली नहीं होगी ठीक है हम लेफ्ट वाले को कंसीडर नहीं कर रहे हैं हम राइट वाले को ले रहे हैं क्योंकि हमारा जो रेक्टेंगल है वो ऐसा वाला है है ना रेक्टेंगल की जो हाइट है वो यहां से डिसाइड हो रही है यहां से डिसाइड नहीं होगी ठीक है तो आप ए नहीं डालोगे आप f + ए डालोगे ठीक है तो दैट मींस कि ए + ए * ए ये मेरा आखिरी रेक्टेंगल होगा और ये मेरा पहला रेक्टेंगल था और अगर मैंने इन सबको जोड़ दिया अगर मैंने इन सबको जोड़ दिया तो व्हाट डू यू थिंक क्या हो क्या रहा है यहां पर अगर आपने सबको जोड़ दिया तो ये जो मैं अभी बना रहा हूं रेड कलर से ठीक है क्या आपको समझ में आ रहा है ये रेड कलर से जो हम बना रहे हैं दैट वुड बी द कंप्लीट एरिया अब तुम बोलोगे कि सर आपने जो रेड कलर से निकाला है उसमें ये जो आपने अलग से देखोगे तो ये थोड़ा-थोड़ा एरिया एक्स्ट्रा भी तो आ गया ना है ना थोड़ा-थोड़ा एरिया अगर आप देखोगे तो ये जो मैं अल अभी शो कर रहा हूं है ना ये जो आपका पूरा है छोटी छोटी नो के एक्स्ट्रा आ गई राइट वरना हमारा पूरा ऑलमोस्ट कवर हो गया था तो मैथमेटिशियंस ने बोला कि अगर ये जो n पार्ट्स तुमने करे हैं तुमने एक्चुअली कितने पार्ट्स करे हैं एक दोती च पा 6 सा आन तुमने नाइन पार्ट्स करे हैं है ना तुम्हारा b माइ ए डिवाइड बा 9 हो रखा है सीधी बात है ठीक है तो तुम न पार्ट्स क्यों कर रहे हो तुम 50 पार्ट कर लो अगर तुम 50 पार्ट कर लोगे मैं छोटा सा एग्जांपल दे रहा हूं भाई 50 पार्ट अगर तुमने कर लिया तो ये ऐसा था राइट तो ये बिल्कुल ऐसे ऐसे हो जाएंगे समझ रहे हो बिल्कुल ऐसे पतले पतले पतले पतले ठीक है ऐसे ऐसे इसमें तुम देखो कितना जरा जरा सा निकलेगा बहुत ही जरा जरा सा निकलेगा ठीक है और फिर मैं कह रहा हूं तुम 50 पार्ट भी क्यों कर रहे हो तुम 1000 पार्ट कर लो तो बिल्कुल एकदम बिल्कुल पतली पतली स्ट्रिप्स हो जाएगी तुम 1000 स्टेप भी क्यों कर रहे हो तुम एक करोड़ कर लो एक अरब कर लो कोई लिमिटेशन थो है उब लिमिटेशन लगानी ही नहीं है जब लिमिटेशन लगानी ही नहीं है तो सीधे बोल देते हैं ना यार क्या बोल देते हैं ये जो चीज दे रखी है ये जो चीज दे रखी है इसमें जो ए लगा हुआ है ना ये जो ए लगा हुआ है लेट इट टेंड्स टू इनफिनिटी ठीक है तो ये तुम्हारे सामने बवंडर लिखा हुआ है पूरा ये बवंडर नहीं लिखा हुआ है आप कितने लोग समझ पा रहे हैं सर इसको तो डायरेक्टली ऐसे भी लिख सते हो ना सिगमा लगा कर के अगर लिख दू ए ए प्स देखते कितने लोग समझ पाएंगे थोड़ा सा मैं स्पीड में बताऊंगा क्योंकि हम क्रश कोर्स के आगे आ चुके राट काफी आगे एलब पढ़ चुके हैं राइट तो कितने लोग समझ पाएंगे अगर डायरेक्टली ऐसे लिख द तो ठीक लिमिट ए टेंस टू इनफिनिटी वेर दिस इज द एरिया ट्स इट अब कितने लोग समझ पा रहे हैं मैंने क्या करा भ अगर तुम वन डालोगे तो बन जाएगा ए + ए ये रहा पहला वाला टर्म टू डालोगे a + 2l वाला है ना थ डालोगे 3 ए वाला आखरी में n ए वाला केस भी यहां पर आ गया तो ये जो पूरी सीरीज लिखी हुई है ये इतनी चीज को हमने इतने में लिख दिया राइट अच्छा अब यहां पर l क्या चीज है एल क्या चीज है बोलो ए क्या है b - ए डि बा n ठीक है एंड व्हाट इज दिस एरिया व्हाट इज दिस एरिया सर दिस एरिया इज बेसिकली क्या आपका ये फंक्शन था f एक ठीक है और ये आप a a से b तक जा रहे हो आप ए से बी तक जा रहे हो तो ये जो आपने एरिया है ये जो एरिया a है वो इसके थ्रू दिया जाएगा ठीक है तो आई होप सो समझ में आया होगा ठीक है थोड़ा सा कॉम्प्लिकेटेड लगता है स्टार्टिंग में ठीक है बट अगर आप धीरे-धीरे समझ पाओगे तो आपको समझ में आएगा ठीक है ओबवियस सी बात है कि अगर मैं सिर्फ इस समेशन की बात करूं अगर मैं सिर्फ इस समेशन की बात कर रहा हूं तो वो तो ओबवियसली जो एक्चुअल एरिया उससे ज्यादा ही होगा ना उससे ज्यादा होगा क्योंकि उसमें हमेशा से ये वाली चीजें एक्स्ट्रा आ जाएंगी ना ये जो छोटे-छोटे ट्रायंगल हैं ये तो एक्स्ट्रा आ ही जाएगा ठीक है लेकिन जब आप n टेंड्स टू इनफिनिटी तक ले जाओगे तो फिर ये चीज इतनी नेगलिजिबल हो जाएगी कि आप इसको इग्नोर मार सकते हो कि बिल्कुल ही ज़ीरो हो गया है ना टेंडिंग टू ज़ीरो होगा ये सब ये जो ये जो एक्स्ट्रा एक्स्ट्रा चीजें हैं ये सब टेंडिंग टू ज़ीरो हो गया तो हमने मान लिया कि जो हमारा समेशन है वही एरिया अंडर द कर्व बन गया ठीक है आप चाहते तो दूसरे तरीके से भी कर सकते थे बट अब छोड़ते हैं वो तो बहुत ही ज्यादा हो जाएगा ये जो मैंने अभी आपको इतने में समझा दिया ना कुछ मिनट्स में ये मैंने अराउंड ढाई घंटे लगाए थे ठीक है जो एक्चुअल थ्योरी लेक्चर youtube2 घंटे के आसपास का 1 घंटा 45 मिनट और फिर अगला लेक्चर फिर ली आया ठीक है एक डेढ़ घंटे का तो अराउंड टाइम लगता है एकदम डिटेल में पढ़ाने में तो वो तो खैर बहुत ही एडवांस लेवल हो जाएगा इतना तो अभी हम तो अभी इतनी जरूरत नहीं है बहुत अल्ट्रा एडवांस चीज हो जाएगी वहां तो इक्वालिटीज भी आ जाती है इी चीज के अंदर ही ठीक है थोड़ा सा अगर मैं आईडिया दूं तो मैं दे भी सकता हूं फॉर एग्जांपल ये जो समेशन लिखा हुआ है है ना ये जो समेशन है ये जो पूरा सीरीज है ये जो एरिया है वर्सेस जो एक्चुअल एरिया है यह वाला एरिया उस एक्चुअल एरिया से बड़ा है राइट ऐसे ही आप अंदर से भी कर सकते थे आप ये भी तो ट्रायंगल यूज कर सकते थे ना ये वाला ये वाला ट्रायंगल ठीक है तो अगर आप ये वाला लेते तो वो भी एक्चुअल एरिया से कम हो जाता तो हम बोलते कि जो एक्चुअल एरिया है वो एक इक्वलिटी में आ जाएगा लोअर सम एंड अपर सम अभी ज्यादा हो जाएगा मैं समझ पा रहा हूं बहुत ज्यादा हो जाएगा ठीक हैब पता नहीं आपको ये भी समझ में आया है या नहीं आया है ठीक है अगर आपको ये समझ में नहीं आया है तो एक एग्जांपल से आपको इस चीज को शो करने की कोशिश करता हूं ठीक है बाकी आप लोग मे कमेंट में बताइएगा कि यहां पर आपको ये बात समझ में आई है या बिल्कुल ऊपर से गया ठीक है एक एग्जांपल से देखते हैं शद ज्यादा अच्छे से समझ में आ पाएगा ठीक है सिंपल सा एग्जांप लेते हैं y = x का स् ठीक है तो भाई हम सबको पता है x स् का फंक्शन कैसा बनता है भाई x स् ये बनता है राइट दिस इज़ द ग्राफ ऑफ y = x का स् अब इसमें अगर मुझे एरिया निकालना है कौन सा एरिया सर मान लेते हैं अ ज़ीरो है ठीक है और यहां पे मान लो पांच है ठीक है ये हो गया ठीक है तो मुझे ये वाला एरिया निकालना है ये ये पूरा जो एरिया है आई जस्ट वांट टू फाइंड दिस ठीक है तो फिर से करोगे तुम इसमें भी वही भाई करोगे तो तुम इसमें भी वही ना कोई ऐसा तो है नहीं कि इसमें कुछ अलग से होगा है ना वही कि स्ट्रिप्स बनाओगे एंड सो ऑन अब उसको तो हमने ऑलरेडी कर रखा है ना उसको हमने ऑलरेडी कर रखा है क्या कर रखा है भैया सर ये लिमिट ये याद करने की जरूरत नहीं है बस अभी थोड़ी लिए हमने रखा हुआ है ठीक है एक्चुअली लिमिट एज अ सम जो टॉपिक है वो मेंस के सिलेबस से तो हटा ही दिया गया है ठीक है तो अगर वो अगर वो होता टॉपिक इसमें तो तो मैं इसमें फिर पीएचडी करवाता आपको ठीक है बट वो टॉपिक ही हटा दिया गया है और वो बाकी एग्जाम्स भी इतने अच्छे से पूछते नहीं है तो हम इतना डिटेल में नहीं जाएंगे वरना जितना डिटेल में जाना है कि अगर कोई कुछ आ जाए तो आप कर लोगे ठीक है बट जितना मतलब एडवांस ओलंपियाड्स ओलंपियाड्स तो नहीं मतलब जो आपका आईएसआई में पूछता है वो तो फिर आपको थ्योरी लेक्चर ही देखना पड़ेगा लिए दो उसमें तो वो तो क्रैश कोर्स में पढ़ाया नहीं जा सकता ठीक है वो तो बहुत डिटेल मानता है ठीक है तो अभी क्लियर थोड़ा सा आप समझने की कोशिश करें इतने से ही तो क्या था सिगमा r = 1 से लेकर के n तक f के अंदर a + r यार एक काम करो l की जगह पे कोई दूसरी नोटेशन यूज कर ले मुझे l पसंद नहीं है एक्चुअली ठीक थोड़ा सा मजा कम आता है इससे ठीक है h यूज़ करूंगा मैं h ठीक है h सही रहता है थोड़ा थोड़ा वो डिस्टिंक्शन बना रहता है तो f + r ए * h ठीक है जहां पे h किसके बराबर है b - a डिवाइड बाय n के ठीक है हम तो अब यही चीज यहां लगा देते हैं तो ये जो एरिया है ये जो एरिया है ये किसके थ्रू दिया जाएगा लिमिट n टेंड्स टू इनफिनिटी यहां तक तो सब सेम ही रहेगा f = 1 से लेकर n तक ये भी सब सही है फंक्शन के अंदर आपने डाल दिया a + r अब पहले मुझे बताओ यहां पर a क्या है a से b तक तो हमें यहां पे a क्या है a हमारा रो है और b हमारा क्या है b हमारा फाइव है राइट तो पहले तो बताओ h क्या हो गया तो h हो गया 5 - 0 / n यानी कि 5 / n हो गया भाई साहब ठीक है अच्छा और फंक्शन के अंदर आप क्या डालोगे जी प् आर यानी कि सिंपल आर डालोगे और फंक्शन क्या है य पर एक का स्क्वायर तो फंक्शन के अंदर आपको क्या डालना है आर यानी यहां क्या आ जाएगा आर ए का होल स्क्वा ठीक है इन h सही है सही है इनफैक्ट मैं एक काम करूं थोड़ा और इसको कॉम्प्लिकेटेड बना दू ठीक है थोड़ा सा और कॉम्प्लिकेटेड अगर आप पहली बार में समझ जाओगे तो और अच्छा हो जाएगा ठीक है थोड़ा सा हल्का सा ऊपर लेवल लेकर जाएंगे ठीक है तो अगर मैं इसको एब्स्ट्रेक्ट रखू तो ज्यादा हो जाएगा क्या आप लोगों के लिए ठीक है लेट मी टे इट लेट मी टेक अ लीप ऑफ फेथ हियर ठीक है तो लेट मी टेक अ लीप ऑफ फेथ ओके तो अ वही ग्राफ तो हमारा अभी भी वही है y = x का स् यहां पर हम करते क्या है हम सीधे इसका जनरल एरिया निकालते हैं ठीक है a से b तक अगर मैं एक पॉइंट ले लेता हूं ठीक है a से b तक और हमें ये वाला एरिया निकालना है 0 टू 5 फिर तो आप निकाल ही लोगे ना भाई अगर आप a को रो कर दोगे तो रो से फ निकल जाएगा मैं तुमसे बोलता हूं कि बताओ भाई y = x स् में टू से लेकर के 7 तक का एरिया बताओ है ना x = 2 से x = 7 तक का जो एरिया अंडर द कर्व बनेगा भाई एरिया अंडर द कर्व इसी को तो बोलोगे ना ये आपका कर्व है उसके नीचे का एरिया आपसे पूछा जा रहा है तो वही तो है एंडर द कर्व राइट तो वो अगर आपको निकालना है a टू बी में तो अगर आप डायरेक्टली निकालो तो और बढ़िया हो जाएगा राइट तो फार्मूला तो अभी भी ही लगने वाला है ठीक है फर्मूला तो अभी भी ही लगेगा ठीक है तो हम ऐसे ही करते हैं ज्यादा ज्यादा बढ़िया रहेगा ठीक है और आई गेस थोड़ा सा आपको एक्टिव रहना पड़ेगा आज का लेक्चर थोड़ा सा टफ तो होगा ठीक है इंटीग्रल कैलकुलस जो है ना इंटीग्रल कैलकुलस जो है इट इज ऑन अ टफर साइड बट अगर आपको समझ में आने लग जाए चीजें तो मैं आपसे सच में कह रहा हूं एक तो इसकी वेटेज बहुत ज्यादा है वेटेज बहुत ज्यादा होती है इसकी अ मतलब आप समझ लो दो दो क्वेश्चन डेफिनेट के है ना एक से दो क्वेश्चन डिफरेंशियल इक्वेशन का एक क्वेश्चन एय का ठीक है और कभी-कभी इंफिनिट का भी एक आ जाता है और कई बार डेफिनेट के तीन भी आए हुए हैं तो वेरी हाई वेटेड है ठीक है तो करना तो है ही आपको ढंग से करना है ठीक है तो इसलिए कह रहा हूं बहुत अटेंट हो करके समझिए और पहली बार में समझिए समझने की कोशिश करना ठीक है सो लिमिट n टेंड्स टू इनफिनिटी यहां तक तो हम सर समझ गए अब यहां पर फंक्शन के अंदर आपको a + आए डालना है हमने a और b ही लिया है तो कोई दिक्कत नहीं है ठीक है और h भी हमारा क्या है h हमारा वही b - a / n है ठीक है तो ये बन गया a प् r ए का होल स्क्वायर इन h बोलो ठीक है और सिगमा के अंदर ये लिखा हुआ है अब ये तो हमें करना आता है ना ये कर लेते हैं एक और चीज सिगमा जो है उसमें वेरिएबल r है तो h को आप बाहर निकाल सकते हो ठीक है फिर a प् आ का स्क्वायर यानी कि a स् फिर r स्क सॉरी ठीक है देखो a प् आ का स्क्वायर है ना तो a स् प्स r ए का स्क्वायर यानी कि r स् h स् ् 2h ठीक है जी ये आ जाएगा और यहां पे r जो है वो 1 से n तक है अब सिग्मा करो इसका अब मुझे मुझे ये पता है कि सिग्मा अगर मैं कर दूं फ का ठीक है और बोल दूं r जो है ववन से n तक जा रहा है इसका मतलब हो गया कि पांच को n बार जोड़ दे तो 5 + 5 + 5 + 5 कितनी बार n बार यानी कि क्या हो जाएगा 5n हो जाएगा राइट सिमिलरली यहां पर क्या हो जाएगा अगर आप सिर्फ सिग्मा की बात करो तो बन जाएगा a स् n ठीक है फिर यहां देखो सिगमा आप लगा रहे हो r स् h स् में अब h जो है वो वेरिएबल नहीं है तो h बाहर आ जाएगा तो h स् तो बाहर चला गया और क्या हो गया सगमा r का स्क्वा सिमिलरली यहां पर 2ah ये सब तो कांस्टेंट है सिगमा लगेगा r पे ठीक है अब ि r स् का फर्मूला आपको आता ही है राइट है तो क्या बन जाएगा वो ये h लिखा हुआ है ये बन जाएगा n * n + 1 * 2n + 1 डिवाइड बा 6 सिमा r क्या हो जाएगा ठीक है थोड़ा सा कॉम्प्लिकेटेड है बट प्लीज समझने की कोशिश करना स क्या हो जाएगा n * n + 1 / 2 ठीक है ये है ये पूरी काथा ठीक है ये जो पूरा सिग्मा है ये ऐसे लिखा गया और ये पूरी चीज मल्टीप्लाई हो रही है इस h से ठीक है ये इस h से मल्टीप्लाई हो रही है ठीक है जी और फिर बाद में लिमिट लग जाएगी लिमिट लगा देंगे अभी ठीक है अब ये जो h है ये जो h है ये बराबर है b - a / n के तो इस h को भी हटा दो ये h थोना लिखा हुआ है ये तो b - a / n लिखा हुआ है भाई साहब b - a बा n ठीक है अब ये पूरी कहानी से मल्टीप्लाई होगा राइट तो ये पहला टर्म क्या बन जाएगा ध्यान से देखना a स् * b - a n और n कट गया ठीक है प्लस में यहां क्या बन जाएगा h का स्क्वायर है मेंटली सोचो मेंटली सोचो h का स्क्वायर क्या होगा b - a का हो स्क्वायर वो मल्टीप्लाई होगा इससे बना देगा b - a काल क्य डिवाइड बाय एक n स् आएगा ये n इस n को उड़ा देगा यहां बन जाएगा सिंपल n का स्क्वायर यानी कि 6n का स्क्वा ठीक है और बगल में ये सब लिखा हुआ है n + 1 * 2n + 1 ठीक है देखो मैं चाहता तो इसकी बहुत ही सिंपल स्टार्टिंग भी करवा सकता था ठीक है उसमें आपको फिर रटवा देता मैं कोई दिक्कत नहीं होती आप कहते सर ठीक है टाइम ही कम है रट लेते बट फिर ये अलजेब्रिक जो मैनिपुलेशंस है ना ये आपको कभी समझ में नहीं आ पाएंगी ठीक है आप इससे डरते ही रहोगे अगर आप अभी भी डर रहे हो इतनी बेसिक चीजों से तो फिर यार क्या बोलूं मैं फिर ठीक है आई डोंट थिंक सो कि आपको उसे डरना चाहिए यू शुड इवन स्टार्ट एंजॉयिंग द डेप्थ ऑफ इट ठीक है तो ये क्या बन जाएगा अभी आप देखना कितना सुंदर आ जाएगा कितनी सिंपल तरीके से हम इसको कर लेंगे अब 2a तो एज इट इज लिखा हुआ है h जो है वो क्या है b - a * n तो b - a * b - a बन गया b - a का स्क्वा राइट अब ये वाले n ने इस n को काट दिया और इसका एक n नीचे आ गया मेकिंग इट 2n ठीक है और यहां लिखा हुआ है n + 1 इस ट से ये वाला टू कट गया ठीक है ठीक है जी बिल्कुल सही आ रहे है ठीक है अब देखो अब ये जो आया है पूरा ठीक है इस पूरे पे लिमिट भी तो लगानी है है ना ऊपर वाले पे लिमिट भी तो लगी हुई है लिमिट n टेंड्स टू इनफिनिटी और यहां पे भी लिखा हुआ है लिमिट n टेंड्स टू इनफिनिटी राइट सही कह रहा हूं एकदम तो अब ये तो बचा हुआ रह गया ये बन गया a स् b - a प्लस यहां देखो यहां पे भी जब आप देखो लिमिट ब्रेक हो गई लिमिट ब्रेक हो गई लिमिट इस पे लग गई लिमिट n टेंड्स टू इनफिनिटी फिर इस पे भी लग गई लिमिट n टेंड्स टू इनफिनिटी अब b - इनू ये तो हटा दो इसको तो ये तो सिंपल कांस्टेंट हो गया है ना b - a का क बाहर निकल गया अब बचा हुआ क्या है बचा हुआ हमारे पास n + 1 * 2n + 1 / 6n स् अब लिमिट में एक चीज होती है जिसको हम बोलते हैं डोमिनेंट टर्म उस डोमिनेंट टर्म के चलते आप इसको इग्नोर कर सकते हो ठीक है ये तो लिखा हुआ ही नहीं है क्योंकि एंड इनफिनिटी की तरफ जा रहा है तो आप छोटी उसको इग्नोर कर सकते हैं तो ये बन गया क्या ये बन गया 3n स् डिवा बा 6n का स् खच खच ये बन गया 1/2 ठीक है सीधी सी बात है तो ये बन गया सीधे-सीधे दिस दैट्ची लॉजिक से यहां पे भी कांस्टेंट बाहर आ गया a - a स् अब यहां पे ये वन तो लिखा हुआ ही नहीं है डोमिनेंट टर्म्स है तो n और n कट गया बस यही बाहर आ गया राइट अब इसको आप सॉल्व करो इसको आप अलजेब्रिक अगर आप सॉल्व करेंगे फिर से बड़ी इंटरेस्टिंग चीज आएगी a स् b - a क ठीक है ये क्या बन जाएगा b क - a क - 3ab स् + 3a स् b ओके एक छोटी सी मिस्टेक मैंने यहां पे कर दी है n * 2n यहां पे 2 बनेगा ठीक है तो यहां पे ये टू होगा तो ये आ जाएगा 1/3 वही होता यहां पे 1/3 आएगा ठीक है और ये हो गया डिवाइड बाय 3 और यहां पे ये है a के साथ यहां आ गया b स् प् a स् - 2ab तुम कहोगे हाय हाय क्या भैया ये क्या आपने कौन सी गंदगी में फसा दिया हैं ये कैसा हम एरिया निकाल रहे हैं ठीक है देखो करने की प्लीज समझने की कोशिश करो जो मैं करा रहा हूं बहुत बढ़िया चीज है एक तो आ गया आपके सामने b क / 3 ये आ गया b क / 3 ठीक है एक तो ये आ गया ठीक है आने दो इसको अब देखना चीजें कैसे कटगी ठीक है मेंटली करेंगे पूरा पूरा मेंटली करेंगे ठीक है पूरा मेंटली देखो सबसे पहले a स् ब है यहां देखो a स् ब यहां पर भी है तो 3 और कट जाएगा a स् b a स् b 2a स् b बना देगा और यहां देखो यहां क्या है ये है a * - 2ab दैट इज -2a स् b तो ये इसको और इसको काट देगा ठीक है फिर - 3ab स् है ये देखो ए स् इसके साथ है और यहां पे माइनस में ए स् है 33 कट जाएगा तो ये इसके साथ कट गया फिर यह बन गया a * a स् a का क्यूब तो a क ने इसको भी काट दिया ठीक है तो रह क्या गया सिंपल रह गया b क / 3 - a क / 3 एंड दैट इज योर एरिया एंड दैट इज योर एरिया ठीक है तो ये क्या आ गया ये क्या चीज आ ग बड़ी सिंपल सी बड़ी ही सिमिट्रिक सी चीज आ गई है ना क्या सिंपल सा क्या आ गया भाई साहब कि अगर मैं आपको कभी दे दूं कि ये आपके सामने लिखा हुआ है एक् का स्क्वायर ठीक है y इ एक् का स्क्वा ठीक है और ये हमने बोल दिया कि मान लो यहां पर टू है और ये मान लो सेन है अब बो बताओ क्या एरिया होगा इसका ये क्या एरिया होगा बताओ तो आप सीधे बोल देना 7 का क्यूब बा 3 ठीक है और 2 क बा 3 और इनका माइनस कर देना सर यही एरिया होगा इसका खत्म बात दैट वड बी द एरिया फ्रॉम 2 टू अब ये भी एक नोटेशन बनानी पड़ेगी ये भी अच्छा नहीं लग रहा देखने में कि क्या लिख दिया मैंने a2 23 है ना ये भी नोटेशन नहीं अच्छा लग रहा तो उसके लिए भी मैथमेटिशियन टेशन बना दी उन्होंने बोल दिया कि हम कर क्या रहे हैं हम x स् का हम x स् का एरिया निकाल रहे हैं और वो जो एरिया निकाल रहे हैं वो हमने रेक्टेंगल को इंटीग्रेट करा है इंटीग्रेट मतलब इकट्ठा कर दिया बहुत सारे रेक्टेंगल को इकट्ठा कर दिया इंटीग्रेट कर दिया और इंटीग्रेशन का मतलब क्या हो गया आप सम कर रहे हो क्या कर रहे हो सम सिग्मा क्या कर रहे हो सम कर रहे हो उस टाइम पे कीबोर्ड नहीं होते थे ठीक है तो बेचारे के पास सिर्फ एक ही लेटर हुआ करता था एफ तो उन्होंने f का डंडा हटा कर के s को ऐसे लिख दिया उनको बड़ा वाला बनाना था राइट तो यहां पर उन्होने बना दिया ये इसका क्या मतलब है x स् का इंटीग्रल ठीक है x स् का इंटीग्रल याया कहां से कहां तक दो से सा तक इसका मतलब क्या हुआ कि अगर एक फंक्शन है ठीक है x का स्क्वायर ठीक है तो दो से सा तक का जो एरिया है जो एरिया अंडर द कब होगा वो ऐसे लिखा जाएगा ट्स इट ठीक है अब अगर मैं बोल दूं जीरो से फ तक मान लो जीरो से मान लो रो से सेन तक तुम्हे निकालना होता तो इसका आंसर क्या आता तो इसका आंसर आता 7 क / 3 - 0 क वो तो खत्म ही हो गया तो यही आंसर आ जाता ना जीरो से अगर मैं बोल देता तो ये आंसर आ जाता आपका राइट बिल्कुल सही बात है एंड अगर मैं बोलता रो से इनफिनिटी तक मान जीरो से इनफिनिटी तक तो इसका आंसर इनफिनिटी आर था इनफिनिटी का क्यूब बा 3 तो आंसर इनफिनिटी आता वो सब तो ठीक था तो मैथमेटिशियंस को थोड़ा-थोड़ा इंटरेस्ट आने लग गया इस टॉपिक पे ठीक है ये पूरा काम लेबनीज कर रहे हैं अपने लैब में बैठ के अपनी लैब तो कुछ होता नहीं मैथमेटिशियंस के पास तो बस एक एक a4 शीट और एक पेंसिल होती है ठीक है दो तीर में काम हो जाता है हमारा हमें नहीं चाहिए हाईटेक लैब्स तो अ लेबनीज भाईब ने बोला कि यार ये जो मैंने किया ये क्या हुआ क्या एगजैक्टली कि मेरे पास एक फंक्शन था x का स्क्वायर राइट उसका मुझे एरिया निकालना था और वो एरिया एकदम प्यारा सा कुछ इस तरीके से आ गया कि अगर आपको a से बी इंटीग्रेट करना है इसको बोलते हैं इंटीग्रेट करना राइट और आपको समझ में भी आ गया होगा नाम का मतलब इंटीग्रल कैलकुलस कैलकुलस यानी कैलकुलेशंस राइट तो कैलकुलेशन ऑफ द इंटीग्रल ऑफ द समेशन ऑफ द एरिया ठीक है सो क्या होता है ये ये होता है b क - 3 ठीक है सॉरी और यहां पे आ गया a क / 3 तो लेबनीज ने बोला कि कुछ इंटरेस्टिंग करते हैं उन्होने बोला कि एक काम करते हैं हो सकता है कुछ पैटर्न हो क्योंकि भैया उन्होंने बोला कि देखो ऐसा है उन्होने बोला ऐसा है ये जो हमने कैलकुलेशन करी है ये तो बिकट है ये तो बहुत ही गंदी है है ना बहुत ही गंदी है मॉन्स्टर्स है ना तो ये हमने कर ली चलो x स् के लिए बट मतलब कुछ तो तरीका होगा यार ऐसे अगर मैं एकएक ले करने बैठूंगा तो तो बहुत टाइम लग जाएगा एरिया निकालने में राइट तो उन्होंने बोला कि कुछ पैटर्न फाइंड करने की कोशिश करते हैं तो उन्होंने x क का भी निकाला है ना बिल्कुल इसी तरीके से उन्होने x क का निकाला बिल्कुल वही लिमिट फिट में पूरा डाला एलजे होल खोल के सब सॉल्व ल्व किया और वो पता क्या आ गया वो ये आ गया कि अगर आप x क के लिए भी अगर आप a से b करते हो दैट केम आउट टू बी दिस x की पावर 4/4 माइनस ओ सॉरी नॉट वो मेरी आदत पड़ी हुई ठीक है सो इट वाज लाइक दिस कि b की पावर 4 - a की पावर 4/4 और उनको यहीं से पैटर्न दिखने लग गया और उने बोला अल्टीमेटली क्या हो रहा है कि जब मैं x की बार n को इंटीग्रेट कर रहा हूं फ्रॉम a टू b तो आंसर आ रहा है b की पावर n प् 1 डिवा बा n प् 1 माइन a की पावर n प् 1 डिवा बा n प् 1 और उन्होने आगे की तुक्के मार बिल्कुल सही बैठे ठीक है यही आ रहा था और उने बोला इसमें भी तो एक फॉर्म है ना इसमें भी तो एक फॉर्म इंक्लूडेड है अगर ध्यान से देखोगे ये भी एक फॉर्म है मतलब ले b हो या ए हो एक एक फंक्शन जैसा है x की ब n प् 1 डिवाइड बा n प् 1 दैट इज द फंक्शन फॉर एग्जांपल अगर मैं बात करता हूं x का स्क्वा तो जो x स् था उसके लिए जो फॉर्म थी वो क्या थी वो थी x क बा 3 तो उसको इन्होने नाम दे दिया इन्होंने इसका नाम दे दिया a एक a यानी कि एरिया फंक्शन क्या बोल दिया इसको एरिया फंक्शन ठीक है तो उन्होंने बोला कि इसको हम बोल रहे हैं अ कि आप x स् को इंटीग्रेट करो a से b तक है ना इसका एरिया निकालो a से b तक तो हो क्या रहा है कि एक फंक्शन बन जाता है एरिया एरिया फंक्शन बन जाता है जो कि बराबर होता है इसके x क / 3 के ठीक है और उसी एरिया फंक्शन के अंदर आप पहले b डाल देते हो और फिर आप उसी एरिया फंक्शन के अंदर आप a डाल देते हो और दोनों को माइनस कर देते हो दैट्ची उन्होने बोला जहां तक है ये चीज हमेशा हो रही होगी मतलब अगर एक जनरल फंशन उठा लेता हूं fx8 जा रहा है और ये आपको a से b तक का एरिया फाइंड करना है ठीक है तो इसके करेस्पॉन्डिंग्ली है वो भैया माफ करना मेरे बस की तो है नहीं कि मैं एक-एक क्वेश्चन को ऐसे लिमिट से निकालूं ठीक है तो उनके दिमाग में चुल तो मच रही थी यार क्या तरीका होगा इसका है ना मतलब व्हाट इज द वे कि हम हर फंक्शन का निकाल सकते थोड़ा जल्दी ठीक है इसमें तो मौत हो रही है तो उन्होंने बोला कि उन्होने उन्होंने इसी के साथ खेलना शुरू किया उन्होने बोला पहले हम इसी को एनालाइज करते हैं तो x स् जो है उसका आ रहा है x क बा 3 राइट और फिर उन्होंने और निकाले उन्होंने बोला कि अगर मैं कुछ और फंक्शन ट्राई करता हूं तो उन्होंने ट्राई किया सा x राइट जब सा x का एरिया फंक्शन निकाला ना दैट वाज वेरी फनी बिकॉज इट केम आउट टू - c x एंड उनके दिमाग में कुछ-कुछ चीजें स्ट्राइक करने लग गई जब e की पावर x को निकाला तो उन्होंने प्रिडिक्ट किया उन्होंने बोला इसका आंसर e की पावर x ही आएगा जब उन्होंने लन अ नहीं लन x का भी छोड़ते हैं ठीक है मतलब बेसिकली जब उन्होंने ये करना शुरू किया ये हम कर क्या आ रहे हैं ये फंक्शन है हमारे पास और ये एरिया फंक्शन है तो उन्होंने बोला हम गेम समझ में आ रहा है कि ये जो x क / 3 है भाई अगर मैं x क / 3 को आउट ऑफ रैंडम बस अगर मैं इसको डिफरेंशिएबल 1/3 तो बाहर आ जाएगा ठीक है और x क का डिफरेंशिएबल स्क्वायर एंड टू माय एक्सलेंस इट केम आउट टू बी x का स् मतलब यह कि जो एरिया फंक्शन है उसको अगर डिफरेंशिएबल इट्स जस्ट हैपनिंग अगर - c x को तू डिफरेंशिएबल इज़ हैपनिंग कि अगर मैं एरिया फंक्शन ले रहा हूं f मतलब सर आप क्या बोलना चाह रहे हो मतलब मैं ये बोलना चाह रहा हूं भाई कि अगर मुझे डायरेक्टली दे रखा होता मान लेते हैं x की पावर 5 दे रखा है मुझे ठीक है x की पावर 5 और मुझसे पूछा जा रहा है कि भाई इसका एरिया फंक्शन क्या होगा एरिया फंक्शन आप समझ रहे हो ना जिसमें मैं बी डालूंगा ए डालूंगा और उससे मुझे एरिया मिल जाएगा तो इसका एरिया फंक्शन मैं प्रिडिक्ट कर सकता हूं कैसे मुझे एक ऐसा फंक्शन सोचना है जिसको जब मैं डिफरेंशियल अस नेम इट एंटी डेरिवेटिव अभी तक हम बोलते थे डेरिवेटिव है ना तो डेरिवेटिव क्या होता है भ पावर का सर 5 एक् की पावर 4 य तो हो गया डेरिवेटिव ठीक है बट 5 एक् की पावर का एंटीडेरिवेटिव क्या है एक्स की पावर 5 ठीक है 5 एक् की पावर जो है व पा का क्या है बेटा है और 5 एक की पावर का बेटा के पिताजी कौन है एक् पावर 5 तो ये इसका डेरिवेटिव है व उसका डेरिवेटिव है ठीक है और एंटीडेरिवेटिव का मतलब क्या है 5 एक की पावर फ मैं उल्टा बोल गया गलत बोल गया क्या बोला मैंने हां गलत हा सही बोला x की पावर 5 को अगर आप डिफरेंशिएबल ठीक है 5x की पावर 4 को अगर आप इंटीग्रेट करोगे तो आप x की पावर 5 तक पहुंच जाओगे मतलब क्या हुआ इसका मुझे एक ऐसा फंक्शन लाके दो मुझे एक ऐसा फंक्शन लाके देखो जिसका नाम है a एक जिसको जब मैं डिफरेंशिया कि अगर हम x की पावर 6 को उठा ले और उसको हम डिफरेंशिएबल आ जाएगा कैसे ये आ जाएगा 6x की पावर 5 फिर तुम कहोगे नहीं सर हमें सिक्स नहीं चाहिए था मैंने कहा ठीक है सिक्स को हटा दो सिक्स को उठा दो कोई दिक्कत नहीं सिक्स से डिवाइड कर देंगे कोई दिक्कत नहीं अब 6x की पावर 6 डिवाइड बा 6 अगर तुम करोगे तो तुमहे x की पा 5 मिल जाएगा एंड दैट्ची लगाया तो सा में भी यही आंसर आया - क के अंदर b है ना और - क के अंदर a ये तो हो गया फंक्शन ये तो आपने एरिया फंक्शन के डाल दिया और दोनों को माइनस कर दिया मतलब ये हुआ इसका ये भी बड़ी सुंदर बात है है ना क्या सुंदर बात क्या है सर ये आपका sinx-cosx ठीक है - c x आया था ना एरिया फंक्शन उसके अंदर डाल दो पहले तो पा डाल दो और फिर - क के अंदर क्या डाल दो रो डाल दो ठीक है और इन दोनों को माइनस कर दोलो ठीक है नाउ क पा इज -1 दैट इज दैट मेक्स इट वन ठीक है फिर क 0 इज अगेन वन दैट इज -1 तो माइनस माइनस प्लस हो गया हेंस आंसर आ गया टू एंड दैट इज क्वाइट इंटरेस्टिंग कि भाई ये चीज आपकी टू आ रही है ठीक है तो ये आपका टू के बराबर होता है ठीक है ये टू होता है ठीक है इनफैक्ट आप आगे करके देखो जब आप आगे करोगे अ चलो कुछ और करते हैं अगर मैं बोलता हूं पा से 2 पा पाई से 2 पा ठीक है तो ये क्या हो रहा है पाई से 2 पाई ठीक है तो अब क्या आएगा अब यहां पे आ जाएगा 2 पा और यहां पे आ जाएगा पा राइट तो अब क्या आंसर आएगा तो अब हमारे पास क्या आंसर आएगा हरे जा भाई तो cos2 पा क्या होता है सर cos2 पा तो आपका आप लट के वही पे आ गए तो वन आएगा मैंने कहा ठीक है -1 हो गया ठीक है फिर सर क पा इज अगेन -1 दैट इज + 1 दैट इज वन हेंस आंसर इज -2 तो सर इसका एरिया -2 तो नहीं हो सकता एरिया तो -2 हो सकता ना एरिया कैसे माइट भाई एरिया इज अ फिजिकल क्वांटिटी इट कैन नॉट बी नेगेटिव राइट तो एरिया तो इसका भाई ट ही है एरिया तो ये ट ही है ठी ये भी टू है ये भी टू है ठीक है बट हां जो हमने ये जो हमने सिस्टम बनाया हुआ है एरिया निकालने के लिए ये जो हमने बनाया हुआ है ये आपका -2 के बराबर है ठीक है सो दिस -2 टेल्स कि एरिया जो है वो टू है ठीक है बट इट वाज क्वाइट माइंड ब्लोइंग दैट व्हाट वाज हैपनिंग एगजैक्टली तो लेबनीज बोला एक मिनट खिचड़ी पक ी है ठीक है पहले जरा सराइज कर लू मैं क्या क्या बोलना क्या चाह रहा हूं हो क्या रहा है ये ठीक है तो लेबनीज भाई साहब ने ऐसे बनाया कि भाई ठीक है अगर मेरे को कोई भी एक जनरल फंशन दे रखा है f ठीक है और a से बी तक का मुझे उसका एरिया निकालना है ठीक है तो मुझे सिंपल fx2 बी ठीक है तो एक तरीका तो ये है कि लिमिट से निकाल लो कैसे आपको इतना सा अगर आपको याद भी हो जाएगा तो कोई पाप ना हो जाएगा भाई साहब उससे सिग्मा क्या था यहां पे r इव से लेकर के n तक f a प् r ए वेयर h इ b - a बा n ठीक है दिस इज द एनटायर थिंग या तो तुम ये पूरी खिचड़ी का यूज कर करके इसका एरिया निकाल लो तो ये तो हो गया मेथड नंबर वन ठीक है बट द फार इंटरेस्टिंग वन द मेथड टू इज कि पहले मैं क्या करूं पहले मैं क्या करूं कि fxxx.pro इज डायरेक्टली गिवन एक सेकंड में आपका आंसर आ जाएगा दैट इज आपने बस a निकाल लो फिर कुछ नहीं करना है बस इसमें b डाल दो फिर इसमें a डाल दो एंड दैट्ची डेरिवेटिव ऑफ़ fx3 नंबर वन से तो तुम्हारे दुश्मन जाएंगे हमें तो जाना नहीं है ठीक है मेथड नंबर वन तो कोई यूज़ करता ही नहीं है कोई किसी को नहीं जाना यहां से ठीक है वेरी वेरी लेंथी मेथड थड किसी को नहीं जाना इससे ठीक है तो हर इंसान ने बोला कि भैया हैंड्स डाउन हैंड्स डाउन वी विड फॉलो द मेथड नंबर टू ठीक है एंड द पार्ट ऑफ मेथड टू जिसको हम बोलते हैं ये जो बोला गया ये जो जिसको बोलते हैं ना a-x = fxxx.pro sinx-cosx - c x जो है वो क्या बन गया इसका वो इसका एरिया फंक्शन बन गया तो - c x को जब डिफरेंशिएबल इट इज गेटिंग अ बिट कॉम्प्लिकेटेड तो उन्होंने इसकी भी एक नोटेशन बना दी है नाना इसी का इसी से उधार लेते हुए और उसका उन्होंने नाम रख दिया ये कि आपको sinx-cosx चल रही है जैसे एक होता है ना ऑन स्टेज एंड बैक स्टेज ठीक है तो स्टेज जो है ना आपका जो मेन चीज है वो तो यही है ना कि फंक्शन को का एरिया निकालना है ए से बी तक ठीक है लेकिन बैक स्टेज जाकर के पहले मैं काम करूंगा मैं पहले f एक का पहले मैं fxxx.pro ठीक है तो उन्होंने बोला कि ठीक है तो एक साइन तो ये वाला हो गया और एक साइन ये वाला हो गया जिसमें हमने ये a और बी लिमिट जैसी भी लगा रखी है कि a से b तक आप जा रहे हो है ना आपने बाउंड देशन दे रखी है a से b तक आपको इंटीग्रेट करना है यहां पे कुछ है ही नहीं तो इसका मतलब ये नहीं कि सर इसका क्या मतलब हुआ ये कौन से एरिया को रिप्रेजेंट कर रहा है अबे ये एरिया के लिए बना ही नहीं है ये एरिया रिया कुछ नहीं है यहां पर ठीक है ये तो बस एक उधार ली हुई नोटेशन है जो बस ये बात को शो कर रही है कि sinx-cosx है मतलब sinx-cosx है मतलब - क x को जब डिफरेंशिएबल राइट बट फिर अब यहां पे देखना क्या मजेदार चीज़ होगी ठीक है उन्होंने बोला कि बिल्कुल इसी तरीके से हमने अभी ऊपर किया था कि जब आप x स् का अगर मैं बोलूं एंटी डेरिवेटिव या या फिर x स् को जब आप अ इस साइन के साथ लगा रहे हो दैट केम आउट टू बी x क / 3 है ना एंड इसका कंफर्मेशन यह है कि जब आप x क / 3 को डिफरेंशिएबल जाएगा व्हिच इज क्वाइट राइट बट मेरा एक पॉइंट है कि भैया अगर तू x क + 3 x क / 3 + 2 भी कर लेता तो भी यही आंसर आता फॉर एग्जांपल अगर मैं बोल दूं x क / 3 + 2 इसको डिफरेंशिएबल में टू का डिफरेंशिएबल दूंगा तो उससे कुछ नहीं होने वाला मतलब इन द सेंस कि वो वाले सारे फंक्शंस भी है व्हेन यू आर सेइंग कि x स् का सॉरी x स् का एंटी डेरिवेटिव ढूंढ तु मुझसे सीधे-सीधे बोल रहे हो एक ऐसा फंक्शन ढूंढ के ला जिसको अगर मैं डिफरेंशिएबल हां ठीक है x क / 3 है तो पर मैं कहूंगा भाई यही क्यों लिया तूने तो ये भी तो ले सकता था x क / 3 - 1 तो ये भी तो ले सकता था x क / 3 + 28 वा जस्ट x क / 3 तूने बोला भाई गुस्सा क्यों हो रहा है मतलब तूने बोला एक फंक्शन लाके दे दे मैंने रे को बता दिया x क / 3 तेरा इतना मन कर रहा है तो एक काम कर यहां पे तू प् c लगा ले एक कांस्टेंट की तरह है ना x क / 3 + c यहां पे अब सब आ गए इ इट रिप्रेजेंट्स एवरी ऑल कर्व्स है ना फैमिली ऑफ कर्व्स आ गया य बेसिकली समझते हो ना x क बा 3 के सारे के सारे सारे भाई जंतु सब आ गए x क बा 3 प् 0 x क बा 3 -1 प् 28 प् 27 सब आ गया इसमें ठीक है तो उन्होंने इसका नाम रख दिया उन्होने बोला अपने आप में पूरी गाथा है तो उन्होने बोल दिया कि x स् का एंटीडेरिवेटिव निकाल रहे हो या फिर आप ये बोल दो आप ये बोल दो कि आप इंटीग्रल्स निकाल रहे हो ठीक है जब आप यहां पे निकालते हो जब आप ये लगाते हो तो इसको इन्होने बोल दिया डेफिनेट क्योंकि यहां पे तो सब चीजें डिफाइंड है ना एकदम डेफिनेट है डेफिनेट मतलब लिमिट में है सब कुछ कि a से बी तक का आप एरिया कैलकुलेट कर रहे हो तो दैट इज कॉल्ड डेफिनेट इंटीग्रल राइट ठीक है और इसको अगर आप समझ पा रहे हो तो इसलिए इसको क्या बोल दिया क् यहां कोई लिमिट नहीं लगा रहे तोस इसको बोल दिया इन्फिनेट इंटीग्रल ठीक है तो या दज आर द टू चैप्टर्स जो कि पढ़ाए जाते हैं ठीक है अब इसका मतलब क्या हुआ ये समझ में आ गया ना आपको कि माइन क को अगर मैं डिफरेंशिया पर भी कांस्टेंट लगाना पड़ेगा तो उन्होंने बोला ठीक है अब धीरे-धीरे बात कुछ समझ में आ रही है ठीक है धीरे-धीरे बात कुछ समझ में आ रही है और बात फाइनली रिड्यूस हो कर के इस पूरे समरी नोट प पहुंची है कि अगर मैं आपसे बोल दूं कि भैया एक फंक्शन है fx8 इंटीग्रल बताना है या बोल दो कि एरिया बताना है एक्चुअली टू बी प्रेसा इज डेफिनेट इंटीग्रल और एरिया में थोड़ा सा डिफरेंस तो है फॉर एग्जांपल जैसे अभी हमने sinx-cosx इसकी वैल्यू -2 आई थी बट एरिया इधर भी टू है और इधर भी टू ही है ठीक है ये भी ् 2 है ये भी प् 2 है ठीक है पर वो आप इंटूटिव समझ पा रहे हो उस चीज को हम देख लेंगे कोई इतनी बड़ी बात नहीं हो गई है ना तो या फिर हम ऐसे भी बोल सकते हैं कि एरिया जो होगा वो हमेशा ये होगा मॉड्यूस लगा लो a से b हटा दिया मैंने ठीक है अ कैसे सही नहीं है ऐसे समझ लो कि मानो ये है ये टू है और ये -2 आया था इंटीग्रल में तो अगर मैं बोल दूं 0 से 2 पा तक तो पता क्या करेगा इंटीग्रल वो बोलेगा यहां तक तो टू हो गया और यहां तक तो -2 हो गया तो वो तुम्हें आंसर देगा जीरो अब इंटीग्रल का आंसर तो जीरो आ रहा है बट एक्चुअली एरिया कितना है एरिया क्या है टू + 2 एरिया तो फोर है भाई एरिया थोना जीरो हो गया कोई ठीक है तो वो थोड़ी मिस्टेक्स हो जाती है अभी हम उसको देख लेंगे अभी डिटेल में लिखेंगे वो थोड़ा जल्दी हो गया खैर छोड़ते हैं इसको समरी क्या बनी है हमारी समरी है ना नोट की तरह या नोट क्या बोलेंगे भाई ये तो मेन हेडिंग है ना मेन बात ये हो रही है सारी की सारी तो अगर आपको f का इंटीग्रल निकालना है तो लिमिट वाली डेफिनेशन हो गई उसको छोड़ते हैं ठीक है वो तो लिमिट की बात हो गई लिमिट को तो हम यूज करेंगे नहीं तो हम क्या तरीका यूज करते हैं हम ये बोलते हैं कि अगर आपको ये करना है तो सबसे पहले आप क्या करेंगे आपको आपको f एक का एक बहरूपिया यानी कि इनफिट इंटीग्रल निकालना पड़ेगा तो वो हमने निकाल लिया मान लेते हैं f का आ गया कपिट f x स् का आ गया x क बा 3 सा x का आ गया - क x ठीक है एंड सो ऑन और यहां पे हमने लगा दिया + c एक कांस्टेंट ये कांस्टेंट है इसको बोलते हैं आर्बिट्रेरी कांस्टेंट आप समझ ही गए इंटीग्रेशन कांस्टेंट एंड ब्ला ब्ला ब्ला नामों में क्या रखा है ठीक है सो ये हमने किया अब व्हाट इज दिस कितने लोग समझ पा रहे हैं ये जो हमने बनाया है ये व्हाट इज व्ट इज व्हाट इज दिस ठीक है बल्कि व्हाट इज दिस क्या ये पूरी चीज जो आई है इसी को तो आप क्या बोल रहे हो इसी को तो आप बोलते हो ना एरिया फंक्शन यही तो है तुम्हारा एरिया फंक्शन हम राइट इसी को तो आप बोल रहे हो ना एंटी डेरिवेटिव एंटी डेरिवेटिव समझ रहे हो ना कि अगर मैं डिफरेंशियल नहीं कर रखा है कि भैया ये fx5 ये बात इंप्ला है दोनों तरफ से यहां ये बोला जा रहा है और ये दोनों तरफ से एप्लाइड है ये अगर गिवन है यहां से आप यहां पहुंच सकते हो यहां से आप यहां पहुंच सकते हो अगर ये बात पक्की है तो यहां पे अब मैं लिख रहा हूं येलो कलर से कि ये चीज बराबर होगी इसके fb-login कैसे सर f ब माइ कैसे हो गया ये भी एक्चुअली पूरी बात सच नहीं है क्योंकि एक्चुअली ये होगा ना ए माइन a एंड व्ट इज ए ट इ f बी है ना प्लस सी ठीक है और फिर यहां प आएगा ए प् सी राइट और फिर इसको आप माइनस करोगे तो सी और सी कट जाएगा अल्टीमेटली क्या आएगा f ब माइ ए आएगा राइट तो इसलिए इस पूरी राम कोने एक ही बार में ऐसे लिख दिया या फर यहीं से लिख देता हूं कोई दिक्कत नहीं है ठीक है सो वाइट कलर से फाइनल चीज लिखते हैंट इ f माइ ए राइट वेयर जो कैपिटल ए है दैट इज द एंटी डेरिवेटिव ठीक है अब तुम कहोगे सर ये तो आपने बड़ा इंटूटिव कर दिया है ना कि मब एक उन्होंने ऐसे ही ऑब्जर्व किया लेबनीज ने और फिर उसने ये बोल दिया ठीक है ऑब्जर्वेशन वाइज ऐसे ही होता मैथमेटिक मैथमेटिक्स ऑलवेज रंस बाय प्लाजिबल रीजनिंग इंडक्टिव रीजनिंग नॉट बाय कोई डिटेक्टिव नहीं चलती है अब इसको प्रूफ किया जाएगा और जो इसका प्रूफ है वो हम नहीं करने वाले हैं दैट इज कॉल्ड फंडामेंटल थ्योरम ऑफ कैलकुलस ठीक है दैट इज द फंडामेंटल ऑफ इट व्हाई क्योंकि डिफरेंशिएबल इंटीग्रेशन तो फंडामेंटल दो जो मेन बात थी जो रूट है उसका वोही हिल गया पूरा हिला नहीं सॉरी इन द सेंस कि दो जुड़ गए दो एकदम अलग-अलग चीजें थी जो जुड़ गई ये डिफरेंशिएबल जेब्रा दिस इज द फंडामेंटल थ्योरम ऑफ अलजेब्रा ठीक है तो एग्जांपल के तौर पे अ भाई जैसे कि हमने बोला अभी कि अगर मुझे बोला जाए x स् को आपको इंटीग्रेट करना है फ्रॉम टू से फ तक तो आप क्या करोगे आप क्या करोगे आप पहले कहोगे कि x स् भाई साहब पहले बताओ तुम्हारा इंटीग्रल क्या होगा तुम्हारा एंटी डेरिवेटिव क्या होगा वो आ जाएगा x क / 3 + c के बराबर हमने कहा ठीक है अब ये मैंने यहां लिख दिया क्या लिखा हुआ है x क / 3 + c अब ऐसा बोला जाएगा कि इसके अंदर अब तुम्हें फाइव डालना होगा और टू डालना होगा तो पहले फाइव डाल दो दैट मेक्स इट 5 क / 3 + c फिर टू डाल दो तो बन जाएगा 2 क / 3 + c है ना और फिर इन दोनों को माइनस कर दो एंड दैट गिव्स यू 5 क / 3 - 2 क / 3 एंड देन यू कैन फाइंड द एनटायर आंसर एज वेल राइट कि भाई 125 माइन 8 डिवा बा 3 राइट एंड आपका अ 117/3 आपका पूरा आंसर आ गया दैट वुड बी द एग्जैक्ट थिंग है ना 117 बा 3 स्क्वायर यूनिट्स जो भी आप यूनिट ले रहे हो अगर आप सेंटीमीटर में ले रहे हो तो यहां लिख सकते हो सेंटीमीटर स्क्वायर एंड सो ऑन ठीक है अब सर एक दिक्कत आ जाएगी ठीक है और आप समझ ही गए होंगे वो क्या दिक्कत है सर यहां तक तो बच्चों का खेल है ये तो सब बच्चों वाली बातें है ये तो हम कर ही लेंगे कोई बात ही नहीं है मेन जो आपने सिंगल लेवल प शॉर्ट खेला है ना वो ये खेला है ये जो यहां लिखा हुआ है दैट इज द मेन प्रॉब्लम दैट इज द मीन क्योंकि ऐसे अगर मैं आपसे बोल दू कि कोई भी फंक्शन दे रखा है और उसका आपको इंटीग्र बताना है मतलब आपको सीधे सधे ये बताना है क्या क्रिएटिव काम है कि यहां पर ऐसी चीज ढूंढ के ला जिसको जब तू डिफरेंट कर दे तो तुझे यही मिल जाए राइट एंड यहां से हमारी पूरी राम कथा शुरू होती है इसका नाम है इनफिट इंटीग्रेशन का चैप्टर ठीक है इफिट इंटीग्रेशन पूरा पढ़ाया जाता है उसमें य पढ़ाते रहते हैं कि कोई फंक्शन दे रखा है उसका उल्टा सोचना है आपको ठीक है कि डिशन का उल्टा डिशन का उल्टा तो वो हम शुरू करने वाले अच्छा एक और बात भी है अगर आप थोड़ा बहुत जेई की दुनिया में घूमते रहते हैं तो वहां पे इन्फिनेट इंटीग्रेशन थोड़ा बदनाम रहता है दो रीजंस की वजह से एक तो सही रीजन है एक तो ये कि ये बहुत ही ज्यादा टफ होता है इन फैक्ट इट इज कंसीडर्ड द टफेस्ट दी टफेस्ट ठीक है टफेस्ट इस वजह से ना कि जैसे फॉर एग्जांपल मैं तुमसे बोल दूं 1 अपन स्क्वा रूट के अंदर 1 - x का स्क्वा इसका इंटीग्रल अब एकदम से देख के बच्चा घबरा जाता है कि अरे भाई ये क्या हो गया फिर उसे याद आता है कि अच्छा जब हम सा इवर्स x को डिफरेंशिएबल बहुत बच्चों वाली बात हो गई कल को मैं लिख देता हूं 9 - x का स् अब थोड़ी बच्चे की फटना शुरू हो जाती है फिर हम उसे बताते हैं कि देखो बेटा यहां पे बस x / 3 कर दो यही आ जाएगा थोड़ी बहुत हमें करनी पड़ेगी अभी मैंने रैंडम गेम खेल रहा हूं यहां पर ठीक है तो थिंग्स गेट कॉम्प्लिकेटेड थिंग्स गेट कॉम्प्लिकेटेड राइट मैं तो लिख दूं e की बार 5x हां और यहां लगा दूं सा के सा इवर्स x का 2x का स् अ tan1 x ऐसे लिख दूं और बोलू इसको इंटीग्रेट करना है व्हाट डज दिस मीन कि एक ऐसा फंक्शन ढूंढ के ला जिसको जब तू डिफरेंशिएबल तो ये बवाल खोटा आ जाए जो यहां लिखा हुआ है तो कई कई जगहों पे तो ये पॉसिबल भी नहीं हो पाएगा ना हर टाइम प तो ये पॉसिबल भी नहीं हो पाएगा नॉट एवरी फंक्शन इज इंटीग्रेबल ठीक है फॉर एग्जांपल e की पावर x का स्क्वा इसको अगर तुमसे बोला जाए इंटीग्रेट करो तो तुमसे बोला क्या जा रहा है कि ऐसा फंक्शन ढूंढ के ला जिसको जब तुम डिफरेंशिएबल करो तो e की पावर x का स्क्वा आ जाए हेंस e की पावर x स् इज नॉट इंटीग्रेबल इन दैट सेंस अगर मैं तुमसे बोलता हूं हूं कि कि भाई क्या एग्जांपल दूं मैं कोई बेसिक सा एग्जांपल ले लेता हूं चलो मैंने तुम्हारे सामने लिख दिया कि चलो व वाला एग्जांपल जो मैंने आपको बताया कि क x है ना क x को वो करो इंटीग्रेट करो तो तुम समझ गए कि जब सर sinx-cosx आएगा कोई फंक्शन नहीं है कोई ऐसा फंक्शन है ही नहीं जिसको डिफरेंट करोगे तो आएगा सा था तु ना कोई चीज ही नहीं है नहीं दुनिया मैथमेटिक्स में सा नाम की चीज है ही नहीं आर्य भट्ट जी ने साइन नामक कोई चीज बनाई ही नहीं है उन्होने सी क बनाया बनाया सब कुछ बना दिया बट साइन नहीं बनाया उन्होने ठीक है तो गड़बड़ हो गई ठीक है यय आली गलत बोल सकते हो इसका आंसर हो जाएगा अप इन आंसर ऑस उससे अल्टीमेटली साइन आ जाएगा बट आप फीलिंग को समझ रहे कि अगर ऐसा फंक्शन ही नहीं होता तो आप बोलोगे कि c इज नॉट इंटीग्रेबल ठीक है यू कैन नॉट इंटीग्रेट इट ठीक है तो वो सारी बातें तो है ही वो सारी बातें तो है ही कि ओबवियसली इट इज अ वेरी कॉम्प्लिकेटेड थिंग हेंस इट इज टफ आपको बहुत उल्टा सोचना पड़ता है तो टेक्निक्स बहुत अलग सी होती है इसमें ठीक है दिमाग लगाना पड़ता है तो टफ तो है साथ में बोलते हैं कि ज्यादा ध्यान मत देने की जरूरत नहीं है क्योंकि इसकी वेटेज बहुत कम आती है फॉर एग्जांपल ये जो आपकी सारी टेक्निक्स है इंफिनिट इंटीग्रेशन जिसको बोला जाता है वो उसकी मुश्किल से तीन क्वेश्चन आए हैं ठीक है सिर्फ तीन क्वेश्चन आए हैं आपका जो जेई 2024 है उसमें ठीक है एंड जब से 2002 से लेकर के 24 अगर आप पकड़ लोगे तो अराउंड 60 60 70 क्वेश्चन आए हुए हैं टोटल 70 क्वेश्चन आए हुए हैं टोटल ठीक है और ये जो ऊपर था लिखी हुई है ये जो ऊपर लिखा हुआ है 25 ये जो इतनी सी बात है जिसमें आपको सिर्फ ये डालना होता है इससे आए हैं 250 क्वेश्चन हेंस इसकी बहुत वेटेज होती है डेफिनेट इंटीग्रेशन बट तुम भी समझ रहे हो और मैं भी समझ रहा हूं कि सर आप तो कॉमेडी कर रहे हो मैंने कहा क्या सर डेफिनेट इशन के तो हर क्वेश्चन में अल्टीमेटली आपको ये तो निकालना ही पड़ेगा मैंने कहा एगजैक्टली दैट द होल पॉइंट कि आपको ये निकालना पड़ता है ठीक है तु लेकिन इसमें अभी हम और भी चीजें पढ़ते हैं जिसमें आपको ये निकालने की भी जरूरत नहीं पड़ती है इसको निकाले बिना भी कुछ चीजें मैनिपुलेट कर करके हम इसको निकाल लेते हैं क्योंकि याद रखना है मेन फंडा क्या है मेन फंडा ये है कि हमें एरिया से मतलब होना चाहिए हमारा मेन फंडा ये नहीं है कि हम इंफिनिट इंटीग्रल सॉल्व करें वो तो हमारा बहुत अच्छा है भैया ये मेथड हमारा मेथड नंबर टू है हमारा मेथड नंबर वन भी तो है ना लिमिट वाला उसको तो हमने पहले ही छोड़ दिया हमने कहा ना भाई ना अगर ये तरीका है तो भाई मुझे नहीं चाहिए एरिया मुझे नहीं निकालना ये गया अगर ये तरीका है तो मेथड नंबर वन तो हमने पहले ही छोड़ दिया तो मेथड नंबर टू है अभी मेथड नंबर थ्री भी निकल के आएगा मेथड नंबर थ्री कुछ नहीं होगा वो बेसिकली आप इसी से ही थोड़ा एनालाइज करके प्रॉपर्टीज निकाल लोगे ठीक है और फिर आप सोचोगे ठीक है तो अ अब कैसे बात बने आगे ठीक है पॉइंट इज कि अब 250 क्वेश्चन जो है उसमें से अगर आप देखोगे तो अराउंड 55 क्वेश्चंस है ना 50 या 55 क्वेश्चंस डायरेक्ट ऐसे आए हैं जिसमें आपको सीधे-सीधे इंफिनिट ही लगाना होता है तो बहुत इसमें झोल वाला चलता है मतलब एक तो इतना टफ होता है तो एफर्ट्स बहुत मांगता है ये वाला वाला सेक्शन इनफिट इंटीग्रेशन लेकिन बच्चे छोड़ देते हैं इस बात को वो ढंग से समझना नहीं चाहते ठीक है तो मैं आपसे य कहूंगा कि प्लीज इसको ध्यान से सुनिए ठीक है आई होप सो उसमें कोई दिक्कत नहीं है या तो ये हटाते हैं टफफ वाली बकवास को हम हटाते हैं ठीक है टफ है फलाना है ढिकाना है गोली मारो गोली मारो उसको इनफिट इंटीग्रेशन ठीक है क्या मतलब वही ना कि उल्टा उल्टा सोचना है तो उन्होंने बिल्कुल सही करहा उन्होंने एकदम उन्होने बोला एक काम करते हैं ना बेसिक लिस्ट बना लेते हैं बेसिक लेवल पे लिस्ट बना लेते हैं उसी से सारा गेम कर लेंगे तो उन्होंने लिस्ट बनाना शुरू कर दी उन्होंने बोला भाई x की पावर n जो होता है है ना अगर मुझे उसको इंटीग्रेट करना है तो सीधा आंसर आ जाएगा x की पावर n + 1 / n + 1 + c इसको डिफरेंशिएबल हैं बल्कि एक और चीज आ गई दिमाग में जब x की पावर n निकालना है तो भाई यहीं से पॉलिनो का अगर मुझे निकालना हो तो मतलब अगर मुझे निकालना हो ये a x की पावर n एंड सो ऑन थोड़ा सिंपल ले लेता हूं डायरेक्टली मान लेते हैं वही a एक स् + इसको इंटीग्रेट करना है तो ऐसा क्या यहां पर हो जिको डिफरेंशिएबल एक बात इसको तोड़ते हैं उसमें तो a स् को अगर मुझे इंटीग्रेट करना होता अगर x स् को करना होता तो x क / 3 आता अब अगर a यहां पे लगा भी दूंगा तो क्या फर्क पड़ जाएगा अगर तू इसको डिफरेंशिएबल रूल लिख दिया क्या फंडामेंटल रूल लिखा वो मैं ज़ीरो पे लिख रहा हूं कि अगर एक कांस्टेंट लगा हुआ है किसी भी फंक्शन के आगे ठीक है और उसको आप इंटीग्रेट कर रहे हो ठीक है तो वो बाहर आ जाएगा ठीक है क्या ये बात समझ में आ रही है कि अगर मैं बोल दूं ये आप इंटीग्रेट कर रहे हो तो वो बाहर आ जाएगा k आपका बाहर आ जाएगा ठीक है सिंपल ठीक है तो एक तो ये बात हो गई फिर दूसरा उन्होंने बोला कि अच्छा अब यहां पर हमने तो चलो इंटीग्रल ऑफ a का स्क्वायर निकाल दिया ठीक है और वो किसके बराबर आ गया वो बराबर आ गया a एक क / 3 के सिमिलरली अगर मैं बात करूं bx2 बा 2 राइट यही आ जाएगा b x स् बा 2 तो उन्होंने बोला कि यार इजट इट लॉजिकल कि अगर मैं यहां लिख दूं ax3 / 3 a स् की वजह से bxx4000 ठीक है एंड अगर आप देखेंगे इसको अगर आप डिफरेंशिएबल जाएगा एंड इट वाज क्वाइट ऑब् वियस एज़ वेल राइट सही बोल रहा हूं राइट और एक हमारा प्यारा सा कांस्टेंट तो या देखो आएगा ही आएगा ठीक है एक कांस्टेंट तो हम यहां लगाना ही पड़ेगा चलो बोल देते हैं उसको + d बोल देते हैं ठीक है सो या दैट्ची पहुंच जाएंगे एंड यहीं से इन्होंने दूसरा ज़ीरो रूल निकाल दिया एंड दैट इज़ कि अगर आपको दे रखा है फंक्शंस बहुत सारे दे रखे हैं f1 x f2 x और यहां पे प्लस माइनस कर रखा है ठीक है तो इंटीग्रेशन वुड डायरेक्टली ब्रेक इंटीग्रेशन ब्रेक हो जाएगा है ना तीन चार फंशन दे रखे उसम ब्रेक हो जाएगा ठीक है एंड दैट वाज क्वाइट लॉजिकल ट वा क्वाइट लॉजिकल इस अच्छा एक और बात है एक और बात है जो मेरे को अभी देख के याद आई इसको एंड दैट वाज की इसमें अगर आपको एक बात समझ में आ रही हो तो सर n की वैल्यू किसी भी हालत में माइव नहीं होनी चाहिए वनत हो जाएगी क्यों अगर आपने -1 डाल दिया तो यहां बन जाएगा x की पावर 0 डिवाइड बा 0 एंड दैट इज नॉट डिफाइंड ठीक है तो ये बात तो आपको समझ में आनी चाहिए ठीक है क्योंकि इस लॉजिक में -1 नहीं डाल सकते वना नॉट डिफाइन हो जाएगा लेकिन सर -1 हो तो सकता ही है ना x की पावर -1 होगा तो x की पावर -1 क्या होता है 1 / x 1 / x का इंटीग्रल क्या होता है अब इसमें अगर डालेंगे तो आ जाएगा x की पावर 0 / 0 यानी कि अनडिफाइंड नहीं भाई अनडिफाइंड का मतलब क्या हुआ कि ऐसा कोई फंक्शन पॉलिनो मियल की दुनिया में तो एजिस्ट नहीं करता है जिसको अगर आप डिफरेंशिएबल कि अगर मैं बोलता हूं 1 / x का स् यहां एक्जिस्ट कर जाएगा x की पावर -2 है ना तो अगर आपको उसको इंटीग्रेट करना है तो आपका आंसर आएगा x की पावर देखो इसमें डालो ना -2 + 1 डिवा बा -2 + 1 + c ये आंसर हो गया इसका क्या मतलब हुआ ये क्या हुआ ये x की पावर -2 + 1 दैट इज x की पावर -1 और डिवाइड बा -1 + c मतलब -1 / x अगर आप -1 / x को डिफरेंशिएबल टर्म हमारे पास आ गया पॉलीनोट के अंदर है ना पॉलीनोट बाय पॉलीनोट को रेशनल बोलते हैं तो एक रेशनल टर्म आपरे पास आ गया बट यहां पर बात ये बोली जा रही है कि 1 / x के केस में ऐसा कोई रेशनल टर्म नहीं हो सकता कि आप उसको डिफरेंशिएबल जाए और तुम कहते हो कि यार बात तो सही है बात तो सही है बात तो बिल्कुल सही है कैसे सही है अरे जब आप बोलते हो / x तो आपको दिमाग में क्या आता है सर न x अरे भाई जब लन x को डिफरेंशिएबल गए तो इससे हमें एक बात निकल के पहले ही आ गई यहां पर यहां पर तो लन x आना चाहिए ब जैसे ही मैंने लन लिखा ना एक दुर्घटना पहले ही हो चुकी है यहां पर कितने लोग समझ पा रहे हैं दुर्घटना को वो ये कि सर / x और ल x में दिक्कत है जैसे ही आपने बोल दिया लन x तो यहां पर दिक्कत ये हो गई कि x शुड बी पॉजिटिव देखो जब आप बोलते हो x को डिफरेंशियल से ही लिख के बोल रहे हो बट जब मैंने तेरे से बोला 1 बा x को इंटीग्रेट कर तो सर मैं ये भी तो बोलूंगा नाना आगे जाके जब 1 बा x को इंटीग्रेट कर -2 से -5 के बीच में मतलब -2 से जीरो के बीच में भाई आपका 1 बा x का ग्राफ ये बनता है राइट तो अगर मैं बोलता हूं ये रहा -2 ये है -2 है ना और ये है मान लो -1 तो -2 से -1 के बीच में ये एरिया आएगा ना तो निकाला जा सकता है ना जो आप मुझे बता रहे हैं सर कि 1 बा x का जो इंटीग्रल है वो लन x है तो आप ये बोल रहे हो कि ये वन है और ये टू है राइट तो वन और टू के बीच में ये जो आ रहा है एरिया ये कैसे निकाला जाएगा इसका आंसर आएगा लन 2 - लन 1 ठीक है ये इसका एरिया हो गया व्हिच इज वेरी ब्यूटीफुल वेरी गुड आई रेस्पेक्ट दैट गुड लेकिन सर ये भी तो है न -1 से -2 इसको मैं कैसे डालूंगा इसके अंदर क्योंकि लॉन भा तो गड़बड़ कर देंगे लॉन के अंदर तो आप डाल ही नहीं सकते -2 सारा काम ही खत्म हो गया तो इसी के लिए मैथमेटिशियंस ने बोला कि यार कुछ गड़बड़ तो हो रही है और फिर ये भी दिख रहा है कि सिमिट्रिक है मामला सिमिट्रिक है मामला तो यहां पर मॉडल होना चाहिए इट शुड बी मॉडल एक्स आइडली तो मैथमे ने बोला एक मिनट जाओ सोच लेते हैं एक मिनट जाओ फॉर एग्जांपल अगर मैं बोलता हू लोन के अंदर मडल x आप बोल रहे हो कि उसको डिफरेंट करना है आपको ठीक है दैट मींस आप ये बोल रहे हो ट मीस आप ये बोल रहे हो कि अगर x पॉजिटिव या जीरो के बराबर है ठीक है तो तो हो जाएगा लन x और अगर आपका जब आप x लेन 0 है तो ये ऐसे खुलेगा दोनों केस में ही सॉरी तो फिर आपका ये - x की तरह खुलेगा ठीक है माइनस अब अगर मैं बोल दू इसको डिफरेंशिएबल टू हटाना पड़ता है जब आप डिफरेंशिएबल 1 - x है अब इसको समझना ध्यान से एकदम जब इसको आप डिफरेंशिएबल दूं लन fxxx.pro का डिफरेंट दैट इज़ f ' x राइट तो f ' / f बिल्कुल ऐसे ही यहां पर भी होगा है ना क्या आएगा सबसे पहले क्या आएगा सबसे पहले आएगा 1 / - x राइट 1 / - x और फिर - x का डिफने दैट इज़ -1 तो माइनस माइनस कट जाएगा यहां पर भी क्या आ जाएगा यहां पे भी क्या आ जाएगा बोलो बोलो बोलो यहां पे आ जाएगा 1 / x 1 / x ही आ गया और सर x = 0 पे क्या हाल होगा मैंने कहा कुछ नहीं होगा क्योंकि x = 0 पे 1 / x है भाई 1 / x का इंटीग्रल कर रहे हो x = 0 पे ये हमारे अनडिफाइंड है डिस्कंटीन्यूअस हो गया नॉन डिफरेंशिएबल हो गई बात नॉन डिफरेंशिएबल हो गई ना ठीक है तो ये आपकी पूरी राम कथा बनी ठीक है एंड हेंस फोर्थ हम यहां पे इस कंक्लूजन तक पहुंच गए ठीक है तो इतनी बात तो हमारी हो गई ठीक है तो आई गेस यहां तक तो क्लियर ही है उसके बाद तो सब चिल्लर है उसके बाद तो सब सिंपल सी बात है जैसे e की पावर अगर मैं लिख दूं यहां पे e की पावर x ठीक है तो e की पावर x का इंटीग्रल वाइट से ही करते हैं थोड़ा जरा सिमेट्री बनी रहेगी ठीक है ये मैं इतने प्यार से आपके सामने इसलिए लिख रहा हूं क्योंकि बच्चों को बहुत दिक्कत होती है इनफिट के उसमें मैं चाहता तो यहां पे पहले से लिस्ट लिख के लिख देता बट आप उसे फिर कनेक्ट नहीं कर पाते ठीक है तो फिर आप बो फिर आई एम आउट सर तो e की पावर x + c e की पावर x को डिफरेंशिएबल a की पावर x को इंटीग्रेट कर दे क्या आएगा सोचो सर a की पावर x ल a को जो होता है वो a की पावर x का डिफरेंशिएबल a को मैं डिवाइड कर दूं यहां पर और फिर इसको डिफरेंशिएबल a लॉजिक समझ में आ रहा है बिल्कुल वैसा ही लॉजिक है जैसे यहां पर था कि x की पावर 6 को डिफरेंशिएबल जाएगा बट साथ में सिक्स भी आएगा तो सिक्स से डिवाइड कर दिया वही चीज यहां पे करी है ठीक है अच्छा जी नेक्स्ट क्या है तो ये तो आ गया हो गया आपके लॉग और एक्सपोजिंग ट्रिग्नोमेट्री है ना ट्रिग्नोमेट्री तो ट्रिग्नोमेट्री पे आ जाते हैं अ क्या आ गया sinx-cosx c x ये तो होता है राइट ठीक ये सब आपको एकदम याद हो जाने चाहिए मैं आपको यहां पर लिखवा रहा हूं और वहां आपको सब एकदम फीड होता जाना है ये तो समझ में आ गया - क x होगा ठीक है सर ये भी समझ में आ गया कि सा x को डिफरेंट करोगे तो क प पहुच जाओगे अब इसका उल्टा सोचो sinx-cosx x होता है यानी कि से स् x को से स् x को अगर तू इंटीग्रेट करेगा तो तेरा आंसर t x आएगा ये तो अच्छी बात हो गई एक फालतू का फॉर्मूला मैंने यहां पे लिख दिया हमें चाहिए नहीं था बट आ गया ठीक है बिल्कुल अच्छा cot-1 x आता है तो cosec2x को अगर तुम इंटीग्रेट करोगे तो क्या आंसर आएगा cot-1 हमें इधर नहीं लिखा हुआ है ठीक है पर इसका फायदा क्या हुआ वी वांट द इंटीग्रेशन ऑफ़ tan6 एंड ल राइट फिर क्या था से अब से का जो इंटीग्रल है वो कैसे निकालेंगे सर तो पता नहीं से का डिफरेंस क्या होता था से x t x हेस यहां पर हमारे को और फर्मूला मिल गया है ना फॉर्मूले की हमें जो चाहिए नहीं थे वो फालतू में और आ गए है ना कि अगर बोल दू से x t और यहां बोल दूं c x c x इसके फॉर्मूले हमें चाहिए भी नहीं थे बट आ गए फालतू में यहां प क्या आएगा से x आ जाएगा ठीक है और यहां प क्या आ जाएगा माइन c x आ जाएगा ठीक ये हमने मांगे नहीं थे अपने आप आ गए पर सर इससे हमारा यहां कोई फायदा नहीं हुआ मैंने कहा बहुत बढ़िया यहां तो हमारा सच में कोई फायदा नहीं हुआ ठीक है और तुम पता है इंटीग्रल ऑफ से तो है ना इस तो मैंने 25 मिनट की वीडियो बनाई हु पूरी इट इ अ लेजेंड इट्स स्टोरी वन ऑफ द क्या 1700 के टाइम पर दिस वा लाइक अ मिलेनियम प्रॉब्लम ठीक है इट वा द प्रॉब्लम ऑफ द सेंचरी च नो वन वा एबल टू सॉल्व अटिल अ पर्सन अराइव एंड सॉल्व इट ठीक है तो इनको हम देख रहे हैं और हम समझने कोशिश करते जैसे फॉर एल t है अब t x क्या चीज है t x को बोला जा रहा है कि t x के बारे में सोचना है तो हमरा दिमाग में आता है कि t मतलब होता है सा x अप क x राइट ट्स इट राइट एंड सर c x भी यही होता है सर वो भी लिख लीजिए है ना उसके साथ भी आपके थोड़ी बदनामी कर रहे हैं उसकी मैंने कहा ठीक है बट लाइक हाउ टू फाइंड द इंटीग्रल मैन वी जस्ट वांट समथिंग जिसको मैं डिफरेंशिएबल sinx-cosx को डिफरेंशिएबल वो तो माइनस लगा देंगे कोई टेंशन नहीं है दैट मींस कि नीचे फंक्शन लिखा हुआ है और ऊपर उसका डेरिवेटिव लिखा हुआ है एंड जैसे ही मैंने इसको देखा f ' x / fx3 एक बात स्ट्राइक कर जाएगी एंड दैट इज उल्टा दिस लन f जब तुम लन f को डिफरेंशिएबल सकता हूं कि अगर मैं बोल दू लन सा x उसको अगर मैं डिफरेंशियल बी f देखो ना f ' अप f तो नीचे आ जाएगा sinx-cosx अब तुम सोच के देखो यह बात समझ में नहीं आएगी एकदम से सर यह लॉन सा x कहां से आ गया एकदम से ठीक है एंड इफ यू अंडरस्टैंड इवन मोर इंटरेस्टिंग अ यू वुड से कि सेम इज़ हैपनिंग फॉर t x एज वेल यहां पर भी तो यही चीज़ हो रही है ना कि लन c x अगर आप सर कर दीजिए मैंने कहा ठीक है कर देंगे डिफरेंशिएबल रहा है माइनस यहां लगा दे माइनस लॉन c x का अगर तुम डेरिवेटिव लोगे तो तो sinx-cosx आएगा यानी कि t x आएगा राइट तो t x का इंटीग्रेशन क्या हो जाएगा माइनस लन माइलन x प् अब ये देखने में अच्छा नहीं लग रहा मैंने कहा फिर सर ये तो लॉ की प्रॉपर्टी है ये जो माइनस साइन है ये तो अंदर चला जाएगा मैंने कहा हां तो क्या बना देगा c x का इवर्स एंड दैट इ लन के अंदर से x राइट तो ये बन जाएगा लोन के अंदर से x प् c एंड बिल्कुल इसी लॉजिक से आप इसको भी लिख सकते हो आप इसको लिख सकते हो माइन लन c x + c तो दैट मेक्स सेंस अच्छा एक और बड़ी इंपॉर्टेंट बात जो फिर से यहां पर आप बड़ी इंपॉर्टेंट बात बन जाती है कि देखो जब आपने इंटीग्रेशन जब आप डिफरेंशिएबल f को जब आप डिफरेंशिएबल रहे हो f ' अप f का इंटीग्रेशन जो होगा वो लन f होगा तो ये बिल्कुल वही बात नहीं हो गई कि 1 अप x का जो डेरिवेटिव होगा यहां लिखा हुआ है x और x का डेरिवेटिव वन ठीक है तो क्या आंसर आया था आंसर आया था लन मॉड्यूस x और हमने समझाया कि मॉडल क्यों लगाया तो यहां पर भी तो मॉड्यूस आएगा क्योंकि अब भैया f नेगेटिव हो सकता है यहां पे f नेगेटिव नहीं हो सकता बट जब तुम उल्टा बोल रहे हो तो f नेगेटिव हो सकता है मतलब यहां पे आपको मॉड्यूस लगाना पड़ेगा क्यों लगा रहे हो मॉड्यूस क्योंकि नेगेटिव हो सकता है और नेगेटिव के लिए भी हमें सिचुएशन चाहिए होंगी ठीक है तो अब जैसे ही हमें ये लॉ tan0 चेहरे पे खुशी फैल गई हमने कहा यार से और कोक का भी मिल जाए तो मजा आ जाएगा लेकिन बहुत छाना बहुत सोचा नहीं मिला ठीक है क्योंकि से x चीज ही ऐसी है से x क्या चीज है ये है 1 अप c x क्या करूं इसका मैं cosx-sinx क र आप उस वीडियो को आप देखेंगे तो समझ जाएंगे किस तरीके से सोचा गया फाइनली फाइनली एक चीज सोची गई एंड दैट वाज माइंड बेंडिंग व्हाट दे थॉट ठीक है व् व्ट द थॉट वाज माइंड बेंडिंग अ उन्होंने बोला कि से x लिखा हुआ है गुड या फिर थोड़ा सा आप समझने की कोशिश करना कि से x जो होता है उसका जब हम डिफरेंशिएबल करते हैं तो आता है से स् x अगर मैं इन दोनों को जोड़ दूंगा तो बन जाएगा sec1 x का डेरिवेटिव इक्ट sec1 + से स्क्वायर एंड दैट इज से अगर आप कॉमन ले लो तो बन जाएगा से + t मतलब ये कि से + t का डेरिवेटिव इ इक्वल टू से * से + t इट सेल्फ सो सर व्हाट आर यू ट्राइम टू से वेल व्हाट आई एम ट्रांग टू से इज व्हाट आई एम ट्राइम टू से इज कि से प tan1 का डेरिवेटिव डिवाइड बाय से + t सो सर व्हाट यूर ट्राइम टू से आई एम ट्राइम टू से सर आई एम ट्राइम टू से कि ये से x होना लिखा हुआ है हां ओके ये से थोड़ना लिखा हुआ है तो क्या लिखा हुआ है ये से x ् t x का डेरिवेटिव लिखा हुआ है एंड डिवाइड बाय से + t x लिखा हुआ है क्या बात बोली मजा आ गया सुनके एंड नाउ दिस इज f एंड दिस इज डीम दिस इज f ड तो अगर आप इसको इंटीग्रेट कर रहे हो यानी कि आप इसको इंटीग्रेट कर रहे हो एंड हेंस आप इसको इंटीग्रेट कर रहे हो लन के अंदर से x प् t x मॉड्यूस के अंदर प् c दिस इज द एंटी डेरिवेटिव इसको जब डिफरेंशिएबल जाएगा तो इसको इतनी बड़ी बातों को ऐसे नहीं लिखा जाता है इसको फॉर्मली कैसे पढ़ाया जाता है एनसीआरटी में कि बेटा यू आर गिवन द इंटीग्रल ऑफ से x नाउ मल्टीप्लाई एंड डिवाइड है ना नाउ मल्टीप्लाई एंड डिवाइड sec1 x बोथ साइड्स ठीक है मतलब इन द न्यूमरेशन एंड द डिनॉमिनेटर नाउ बेटा दिस फॉर्म्स से का स्क्वायर + से * 10 डिवा बा से + 10 इफ यू लुक क्लोजल देन दिस बिकम से + 10 का डेरिवेटिव डिवाइडेड बा से + 10 एंड नाउ यू डू द सब्सीट्यूशन एंड ऑल दैट बुलशिट मेकिंग दिस एस v एंड दिस इज दिस इज ऑल दैट बुलशिट एंड नाउ दिस बिकम अ लन के अंदर मॉड्यूस से + 10 + c तो ले दे करके सारी बात ये निकली कि इसका आंसर आ गया लन के अंदर से x + 10x का मॉड्यूस दैट्ची क्या बनेगा ये उतनी देर में जरा मैं यहां पे एक और बात बता देता हूं कि सर से और t की तो शादी पहले ही करवा दी थी हमने कैसे ऐसे से स् - 10 स् = 1 यानी कि से - 10 * से + 10 = 1 यानी कि से + 10 = 1 / से - 10 यानी कि से + 10 जो होता है वो दोनों एक दूसरे के रिसिप्रोकल होते हैं तो यहां पर आप इसको ऐसे भी लिख सकते हो कि माइनस बाहर निकाल के आप इसी चीज को ऐसे भी लिख सकते हो ठीक है से x - t x ठीक है बिल्कुल इसी तरीके से यहां पर भी आ जाएगा अगर आप सोच पाए हैं तो एंड इन फैक्ट इसको थोड़ और सिफ भी किया सकता है मतलब क्या हु अप एंड सा प् सान अपस प् सा अप एंड ट प् सा अप तो इस केस में आप प् को ऐसे सोचना पड़ेगा तो प् सा का होल स्क्वायर क्या होता है सॉरी 1 प् सा का होल स्क्वा नहीं आई एम टेकिंग अ लीप ऑफ फेथ कि आपको ट्रिग्नोमेट्री आती है तो 1 प् सा x लिखा हुआ है ठीक है तो 1 प् सा क्या बन जाता है वो बन जाता है क x बा 2 प् सा x बा 2 का स्क्वा ठीक है आई होप सो चीजें समझ में आ रही होंगी ठीक है ये कैसे होता है आप करके देख लीजिएगा ये करेंगे तो यही आ जाएगा ठीक है वाकी मैं ट्रिगोनम मेट्री में अच्छे से पढ़ा चुका हूं तो ये बन जाएगा क x प् सा क x बा 2 और सा x2 का होल स्क्वायर बन गया ये ठीक है तुम कहोगे ठीक है ठीक है जी अच्छा जी फिर क्या नीचे क्या बन गया सर नीचे लिखा हुआ है नीचे लिखा हुआ है क्या क x लिखा हुआ है एंड cosx-sinx / 2 ठीक है और जो प्लस वाला है उसने इसका स्क्वायर उड़ा दिया ऊपर से ठीक है तो अल्टीमेटली ये बन गया ठीक है तो अल्टीमेटली क्या बन गया है अल्टीमेटली ये बड़ी फेमस एक्सप्रेशन बन गया क + सा अप क माइ सा इसको आपने डिवाइड कर दिया क से अगर आपने क से ऊपर नीचे डिवाइड कर दिया तो ये बन गया 1 प् सा अप 1 अप t अप 1 माइ t x बाट वाला चल रहा हैय एंड दिस बिकम न के अंदर पा बा 4 प् x बा 2 ल ऑफ दज आर जस्ट मैनिपुलेशन ट्स इट ठीक है सो यही चीज हमने ऐसे लिख दी लन के अंदर t पा बा 4+ x2 प् c मडल के अंदर अब ये बात तो कई लोगों को समझ में ही नहीं आती कि साला ये न कहां से घुस गया इसमें कुछ समझ में भी नहीं आता बट ऑल ऑफ दिस आर ऑल ऑफ दिस इज जस्ट इक्वल ट्रिग्नोमेट्री में तो आप गेम खेल सकते हो ना आप इसके आगे भी बहुत सारी चीजें कर सकते हो एंड सेम चीज आप इसके अंदर भी कर सकते हो ठीक है आप इसके अंदर भी कर सकते हो कोक के अंदर भी करा जा सकता है यही सेम चीज जब आप करेंगे तो आपको यही मिल जाएगा लॉन के अंदर t x / 2 मिल जाएगा सीधे-सीधे ठीक है एंड दैट कंप्लीट द ट्रिग्नोमेट्री वाली लिस्ट तो एक तो हमारे वो वाले रह गए 15 16 17 कौन-कौन से अ ये आ भी नहीं पाएंगे आसपास ठीक है इवर्स ट्रिग्नोमेट्री वाले ठीक है तो याद करो इवर्स सर सा इवर्स का होता था 1 / 1 मान सॉरी 1 अप रूट के अंदर 1 - x का स् तो उसको अगर आप इंटीग्रेट करोगे तो आ जाएगा sin-1 x + c एंड इसी चीज को मैं बोल सकता हूं - cos-1 x + c क्योंकि हमें पता है बस एक माइनस साइन आ जाता था क इवर्स के केस में तो दोनों ही आप बोल सकते हो ठीक है नेक्स्ट बताओ सर tan1 1+ x का स् मैंने कहा बहुत ही बढ़िया क्या हो जाएगा tan-1 x या फिर cot-1 राइट माइनस के साथ ठीक है तो हमने क य भी ठीक है फिर 17 सर एक होता हैरा सेक इवर्स वाला मैंने कहा सरट वा बिट ट्रिकर तो हमने थोड़ा लिख लिया य पर जरा से इन एक का जब हम इंटीग्रेशन करते हैं सर तो इट यूज टू कम अप मड एक स् रूट के अंदर x स् माइव राइट सो अगर यही एटली दे रखा तो ठीक है अपन म स् रट के अंदर एक स् माइव ठीक हैट कम् आउ टू बी से इव एक प् य तो ठीक है बर यहां मडल नहीं है अगर यहां मॉडल नहीं है तो फिर एक्चुअली यहां मडल आ जाता है ठीक है वो बहुत डीप हो जाएगा तो वहां नहीं जा रहे है तो अगर आपको जानना हो तो आप थ्योरी ऑफ कैलकुलस की एक्चुअल प्लेलिस्ट देख सकते हो वहां तो फिर एक एक चीज को एकदम पूरी खोल के पढ़ाया गया है ठीक है और ओबवियसली यहां पर आपका माइन को वाला भी आ जाएगा ठीक है तो वो तो ठीक है अब तुम कहोगे सर एक चीज रह गई एक चीज रह गई कितने लोग समझ पा रहे सर बीच में एक चीज रह गई सर लोनेक्स रह गया लोनेक्स का इंटीग्रल नहीं बताया आपने ठीक है मैंने कहा बहुत बढ़या अगर कोई सोच पाया हमारे छोटे भाई बेचारा वो बेचारा रह गया किसीने उसके बारे में बात ही नहीं कर रहा है बेचारा सोच रहा है कोई तो मेरे बारे में बात करे मेरा भी तो इंटीग्र बताओ ठीक है पता नहीं क्या होगा ठीक है उससे पहले ये जरूर लिख लेता हूं कि हां इतना पता है कि जब f एक् अप f कर रहे हैं हम लोग तो ये बात पक्की हो गई है कि अच्छा ये तो लन मडल f होता है ठीक है ये अभी हम सब्सीट्यूशन से करेंगे तो आपको समझ में आ जाएगा बट ये बात अलग से भी पता होनी चाहिए कि जैसे आपको दिख गया अरे f अप f है सीधे लिख दिया लन मडल f एक बार में ठीक है ठीक है बट सरय न का इंटीग्रल कैसे निकलेगा बड़ी गजब की चीज है न का इंटी कैसे निकलेगा तो अच्छा उससे पहले उस चीज पाने से पहले आई होप सो आप लोग खो ना गए हो कैसे खोना गए हो मतलब सर कि समझ में रहा क्या कर रहे हैं व्ट आर वी डूइंग व्ट आर वी डूंग क्यों कर रहे हम लोग जैसे य लिखा हु से स् एक् का इंटीग्रल जो है व होता है तो क्या करू इसका मैं इसका सर आप ये करिए से स्क्वा एक्स य जो जो भी फंक्शन है हमने तो ग्राफ भी नहीं बना रखा इसका अगर आपको बताना है ठीक है अगर आपको बताना है कि चलो ये थोड़ा आपके लिए वो हो जाएगा स् में थोड़ा डिस्कंटीन्यूटी ए फलाना ना भी हो सकता है ठीक है तो अभी मैं उसम नहीं जा रहा हूं ठीक है बट अब समझ रहे हो ना कि मानो यहां लिखा है a की पावर x चलो 5 की पावर x लिखा 5 की पावर x और इसका आपसे बोला जाए कि इसको बताओ ये दो से 6 के बीच में इसका क्या एरिया होगा मतलब 5 की पावर x का ग्राफ कैसा बनेगा ऐसा बनेगा दिस वड बी 5 की पावर x तो ये दो है और ये छ है तो ये जो एरिया होगा ये कितना होगा इसका आंसर क्या आएगा इसका आंसर आएगा इसका पहले वो लिख लो क्या आएगा 5 की पावर x डिवा बा लन 5 ठीक है अब अब इसके अंदर ट और सि आपको डालना होगा तो पहले सिक्स डालो ये आपने क्या करा पहले आपने इसका इंटीग्रल निकाल दिया राइट एंड नाउ जस्ट पुट सक्स तो ये हो जाएगा 5 6 डिवा बा न 5 है ना - 2 की पावर 6 ठीक है ये आंसर आ जाएगा दैट वड बी र आंसर 5 की पावर 6 - 2 की पावर 6 डिवाइड बा ल 5 ये जो भी आएगा दैट वड बी द एरिया अंडर दी कर्व ऑफ 5 की पावर x फ्रॉम 2 टू 6 ठीक है तो आई होप सो इन सब का आपको सेंस भी समझ में आ रहा होगा कि ये सब जो निकाला जा रहा है ये बहुत ही इंपोर्टेंट चीजें है इफ यू कम इन टुडेज पर्सपेक्टिव अगर आप देखोगे तो फिजिक्स हो गया पूरी जो दुनिया चल रही है वो कैलकुलस पे चल रही है एंड एक से बढ़कर हद से हद कॉम्प्लिकेटेड फंक्शंस होते हैं अगर आपने आरबीडी किया रोटेशनल बॉडी डायनेमिक्स ठीक है आरबीडी या फिर इलेक्ट्रोस्टेटिक्स या फिर मैग्नेटिज्म ग्रेविटेशन आपको पता होगा कि उसका सेंटर ऑफ मास निकालना उसका मोमेंट ऑफ इनर्टिया निकालना फील्ड मैग्नेटिक फील्ड एक पॉइंट पे ये सब निकालने के लिए कितने कॉम्प्लिकेटेड इंटीग्रल्स बने बने होंगे है ना वो सब पढ़ाया होगा उन्होंने r सा थीटा फलाना धमकाना किया होगा ना जब आप डेरिवेशन करते हो उन फॉर्मलेस का तो वो सब क्या है वो यही तो है ना ना अगर आपको ये पहले से ही पता हो तो आप जल्दी कर सकते हो ठीक है तो वही चीज की एक सिस्टेट स्टडी करी जा रही है तो ये हमारे बिल्डिंग ब्लॉक्स है जो हम देख रहेर बिल्डिंग ब्लॉक्स वो सब ठीक है लोनेक्स कह रहा है भैया मेरे बारे में बात करो है ना मेरे बारे में बात करो लोनेक्स का इंटीग्रेशन कैसे निकालो व्हाट शुड आई डिफरेंट दैट आई गेट लोनेक्स और एक और चीज भी है चलो एक तो लोनेक्स तुम भूल गए बाकी तुम एक और चीज भूल गए क्या कि सर आपने ये तो बता दिया कि दो फंक्शन को अगर हम ऐड करें सबकट करें और उसका कर दें तो क्या होगा बट व्हाट इफ वी मल्टीप्लाई इट व्हाट इफ वी मल्टीप्लाई इट अगर मैं बोलता हूं कि दो फंक्शन को मल्टीप्लाई कर रखा है f1 * f2 और इसको इंटीग्रेट करना है नाउ व्हाट अबाउट दिस डिफरेंशिएबल हम लोगों ने डिस्कवर कर लिया था ठीक है अच्छा ये और लिख लेना यहां पर ये मैंने यहां लिख दिया था ऑलरेडी ठीक है क्या कि अगर आपसे बोला जाए एक कांस्टेंट को आपको इंटीग्रेट करना है c को तो उसका आंसर आता है c एक प् कांस्टेंट दूसरा लेते हैं c न लिख देते हैं यहां पर ठीक है वो तो तो ठीक है सर प्रोडक्ट रूल बताओ यार ठीक है तो एक तो प्रोडक्ट रूल नहीं बता l x नहीं पता ठीक है तो एक बड़ी गजब की चीज सोची गई एंड दैट वाज दिस कि जो हमारे पास प्रोडक्ट रूल होता है f * g उसको जब हम डिफरेंशिएबल क्या लिख देता लन x लन x और बोलो इसको डिफरेंशिएबल x ठीक है प्लस में लन x का डिफरेंशिया f ' ल x / f / x नाउ इफ यू सी नाउ इफ यू सी हमें न x चाहिए इधर पर हमें यहां पे बहुत सारी चीजें दिख रही है अगर न x के आगे कुछ लिखा हुआ ही ना हो तो अगर ये वन होता तो और यहां पर भी कुछ नहीं लिखा हुआ होता ये जीरो होता तो मजे आ जाते कहने का मतलब क्या है कि f ' यहां पे वन हम चाह रहे हैं f-1 होता मतलब कि जो f होगा वो तो x हो गया ना अगर आप x को डिफरेंशिएबल अगर मैं बोलू एक सेकंड के लिए कि f को वन मान ले सॉरी f को x बोल दे तो अगर तुम x ल एक का डिफरेंशिएबल का डिफरेंस प्रोडक्ट रूल से क्या आएगा लन x प्लस प्लस अब लन x का डिफरेंशिया कि दिस और ये और ये कट गया यहां पे आ गया वन यहां प आ गया वन एंड मुझे तो दिख ही नहीं रहा वन क्यों नहीं दिख रहा तुम वन मैंने यहां लिख गया मैं इसको यहां लिख गया हो गया काम और यहां ले जाने के लिए मुझे वन नहीं यहां ले जाने के लिए मुझे x लिखना पड़ेगा कितने लोग समझ पा रहे हैं मैंने क्या किया क्या एगजैक्टली व्हाट इज़ दिस x-x - x व्हाट इज़ दिस सर व्हाई आपने ऐसा क्यों किया क्या समझ में आ रहा है क्यों किया क्योंकि x l x का डिफरेंशिएबल x + 1 और फिर - x का डिफरेंशियल जाएगा और हमें ॉ x मिल जाएगा एंड दैट गिव्स अस द आंसर x l x - x + c ठीक है अब मैथमेटिक्स ने बोला यह जो तुमने यहां पे हरकत करी दैट इज़ क्वाइट इंटरेस्टिंग बिकॉज़ जो तुमने हरकत करी है वो तो इनफैक्ट मैं किसी भी फंक्शन के लिए कर सकता हूं अगर मुझे कोई भी फंक्शन दे रखा है हो जाए इसको इंटीग्रेट कर दो तो तुमने पता है अभी क्या करा मैंने कहा बताओ मैंने क्या करा मैं तो खद ही भूल गया मैंने क्या करा तो तुमने ये करा कि तुमने बोला कि लेट देयर बी अ प्रोडक्ट तुमने बोल दिया कि इस f यहां लिखा हुआ था लन x लन x को इंटीग्रेट कर दो तो तुमने उसके अगेंस्ट बना दिया x लन x तो इसके अगेंस्ट भी हम बनाते हैं x f एक मैंने कहा ठीक है और फिर यहां पे तुमने - x भी कर दिया जैसे कि वो वन वाली चीज कट जाए ठीक है बट यहां पे तो चलो वन इसलिए आ रहा था यहां पे वन क्यों आ रहा था सोच के देखो यहां पे वन क्यों आ रहा था यहां पे वन इसलिए आ रहा था सर यहां पे वन इसलिए आ रहा था क्योंकि ल x था ही ऐसा ठीक है यहां पे वन इसलिए आ रहा था क्योंकि लन x को जब आप डिफरेंशिएबल कीप्ड करते हो तो वन आ जाता है पर जब आप जनरली फंक्शन को डिफरेंशिएबल ऐसा नहीं आएगा ठीक है अगर मैं ले लेता हूं x fxxx.pro ठीक है ये मिलेगा आपको ठीक है सो यहां से अगर आपको अगर आपको ये चीज मिल रही है तो आप ये बोलिए कि x fxxx.pro किया माइनस अब इसको डिफरेंशिएबल की चीज लिखी हुई है इंटीग्रल के अंदर अगर मैं आपके सामने लिख दू कुछ भी मा लिख दिया इंटीग्रल f और मैं बोलू इसको डिफरेंशिएबल बनती है fxxx.pro तो जब मैं डिफरेंशियली यहां क्या लिखा हुआ है fxxx.pro ठीक है यहां प आ जाएगा x f एक् ठीक है ये और ये कट गए और ये और ये भी कट गए आपका आंसर आ गया f ठीक है सो बेसिकली इट टर्न्स आउट टू बी दिस तो अगर मैं आपको जनरली बोलू तो यहां से मैं क्या बोल सकता हूं ये बोल सकता हूं अगर आपसे बोला जा रहा है इंटीग्रल ऑफ f इंटीग्रल ऑफ f तो उसका आंसर ये होगा जो अंदर लिखा हुआ हैट दिस x माइनस इंटीग्रल ऑफ एकड एक प् सीट्स इट तो ये तो है बढ़िया है काफी अच्छी चीज है अब यहां से देखो हमारा ल का प्रॉब्लम तो सॉल्व हो चुका है बट अभी भी हमारा प्रोडक्ट रूल वाली प्रॉब्लम हमारी अभी भी बची हुई है ठीक है प्रोडक्ट रूल यानी कि अगर मैं आपको बोल दूं fxxx.pro करोगे तो अल्टीमेटली प् c आ ही जाएगा ठीक है तो हम ज्यादा नीट एंड क्लीन रखेंगे ऐसे रखेंगे ठीक है तो ये तो चलो ठीक है अपने आप में ये चीज ऊपर लिखी हुई है सर इसका मैं मतलब नहीं समझा मैंने कहा ठीक है थोड़ा समझते हैं देखो ऊपर लिखी फिलोसॉफिकली ऊपर लिखी हुई है fxxx.pro बहुत सोचा मतलब मैंने सोचा तो उससे मुझे समझ में आया कि यहां पर हम f * इंटीग्रल ऑफ g अगर यहां लिख दें या फिर या फिर इंटीग्रल ऑफ f * g लिख दें और उसको डिफरेंशिएबल का होगा ये मैंने क्यों सोचा क्यों सोचा क्योंकि जब इंटीग्रल ऑफ g मानो ने यहां पे लिख दिया तो जब डिफरेंशिएबल से तो एक तो आ जाएगा f f ' * इंटीग्रल g ये तो बिल्कुल बेकार बेकार की चीज़ हो गई इंटीग्रल g क्या चीज़ है भाई इंटीग्रल g से कंफ्यूज मत हो इंटीग्रल g खुद में भी तो अपने आप में एक नया फंक्शन है ना मान लेते हैं h के बराबर है तो ऐसे लिख हुआ है जैसे f * h अगर तुम्हें देखने में भयानक लग रहा है तो ऐसे देख लो क्या लिखा हुआ है f * h तो क्या आएगा f ' h + h ' f सही है एंड दैट इज द ट्रिक पार्ट कि जब इंटीग्रल ऑफ g ए के बराबर है तो h ड जो हो गया वो g के बराबर हो गया एंड दैट मेक्स सेंस एंड दैट इज द मेन पार्ट कि इंटीग्रल ऑफ ये चीज बन गई यहां पे हमें अच्छा मैं बोल रहा हूं यहां पे मेरे दिमाग में क् स्ट्र करी उसका रीजन ये है कि मैंने काइंड ऑफ यू वुट एक्सेप्ट इट बट याक आई पर्सनली डिस्कवर्ड दिस थिंग एज वेल इसको प्रोडक्ट रूल बोलते हैं ओबवियसली मैथमेटिशियंस ने डिस्कवर किया था बट ये मैं ऐसे ही अपने जो मैथमेटिक मैथ्स में खेलता रहता हूं तो खेलते खेलते मैंने ये चीज डिस्कवर करी कि यार प्रोडक्ट रूल कैसे होगा इसका प्रोडक्ट रूल प्रोडक्ट रूल कैसे निकालते होंगे तो ये मैंने मैंने पर्सनली इसको इस तरीके से डिस्कवर किया था ठीक है बट इसका जो ऑफिशियल प्रूफ है वो थोड़ा सा मैं बता दूंगा अभी आपको वो पर छोड़ते हैं उसको प्रूफ को छोड़ते हैं यहां समझो तो f * इंटीग्रल g का जब आप डिफरेंशिएबल f ' इंटू इंटीग्रल g तो एज इट इज आ रहेगा प्लस में अब f एज इट इज दिखा रहेगा और इंटीग्रल g का डिफरेंशिएबल g कर लिया इसको डिफरेंशिएबल g बट ये माइनस थोना करोगे इसका भी इंटीग्रल माइनस करोगे ठीक है आई नो इट इज अ बिट कन्फ्यूजिंग बट इफ यू अंडरस्टैंड इट मजा आ जाएगा हमेशा जिंदगी भर याद रहेगा कि यहां हम माइनस क्यों कर रहे हैं क्योंकि हमें माइनस करना है लोग भूल जाते हैं ये जो होता है इसको बोलते हैं इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स ठीक है तो ओवरऑल बात क्या बनी ओवरऑल बात क्या बनी कि इस चीज को जब डिफरेंशियल कलर से शो कर रहा हूं आपको तो अगर आप अभी सिर्फ इतने पार्ट को डिफरेंशिएबल तो आपके पास आ जाएगा सर f ' * इंटीग्रल g प्स f * इंटीग्रल g का डिफरेंशियल चीज है माइनस इसका व्हिच वड बी f ' g f ' इंटीग्रल g ये और ये कट जाएंगे आपका आंसर आ जाएगा f एंड हेंस मैं बोल सकता हूं कि इंटीग्रल एज क्या हो जाएगा इसके बराबर हो जाएगा यानी कि f * इंटीग्रल g माइनस इंटीग्रेशन ऑफ f ' ऑफ इंटीग्रेशन ऑफ g बो भैया क्या लिख दिया ये आपने इसी को बोलते हैं इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स ठीक है तो ये इस प्रकार आया है ठीक है अब आप ये सब अगर आपको नहीं समझ में आ रहा है तो इसको गोली मारो ठीक है सीधे सधे बता रहे अ गोली मत मारो थोड़ा सा और समझ लेते अगर थोड़ी समझने की क्षमता हो तो बहुत कुछ हो सकता है तो देखो अब मैंने यहां पर इंटीग्रल किया मैं चाहता तो इंटीग्रल ए कर देता है ना और इसको ए देता तो यहां पर इंटीग्रल होता य लिखा हुआ होता य इ होता और य लिखा हुआ होता तो f तो तब भी आ जाता सही बात है ना य लिखा बस जीड इन इंटीग्रल ए पूरी कहानी वैसी की वैसी आ जाती पूरी कहानी बिल्कुल वैसी की वैसी ही आ जाती इसी चीज को आप ऐसे भी लिख सकते हो कि g ऑफ इंटीग्रल f माइनस इंटीग्रेशन ऑफ g ड और इंटीग्रल f ठीक है ऐसे भी इस चीज को लिखा जा सकता है लेकिन सर ये कैसे ये तो बहुत ही भयानक लग रहा है देखने में मैंने कहा भयानक देखने में लग रहा है तुम्हें ठीक है फीलिंग वाइज देखोगे मतलब अगर रटने पे आओगे तो तो कुछ भी नहीं है मैं बताऊं कैसे पहला पट तो ये माइनस साइन को रट कैसे भाई रटने वाली बात क्या है कि भाई fg1 सोचा कि कोई एक को पकड़ लो है ना या तो f इंटीग्रल g कर लिया या तो f इंटीग्रल g कर लिया या फिर g इंटीग्रल f कर लिया सर हमें कैसे पता चलेगा किसका इंटीग्रल लेना है देखो पता चलने वाली बात नहीं है आप दोनों कर सकते हो बट कैसे किसको इंटीग्रेट किया जाए उसी के लिए हम एक रूल बनाएंगे और उसका नाम होगा आईलेट ठीक है अभी वो देख लेंगे बट दोनों में से कोई भी आपने ले लिया अब जब मनी मन सोचो अगर मैं इसको डिफरेंशिएबल g f ' * इंटीग्रल g तो वही उसमें से माइनस करना पड़ेगा हेंस ये आपका आंसर हो गया बस दैट इ दैट द आंसर और अगर तुम ये लेते हो तो क्या आएगा इसको डिफरेंशिएबल f उसी को इंटीग्रेट करके माइनस कर दिया ठीक है अब हमें तो सर ऐसे भी याद नहीं हो रहा हम तो बिल्कुल ही आप समझ लो मूल बुद्धि है ना बिल्कुल ही हमें तो कुछ याद ही नहीं होता आप तो बताओ भा क्या करें तो अगर मैं बोलूं डिफरेंट कर दिया कर दिया अब बस माइनस करके इंटीग्रेट कर मान लो दूसरे फंशन लिख लिख यहां पे h इन आ मा लिख इसको इंटीग्रेट करना है कौन सा इंटीग्रेट करना है तुम्हारा मान सर हमें r को करना है ठीक है तो आ को इंटीग्रेट कर लो कर लिया आ को हा सर कर लिया अब एक बार h लिख दो एक बार h लिख दो और माइनस करके इंटीग्रेट कर दो सर य न लिखा हुआ है है ना एक य है और एक v एक है य को इंटीग्रेट कर दिया v लगा दिया ड लगा दिया माइनस कर दिया खम ट्स इट सिंपल ठीक है तो एग्जांपल के तौर पे मान लो मेरे पास है इंटीग्रेशन ऑफ x c x मान लो ये दे रखा है x x इसको इंटीग्रेट करना है ठीक है अब कोई भी एक हमें चूज करना होगा कोई भी हमें एक चूज करना होगा मान लो मैंने cosx-sinx ये बन गया क्या ये बन गया sinx-cosx और ये पूरी चीज क्या बन गई ये तो वन ही है हटा दो इसको तो ये क्या बन गया ये बन गया sinx-cosx + c ठीक है और ये क्या बना देगा ये बना देगा x sinx-cosx प् x स प् क x प् स ठीक है बट आईडियली अगर आप देखोगे तो यहां पर x स बचता नहीं है ठीक है तो उसका एक लॉजिक है जो हम यहां गलत कर दिया बताओ क्या इंटीग्रेशन ज ने सा किया तो यहां पर आएगा सा x प् c राइट और फिर जब तुम उसको इंटीग्रेट करोगे जब तुम उसको इंटीग्रेट करोगे तो क्या आएगा तुम्हारे पास तो आएगा सा x प् स का इंटीग्रेशन दैट इज वो तो निपट गया एंड आएगा फिर x और उसका माइनस होगा तो माइ एक् होगा और फिर एक इंटीग्रेशन कांस्टेंट भी तो आएगा मान लेते हैं c0 बोल देते हैं उसको ठीक है c न और यहां लिखा है - x जो इसको और इसको काट देगा ठीक है क्योंकि ये दोनों अल्टीमेटली कट ही जाएंगे तो हम यहां पे + c लेकर ही नहीं चलते हैं इनिशियल लेवल पे ठीक है दैट मेक्स इट मोर सिंपल ना क्योंकि जब अल्टीमेटली कट ही जाना है तो फिर फायदा क्या फालतू में क्यों यहां पे मैं प् c प् c ले कर के अपनी सर दर्दी बढ़ाऊ ठीक है तो दैट इज द फाइनल आंसर दैट इज द फाइनल आंसर मतलब क्या कि एक बार फिर से करके दिखा देता हूं आपको मैं इसी चीज को ठीक है बहुत जल्दी स्पीड में कैसे करोगे ठीक है मनी मन कर लिया इंटीग्रेशन ऑफ c x ठीक है फिर यहां पे आ गया इंटीग्रेशन ऑफ c x फिर यहां पे x यहां पे 1 दोनों को इंटीग्रेट कर दिया x sinx-cosx हेंस + क x आ गया है ना और एक + c दैट इज योर आंसर तो जब आप इसको डिफरेंशिएबल जाएगा ठीक है सो दैट इज इसको इसको बोला जाता है इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स ठीक है आईटी लगा दो भाई साहब आप तो b पटी लगा दो इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स ठीक है बाय पार्ट्स अ कुछ नहीं है पहले f को डिफरेंशिएबल रहे हो ना f * g है तो किसी को भी एक को इंटीग्रेट कर लो या तो g को या फिर f को तो आपने उसका एक पार्ट को कर लिया तो इंटीग्रेशन वाय यूजिंग अ पार्ट ऑफ इट ठीक है और यही चीज तो हम प्रोडक्ट रूल में भी करते हैं भाई f * g को जब आप डिफरेंशिएबल देते हो तो या तो आप f को डिफरेंशियल सकते हो डिफरेंशिएबल प्रूफ भी है बट वो छोड़ते हैं वो तो जिस तरीके से उन्होने डिस्कवर किया था आई गेस जो मैंने आपको अपना फ्लो बताया है आई गेस उससे आपको काफी हद तक क्रिस्टल क्लेरिटी रहेगी एंड इसी के थ्रू आपको समझ में आ जाएगा कि जो हमारा ये ऊपर वाला रूल था ना ये जो लिखा हुआ था ये तो पहले ही आ गया ये इसके अंदर इंक्लूड हो गया भाई भाई लॉजिकली सोचो एक बार मेरे साथ लिखने की फिर से प्रैक्टिस कर लो इंटीग्रेशन f * g क्या होगा सर किसी एक को पकड़ लो मैं लो g को पकड़ लिया ठीक है या चलो f को पकड़ लेते हैं कोई दिक्कत नहीं है तो इंटीग्रेशन ऑफ f इंटीग्रेशन ऑफ f फिर g और यहां पे आ जाएगा ड राइट फिर माइनस करके पूरी चीज को इंटीग्रेट यही तो है यही है अब मैं कह रहा हूं कि इसमें जब तुमसे बोला जा रहा है इंटीग्रेशन ऑफ़ f तो तुमने कुछ नहीं किया तुमने ऐसे बोल दिया कि g थोड़ना लि यहां पे इन 1 लिख दिया तुमने ऐसे मान लिया जैसे g की जगह पे वन लिखा हुआ है एंड दैट कैन बी पॉसिबल g एक जो है वो एक कांस्टेंट फंक्शन भी तो हो सकता है ना तुम कहोगे हां सर बिलकुल सही बात सही बात बोल रहे हो बिल्कुल आप मैंने कहा ठीक है सो दैट मींस बा वाय दिस लॉजिक अ अ यहां पे क्या आएगा मतलब हमने यहां पे क्या करा हमने यहां पे यह करा सर हमने यह करा हमने यहां पर f को इंटीग्रेट नहीं किया क्योंकि f को इंटीग्रेशन तो हम आता ही नहीं है हमने बोला कि जैसे हम बोलते हैं ना कि g को इंटीग्रेट कर लो भाई अभी मैं ऊपर वाले को अगर ऐसे ना लिख के ऐसे लिखता कि g को इंटीग्रेट करना है आपको ठीक है g को तो आपने इंटीग्रेट कर दिया यहां पे आ जाएगा f फिर यहां पे आ जाएगा f ' और माइनस में इसका इंटीग्रेशन दैट्ची चीज़ आपने यहां करी यहां पे g की जगह पे क्या लिखा हुआ है वन लिखा हुआ है ठीक है तो वन लिखा हुआ है तो क्या हो जाएगा वन का इंटीग्रेशन दैट इज x वन का इंटीग्रेशन x ठीक है फिर f एज इट इज आ गया फिर f ' आ जाएगा एज इट इज फिर इसको माइनस कर देंगे इंटीग्रेशन के साथ एंड ये जो चीज आपके सामने लिखी हुई है यही चीज आप ऊपर लिखा हुआ है देखो आप ऊपर देखो आपने ये लिखा हुआ है देखो ध्यान से यह लिखा हुआ है x f x x f ' x का इंटीग्रेशन ठीक है तो यह कोई कोई नई डिस्कवरी नहीं है यह प्रोडक्ट ये बा इंटीग्रेशन बाय बा बाय पार्ट से ही आ रहा है ठीक है तो पढ़ाया भी जाता है ये चीज़ कि इंटीग्रेशन ऑफ़ लन x निकालने की क्या टेक्नीक होती है अजूम दैट यहां पे वन लिखा हुआ है अजूम क्या है वो तो कॉमन सेंस है कि l x लिखा हुआ हो या l x * 1 लिखा हुआ बात तो एक ही है एंड नाउ यूजिंग b पटी यूजिंग इंटीग्रेशन बाय पार्ट्स वी कैन से कि हमने वन को इंटीग्रेट कर दिया है मैंने कहा ठीक है फिर यहां लिखा l x फिर ॉ x का डिफरेंशिएबल ठीक है फिर माइनस लगा के पूरी चीज को इंटीग्रेट कर देंगे सो दिस बिकम x लन x देन दिस बिकम x एक् और x कट गया इंटीग्रेशन वन यानी कि - x प् c ट्स इट ट्स योर आंसर ठीक है तो वो बाय पीटी बाय पीटी कह रहा हूं मतलब वही चीज लगती है ठीक है तो आई होप सो आपको ये सारी बातें एकदम घुसती जा रही है एकदम बिल्कुल एकदम जैसे मैं आपको करा रहा हूं एकदम क्रश एकदम सब कुछ बैठता जा रहा है एकदम सही है ये सब तो छोड़ते हैं इन सब में तो आपको नहीं घुसना है तो 19 बातें हमने यहां प कर ली थी ठीक है और भी हम यहां प लिख देते हैं कुछ ठीक है कुछ और बातें 19 तो हमने कर लिए है 20 भी लिखता य ठीक है ये पूरी लिस्ट बन जाएगी हमारे सामने ठीक है तो इंटीग्रेशन ऑफ f नज अगर आपके सामने है तो आप क्या करेंगे किसी भी एक को पकड़ लीजिए मानो आपने इंटीग्रेशन जी को पकड़ लिया तो इंटीग्रेशन जी इंटीग्रेशन जी और फिर आपने लिख दिया f एड और दोनों को माइनस कर नाउ हाउ विल यू चूज जैसे यहां पे तो मैंने बोल दिया कि जी को चूज कर लो बट हाउ विल यू चूज सो द चॉइस जो है वो कैसे बनाई जाएगी तो वो चॉइस जो है कि वहि वन टू चूज वो डिसाइड करेगा ये रूल जिसका नाम है आले अब ये कहां से आ गया अभी बताता हूं तो 21 पहले 21 लिख देते हैं कि अगर आपको एक इंटीग्रेशन f दे रखा है और आपको समझ में नहीं आ रहा बिल्कुल भी क्या करना है तो जो हमने अभी देखा कि वन मान के कर लो ठीक है सो दैट वुड बी वन मान के कर लोगे तो इंटीग्रेशन वन इंटीग्रेशन वन यहां पे आ जाएगा f f ड एंड माइनस में अब ये बात हमारे को पता ही है कि ये तो x ही हो जाएगा सो x * f और यहां पे भी आ जाएगा x * f ' अब ये याद करने की जरूरत बिल्कुल भी नहीं है ये एक मैनिपुलेशन की तरह आपके काम में आ जाता है कोई भी इंटीग्रल निकालने के लिए ठीक है अब सर आप क्वेश्चंस भी सॉल्व करवा रहे हो क्या यहीं पे नहीं इट्स नॉट अबाउट क्वेश्चंस ठीक है अबे हट ठीक इटस नॉट अबाउट मैं क्वेश्चन बता रहा हूं ये तो आप जनरली समझ रहे हो ना ये तो थ्योरी का ही पार्ट है क्योंकि इंटीग्रल्स को निकालना होगा तभी तो एरिया निकल पाएगा तभी तो आप किसी भी फंक्शन का एरिया निकाल पाओगे तो ये बात तो यहीं से आ रही है ठीक ओके अब ये आईलेट का क्या झमेला है और ये आईलेट क्या कोई ऐसी कोई कोई नियम है कोई कानून है कहां से आ गया ये बात ठीक है तो कॉमन सेंस की बात है एकदम कॉमन सेंस की बात है जैसे यहां लिख हुआ था हमारे सामने था x क x अगर आपने ध्यान से देखा हो तो मैंने क x को चूज किया था है ना मैंने क x को चूज किया था मेरा आंसर आ गया था अब इसी क्वेश्चन को अगर मैं करके देखता x के साथ तो देखना क्या कमाल की चीज होगी मैं बोल रहा हूं कि x को चूज करते हैं इंटीग्रेशन के लिए ठीक है तो इंटीग्रेशन x अगर मैं ले लेता हूं तो डायरेक्टली आ जाएगा x स् / 2 x स् बा 2 राइट x स् बा 2 दोनों जगह लिख दिया मैंने फिर आ जाएगा क x फिर क x का डिफरेंशियल है यहां हो गया x स् / 2 क x ये तो ठीक था ये क्या बवाल घोटा बन गया 1/2 तो बाहर आ गया ये क्या बन गया इंटीग्रेशन के अंदर x स् सा x अगर आप कॉमन सेंस समझते हो तो ये x क x था एंड नाउ इट इज इवन मोर कॉम्प्लिकेटेड यार अब ये x का स्क्वायर बन गया एंड कितने लोग समझ पा रहे हैं कि ये क्यों हुआ ये इसलिए हुआ क्योंकि x को इंटीग्रेट करते हो तो वो x का स्क्वायर बना देगा अगर तुमने फिर से यहां पर x स् को चूज कर लिया तो अब वो x क बनाएगा अबकी बार एंड अब अबकी बार जो इंटीग्रल फसगा ना वो बनेगा x क c x अब तुम यहां पे दोबारा भी तो लगा सकते हो ना सेम प्रॉपर्टी ये भी तो वही लिखा हुआ है f * g तो अगर अपने अलजेब्रिक किसी टर्म को चूज किया तो अलजेब्रिक टर्म को जब तुम इंटीग्रेट करते हो तो डिग्री बढ़ जाती है बट c x एंड sinx-cosx कोई झमेला नहीं है तो कभी भी अगर तुम्हें अलजेब्राइक टर्म और ट्रिग्नोमेट्री टर्म साथ में लिखा हुआ है तो आप ट्रिग्नोमेट्री वाले को चूज करोगे आप ट्रिग्नोमेट्री वाले टर्म को बोलोगे कि भाई तू मेरा वो है क्या है फर्स्ट प्रायोरिटी मेरे लिए ठीक है मतलब तेरे को मैं इंटीग्रेट करूंगा और इस वाले बंदे को मैं डिफरेंशियल निकल के आता है देखो a और t यानी कि t जो है वो ज्यादा प्रेफरेंस में है एंड सिमिलरली अगर यहां होता मान लो e की पावर x एंड क x अगर मुझे इनके बीच में इंटीग्रेट करना होता तो मैं किसको चूज करता तो फिर मैं चूज करता e को क्योंकि e की पावर x तो बहुत ही बढ़िया चीज है वो तो चेंज ही नहीं होती वो तो e की पावर x ही रहता है ठीक है तो इसलिए मैं एक्सपो शियल को चूज करूंगा ठीक है एंड इसी से आपका पूरा रूल निकल के आता है आई लेट जिसको मैं बोलता हूं अगर आपको अच्छे से समझना है इसका लॉजिक तो एक वीडियो है पूरी मैथ्स एनलेक्ट द लॉजिक बिहाइंड आईलेट पूरी 26 मिनट की वहां पे हमने पूरा रूल को डिकोड किया तो आईलेट ऐसे निकल के आता र है ठीक है इसका मतलब क्या है कि ऐसे चलना है आपको ठीक है मतलब अगर ट्रिगो मेट्री और एक्पल लिखा हुआ है तो मैं एक्सपो एशियल को चूज करूंगा अगर अलजेब्राइक और ट्रिग्नोमेट्री लिखा हुआ है तो मैं ट्रिग्नोमेट्री को चूज करूंगा इंटीग्रेशन के लिए अगर इवर्स ट्रिगो ट्रिक और लगम लिखा हुआ है तो मैं लोगरिथमिक को चूज करूंगा एंड सो ऑन ठीक है अगर लिखा हुआ है x l x का इंटीग्रेशन करना है आपको तो आप किसको चूज करोगे l और a में a को ूज़ करोगे यानी कि आप इसको तो इंटीग्रेट करोगे और इसको आप डिफरेंशिएबल बता सकते हो क्योंकि इसको इंटीग्रेट क्यों करोगे क्योंकि अगर तुम l x को इंटीग्रेट करोगे दैट इट वुड गिव यू 1 / x सॉरी अ सॉरी अगर आप x को लोगे वो तो x स् बना देगा ठीक है बट ॉ x को अगर आपने ले लिया तो वो पता है क्या बना देगा वो बना देगा x l x - x + c क्योंकि x का इंटीग्रेशन तो भैया तुम्हे पता ही है ना इट इज क्वाइट कॉम्प्लिकेटेड थिंग है ना x - x कोई फायदा नहीं हुआ ठीक है सो ये एक इंपोर्टेंट बात है इसमें र तो आपको आईलेट का आई गेस मतलब समझ में आ गया होगा कि जो बाद में है हम उसको चूज करते हैं फॉर इंटीग्रेशन ठीक है तो अब प्रोडक्ट रूल भी हो गया राइट अब क्वेश्चन रूल बचा तो क्वेश्चन रूल तो देखो इसी से आ जाएगा बट हमें उसकी कोई जरूरत नहीं है ठीक है बिकॉज इट गेट्स कॉम्प्लिकेटेड ठीक है तो अगर आप सोच रहे हो कि f बाज का कोई होगा तो उसकी कोई जरूरत नहीं है ठीक है अब एक ही चीज बची है बस चेन रूल राइट तो ये चेन रूल कैसे आएगा तो चेन रूल की भी फिर हम उल्टा ही सोचते हैं कि चेन रूल के हो सकता है चेन रूल से ही निकल रहा हो तो भाई चेन रूल हम लोगों को पता है कि सर f ऑफ g ऑफ x को अगर आपसे बोला जाए कि इसको डिफरेंशिएबल नहीं मिलती है इस वाली डेफिनेशन से सो हम क्या बोल रहे हैं कि d में आप डाल रहे हो f g x डिवाइड बाय तो ये जो लिखा हुआ है दैट मींस कि आप पहले f g एक को ऑफ एक के कंपैरिजन में ही डिफरेंशियल से डिफरेंट कर देते हो राइट ऑफ एक विद रिस्पेक्ट टू x ठीक अब अच्छा इसी चीज को हम ऐसे भी लिख देते हैं कई बार कि अगर आपको लिखा हुआ है मान लो d बाय चलो ऐसे लिखा हुआ है कि एक मिनट हां तो आपको जैसे लिखा हुआ है d बाडी एक ठीक है तो पले ऐसे करेंगे d अपवा और फरवा अप ठीक है तो ये सब मामला यही से निकल के आ रहा जैसे य हमने किया तो वही सेम चीज इसको भी हटा देते इसकी कोई जरूरत नहीं अब ये चीज जो हमें दे रखी है इसमें इंपॉर्टेंट बात क्या है ना कि अगर मैं इसको देखता हूं अगर मुझसे बोल कि इसको इंटीग्रेट करो किसको ये साइड में ख एडज एक इन एक् मा मुझे ये दे रखा है तो ये बराबर होना चाहिए किसके f ऑफ g ऑफ एक के सही बात है प् स ओबवियसली प् c लगेगा क्योंकि जब इसको डिफरेंशियल के तौर पे फॉर एग्जांपल मान लो ऐसे लिखा हुआ है कि 2x सा x का स्क्वा मान लो ये लिखा हुआ है और बोला जा रहा है इसको इंटीग्रेट करो तो इसका आंसर क्या होगा आपने ध्यान से देखा इसको आपने बोला एक म जाओ सा के अंदर है x का स्क्वा ठीक है और फिर x स् का ही डिफरेंशिएबल ध्यान से देखो x स् का ही डिफरेंशियल हुआ है राइट तो ये देखते आप समझ गए सर ऐसे लिखा हु है f ऑफ g एक एंड ' एक यानी कि ये बराबर हो जाएगा किसके f ऑफ g ध्यान से समझना ये क्या लिखा ये लिखा हुआ f ' g एक इन g एक तो f ड है ये सा x का स्क्वा * 2x तो ये बराबर होगा किसके अगर यहां f ड है तो f ड का इंटीग्रेशन f होगा तो यहां f ड क्या है सा है तो सा का इंटीग्रेशन क्या होगा क मतलब माइनस क और उसके अंदर आप क्या डालोगे क x नहीं लिख दोगे - x नहीं लिख दोगे उसके अंदर आप वही लिख दोगे g एक ही लिख दोगे तो यहां पे आ जाएगा ये प् c ठीक है तो ये वाली चीज होती है बट ये बहुत ही कॉम्प्लिकेटेड हो जाता है जैसे मैंने अभी समझाया आपको इसी वजह से यहां पर हमें टेक्निक भी बनानी पड़ती है बट अभी ये सब चीजें से पहले हमें एक चीज यहां पे इंपोर्टेंट बात जो समझनी पड़ेगी वो बड़ी ये है कि अ अगर आप सोचे अगर मैं बोलू क x का स्क्वा दे रखा है आपको ठीक है और इसको आपको डिफरेंशिएबल x तो आपका आंसर क्या आएगा आप कैसे करोगे इसको आप बोलोगे सर ये हो जाएगा d क x स् डिवाइडेड बाय पहले x स् के रिस्पेक्ट में कर लो क्योंकि ऐसे लिखो ना f gx1 के रिस्पेक्ट में करोगे और फिर आप x स् को भी डिफरेंशियल गई -2x sinx-cosx बात करूं तो मैं बोलूंगा कि इंटीग्रेशन ऑफ अगर मैं आपसे बोल दू 2x सा x का स्क्वा ठीक है तो उसका आंसर क्या आना चाहिए उसका आंसर आना चाहिए क x का स्क्वा म ओबवियसली माइनस में आएगा क माइनस वाला साइन है तो ठीक है माइन स् प् बहुत बढ़िया बिल्कुल सही लग रहा है एकदम सुनने में अब एक और बात सुनना ठीक है एक और बड़ी मजेदार बात अगर मैं तुमसे बोलू कि d क x का स्क्वा डिवाइड बा d एक स्क्वा अगर मैं सिर्फ इसकी बात करूं इसका आंसर क्या आएगा तो सर इसका आंसर आएगा माइनस में सा x का स्क्वा तुम कहोगे हां सही है सर सही बोल रहे हो एकदम है ना यही तो आएगा भाई सीधे-सीधे यही आ जाएगा यहां पे आया ना - सा x का स्क्वा ये तो आएगा तु गया हां ठीक है तो मैंने कहा इस लॉजिक से अगर मैं बात करूं तो इस लॉजिक से तो ये मतलब हुआ कि अगर मैं तुमसे बोलता हूं सा x स् को इंटीग्रेट करो भाई इसको इंटीग्रेट करोगे तो ये आ जाना चाहिए ना तो माइन को अंदर ले जाओ तो ये बन जाएगा ना - क x स् प् c तुम बोलोगे हां ठीक है तो तुम बोलोगे फिर सर आप बोलना क्या चाह रहे हो तुम समझ समझो क्या क्या बोलना चाह रहा हो इसको देखो ध्यान से और इसको देखो ध्यान से ये तो सेम ही है भाई ये और ये तो सेम ही है तो इसी का आंसर ये भी आ रहा है और ये भी म ये दोनों तो सेम नहीं है ना यहां पे सिंपल sinx-cosx फंस गए क्योंकि इंटीग्रेशन में भी हमें ये चीज दिमाग तो लगाना पड़ेगा ठीक है तो हमें यहां लिखना पड़ेगा कि ये जो चीज है ये विद रिस्पेक्ट टू x हो रही है और यहां पे ये बात विद रिस्पेक्ट टू x का स्क्वायर है ठीक है ठीक है जो समझने वाले हैं वो समझ गए होंगे कि हमने चेन रूल में 3d ग्राफ बनाया था 3d ग्राफ बनाया था राइट ऐसे वाला राइट ये 3d ग्राफ कि ये अगर x है और ये अगर x का स्क्वायर को शो कर रहा है और ये अगर आपका सा x को शो कर रहा है ठीक है तो जो पहला जो ग्राफ था जो पहला डिफरेंशिएबल रहे हैं c x का स्क्वायर है ना तो उसमें क्या हो रहा है कि हम सीधे-सीधे इस वाले को इस वाले से डायरेक्ट कंपेयर कर रहे हैं और यहां पर हम इसको कर रहे हैं तो एरिया अंडर द कव ऐसे ही निकलेगा ठीक है एरिया अंडर द क तो अभी भी वही निकल रहा जब आप सा स् को निकाल रहे हो जब हम बोलते हैं सा स् विद रिस्पेक्ट टू x का स्क्वायर ठीक है तो ये जो ग्राफ आ रहा है ग्राफ का एरिया ही निकाल रहे हो आप अभी भी ठीक है को कोई अलग से बात नहीं चल रही ऐसा नहीं ये क्या लिख दिया आपने विद रिस्पेक्ट टू x का स्क्वा लेकिन इसको भी ये भी देखने में अच्छा नहीं लग रहा था तो मैथमे ने इसकी एक नोटेशन बना दी अब ये देखना सारा गेम यहीं से शुरू होगा उन्होंने बोल दिया यहां लिख देते हैं हम एक छोटा सा dx2 का स् ठीक है और ये इसका सीधा-सीधा परपस बस ये लिखा हुआ है कि अगर कभी आपको सामने लिख दिया fxxx.pro लिखा हुआ था है dx2 ठीक है fxxx.pro ने गलत आंसर सॉल्व कर दिया नहीं गलत सॉल्व नहीं किया है यहां साफसाफ लिखा हुआ था कि विद रिस्पेक्ट टू x स् मतलब तुझे इसको डिफरेंशिएबल वही आएगा जो तेरे पास था क्या यही आएगा sinx-cosx ठीक है अच्छा cdx2 नहीं है ध्यान से समझना ये dx1 लिखा हुआ है 1 * dx1 का इंटीग्रेट इंटीग्रेशन करो विद रिस्पेक्ट टू x तो आपका आंसर क्या आ जाएगा x + c आ जाएगा अब यहीं पे लिखा था 2dx लिखा था 2dx तो क्या आता 2x + c ठीक है तो जब भी बोले इंटीग्रेशन ऑफ dxcpl.exe हां जी तो d आप लगा सकते हो बट इतनी कोई बहुत ज्यादा बड़ी बात नहीं हो जाएगी उससे ठीक है अब समझने वाली बात है अ तो इससे समझने की कोशिश करो ठीक है सो हमें रखा है कि भाई f gx2 को तुम्हें डिफरेंशिएबल आ जाएगा c x स् + 2 फिर x स् + 2 का डिफरेंशिएबल राइट क्योंकि सा का डिफरेंशिएबल f है और क जो है वोल f है बिल्कुल अच्छा अगर मैं इसी की जगह पे x से ना करके g एक से डायरेक्टली करता तो डायरेक्टली क्या आ जाता f g आ जाता ये वाला आ जाता राइट फॉर एग्जांपल d x + 2 को अगर x स् + 2 से ही डिफरेंशिएबल को ये बात समझ में आ गई है तो यहां से मैं ये बोल सकता हूं सर कि इंटीग्रेशन ऑफ 2x क x स् + 2 ठीक है जहां पे आप विद रिस्पेक्ट टू x डिफरेंशिएबल c एंड बिल्कुल अगर मैं बोलूं इस लॉजिक से तो यहां से भी क्या आ रहा है यहां से आ रहा है हमारे पास सा x स् + 2 और आप इंटीग्रेट भी उसी तरीके से कर रहे हो x + 2 तो आपका आंसर यहां पे क्या आएगा सा x स् + 2 इससे ये बा समझ में आती है कि ये दोनों चीजें भी बराबर होंगी एक दूसरे में क्योंकि ये और ये बराबर है तो ये सब भी बराबर होगा अब अगर ये दोनों बराबर है तो यहां पे हमें ध्यान से समझना होगा ओ सॉरी यहां पर ये क है ठीक है ये क अब समझने वाले समझ गए होंगे कि सर अगर थोड़ा सा रिअरेंज कर लो आप आप c x स् + 2 को अगर यहीं लिख लो तो आप समझ जाओगे क्या कि क x स् + 2 और क्या था 2x था तो कितने लोगों को बात समझ में आ रही है क्या समझ में आ रहा है सर कि 2xdx और यहां लिख हुआ है dx2 + 2 ये तो अगर आप देखोगे तो ये इक्विवेलेंट होगा क्योंकि ये और ये तो सेम है अब ध्यान से समझना यहां पे ये जो dx1 + 2 लिखा हुआ है ये कोई मल्टीप्लिकेशन में नहीं है इसके साथ ये बस ये मानो ये ना लिखा हुआ होता तो इसकी जगह प मैं बस क्या लिख सकता था विद रिस्पेक्ट टू x है ना इसकी जगह प क्या लिख सकता था विद रिस्पेक्ट टू x स् + 2 ठीक है तो ये कोई मैथमेटिकल नोटेशन नहीं है ये ठीक है बस ये लिखी हुई है जस्ट टू शो इट इज जस्ट अ नोटेशन इट अ ऐसा मान लो जैसे इंग्लिश अल्फाबेट लिखा हू बीच में मैथ्स तो बस यहीं तक है ठीक है फिर भी देखने में ऐसा लग रहा है देखने में ऐसा लग रहा है ध्यान से समझना देखने में इल्यूजन में आपको ऐसा लग सकता है कि सर ऐसा हुआ कुछ कि dx2 + 2 लिखो हुआ था है ना और वो कन्वर्ट हो गया किसमें x + 2 का डिफरेंशियल दैट इज़ 2x * dx8 सेशन में पढ़ेंगे उसका नाम होगा डिफरेंशियल्स ठीक है उसको हम बोलते हैं डिफरेंशियल्स बट यहां पर वो बात नहीं है ठीक है यहां पे बात वो नहीं हो रही है डिफरेंशियल्स एक बहुत पुराना कांसेप्ट था ठीक है ये अलग बात है यहां पर यहां पे कोई कुछ नहीं है ठीक है ये कोई मैथमेटिकल नोटेशन नहीं है दिस इज़ नॉट मैथ्स ठीक है ये बस नोटेशन है दिस इज़ जस्ट नोटेशन आप नोटेशन में आपने चेक किया तो आपको दिख गया कि 2xdx जो है वो इसके बराबर है इसी से लोग मैथमेटिशियंस नहीं हमारे जो टीचर लोग हैं उन्होंने कांसेप्ट बना दिया कि अगर आपको ऐसे दिख जाए dgx-1 + 2 बन गया ठीक है तो अगर मैं और जनर करके बोलूं इस चीज को तो तो यहां से आप क्या बोल सकते हो यहां से आप क्या बोल सकते हो इस चीज से इससे आप ये बोल सकते हो सर कि ये इंटीग्रेशन ऑफल fxxx.pro क्या बराबर करने की बात करी जा रही है बहुत सिंपल सी बात बोली जा रही है क्या कि अगर आपको दे रखा है f ऑफ g ऑफ एक ठीक है ह मान लो मैं रा सा बोल दू t x का स्क्वा ठीक है t x स् d एक स् ठीक है इसका इंटीग्रेशन दिस इ इक्विवेलेंट ऑफ सेइंग कि आप पहले t x स् तो चलो एज इट इज ख रहा और यहां लिख दो 2xdx ठीक है और ये सब कुछ किसके बराबर होगा ये सब कुछ किसके बराबर होगा t का इंटीग्रेशन क्या होता है न का इंटीग्रेशन क्या होता है सर मैं तो भूल गया सर मैं तो भूल गया अरे न क्या होता था सा अप क तो क्या आएगा लन मड x ये क्या हो गया ये तो t का तुमने इंटीग्रेशन कर दिया ठीक है ब यहां प t x स्क्वायर है तो x की जगह प क्या आ जाएगा x का स्क्वायर आ जाएगा ट्स इट प्स ये आंसर हो गया इसका ठीक है अब ये अभी तो बड़ा सिंपल लग रहा है आपको देखने में क्योंकि आपको बहुत क्लियर दिख रहा है कि सर ये t x का स्क्वायर लिखा हुआ है और ये उनका डिफरेंशियल हुआ होता मान ना लिखा हुआ होता यहां पर ठीक है और मैं बोलता विद रिस्पेक्ट टू x का स्क्वा और यहां लिख देता विद रिस्पेक्ट टू x तो भी आप यही सेम चीज करते है ना आपको कांसेप्चुअली बात समझ समझ में आ गई है ठीक है पर इसको टीचर लोग आपको ऐसे नहीं पढ़ाते हुए देखेंगे वो ऐसे पढ़ाएंगे इसको वो ऐसे बोलेंगे देखो बेटा क्या हुआ हम बताते हैं बेटा ऐसे मान लो देखो यहां पे x स् बारबार लिखा हुआ है ना तो आप x स् को t मान लीजिए ठीक है बेटा अब आप काम करो x स् को डिफरेंशिएबल रही है कह रे वो होती है तुम्हें नहीं पता मैंने कहा ठीक है ओके आप बोल रहे हैं तो आप बड़े हैं हम आपकी बात माननी पड़ेगी ठीक है तो बेटा ये ऐसा हो गया ना तुम बोगे हां हो गया तो अब देखो बेटा ये क्या बन गया ये बन गया सर tan0 और भाई t t और dt2 एक dx2 बन गया और तुम बा चमत्कार हो गया एंड t t व्हाट इज दिस इसका एक्सप्लेनेशन कुछ लोग ऐसे देंगे आपको कि इसको डिफरेंशिएबल dx2 / dx2 / dx2 एक ठीक है ना और ये क्या हो गया dt1 dx6 को उधर ले जाओ और तुम बड़े हैरानी के साथ गर्दन हिलाओ ग अपनी कहोगे हां ठीक है ले गए उधर और फिर मैं तुम्हारे चाटा मानने आऊंगा कि बेटे 1 मिनट इधर सुनना जरा मैंने कहा हां सर बोलिए ये dt1 dx8 h टेंड्स टू 0 h माइ f डिवा बा h भूल गए तो कैसे किस चीज को उधर लेकर गए जब तुम बोल रहे हो कि d एक को उधर ले जाओ है ना जब तुम बो d को उधर ले जाओ क्या लेकर गए तु एच को ले गए मतलब लिमिट के अंदर लगा हुआ है ए ऐसे निकाल के ले जाओगे बाहर उसको अपनी मर्जी से जब लिमिट लगाई गई है तो इस पूरी चीज प लिमिट लगाई गई है तो टी ये जो लिखा हुआ है d एकवा बा d एक ये एक लिमिट है ये कोई रेशो नहीं है कि आप उसको कुछ भी कर सकते हो दिस इ कंपलीटली रंग दिस इ कंप्लीट बुलशिट एक्सप्लेनेशन वि इज गिवन बाय ल ओवर इंडिया एंड इनफैक्ट इंटरनेशनली एज वेल ठीक है तो बहुत ही कम लोगों को पता होता है ठीक है मेरे को हमेशा से डाउट था फाइनली मैंने बुक पढ़ी जिसका नाम था माइकल स्पीवक ठीक है उनके पास ही सिर्फ शायद दम था जिन्होंने ओपनली इस बात को बोला कि ये पागल बनती है ठीक है सो दैट वाज क्वाइट अ रिवोल्यूशन बुक डेफिनेटली फॉर मी क्योंकि मेरे को तो ये डाउट हो गया था मैंने कहा ता भाई ये ऐसा तो नहीं होने वाला है ये ठीक है ये तो गलत है ठीक है लेकिन हां हम भी पढ़ेंगे ऐसे ही बिकॉज ट्रिक के लिए ठीक है शॉर्टकट के लिए बढ़िया है बहुत अच्छा है ठीक है बट आपको असली बात पता होनी चाहिए क्योंकि जब एडवांस या कोई अच्छा कांसेप्चुअल क्वेश्चन बनेगा वहां मर जाओगे क्योंकि प्रोफेसर्स को भी पता होगी ये बात ठीक है सो यह बड़ी पोर्टेंट और सटल बात है ठीक है तो आपको यह बात तो समझ में आ रही है जसे एपल के र पर कुछ और ले लेते सामने ख देता की पावर में एक्स की पावर से प् 5 एकस की पावर 4 लिख दिया या कुछ और लिखलो य लिखते एक्स पावर से प्स सा एक् ठीक है ये लिख दिया और यहा पर लिख दिया मैंने 7 एक की पावर 6 प् तु समझ सर क्या हुआ ये इसी का डिफरेंशियल दूं मैं dx8 करो चलो बेटा इसको इंटीग्रेट करो अब तुम देखते ही समझ गए कि सर ये तो e की बबर में आपने कुछ कर रखा है और उसी का डिफरेंशियली फॉर्म हो गई f g x * g x है ना और आप हमें बेवक बनाने की कोशिश कर रहे हो ये तो बहुत ही बेसिक बात है ये तो बहुत ही बेसिक बात है बल्कि एक काम करता हूं यहां पे यहां पे कुछ और कर देता हूं यहां पे कर लेता हूं फव की पावर समथिंग ठीक है तो थोड़ा और मजा आएगा इसमें 5 की पावर समथिंग और उसका डिफें लिखा हुआ है तो स ये तो बिल्कुल व वाली बात हो गई और इसका आंसर तो हमें पहले से पता है इसका आंसर क्या होता है f g x + c ये तो हमें पता ही है ये तो हमें चेन रूल से पता है ना उसी का चेन रूल का उल्टा लिखा हुआ है बस ओ ठीक है तो सर ये तो फिर क्या बन गया ये क्या बन गया मैंने कहा क्या बन गया क्या बन गया अगर आपके अंदर दम है अगर आपके अंदर दम है तो आप डायरेक्टली लिखोगे क्या लिखोगे आप इसको ऐसे देखोगे कि सर ये तो लिखोगे 5 की पावर t ये तो ऐसे लिखा हुआ है 5 की पावर x और 5 की पावर x का वो क्या होता है 5 की पावर x डिवाइड बा लन 5 + c है ना ये तो इंटीग्रेशन का फॉर्मूला होता है अब इसके अंदर क्या आएगा ठीक है ये तो तुमने फाइ ये जो f लिखा हुआ था तुमने उसको इंटीग्रेट कर दिया ये जो f लिखा हुआ है 5 की पावर x उसको तुमने इंटीग्रेट कर दिया अब अंदर क्या आएगा g g एक क्या है भाई साहब x की पावर 7 प् सा लेकिन ज्यादातर लोग ऐसे कर नहीं पाएंगे है ना इतना जल्दी सोच नहीं पाते हैं तो अगर आप इतना नहीं सोच पा रहे हैं और सही है सही है कोई दिक्कत नहीं है तो उसी के लिए हमने एक शॉर्टकट बना रखा है हमने क्या बोला कि ये जो तुम्हें फंक्शन दे रखा है अभी मान तुम ये नहीं दिख रहा ठीक है तुम्ह ये जो पूरी चीज दिख रही है तुम्हारा अल्टीमेट एम यही है तुम्हारा अल्टीमेट एम क्या है यहां तक पहुंचना f ऑफ g ऑफ एक प् c तक पहुंचना ठीक है दैट इज योर अल्टीमेट एम कैसे भी पहुंच जाओ तुम्हारी मर्जी तो हमने थोड़ा सिंपल स कर देते हैं इसको है ना बच्चे को साफसाफ दिखना चाहिए तो हमने बोला जिसको तुमने g एक जो होता है उसको t मान लो तो g एक क्या है यहां पर x की पावर 7 + sinx-cosx तुम बोलो देखो ये और ये लिखा हुआ है ये मिलके क्या बना देगा बेटा ये बेटा dt2 डिवा बालन 5 + c सर दैट वुड बी योर आंसर ठीक है अब t की जगह पे वो डाल दो जो था तुम्हारे पास तो t की जगह पे क्या था ये था नाना तो बस येही डाल दो बेटा ये आपका आंसर हो जाएगा sinx-cosx स्टेप नहीं है ठीक है दिस इज नॉट अ मैथमेटिकल स्टेप दिस इज़ अ शॉर्टकट स्टेप दिस इज अ फालतू का स्टेप ठीक है जिससे चीजें सिंपल लगे जिससे चीजें दिखने लग जाए क्योंकि एकदम से दिखता नहीं है जैसे जब तुम्हें ये कचरा दिख रहा है ये तुम्हें कचरा लग रहा है अब इस कचरे में तुम एकदम से देख पाओ कि अच्छा ये जो फाइव है ये एक्चुअली f है और ये जो अंदर की चीज दिखी हुई है दिस इज़ g ऑ x एंड देन दिस इज ' x ओ हो हो ये तो आपका f ऑफ g x हो गया उसी का उसी का डिफरेंशिएबल हुआ है ये तो तो इतनी बातें इंसान सोच नहीं पाता है इसलिए उसको शॉर्टकट में करने के लिए हमने क्या कर दिया हमने बोल दिया तू अपना पहले मेन फंक्शन ढूंढ ले तूने ढूंढ लिया फाइव फ तुम उसके अंदर तुमने ल रखा इसको मानले बची अपने क्या बन जाएगी बन जाएगी ठीक है देता तुम सोओगे या नहीं डि एक इसको इट करना वि स्पेक्ट ् ली मान य नहीं इस बना कर देखते अब धन से समना क्या हो रहा है लोने हैक और कुछ बढ़िया करते लन क कर देता हंलो ठीक है सो लन क डिवा बा है इसको इंटीग्रेट करना है अब ध्यान से देखना क्या चीज हो रही है यहां पर सर लिखा हुआ है न एक काल क्यूब ठीक है और फिर य लिखा / य तो है हा ठीक है ध्यान से देखो क्या हो रहा है उसको इस इस तरीके सेर तुम सोच पाओ तो बहुत बढ़िया हो जाएगा के फर्मेट में ठीक तो यहां पर जो हमारा ए वाला फंक्शन है वो पता क्या है पता क्या है वो है होल क्यूब यानी एक का क्यूब उस x क के अंदर तो एक क के अंदर के अंदर आपने क्या डाल दिया है न x डाल दिया है ठीक है और फिर न x का डिफरेंटली इस फॉर्म को समझ पा रहे होंगे जो लोग डायरेक्टली समझ रहे हैं वो समझ पा रहे होंगे कि सर अल्टीमेटली अगर मैं बात करूं तो इसका आंसर क्या आता है इसका आंसर आता हैै f g प् c यानी कि f को इंटीग्रेट करना है यानी कि x क को इंटीग्रेट करना है बस तो आंसर क्या आएगा x की पावर 4/4 और x की जगह प क्या डाल देना है g और g क्या लन तो इसका आंसर क्या हो जाएगा डायरेक्टली न x की पावर 4 / 4 + c दैट इज योर आंसर ठीक है पर इतना कोई डायरेक्टली सोच नहीं पाता एकदम से ठीक है तो हमने क्या करा कि ऐसे ना करके हमने थोड़ा दिमाग लगा लिया हमने बोल दिया एक काम करो ठी दिमाग नहीं मतलब थोड़ा दिमाग हमने दिमाग ही मतलब हमने बोला भाई एक काम कर ल x को t मान ले तेरे को लग रहा है ना कि भाई होल क्यूब के अंदर लन x है ठीक है अब लन x को डिफरेंशिएबल यूज़ कर रहे हैं तो हमने बोल दिया कि चलो ठीक है यहां लिख दो 1 / x dx1 राइट अब जो तेरे को दे रखा है उसके अंदर डाल के देख तो ये बन जाएगा सर t क ठीक है और 1 / x यहां पे मान लेते हैं क्योंकि कर रहे हो ठीक है तो / x g जो है वो क्या बन जाएगा वो क्या बन जाएगा वो बन जाएगा d ठीक है तो अब आप इस पूरी चीज को t के रिस्पेक्ट में डिफरेंशिएबल x काल क्यू एंड d x ठीक है ऐसे समझ लो कि 1 बा x जो है ना ये इसके अंदर चला गया ठीक है तो इसने क्या बना दिया इसने बना दिया d ल x समझ रहे हो 1 बा x अंदर चला गया d जो है वो क्या हो जाएगा वो बाहर आ जाएगा 1 बा x बाहर आ जाएगा एंड ये बना देगा ठीक है पर ये सब कुछ मैथमेटिकल नहीं है बस ट्स व्हाट आई एम ट्राइम टू से कि अगर यहां dx3 dt4 / 4 + c राइट और आपका आपका आंसर आ चुका है दैट इज लॉन की पावर 4x / बा 4 + c दैट्ची को बोलते हैं सब्सीट्यूशन कि जो भी आपको कोई चीज दिख रही है उसको t मान लो है ना कोई भी आपको गंदी सी चीज दिख रही है उसको t मान लो ठीक है मुझे पता है अभी थोड़ा सा क्लियर नहीं हुआ होगा ठीक है तो अभी इसी चीज को हम समझते हैं येय बलिए हम चेन रू जैसी चीज पढ़ रहे हैं तो कुछ एग्जांपल्स के थ्रू इस इस चीज़ के साथ हम एकदम यूज़ टू हो जाएंगे तो हमें दे रखा है sinx-cosx 4x / 4 + c दैट वुड बी द आंसर ठीक है नेक्स्ट fx1 f'd x यह बिलकुल जनरलाइज्ड आ गया यहां पे तो फिर से साफ-साफ दिख रहा है कि fxxx.pro n + 1 बा n + 1 + c राइट सो दैट इज fx1 / n + 1 + c राइट ठीक है अच्छा ये समझ में आ रहा है कि कितनी चीजों को तो इग्नोर माना जा सकता है जैसे तुम्हे समझ में आ गया लेकि मैं तो इसको देखते बोल दूं मेरे लिए देखते दिख जाएगा हां ये देखो t की पावर n बन रहा होगा ये dt1 यानी कि ये क्या बन जाएगा t की पावर n + 1 यानी कि fx1 + 1 / n + 1+ c मब देखते ही कर दोगे ठीक है अगर इतनी स्पीड ला सकते हो तो मजा ही आ जाएगा ठीक है जैसे अगर नीचे वाला क्वेश्चन तुम देखते बता दो तो मजा आ जाएगा थोड़ा एक बार मेंटली करने की कोशिश करते हैं उसके बाद में जिनको समझ में नहीं आएगा उनको मैं वैसे भी कर दूंगा तो ये क्या दे रखा हैल क x बा x d तो एक्चुअल में येल x का डिफर 1 बा x होता है तो ये तो ऐसे लिखा लग x काल क्यूब और फिर 1dx जो कि एक्चुअल में जब मैं l x को t मानूंगा तो t क dt4 बा 4 t क्या है लग तो बन जाएगा लग की पावर 4x बा 4 प् c ठीक है समझा दूं एक बार देखो तुमने बेसिकली l x को t मान लिया ठीक है ना तो ये बन गया 1 / x dx2 सो इंटीग्रेशन में क्या दे रखा है l x का क्यूब यानी कि t का क्यू और 1 / x d x क्या बन गया dt4 बा 4 + c और बस t की जगह पे क्या डाल दो ये तो आंसर आ जाएगा इतनी चीजों को तुम अगर मेंटली कर लो तो बस मजा ही आ जाएगा ठीक है लोग इसकी ट्रिक बना देते हैं कि अ जैसे दे रखा था sin3x c x तो मनी मन सोच लो ना ये क्या लिखा हुआ है ये फंक्शन है जिसका क्यूब दे रखा है और ये उसी का डिफरेंशिएबल मतलब समझ गए ना मेंटली खेलने वाली बात है बस अब ये दिखने में बड़ा खतरनाक लग रहा है इसको समझ नहीं आ रहा है किसको लेंगे ठीक है एगजैक्टली मैं किस चीज को t लू तो अभी तुम मेरी सुनो और तुम इसको t ले लो इस पूरी चीज को जो खतरनाक लग रहा है ना देखने में इसको t ले लो तुगे मुझे कैसे स्ट्राइक करेगा मैंने बोला एक मिनट प्रॉब्लम सॉल्विंग कोर्स नहीं चल रहा है ये ठीक ठीक है ना ये कोर्स वो नहीं है जिसमें तुम्हें समझना है कि मैं कैसे करूंगा यहां तुम्हें बस सीखना है कि टेक्नीक क्या चीज है ठीक है कि अप्लाई कैसे करते हैं कैसे तुम करोगे वो सब चीजें प्रॉब्लम सॉल्विंग में होंगी ठीक है ना तो अभी इसको मैंने t बोल दिया तो जब मैंने इसको t बोला तो अब मुझे इसको डिफरेंशिएबल 10x / 2 का डिफरेंशिएबल fx1 / fx2 x / 2 भा tan1 x / 2 और फिर x / 2 का डिफरेंट इज 1/2 ठीक है ये चीज क्या लिखी हुई है ये लिखा हुआ है जो भी यहां लिखा हुआ था उसका डिफरेंशियल में क्या लिखा हुआ है दिस इज दिस इज 1 अप क स् थीटा मान लो थोड़ देर के लिए ठीक है और t x बा 2 का डिफ लाइक उल्टा करोगे तो कट बन गया ना मतलब कि क थ बा सा थीटा ठीक है तो ये बन गया 1 अप सा थीटा क थीटा एक मिनट हम 1 अप सा थीटा क थीटा अब ये क्या बन गया ये बन गया 1 / 2s थीटा क थीटा दैट इ इक्व ट 1 / sin2 थीटा अब थीटा एक्चुअल में x / 2 था तो ये बन गया 1 अप sinx-cosx इसका जो नेक्स्ट स्टेप है व बन गया 1 अपन सा एक d एक = य दिख तो रही है य यह जो चीज है यह है पूरा पूरा और य क्या लि हु है अप सा या क्या बन गया तो आंसर कितना आ गया स् बाट प् स यानी की य चीज दे रखी थी लगन एक् बाट इस पूरी जिस का स्क्वायर बायट प् स ठीक है हा आई होप सो समझ में आ गया होगा अगर ये वाला नहीं आया तो अभी लिए छोड़ दो ऐसी कोई दिक्कत नहीं है लाइक प्रॉब्लम सॉल्विंग में हम इससे स होना कॉम्प्लिकेटेड चीजें करेंगे उस टाइम पे तुम्हे ये धूल लगेगा अब ये दे रखा है यहां पर समझने की कोशिश करो क के अंदर कुछ दे रखा है तो हम उसी चीज को तो t मानेंगे ना जो किसी चीज के अंदर है ठीक है तो अब इसका डिफरेंशिएबल बी 4x क + 2 तो कांस्टेंट है तो उसका डिफरेंशिएबल तो t लिखा हुआ है ये लिखा हुआ है c t पर हमें तो 4 एक क d एक चाहिए पर हमारे पास सिर्फ x क है तो 1/4 और 4 बना लिया जान के तो 4 एक क d ये क्या बन गया d इट इसका आंसर क्या सा प् यानी की सान एक्स की पावर 4 प् सी गलत एकस की पावर 4 प् प् और साथ में बा भी है ठीक है य बा है अब सिक्स क्वे धीरे धीरे समझ में आ जाएगा टेंशन ना ले सिक्स क्वेश्चन में जो रूट के अंदर दे रखा है क्योंकि रूट ही f है हमारा f [संगीत] gx2 क x इस चीज को मैंने t बोल दिया अगर इसको मैंने t बोल दिया तो अब इसका डिफरेंशिया 2 सा x सॉरी माइनस में आएगा dx2 राइट अब ध्यान से देखो यहां पर -2x है हमारे को सिर्फ सा dx2 लगा लो सिंपल राइट तो अब -2 d एक ये क्या बन गया ये बन गया d और ये क्या बन गया रूट के अंदर रूट के अंदर t और 1 अप -2 बाहर है ये बन गया प्यारा दूसरा क्वेश्चन दैट इज - 1/2 बेसिकली तुम्ह / र t को इंटीग्रेट करना है है ना उसमें क्या है 1 बा र t का इंटीग्रेशन क्या होगा t की पावर - 1/2 को इंटीग्रेट करो ठीक है दैट इज t की पावर 1/22 ये बन जाता है कैसे करके दिखाना पड़ेगा क्या चलो कर देते हैं कोई बात नहीं है आ रवाने के लिए क दा क दूंगा इसको रट लो फॉर्मूला की तरह बना दूंगा इसको t - 1/2 + 1 - 1/2 + 1 माइ प् c सो - 1/2 ये क्या बन गया ये बन गया 1/2 तो आगे आ जाएगा बन जाएगा 2 ये बन गया t की पावर 1/2 प् c ठीक है तो अल्टीमेटली क्या बन गया माइन र t र t t क्या था एक्चुअल में ठी क्या था 3+ 2x सो 3 प् प् ोट इ द आंसर आईस समझ में आ रहा होगा धीरे धीरे चीज बैठ रही होंगी हम क्या कर रहे हैं य और तुमहे शद फंडामेंटली भी क्लियर हो रहा होगा व एक्चुअल में हर चीज हो कैसे रही है आईस आई होप सो एटलीस्ट ठीक है बढ़िया नेक्स्ट क्वे सेथ से में क्या है तो यज दे रखी है र ् t स् x dx1 स् x उसमें अजीब सा लग रहा है देखने में तो इसी चीज को हमें देखना है इसी चीज को तो हमें समझना है कि अगर मैं इसको कलक t x को t बोल दूं क्योंकि हमें पता है t x को ही t बोलेंगे क्योंकि रूट इसके ऊपर लगा हुआ है मैं कैसे सोच पा रहा हूं मुझे हमेशा दिख रहा है कि मुझे fgx800c sec2 x dx2 ठीक है कॉम्पोनेंट चुनना एक पूरी आर्ट है अपने आप में कि कैसे तुम कॉम्पोनेंट को चुनते हो ठीक है लेकिन वो हम तुम्हें सिखाएंगे अच्छे से तो t x को अगर t बोल दिया सो इट इज लाइक √ t है ना भा ये चीज तो हमें क्लियर हो गई पर ये क्या चीज दे रखी है सबको पता है 1+ t स् x एक्चुअल में से स् x होता है तो sec1 x dx2 x क्या हो जाएगा dt2 दैट इट इसका आंसर कितना हो जाएगा तुम जब इसको निकालो तो आ जाएगा 2/3 t की पावर 3/2 प् c सही है सो आंसर ड बी 2/3 t x की पावर 3/2 प् सी ओके एथ क्वेश्चन है से की पावर 4x बा √ 10x ठीक है तो हमें फिर से पता है कि t x को t ले लेंगे ठीक है तो से स् x से की पावर 4 है तो एक से स् x को तो मैंने एज इट इज रन दिया क्या बच गया से स् x d एक वो क्या बन जाएगा dt1 x बच गया उसको मुझे t के टर्म्स में करना पड़ेगा वरना क्वेश्चन सॉल्व नहीं होने वाला राइट तो ये बन जाएगा 1 प् t स् x यानी कि 1 प् t स् राइट ये चीज क्या बन गई ये बन गई 1 अप √ t यानी कि t की पावर - 1/2 और ये बन गया t की पावर 3/2 एंड इसको हमें इंटीग्रेट करना है ठीक है सो दिस इज लाइक मैं करा चुका हूं प्रीवियस वीडियो में इसका आंसर आ जाएगा बेसिकली जो फॉर्म बच गई उसको t के टर्म्स में कन्वर्ट कर देना है दैट्ची है अब खा है cos-x / sinx-cosx d एक = d है ना अगर तुमने ये सोच के किया तो अब क्या होगा मुझे d के साथ में चाहिए पर मेरे को पास d के साथ में थ d के डिफरेंस में सा है तो ये अप्रोच वर्क नहीं करी ठीक है तो ठीक है हम समझ गए हमने बोला सा बोलते हटा अगर मैंने को t बोला तो d = d क्या मेरे पास d साइड में क है हा है हा है ये क्या बन गया क की पावर 8xxx डिवा बा x यही तो बन गया और क की पावर 8 को मैं सा में कन्वर्ट कर लूंगा क की पावर 8 क्या होगा वन देखो मैं अभी बताता हूं कैसे क स् x जो होता है वो होता है 1 - सा स् x ठीक है यानी कि 1 - t स् तो क की पावर 8x क्या हो जाएगा इसकी पावर 4 है ना तो 1 - t स् की पावर 4 सो दैट इज हाउ यू डू इट ठी है ये क्वेश्चन इस टाइप ला इस टाइप की चीजें होंगी इंटीग्रेशन के अंदर अभी तो तुम बस सीखो अभी तुम ये मत बोलो मैं कैसे करूंगा मैं कैसे करूंगा वो तुम सोच लोगे ठीक है पूरा सिखाया जाएगा ट्स नॉट योर प्रॉब्लम ठीक है ट्स मा प्रॉब्लम वो मैं देखूंगा कि मैं मुझे तुम्हें कैसे सिखाना है और वो मैंने कर लिया प्रॉब्लम सॉल्व तो sinx-cosx a + b की पा 4 करोगे बानो मियल से कर लेना तो इसको एक्सपेंड करोगे तो ये आएगा 1 - 4t स् + 6t ^ 4 - 4t की पा 6 + t ^ 8 डिवाइड बा t ठीक है दैट्ची ग्रेशन अलग कर लिया फिर 4 और t स् / t स् यानी कि 1 तो सिंपल वन का इंटीग्रेशन फिर प्लस में शायद कई लोगों को समझ में नहीं आ रहा होगा मैं क्या कर रहा हूं ठीक है तो मैं उनके लिए समझा दे रहा हूं ये बन गया 1 बा t माइन 4t प् 6t क माइन 4t की पावर 5 प् t की पावर 7 इस चीज को इंटीग्रेट करना है सो इंटीग्रेशन ऑफ 1 बाटी है ना अब मैं इसको अलग कर ले रहा हूं समझ में आ गया ना तो ऐसे य कर लेते हैं ठीक है अब थोड़ा दिमाग लगाओ / का इंटीग्रेशन क्या होगा लोन t लन मडल t तो लन मडल अब t किसको बोला है सा को तो डायली लिखते चलो ठीक है -4 t का इंटीग्रेशन t स् बा 2 यानी कि सा स् x बा 2 + 6 t क का इंटीग्रेशन t की पावर 4 तो सा की पावर 4x बा 4 - 4s की पावर 6x बा 6 प् सा की पा 8x बा 8+ c दैट इज द आंसर ठीक है तो इस टाइप के कॉम्प्लिकेटेड क्वेश्चन भी आएंगे और ये तो कॉम्प्लिकेटेड है भी नहीं ठीक है इससे भी बहुत भयंगरिया बहुत कुछ है इंटीग्रेशन में तो मतलब मजा ही आ ता है किसी को मजा आता है किसी की जान निकलती है ठीक है पर तुम टेंशन मत तुम्हें मजा ही आएंगे ठीक है वो हमें पता है कैसे कराने वाले हैं अभी के लिए तो तुम बस मेथड को समझो ठीक है अब जैसे ये है ये मुझे दिख रहा है अब इसमें मैं क्या देखूं इसमें मैं ये देख पा रहा हूं कि अगर मैं इसको t मानू थोड़ी देर के लिए ें कैसे स्ट्राइक करेगा उस चक्कर में मत पढ़ो अभी तुम बस देखो इसको मैंने t बोल दिया अब नेक्स्ट स्टेप क्या है डिफरेंशिया 2x प् 5 ठीक है और साथ में अपना ट्रिक भी कर दू अब 2x + 5dx क्या तुम्हें ये दिख रहा है हां जी ये दिख रहा है ये रहा ये रहा 2x + 5dx सो बस क्वेश्चन सॉल्व हो गया ये dtc1500 इसका आंसर आएगा लॉग के अंदर मड f + c ये तो डायरेक्टली याद कर लो इतनी सिंपल सी बात है याद करने वाली क्या बात है यार डायरेक्टली लॉजिकल चीज है राइट सो बस कैसे अगर इसका प्रूफ देखना चाहो तो कॉमन सेंस है fxxx.pro ठीक है अच्छा इसको अगर मैं उस g एक वाली फॉर्म में करूं जो हमारा जो जनरल फॉर्म होता है fxxx.pro f ' x दे रखा है ठीक है 1 / fxxx.pro फिर हर चीज को उसी में घुमा के डाल देते हैं और क्वेश्चन सॉल्व हो जाता है जैसे ये क्वेश्चन है ठीक है इसमें किसी चीज को t मानना है किसको मानना है t x को मानना होता है हम पूरे को मान रहे हैं 3 + t x को हम t मान रहे हैं हम पूरे को क्यों मान रहे हैं वो तुम्हें बाद में समझ में आ जाएगा ज प्रॉब्लम सॉल्विंग में आओगे अब हम दोनों तरफ डिफरेंशिएबल भैया ऊपर तो dt6 t तो आंसर कितना आ गया लॉग मॉडल t यानी कि 3 प् t x ठीक है अच्छा इसको ना तुम डायरेक्टली करते तो मेरे को ज्यादा खुशी मिलती अगर तुम इस चीज को डायरेक्टली करते तो ज्यादा अच्छा लगता कि हम डायरेक्टली ऐसे बोलते कि ये क्या लिखा हुआ है ये f लिखा हुआ है और ये उसका f ड लिखा हुआ है तो f ड अप f आंसर कितना हो गया लॉग मडल f खत्म बात ठीक है पर ये चीज चलो कोई बात नहीं है ये हम प्रॉब्लम सॉल्विंग में जब इतना करते रहोगे करते रहोगे तो समझ में आ जाएगा जैसे ये है ये देखने में थोड़ा खतरनाक लगता है कि 1 अप x l x ये क्या चीज है थोड़ा सा दिमाग लगा के देखो समझ में आएगा ये एक्चुअल में ऐसे दे रखा है कि 1 अप l x है ठीक है 1 अपल x है एंड 1 अप x है देखने वाला ऐसे समझेगा इसको कि ऊपर तो / लिखा हुआ है और नीचे लग x है तो अगर लग x दे रखा है तो ये ऊपर क्या दे रखा है अगर लग x को मैं f मान लू तो ऊपर तो f ड ही दे रखा है ना तो इसका आंसर क्या हो जाएगा लग मडल f भा f अप f का आंसर तो यही होता है इस बार जो f है वो खुद में हील x है तो ये इसका आंसर हो गया अगर ऐसे समझ नहीं आया तो t मान के कर लो t में मैंने क्या बोला कि लॉग x को t कर दो दैट इज / x d एक क्या बन गया d सो बस क्वेश्चन सॉल्व भैया 1 अप x l x d एक ये दे रखा है ठीक है तो / x d एक इसी को तो हमने क्या बोल दिया है d तो ये बन गया सो दैट वाज इट तो ये मैंने 13 एग्जांपल्स तुम्हें करा दिए हैं इन 13 एग्जांपल से तुम्हें काफी हद तक शायद ये क्लियर हो गया होगा कि सब्सीट्यूशन मेथड एक्चुअली अप्लाई कैसे करना होता है एक कॉम्पोनेंट है उसको t मानना होता है फिर दोनों तरफ डिफरेंशिया उसकी जगह पूरे को dt1 कर दो और जो बच गया पूरा पूरा उसको t के टर्म्स में कर कर दो और फिर इंटीग्रेट कर दो दैट्ची टेक्नीक खत्म हो जाती है टेक्नीक खत्म हो गई पर इसी में ही आगे रख कुछ और भी चीजें होती हैं एंड दैट इज कॉल्ड रिवर्स सब्सीट्यूशन ठीक है एक और चीज बोलते हैं उसको बोलते हैं ट्रिगोनोमेट्रिक सब्सीट्यूशन वो एक्चुअल में इसी का ही पार्ट है ठीक है लेकिन ये कोई समझाता नहीं है तो आई होप सो तुमको सब्सीट्यूशन क्लियर हो गया है ठीक है अब हम लोग देखते हैं रिवर्स सब्सीट्यूशन ठीक है तो ये क्या होता है बेसिकली अ मान लो तो मैंने दे रखा है इंटीग्रेशन में fxxx.pro क्या बन गई ये बन गया फंक्शन के अंदर क्या आ गया gtt20 इंटीग्रेशन f + c अब तुम कहोगे सर ये करना ही का को है जब आपको ऑलरेडी दिख रहा है कि fxxx.pro [संगीत] करना क्या है इसके अंदर ठीक है तो मैंने इसके इस तरह के क्वेश्चन के अंदर मैंने बोला कि भाई x को x को तुम बोल दो a tan1 स्क्वा रूट के अंदर अ a स् tan2 थीटा राइट सही कह रहा हूं t स् थीटा + a स् राइट और अगर आप समझ पा रहे हो तो ये बन गया अ a स् tan2 थ + 1 दैट इज से स् थीटा राइट व्हिच बिकम अगर आप देखेंगे तो ये बन जाएगा a थीटा ठीक है a से थीटा मॉडल मैंने हटा दिया उसका रीजन ये होता है कि इनफिट इंटीग्रेशन के अंदर वी डोंट केयर अबाउट द साइ ऑफ थिंग्स क्यों नहीं केयर करते उसका रीजन है जैसे अगर यहीं पर लिखा हुआ होता कि दो से पाच तक ठीक है या पाई से 2 पाई तक तो फिर तो मैं मडल लगाता जैसे डेफिनेट इंटीग्रेशन अगर होता तो वहां पर तो मैं चेक कर सकता हूं ना हा दो से पाच में इसकी क्या हरकत होगी अगर माइनस होती तो माइनस निकल जाता बस कुछ नहीं होता माइनस बाहर आ जाता ठीक है सो आप समझ गए अगर यहां पर लिमिट होती तो हम कर लेते ठीक है अभी तो हम बस उसकी फॉर्म से मतलब है कि अलजेब्रिक ट्रिगोनोमेट्रिक क्या चीज चल रही है ठीक है उसको गलत मत समझिए ठीक है अब यहां पर एक दिक्कत क्या हो गई क्या बेवकूफी करी मैंने यहां पर हां सर आपने dx1 थीटा है तो तुम्हारा जो जो ये है इसके अंदर भी तो आपको x की जगह प क्या डालना पड़ेगा a t थीटा ठीक है तो यहां पर भी a t थीटा पड़ेगा या इसको आप यहीं पे कर सकते हो आप बोल सकते हो कि इसको डिफरेंशिएबल कर दो और उसके बगल वाला एज इट लगा दो ये मैंने काहे को किया ये मैंने क्यों किया ये ट्रिक नहीं है देखो आप सीधी सी बात समझो ना इतना तो समझ में आ गया कि जब x = d तुमने इसके अंदर डाला तो ये बन जाएगा बिल्कुल सही बात है और यह बात हम पहले ही प्रूफ कर चुके हैं ये बात हमने पहले ही प्रूफ कर ली थी कहां गया अबे कहां चला गया ये कि ये वाली चीज जो होती है ये इसके बराबर होती है एंड वाई स वर्ष ठीक है कि fgx800c dx-data-grid ये बन जाती है अब इतना हम पापड़ ना बेल के हम डायरेक्टली ये काम कर देते हैं हम क्या बोल देते हैं x को a t थीटा ले लो दोनों तरफ डिफरेंशिएबल जाएगा dx1 थीटा d थीटा ठीक है ना बेटा तो यहां क्या लिखा हुआ था बेटा यहां क्या लिखा हुआ था यहां पे dx2 की जगह पे ये लिख दो तो हम पहली बार से हम ये चीज लिख के रखते हैं a से स् थीटा d थीटा ये हम लिख के रखते हैं पहले से ठीक है तो ऐसा नहीं है कि कोई ये बहुत बड़ी बातें हो रही है ठीक है तो अब ये क्या बन गया ये बन गया a स् थीटा ऊपर और डिनॉमिनेटर में भी क्या बन गया था यही बन गया था a थीटा d थीटा a और a कट गया से थीटा से ये कट गया तो ओवरऑल आपको इंटीग्रेट करना है से थीटा को दैट्ची है अब सर ये तो हम पहले से आता है मैंने कहा बोलो क्या इसका आंसर होता है सर इसका आंसर होता है लॉन से थीटा + tan0 आंसर क्या हुआ भाई से थीटा tan3a क्या मैंने कहा तुम्हें एक चीज पता है बोलो क्या सर यहां से मुझे एक बात बताए कि अगर मैं ट्रायंगल बना दूं अगर मैं ट्रायंगल बना दूं और यह थीटा है तो ये x होगा और यह a होगा सिर्फ तभी आपका जो tan3a है वो x / a आएगा मतलब की कि j भाई साहब क्या हो गए ये हो गया रूट के अंदर x स् + a स् राइट तो tan3a तो अभी भी x / a ही होगा राइट तो ये बन गया लन लन tan3 की जगह लि x / a प्लस में से थीटा की जगह पे क्या लिखा हुआ है से थीटा की जगह पे लिखा हुआ है से थीटा क्या होता है देखो क थीटा क्या होता है a अपन दिस तो ये बन जाएगा स्क्वा √ x स् + a स् डिड बा a + c दैट मेक्स इट लॉन के अंदर मडल x प् प स् रट एक्स स् प् ए स् प् स सय क्या बवास है आपने ए क लिख दिया मैंने लिख दिया लिख दिया व तो मैंने कैसे ख दिखाता ह यह बन जाएगा माइनस लन ए प् स मस में अरे भाई डिवाइड बा करेगा फ तुम्ह याद आ अरे लग के अंदर तो माइनस में हो जाता है अब ये पूरी चीज क्या है ये ले क्या लिखा हुस कांस्टेंट लिखा हुआ है राट बस वही चीज मैंने कर दिया य पर वही चीज मैंने कर दी ठीक है लिख दि य प्लस कांस्टेंट हैट्स इट ठीक है सो अब यह इसका फायदा होता है यह जो हमने किया इसको बोलते हैं रिवर्स सब्सीट्यूशन तो हाईली हाईली इंपोर्टेंट होता है और इसका ज्यादातर जो काम आता है व इ इसी टाइप के क्वेश्चन में आता है जहां पे स्क्वायर रूट होता है कई बार आपको ऐसा होगा कि आपको स्क्वा रूट x दे रखा होगा और मैं बोलूंगा कि x को t स् बोल दे भाई ठीक है उस चक्कर में ये भाई साहब आपके t के बराबर हो जाएंगे तो बड़ा फायदा मिलता है ऐसा करने से ठीक है परपस समझ में आ रहा है पॉइंट समझ में आ रहा है तो बहुत बढ़िया रहेगा ठीक है इनफैक्ट जो मैंने यहां पे किया है ये बड़ी काम की चीज़ है ठीक है ये आपको याद भी रखनी है इनफैक्ट ये दुर्घटना वाली बात है फॉर एग्जांपल अगर आपको दूसरा दे दूं कि 1 / स् √ x स् - a स् ठीक है और ये जो मैंने ऊपर किया इसी को हम बोलते है ट्रिगोनोमेट्रिक सब्सीट्यूशन ठीक है तो वहा पर ये सब बताया जाता है बहुत ही बेसिक सी बात है आपको यही बता देता हूं कि x स् प् स् अगर आपको कभी दिख जाए ठीक हैय आपको दिख जाए x स् माइ स् रूट के अंदर ठीक अब ये सारी बातें आपको समझ में आनी चाहिए और या फिर आपको दिख जाए a स् मा एक का स् समझो इस बात को अगर x स् प् स् है तो एक को a थीटा ले लेना है ना इसने बोला है ना कि x को कोई फंक्शन पुट कर लेना है तुम तो जो फंक्शन पुट करना है वैसे कसे डिसाइड करोगे तो वो ऐसे डिसाइड करेंगे ठीक है हम तुम्हें बता रहे हैं यहां पे है ना चीट कोड ठीक है कि अगर ऐसा हो जाए तो ये कर लेना अगर ऐसा हो जाए तो ये कर लेना वो वही वाली बकवास र ट दो तो वाली ठीक है बट वही है कि पेपर की नियत ही ऐसी है तो करना पड़ रहा है a t थीटा डाल दोगे तो भैया क्या इसमें हो जाएगा अगर a t थ तुमने डाल दिया तो ऊपर जैसा बन गया ना तो जैसे ये जो लिखी हुई है चीज मान लेते हैं इसको बोलते हैं y इक्व दिस तो अब तुम्हारा जो y है वो क्या बन जाएगा क्या बन जाएगा a t थीटा डालने के बाद वो बन जाएगा आपका देखो a स् t स् थीटा यानी कि ये पूरी चीज कन्वर्ट हो जाएगी a से थीटा में अभी प्यारा सा बन गया अ ये लिखा हुआ था √ x स् + y स् सबका मूड खराब कर रहा था ठीक है अब जैसे ये लिखा हुआ है यहां पे हमें क्या डालना चाहिए जब भी प्लस हो जाए तो तो tan3 डाल दो या फिर cot3a डाल दो क्योंकि दोनों के केसेस में क्या होता है से स् - tan2 = 1 है ना और इसमें क्या होता है cc-1 = 1+ tan2 और इधर से भी क्या आ जाता है cc1 + तो आपका आता a cc3 ठीक है दोनों में ही बिलकुल ही अब अगर आपको माइनस दिख रहा है x स् - a स् यहां पे तो सिर्फ एक ही प्रॉपर्टी है सा स् + क स् थीटा = 1 तो या तो ये डाल दो को स् = 1 - सा स् ठीक है या फिर क्या डाल दो सा स् = 1 - क स् यही कुछ चल सकता है और तो कुछ चल नहीं सकता ठीक है तो हमें यहां पे क्या दिख रहा है हमें यहां दिख रहा है x स् - a स् अब यहां तुम फिर बसो ये दूसरी चीज है ठीक है यहां मैं इसकी बात कर रहा हूं ठी है मैं इसकी बात कर रहा था y = a स् - x स् तो यहां पर पर आप क्या करो x की जगह पे आप क्या डाल सकते हो a थीटा डाल दिया मान लो आपने अगर आपने ये डाल दिया तो तुम खुद देखो क्या बन जाएगा a स् कॉमन आएगा 1 - सा स् थीटा बनेगा क्या हो जाता है क स् थीटा यानी कि ओवरऑल ये पूरी चीज a क थीटा में कन्वर्ट हो गई अगर तुम a क थीटा डाल देते x की जगह पे तो y क्या बन जाता a सा थीटा बन जाता ठीक है सिमिलरली यहां पे अगर आप देखोगे तो यहां पे x स् - a स् है इट इज सम वट लाइक दिस से स् - 1 = tan2 तो तुम्हें यहां पे क्या डालना चाहिए से स् डालना चाहिए तो अगर तुमने डाल दिया यहां पे a से थीटा तो ये क्या बन जाएगा ये बन जाएगा a स् कॉमन ये बन जाएगा से थीटा - 1 व्च इज t स्क्वा थीटा हेंस आपका आंसर आ जाएगा y a tan3 एंड द करेस्पॉन्डिंग्ली बेसिक बातें होती है जो आपको समझ में आनी ही चाहिए इसमें तो कोई डाउट ही नहीं होना चाहिए इसके अलावा भी बहुत सारी है इसके अलावा भी बहुत सारी होती है ठीक है सो अ आई होप सो दैट मेक्स सेंस तो एक मिनट हम अभी और लेस्ट डाउन कर देंगे दैट नॉट द मेन पॉइंट अगर अभी आप आप अभी कर देंगे पहले जरा एक बार एक बार हम इस टॉपिक को कवर कर ले तो जैसे आपको रखा है 1 / स् √ x - a स् जैसे आपने ये देखा आप समझ गए कोई भी इसमें से डाल देना चाहिए तो आपने डाल दिया x = a थीटा ठीक है अब हाथ के तो वो भी करके रख लो तो dx3 का डिफरेंशिएबल ना मत भूलिए ठीक है तो ये क्या बन गया सर ये बन गया 1 अपन में जब आपने a से थीटा डाला तो ये बन जाएगा a tan3 tan3 d थीटा ठीक है तो a और tan3a कट गया सिंपल फिर से वही क्या आ गया इंटीग्रेशन से थीटा d थीटा ठीक है एंड दैट इज अगेन लॉग के अंदर से थीटा + tan1 थीटा अबकी बार तुमने से थीटा को बो लिया तो x / a आ जाएगा और tan3a क्या आएगा लो करके देख लो फिर से फटाक से ये x है ये a है तो ये क्या होगा ये होगा x स् - a स् ठीक है तो tan3a किसके बराबर हो गया इसके बराबर हो गया x स् - a स् / a + c समझने वाले समझ गए कि इसका आंसर क्या आ गया ल x + स् रूट के अंदर x स् - a स् + c एंड ये आपको याद भी रखना पड़ेगा ठीक है दुर्भाग्यवश अभी बता दूंगा वो चीज़ बट अब समझ गए कि हां ये सर समझ में आ रही है बात है ना ये तो बात हमें समझ में आ रही है ठीक है इसमें और भी होते हैं इसमें समथिंग लाक ये सब भी होता है इसमें अगर आपको कभी ऐसा दिख जाए कि स्क्वायर रूट के अंदर a प् एक् माइन म a प् एक अप a- x तो इसके अंदर आप क्या डाल सकते हैं तो आप सोच के देखिए इसमें आप क्या डाल सकते हैं भ अगर मैंने इसमें डाल दिया सोच के देख अगर मैं इसमें डाल दिया a cos2 थीटा तो ए सर कॉमन आ जाएगा और अंदर क्या बच जाएगा 1 प् क2 थीटा एंड दिस इज समथिंग विच वी नो दिस इ इक्व 2 थीटा एंड नीचे अगर तुमने माइनस वाला डाल दिया तो नीचे बन जाएगा 2s स् थीटा ये तो बढ़िया बढ़िया चीज हो गई ठीक है और अगर ऐसा हो गया तो स्क्वायर रूट के अंदर भाई साहब कमाल हो गया है ना क्योंकि आपने जब ऐसा किया तो a और a था और टू और टू था वो सब तो कट गया ये ओवरऑल बात क्या खुल गई ये बात खुल गई कोट थीटा के बराबर ठीक है तो आपका जो y है वो सिंपल प्यारा सा कोट थीटा बन जाएगा ठीक है आप कुछ और भी डाल सकते हो अ बेसिकली आप गेम समझ रहे हो कि हां चीजें तो करी जा सकती है ठीक है इस तरीके से सब्सीट्यूट करना होगा कि चीजें सिंपलीफाई हो जाए ऐसा ना कर दे कि बहुत ही टफ हो जाए चीज ठीक है तो अब बाकी हम क्वेश्च में देखेंगे बाकी हम क्वेश्च देख लेंगे इसी को बोलते नोमेटिक सब्सीट्यूशन ठीक है आई होप आपको ये टॉपिक भी समझ में आ गया होगा ठीक है तो सब्सीट्यूशन आई होप क्लियर है ठीक है अच्छा इसमें एक और छोटी सी चीज है सब्सीट्यूशन के अंदर जो होती है एंड आई होप सो क्लियर हो जाएगी फॉर एपल अगर बोल द e की पावर 3x प् 5 बो इसको इंटीग्रेट करो आई वंडर हाउ विल यू डू दिस तो तुम कहोगे सर आपने e ^ x की जगह पे e ^ 3x + 5 कर दिया तो आपने कुछ डाल तो दिया है अंदर बट आपने उसका डिफरेंशिएबल तो रखा है ध्यान से देख तुम कहोगे सर कहां लिखा है इसका डिफरेंशिएबल ले थ्री क्या तू तना मारा जा रहा है हां भाई 3 यहां लगा ले ले 1/3 करके 3 लगा दिया यहां पे तो ये बन गया 3e ^ 3x + 5 अब तो ठीक है और इसको तो तू डायरेक्टली करेगा ना तो सीधे बोलोगे नाना e ^ 3x + 5 / 3 + c मतलब सर इससे थोड़ा आईडिया कम हुआ मैंने कहा कोई बात नहीं डरने की बात नहीं है जब हम साथ में है तो क्या दिक्कत है भाई सा डायरेक्टली करता हूं a एक प् बी ठीक है अब मैं बोलता इसको इंटीग्रेट करना है d में ठीक है बेसिकली अगर आपने किसी फंक्शन के अंदर लीनियर घ सेट दिया अब लीनियर का डिफरेंस होता ही इतना सिंपल सा है तो अगर आपको ऐसे दे रखा है तो आपने क्या करा आपने कुछ नहीं किया आपने बोल दिया बा लगा लो है ना और यहां पर लगा लो a तो सा प् 5 प् बी ठीक है तो ये पूरी चीज क्या बन गया ये बन गया a एक + b दैट्ची हो चुका है अब ये 1 बा एक्स्ट्रा था तो वो आपको यहां लगाना पड़ेगा एंड प् c दैट इज योर आंसर मतलब सीधी बात में अगर आपको कभी ऐसा देखा था कि fxxx.pro आएगा ए एक और यहां प क्या आएगा d ठीक है अब यहां प हमें जबरदस्ती है ना हमें जबरदस्ती ए बनाना पड़ेगा तो हमने a यहां कर दिया और डिवाइड बा a कर दिया भा ए बना दिया ना ठीक है अब ये क्या बन गया ये बन गया इंटीग्रेशन में f d ठीक है और बा बाहर चला गया तो आंसर क्या आ गया हमें ये पहले से पता है इसका आंसर क्या आएगा इसका आंसर आएगा f प् स ब ये बा की वजह से यहां पे ये भी आएगा और फिर t की जगह प आप क्या लिख दोगे आप ये लिख दोगे f+ b डि बा a+ तो अगर मैंने आपसे बोल दिया की से स्क 3x माइ 5 का इंटीग्रेशन क्या होता है बताइए क्या होता है झे से स् का पता है से स् का इंटीग्रेशन न होता हैने एकली तो आसर क्या आ जाएगा 3x 5 प् बस जो एक का कोट है उससे डिवाइड कर देना ट ठीक है मुझे और एपल देने की आ हो जरूरत नहीं पड़ेगी ठीक है य बहुत ही बेसिक स बात अब आगे बढ़ते ड़ी को मजा आएगा हां जी तो जो अब हमें काम करना है वो थोड़ा सा खौफनाक है ठीक है अभी तक जो हमने किया वो खौफनाक नहीं कहूंगा उसको मैं ठीक है पर अब जो हम करने वाले हैं ट इ काइंड ऑफ खौफनाक तो मैं खौफनाक पंती थोड़ी कम करने की कोशिश करूंगा आपके साथ ठीक है हम पूरी तरह से समझ पाते हैं आपकी भावनाओं को ठीक है तो इससे बात शुरू करते हैं इसको हटाते हैं य से टो बेटा निकलो ठीक है ये देखो अब जैसे यहां लिखा हुआ था ठीक है तो यहीं से मैं तुमसे एक बात पूछता हूं कि यहां तो लिखा हु चलो स्क्वायर रूट के अंदर 1 माइ x का स् और तुमने बोल दिया यहां प आ जाएगा सा इव x प् c ठीक है बढ़िया अगर इस जह यहां लिखा हुआ होता इंटीग्रेशन ऑफ मान लो 9 मा x स् अब क्या तुम आंसर देते हैं बिल्कुल सिमिलर सा ही है बस वन की जगह प यहां प कोई नंबर आ गया यहां फ भी हो सकता था कुछ भी हो सकता था सो व्हाट इज द वे व्हाट ड यू थिंक देखो इसको हमें ऐसे सोचना होगा कि यार मे बी सा इवर्स के अंदर ही कुछ छेड़खानी करने की जरूरत है तो हमने थोड़ा सोचा हमने बोला कि अगर सान इवर्स दे रखा है और उसम मैं बोल दू x बा 3 और अगर मैं बोलू इसको तुम्हें डिफरेंशिएबल जाए इसको डिफरेंशियल स्क्वायर राइट और फिर फिर क्या और क्या आएगा फिर x बा 3 का डिफरेंशियली चीज क्या बन जाएगी ये बन जाएगा आपके सामने 3 का स्क्वा - x का स् और जो एक और थ है उसका जो स्क्वायर का रूट करके वो ऊपर चला जाएगा मेकिंग इट थ्री और यहां पे क्या लगा हुआ है 1/3 ठीक है तो ये और थ्री ये वाला थ्री कट जाएगा समझ रहे हो ठीक है एंड जरा ध्यान से देखना ये क्या बन गया देखो ध्यान से क्या बन गया ये बन गया 1 अप में स् √ 9 स् - x का स् यानी यहां पे आपका आंसर आ गया x अप 3 + c दैट इज योर आंसर एंड यहीं से आपने पैटर्न भी फॉर्म कर लिया यहीं से आपने पैटर्न भी फॉर्म कर लिया क्या भैया सर पैटर्न हमारा बहुत सिंपल सा है एंड दैट इज दिस कि अगर a स् - x का स् आपको दे रखा है तो आपका आंसर डायरेक्ट आ जाएगा सा इवर्स x बाय मड a प् c तो सर ये मॉडल कहां से आपने घुसे दिया बीच में मैंने कहा याद कर जरा रिवर्स करो कहानी को स्क्वायर रूट के अंदर 1 - x बा 3 का स्क्वा था तो स्क्वायर रूट के अंदर यहां पर 3 स्क्वा लिखा हुआ होगा जो कि तुमने थ लिख दिया बट हर बार तुम्हें पता नहीं होगा ना कि कांस्टेंट क्या है तो अगर तुमने नेगेटिव ले लिया पॉजिटिव ले तो दिक्कत हो जाएगी ना उसमें तो अगर तुमने ये कर रखा है तो आंसर क्या आएगा मडल ए आएगा इसलिए आप ऐसा करेंगे वना आप x बा ए करके भी कर सकते हो ज्यादातर केसेस में ए पॉजिटिव ही हम लाइक ले रहे होते हैं बाया डिफॉल्ट ठीक तो ये वाली बात आपको समझ में आ रही है अब हम इससे मोटिवेट हुए फिर हमने सोचा जरा इधर भी करके देख लेते हैं तो अगर हमें दे रखा है इंटीग्रेशन में मान लो फ अच्छा एक मिनट पहले मैं ये करके और दिखा द मा ये दे रखा है 5 स् कई लोगों को ये दिमाग में चढ़ जाता है कि यहां प a स्क ही होना चाहिए अब मैंने यहां लिख दिया 1 अप रूट के अंदर 5 माइ स् भैया तुम इसको भी तो कंसीडर कर सकते हो ना तुम इसको ऐसे ले लो ऐसे लिख x अप √5 प् c लो 5 का मैंने रट 5 बना दिया मैं तो जब भी चाह इसको होल स्क्वा बना ही सकता हूं ठीक है तो आई होप सो इसमें कोई दिक्कत नहीं है अगर यह समझ में आ गया तो अब जरा यह भी समझ में आ जाएगा इसमें कौन सी कोई बड़ी बहुत बड़ी बात है तो अगर मैं आपके सामने लिख देता हूं 1 / a स् + x स् यहां तो लिखो हु 1 / 1 + x स् बट अगर मैं ये लिख देता हूं तो मैंने फिर से वही दिमाग लगाया मैंने बोला एक बार करके देखते हैं tan-1 x / a करके देखते हैं ठीक है अगर मैं इसको डिफरेंशिएबल बी 1 / a ये लिखा हुआ है सर अब यहां पे वह बात नहीं बन पाएगी जो आप सोच रहे हो ठीक है बिकॉज़ यहां पे क्या होने वाला है यह ऐसा बन जाएगा यह बन जाएगा 1 / a प् x का स्क्वा और a स्क जब ऊपर आएगा और यहां 1 बा ए बनाएगा तो ये और ये कट जाएगा ठीक है तो यहां पे क्या बन जाएगा यहां पे बन जाएगा a ठीक है बट हमें ए नहीं चाहिए सा हमें तो सर वन चाहिए यहां पर अगर तुम्हें वन चाहिए तो इस ए को तुम्हें हटाना पड़ेगा और ए कैसे हटेगा यहां पर यहां पे ए से डिवाइड करके हेंस इसका आंसर क्या आएगा इसका आंसर आएगा न इवर्स x बा ए और आपको / ए करना पड़ेगा ठीक है ये इसका आंसर आएगा ठीक है तो अगर मैं तुम्हारे सामने एकदम से लिख देता हूं कि बताओ 1 अपन में मान लो 7+ x स् का इंटीग्रेशन ठीक है बताइए क्या होगा इसका आंसर तो अब सीधे लिखेंगे इसका आंसर होगा t इवर्स बोलो x अप 7 एंड 1/7 ् c बोलो सही किया तुमने a स् था तो यहां पे क्या आएगा √7 आएगा √7 ठीक है अब ज्यादातर केसेस में हम ये सब चीजें भूल जाते हैं तो उसका सबसे बढ़िया तरीका यही होता है कि इसको ऐसे मान जसे व लिखा हुआ है तो 1 अप में 1+ x स् उससे एकदम से याद आ रथा कि अच्छा t इवर्स तो आ गया और फिर याद करना होगा कि t इवर्स के केस में बाहर भी आता था है ना बाहर भी आता है और अंदर तो आता ही है ठीक है लेकिन जो सा इवर्स का केस है सा इवर्स के केस में ऐसा नहीं होगा ठीक है सा इवर्स के केस में बस x अप a आएगा 1 अप a नहीं आएगा ठीक है तो अ ये इसमें आपको याद रखना पड़ेगा इसका लॉजिक आपको समझ में आ रहा है ना क्योंकि यहां पे स्क्वायर रूट था ठीक है 1 अप - x स् के केस में स्क्वायर रूट था तो पूरा a और a कट जा रहा था यहां पे क्योंकि स्क्वायर रूट नहीं है t इवर्स केस में आपको याद करना होगा हां स्क्वायर रूट तो होता नहीं है तो ऊपर a स् पहुंच गया ठीक है इस वजह से वो नहीं हो पाएगा ठीक है तो अगर आपको ये बातें समझ में आ गई है तो आई गेस नाउ यू आर रेडी फॉर द बिग हंटिंग मस्टर्स मनस्टर इनफैक्ट नाइन बिग फॉर्मूले ठीक है तो ये सबसे ज्यादा डेंजरस लगते हैं बच्चों को ठीक है तो तैयार हो जाइए इनके लिए ठीक है और इसी के साथ आपका जो इंटीग्रेशन है उसकी पूरी जो थ्योरी है वो कंप्लीट में पड़ जाएगी है ना इनफिट इंटीग्रेशन की ठीक है तो सबसे पहला ठीक है मैं इसको एक स्टाइल में ही करता हूं ठीक एक ब मैं अपना लिख देता हूं पहले हां जी सो दज आर द नाइन बिग फॉर्मूले ठीक है अब देखो इसको तो हमने कर लिया ठीक है अब मानो तुम इसको भूल जाओ एकदम से तुम पहले देखो कि लिखो 1 अप x स् + 1 तो एकदम से दिमाग में आ अरे सर ये तो t इवर्स वाला है ठीक है तो t इवर्स x / a और फिर 1 / a भी बाहर आएगा सर ठीक है प् c ये तो हमारा हो गया खत्म अच्छा अब ये हमने अभी तक करे नहीं है इसको हम देख लेंगे इसको हम देख लेंगे नीचे आओ नीचे पले तुम्हें सारे आते हैं ठीक है तुम्हें लग रहा है तुम्हे आते हैं ठीक है स्क्वायर रूट वाले तो तुम्हे सारे आते ये सेकंड वाली रो तुम्हे पूरी आती है ठीक है सर ये तो आता है मेरे को ये तो ऐसे लिख हुआ है 1 अपन में स्क्वा रूट के अंदर 1 - x स् जैसे ही तुमने इसको देखा 1 मा स् वाली फर्म तो तुम्हारे दिमाग में तुरंत क्या आ गया सा इवर्स x बा और फिर 1 बा लिखने ही वाले थे फिर याद आया अरे अरे यहां नहीं होता है ठीक है बस इतना छोड़ अब ये देखो ये ये क्या है 1 अप x स् प् स् या a स् प् स् क्या होगा लन x प्स यही ठीक है जो लिखा हुआ है वही यहां पर भी यही होगा लन x प् यही ठीक है ठीक है ये सब आपको याद रखने है इसलिए मैं इतना उससे लिख रहा हूं ठीक है टेंशन अभी म एकदम से पसीने में बताइए ठीक है कर सकते हैं आप कर सकते हैं नो अब सर ये और ये रह गया ठीक है तो इसको मैं एक करके दिखाता हूं आपको जैसे मानो मेरे को दे रखा है 1 अपन में x स् - a स् ठीक है तो इसमें हमने क्या चलाख करी हमने बोला कि ये तो ऐसे लिखा हुआ है x - a * x + a ठीक है और फिर हमने बोला ये वन लिखा हुआ है ये वन नहीं है ऐसे कैसे नहीं है वन देखो ना ये वन नहीं है ये ये लिखा हुआ है x + a x - a का माइनस समझ गए क्या किया मैंने ये अगर तुम देखोगे तो a और a कट गया a और a कट गया और a + 2 है यहां प मैंने 1 अप 2 और कर दिया ध्यान से देखो सब कुछ सेटल है इसको आप ऐसे लिख सकते हो ठीक है अब ये बन गया 1 अप 2a और इंटीग्रेशन देखो क्या बन गया ये बन गया 1 अप x-a - 1 अप x+ ठीक है समझने वाले समझ गए ठीक है जी अब ध्यान से देखना क्या होगा 1 2a को तो एज इट इज रहने दो ये बन गया इंटीग्रेशन ऑफ 1-x और ये ठीक है मतलब आपको पहले इसको इंटीग्रेट करना है और इसको इंटीग्रेट करना है अब ध्यान से समझना क्या हो रहा है अ x का इंटीग्रेशन तुम्हें आता है क्या होता है भैया वो सर वो होता है लन मॉड्यूस x + c ठीक है तो 1 अपन में अगर बोलूं कोई लीनियर इक्वेशन है 1 / ax1 - a अब x का आगे को एफिशिएंट ही कुछ नहीं है तो डिवाइड बाय वन करने की जरूरत भी नहीं है ठीक है फिर इधर क्या बन जाएगा सर इधर भी यही बन जाएगा ये बन जाएगा x + a का मॉड्यूस दैट्ची फदर इसको फदर लिख सकते हैं लोन के अंदर मॉड्यूस के अंदर x-a अप x+ ए प् c ट्स योर आंसर ठीक है अच्छा सर जो दूसरी क्वेन दे रखी है वो तो मजाक है क्योंकि दूसरी जो है ना वो ये दे रखी है 1 अप a स् माइ x का स् इसको देने की भी क्या जरूरत है ये तो सेम ही चीज है ये तो सेम ही चीज है ठीक है ये तो सेम ही चीज है अगर मैं 1 अप मतलब नेगेटिव कॉमन ले लो इसमें से ठीक है तो अगर एक माइनस घसे देगा यहां पर तो यही बन जाएगा ना भा एक बात सुनो अगर मैं बोलू ये वाली चीज है यहां पर से एक माइनस ऑ लगा दे तो ये बन जाएगा बोलो है ना माइनस कॉमन ले लेगा तो तो ये तो बिल्कुल तुमने एज इट इज ऐसे ही सॉल्व कर दिया बस इसके हर जगह पे तुमने माइनस वा लगा दिया बाहर की तरफ अब या तो तुम यही आंसर दे दो है ना कि इंटीग्रेशन ऑफ 1 अप a स् - x स् का आंसर ये होता है या फिर इसको तुम ऐसे भी घुमा के लिख सकते हो कि लन के अंदर हमने ऐसे घुमा के लिख दिया a + x / a - x + c लि ये भी इसका आंसर हो सकता है ठीक हैब माइनस को अंदर ले गए ना तो रिवर्स हो जाएगा भाई लन के अंदर अगर आपको दे रखा है m अप n और यहां माइनस है तो ये माइनस जब अंदर जाएगा तो इसका इवर्स कर देगा ठीक है दैट विड मेक इट n अप m ठीक है व वाली चीज है ठीक है तो इसी चीज को लोग रटवा हैं तुम्हें ठीक है लोग जो रटवा एंगे वो ऐसे ही रटवा एंगे तो मुझे तो ये वाला याद रहता है बिल्कुल बेसिक सी बात है 1 अप 2a बस ये लिख लो और फिर क्या आ जाएगा इसी का फैक्टराइजेशन ठीक है तो x - a अप x+ a + c और ये आप चाहो तो याद करो या ना करो बात एक ही है बस वना माइनस कॉमन ले लो ये बन जाता है अगर आपको फिर भी करना है तो कर सकते हो 1 अप 2a लोन के अंदर अब इसका फैक्टराइजेशन क्या होता है आइली a- x * a प् एक बट प्लस वाला ऊपर आता है a प् x अप a- एक ठीक है तो आई होप सो आपको यह बातें जो है समझ में आ रही है कु बत बहुत ज्यादा महान वाली बातें तो हम कर ही रहे हैं सच कोई ठीक है अब देखो ये जो नीचे वाले हैं इसको भी हम एक करते हैं उससे आपको समझ में आएगा मान लो मैं कोई भी एक पकड़ लेता हूं चलो ये वाला पकड़ लेते हैं तो हमें दे रखा है स्क्वा रूट के अंदर x स् प् a स् अब यार हवा भी नहीं लग रही इसको सॉल्व भी कैसे करूं ठीक है तो क्योंकि भी नहीं लग रही तो मैंने उसम ये वाली टेक्निक लगा दी हमारी जो बाय पार्ट वाली थी ना कि f नव मान लो राइट और उसम वन को इंटीग्रेट कर दो मैंने वन को इंटीग्रेट कर दिया ठीक मैंने मा लिया य लिखा वन को इंटीग्रेट कर दिया ठीक है और फिर एज इट इज ये लिख दिया x स् प् a स् और यहां प x स् प् स् इसके स्क्वा रूट को डिफरेंशिया तो इसका डिफरेंशिया तो और टू कट भी जाएगा फिर इसका डिफरेंशियल लगा के माइनस करना है ठीक है यही तो करते हो तो सर ये बन गया x इन ट x स् प् a स् का स्क्वा र ये तो बिल्कुल सेम टू सेम है माइनस में अब इसको समझना होगा है ना इसको समझना होगा तो माइनस में इंटीग्रेशन ऑफ ये बन जाएगा x इन एक ये हो गया x स् डिवाइड बाय स्क्वायर रूट के अंदर x स् प् a स् ठीक है अब और समझना जो नीचे है वो ऊपर बना लो जो नीचे है वो ऊपर बना लो तो ये बन जाएगा x स् प् a स् - a स् ठीक है कुछ नहीं किया बस a स् और माइ स् किया है ठीक है तो हां ठीक है सर तो ये क्या बन गया ये बन गया x स् प् a स् और यहां पे ये क्या बन गया ये बन गया आपके सामने स्क्वा रूट x स् प् a स् ठीक है और प्लस में a स्क बाहर आ जाएगा 1 अपन में स्क्वा रूट x स् प् b स् ध्यान से देखना यही बनेगा ठीक है अब फिर से देखो x में स्क्वा रूट x स् प् a स् यहां तक तो ठीक था अब ये जो चीज है सर ये तो कॉमेडी हो रही है मैंने क्या कॉमेडी है सर ये जो लिखा हुआ है और ये जो लिखा हुआ है ये तो सेम ही है तो इसको वापस से इधर ले जा तो ये बना देगा टू टाइम्स ऑफ इंटीग्रल में x स् + a स् dx2 और ये क्या चीज लिखी हुई है इंटीग्रेशन में 1 / x स् + a स् ये तो हमें आता है सर ये क्या होता है ये होता है लॉन के अंदर x + स् √ x स् + a स् + c दैट इट अब बस ये जो टू है इससे डिवाइड कर दो पूरी चीज को तो ये हो जाएगा x / 2 यहां जाएगा a स् / 2 एंड ट्स योर आंसर ट्स इट तुम बो सर यह तो बहुत ही ज्यादा भयानक है ठीक है तो इसको याद करने के लिए छोटा सा हमारे पास ट्रिक होता है ठीक है सबसे पहले क्या कि जो लिखा हुआ है वो एज इट इज लिख दो ठीक है तीनों में ये चीज होगी तीनों में आपको देखोगे तो तीनों में ये होगा पहले लिख दो x / 2 और यही जो दे रखा है आपको ठीक है x स् + a स् यहां पे भी लिख दो x / 2 और जो दे रखा है वही ठीक है फिर यहां पे भी लिख दिया x / 2 और जो दे रखा है वही ठीक है फिर a स् / 2 a स् लगाया प् स् प् स् / 2 यहां पे प् a स् है प् a स् / 2 यहां पे - a स् है - a स् / 2 ठीक है बढ़िया अब इसका रेसिप कल का सोचो तो 1 अपन में जब स्क्वायर रूट करते हैं तो ये ऊपर वाला बन जाएगा तो ऊपर वाला लिख दो बस खत्म ऊपर वाला लिख दिया खत्म यहां पे भी ऊपर वाला चे दिया इसके साथ सा इवर x बा a + c यहां पे भी ऊपर वाला तो ऊपर वाला क्या है लोन के अंदर मॉड्यूस में जो भी दे रखा है प् c ये इसका आंसर हो जाता है ट्स इट दीज आर द नाइन बिग फार्मूला ठीक है और ये बहुत ही ज्यादा काम के है इसको आप अफोर्ड नहीं कर सकते ठीक है आप बिल्कुल भी नहीं सोच सकते कि आप सोच कि मैं नहीं नहीं मैं नहीं करूंगा इन क्वेश्चंस को नहीं दिस इज इंपॉसिबल यू हैव टू रिमेंबर दिस ना हाउ विल यू रिमेंबर दिस तो उसका तरीका ये है आपको इसको बारबार बस लिख के देखना है कोई बहुत बड़ी हाई तब चीज नहीं है मैं आपको फिर से बता रहा हूं ठीक है और मैं बार-बार रिवाइज कराता रहूंगा डोंट वरी ठीक है तो अभी अगर ये फुल प्रॉब्लम सॉल्विंग कोर्स हो होता है तो उसमें तो मैं बार-बार आपको अच्छे से करवाता करवाता रहता हूं यहां क्योंकि टाइम कम है तो अभी ही ये न को लिखो और दो तीन बार दो तीन बार करने की कोशिश करो आ जाएगा ऐसा कोई बहुत ज्यादा हाई तबा वाली चीज नहीं है ठीक है और पैटर्स याद करो छोटी-छोटी बातें याद रखो तो आपको याद हो जाएगा को बहुत बड़ी बात नहीं है ठीक है तो जल्दी बोल दो है ना फिर x की पा n dx1 / n + 1 + c वेरी गुड इसका बोलो जल्दी से क्या होता है न x नहीं लन मड x + c इसका क्या होता है a की पावर x ल a नहीं a की पा x डिवा बा ल a ठीक है इसका सीधे-सीधे e की पावर x ठीक है इसका बोल दो जल्दी से - c x होगा ठीक है ना सिर्फ क x नहीं होगा इसका sinx-cosx यानी कि लॉन के अंदर मॉड्यूस c x आ जाएगा लेकिन माइनस के साथ आता था क्योंकि c है तो उस तरीके से या फिर इसको आप घुमा के रखते हो तो ऐसे लिख सकते हो l नेगेटिव c मतलब एक सिनिकल वाली फीलिंग आती है सिनिकल मतलब होता है नेगेटिव चीजें ठीक है तो इस वजह से हम लोग अ जब भी c होता है तो नेगेटिव लगा देते हैं ये ट्रिक है याद रखने की ठीक है या फिर अब यहां पे क्या होगा उल्टा हो जाएगा जब sinx-cosx का क्या होता था जल्दी से बोल दो सबसे इंटरेस्टिंग तो यही था लॉन के अंदर sec1 x दूसरा भी बोल दो हाथ क्या ये + c+ c अपने आप लगा लेना ठीक है ना इसका दूसरा क्या हो जाएगा l से x माइन य माइनस आ जाएगा इ इक्व टू दूसरा वाला क्या था लन मॉडल t के अंदर पा बा 4 प् x बा 2 ठीक है जी बढ़िया अच्छा अब कोक का बता दो तो कोक वाले में अगर तुम यही इसी लज से चलो c x प् c x क वही c है तो नेगेटिव होगा तो यहां नेगेटिव लग जाएगा पर इसका रेसोल ले लेंगे तो पॉजिटिव हो जाएगा टड बी c x माइन c x ठीक है इ टू और इसमें क्या आएगा लन मॉड्यूस tan2 x / 2 + c से स् x क्या होता है t x c स् x क्या होता है माइनस फिर से वही है ना नेगेटिव है इसलिए c x - cot-1x + c ये बोल दो जल्दी से sin-1 x है ना sin-1 x + c या फिर इसको बोल सकते हैं - cos-1 x ् c इसको बोल दो t इव x + c बोल दो या फिर - कट इव x+ c ठीक है इसका बताइए से इवर्स मडल x बोल दो या फिर माइनस कोक इवर्स मडल x ठीक है प्लस अपने आप लगा लेना इधर क्या हो जाएगा से इवर्स x इ या फिर माइन c इव x ल x का क्या होता था x ल x - x + c ठीक है फिर ये प्रोडक्ट रूल बाय पार्ट्स क्या कर दे थे कोई भी एक फंक्शन यूज कर लो आईलेट के हिसाब से आईलेट के हिसाब से कि जो आगे होगा उसको इंटीग्रेट करना है उस हिसाब से मैंने कोई मान लो मैंने g ूज किया उस लॉजिक से तो g को पहले इंटीग्रेट कर लिया फिर f लिया उसको मल्टीप्लाई कर दिया फिर एक बार f को डिफरेंशिएबल के इंटीग्रेट कर दिया दैट इज आपका अ बाय पार्ट्स अब ये हमारे फंडामेंटल ग्रिड मैंने बनाई है यहां पर इसको बहुत ध्यान से समझना इसी में सबसे ज्यादा कंफ्यूजन होती है तो अब अगर मैं इसको देखूंगा ये बन जाएगा 1 बा 2a लन के अंदर इसका फैक्टराइजेशन या यानी कि x - a / x + a + c ठीक है इसका काउंटर बट क्या होगा a स् - x स् वो यहां लिखा हुआ है ठीक है यहां पर भी वही हो जाएगा 1 / 2a लॉन के अंदर अब इसका फैक्टराइजेशन क्या होगा a - x * a + x पर क्योंकि a स् के साइन से चलता है यहां पे a स् के आगे माइनस है और यहां पे a स् क्या आ गया प्लस है राइट तो प्लस वाला टर्म ऊपर लेंगे फैक्टराइजेशन इसमें भी करना है ऐसे करना है ठीक है नीचे आ जाएगा a - x * a + x + c और अगर ये भूल भी जाओ ना तो ये डायरेक्टली यहां से निकाला जा सकता है क्योंकि इसमें बस यहां पे माइनस कर दिया गया है और क्या है मल अगर इसके आगे माइनस लगा दोगे तो ये इसी का ही फॉर्मूला हो जाएगा है ना फिर इसका क्या है ये तो आपका सीधे tan1 से निकलता है tan1 क्या होता है 1 अप 1+ x स् और यहां पास a स् है तो tan1 x / a हो जाता है और साथ में यहां पे एक 1 / a और आ जाता है दैट्ची लग वाले है यानी लोन एक प्लस जो दे रखा है वही ठीक है इसमें भी वही हो जाएगा लोन जो दे रखा है वही इसमें ये याद रखना है कि बीच में हमेशा प्लस होगा ठीक है ना ये समझने वाली इधर भी प्लस है और इधर भी प्लस है ठीक है ना और अभी भी याद नहीं हो रहे फमले तो इतनी कोई डरने वाली बात नहीं है अभी जब हम क्वेश्चन करेंगे ना उससे बहुत प्रैक्टिस हो जाएगी सो नथिंग टू वरी अबाउट हां जी अब इधर बोल दो तुम बोलते चलो ठीक है तुम तो पॉज करो और सब अपने लिखते चले जितनी बार फमू लिखोगे उनी बार याद रहेगा ये क्या होता है इसमें क्या होता तो पहले तो आ जाता है x बा इन सब में ही हमेशा याद रखो एक बा होगा ठीक है फिर वही आ जाएगा जो है ठीक है इसका मैं जनरल य पर लिख देता हूं पहले बनाओ एक बाट फिर यही यानी की जो दे रखा है वही लिख दो य पर ठीक है फिर आ जाएगा a स् बाट ठीक है सब में आ जाएगा a स् बा स् और स् का साइन है उसके हिसाब से चलना य माइ माइनस होगा य पर प्लस है तो प्लस होगा य पर भी प्लस है तो प्लस होगा और फिर उसके बाद इसका ए स् प्लस माइनस इसके हिसाब से होगा अंदर ल हुआ है और फिर यहां पर क्या आएगा इसके आगे क्या आएगा इसके आगे आएगा वो जो इंटीग्रेशन है इंटीग्रेशन ऑफ जो भी व अपन में यही दे रखा है मतलब अप स् रटर क्या है आता है ना तो ये यहां पे आ जाएगा नीचे दैट्ची 1 अप 2 स् रट x स् स् आएगा फर x मा a स् का डिफर क्या हो जाएगा 2x तो 2 और टू कट जाएगा तो यही आ जाएगा फिर से ठीक है और बिल्कुल इसी लॉजिक से ये वाला चल रहा है ठीक है ना इसमें क्या होना है जब इसको डिफ करोगे तो फिर से 1 अप में ये आएगा ठीक है ना और फिर जब तुम उसको डिफरेंट करोगे तो -2x ऊपर आएगा तो इस वाले केस में माइनस और आ जाएगा ट्स इट और फिर इसमें क्या होगा इसमें फिर से बिल्कुल इसी लॉजिक से चलेगा यहां का आंसर फिर से x स् + a स् ही आ जाएगा ठीक है सो दैट इज द थिंग ठीक है अच्छा अभी जो हम लोगों ने पूरा डिस्कशन किया उसका फायदा क्या हुआ क्योंकि उसको अल्टीमेटली एरिया के लिए शुरू किया गया था राइट ऐसा था नहीं कि इंफिनिट करने में मजे आ रहे थे अब जैसे यहां देख रहा है ये जो ग्राफ है ये है x क x का ठीक है अब अगर मैं तुमसे बोलूं कि ये जो ग्राफ दे रखा है अगर मैं इसमें से एक कोई कर्व ले लेता हूं मान लो ये ले लिया मैंने ठीक है ये रो से पा / 2 पे जा रहा है अराउंड जो भी इसका वो रहेगा अब मुझे इसका एरिया निकालना है मान लो फ से 1 तक तो व्हाट वुड बी द एरिया नाउ यू कैन फाइंड इट ठीक है कि अगर मैं तुमसे बोलूं कि x क x दे रखा है राइट और उसका एरिया फाइंड करो फि फ्रॉम मे बी पा / 2 से मान लो पाई तक क्या एरिया होगा हमें तो ग्राफ भी नहीं पता इसका बिना ग्राफ बनाए आप इसका एरिया निकाल सकते हो ठीक है तो कैसे करेंगे इसको अभी के लिए इसका पहले एंटी डेरिवेटिव सोचो अब एंटी डेरिवेटिव क्या होगा इंटीग्रेशन x क x और वो तुम्हें निकालना आता है किस किसके थ्रू आता है किसके थ्रू आता है अ आईलेट है ना पीपीटी बाय पार्ट्स तो पहले c x को इंटीग्रेट कर ले कर लो क्या आएगा sinx-cosx ् c दैट्ची दिया पा तो बन जाएगा पा सा पा दैट इज ़ एंड cos-1 ठीक है फिर माइनस में अब आपने पा / 2 डाला दैट मेक्स इट पा / 2s पा / 2 इज 1 ठीक है प्लस में cos2 इज ़ ठीक है सो दिस इज़ द आंसर सो आंसर क्या हो गया आपका -1 - पा / 2 ठीक है दैट इज़ योर आंसर तो एरिया क्या होगा एरिया क्या होगा एरिया होगा पा / 2 + 1 ठीक है बेसिकली इसका मॉड्यूस तो पा / 2 + 1 आ जाएगा पॉजिटिव क्वांटिटी ले ठीक है सो ये इसका फायदा है देखा आप ऐसे हम बाय पार्ट्स इसमें लगा सकते हैं ठीक है अच्छा अब जैसे मानो मानो ये वाला क्वेश्चन है ठीक है साल x / x dx2 से पांच के बीच में आपको इसका एरिया निकालना है ठीक है ट्स व्ट य द प्रॉब्लम इज राइट बट कैसे कैसे कैसे कैसे तो उसके लिए आपको ऐसे करना पड़ेगा राइट साल x बा x अगर आपको सिर्फ ये प्रॉब्लम होती तो आप बड़ी खुशी खुशी क्या करते आप ल x को t ले लेते तो फिर ये क्या बन जाता ये बन जाता 1 अप x dx2 तो ये पूरी चीज किस में कन्वर्ट हो जाती ये बन जाता सा t और य ल दो से पा इंटीग्रेशन वाइज देखा जाए तो बिल्कुल ठीक है ठीक है इंटीग्रेशन वा देख जाए तो आपने बिल्कुल सही किया माइ क t प् आ जाएगा तो आप इसके ऊपर क्या डालोगे आप डालोगे दो और पाच बस यही आप गलती कर रहे हो सब कुछ बिल्कुल ठीक है सब कुछ बिल्कुल ठीक है सब कुछ आपने बकुल ठीक है बट ये दो और पाच को आपको समझना होगा ये जो दो और पाच है ये किसके लिए है ये किसके लिए है ये एक के लिए भाई d एक लगा हुआ है तो d एक या इसके जो भी यहां पर लगा हुआ होगा उसके रिस्पेक्ट में य बात करी जा रही है कि एक जो है तेरा वो दो से पाच में है वो दो से पाच में बिलंग करता है ठीक है जैसे हम बोलते हैं कि भाई फंक्शन का जो आपका ऐसे जा रहा है तो a से b में आप बात कर रहे हो तो ये तो x होता है ना या जो भी होगा यहां पे अगर dx2 स् होता तो ये फिर x स् के लिए हम इस चीज को कर रहे होते हैं ठीक है तो वो चीज तो हो नहीं रही है हमने तो गड़बड़ कर दिया यहां पर तो हमने t यूज़ कर लिया अब यहां पर t है और t किसके बराबर है t बराबर है ल x के यानी कि x = e की पावर t सॉरी या मतलब हां ठीक है यही राइट तो अगर आप बोल रहे हो कि x तुम्हारा टू के बराबर है तो उसके रेस्पॉन्डिंग जो होगा वो तुम्हारा लन ू के बराबर हो जाएगा अगर तुम बोल रहे हो एक् रा फ के बराबर है तो t तुम्हारा लन फ के बराबर होगा ठीक है तो यू हैव टू चेंज द लिमिट एज वेल ठीक है आपको लिमिट चेंज करनी पड़ेगी लिमिट चेंज करके क्या बन जाएगा यहां बन जाएगा नटू और यहां बन जाएगा लन 5 ठीक है एंड सेम गोज यर ए वेल नटू लन 5 ठीक है तो आपका फाइनल आंसर जो होगा वो ये आएगा की माइनस कॉस लन 5 ठीक है एंड माइनस माइन कॉलन 2 दैट इज योर फाइनल आंसर ठीक है ये इसको आप सॉल्व कर लीजिए तो ये आ जाएगा बेसिकली कलन 2 माइनस कॉस लन 5 ये इसका आंसर हो जाएगा ये इसका एरिया हो जाएगा ठीक है इसका ये एरिया होगा सो व्ट आई एम जस्ट ट्रांग टू से इ सब्सीट्यूशन में इट क्वाइट ओबवियस कि आपको लिमिट्स भी चेंज करनी पड़ेंगी डिपेंडिंग ऑन की एक् का t हो गया ट्स लट आईम ा टू से इतना अगर आपको समझ में आ गया तो इतना थियोरेटिकली काफी है बाकी हम क्वेश्चन बहुत अच्छे से प्रैक्टिस करेंगे ठीक है और उससे आपको और चीज दिखेंगी और वेरिएशन दिखेंगे अभी तो बहुत कुछ है इसमें क्वेश्चन वाइज टिकली सारा कुछ निपट गया ठीक है तो अब जरा हम थोड़ा एरिया पे ही थोड़ा और चीजों को समझने की कोशिश करते हैं ठीक है सो अब जैसे एक और चीज जो हम सोच सकते थे एंड दैट वाज वेरी इंटरेस्टिंग लाइक समथिंग लाइक की मानो मैं बोल दू लोनेक्स लोन x d एक और मैं आपसे बोल रहा हूं अ ट फाइंड द लिमिट फाइंड द लिमिट फ्रॉम या फिर मैं एक और काम करता हूं मैं लन x नहीं लेता मैं ले लेता हूं मान लो e की पावर x और मैं आपसे बोल देता हूं कि फाइंड द फाइंड द एरिया फ्रॉम जीरो टू इनफिनिटी नाउ अगर हमें e की पावर x का ग्राफ पता हो तो ग्राफ गोज लाइक दिस लाइक दिस इट इ लाइक एन एसोट राइट और ये होता है जीरो तो जीरो प तो ये वन आ जाता है अब ये जो एरिया है आर यू एबल टू अंडरस्टैंड कि ये जो एरिया है अगर हम देखें टिकली तो ये कम होता जा रहा है ना इट इज बिलीव्ड की इन टिल इनफिनिटी अगर हम इनफिनिटी प बात करेंगे तो इनफिनिटी प ये मिल जाएगा तो ये एक एक बात कर द अग इफिनिटी मिल जाएगा तो तो फिर ये क्लोज फिगर हो गई ना ये ठीक है तो ये एरिया कितना होगा ठीक है तो अब e की पावर x का आंसर तो e की पावर x ही आता है तो व्हाट डज दिस इवन मीन कि हम इसमें इनफिनिटी इनफिनिटी डाल रहे हैं दैट जस्ट सिंपली मींस कि आप बोल रहे हो e की पावर x में लिमिट x टेंड्स टू इनफिनिटी ये तो हो गया एक बात - e की पा 0 जब हम बोलते हैं ना कि इनफिनिटी डाल दो इसके अंदर तो उसका ये मतलब होता है क्योंकि इनफिनिटी खुद कुछ होता नहीं है इंफिनिटी हमेशा इनफिनिटी टेंडिंग टू ही होता है तो लिमिट का कांसेप्ट ऑटोमेटिक आ गया तो ऐसा नहीं कि e की पावर इनफिट लिख दिया ठीक है तो ये चीज ओबवियस सी बात है कि ये तो आपका इनफिनिटी ही बना देगा भाई e की बबर इनफिनिटी करोगे तो इनफिनिटी ही आ जाएगा और ये बन जाएगा वन तो आपका आंसर इनफिनिटी ही हो जाएगा ठीक है न अच्छा इसमें एक छोटी सी एरर हो गया इसमें छोटा सा ठीक है मैं अभी आगे तक भी पढ़ द पढ़ा दिया गलती से तो बेसिकली ये e की पावर - x का ग्राफ था राइट तो वही यहां पे e की पावर - x आएगा तो e की पावर - x का इंटीग्रेशन क्या होगा वो होगा e की पावर - x और फिर -1 का को एफिशिएंट प् c क्योंकि लीनियर एक्सप्रेशन तो हो ही जाएगा ना सो उस लॉजिक से अगर आप देखोगे तो ये आपका है ये नहीं आएगा य आगा e की पावर माइन सही है सो लिमिट में x टेंड टू इनफिनिटी e की पावर माइ और यहां पर भी आएगा सॉरी य माइनस है य भी माइनस है ठीक है य प भी क्या आएगा माइन की पावर जी हो जाएगा बेसिकली सोट मेक्स इट माइनस माइनस प्स तो प्व हो जाएगा ठीक है और आप समझ यज जीरो हो जाएगी ठीक है सो अल्टीमेटली आपका आंसर आ गया व एट मेक्स सेंस ए वेल क ये फाइट हो गया ना य कन्वर्जिंग है ठीक है सो वन इसका आंसर हो जाएगा ये आपका वन है द अगर करता हूं लोन x की न x dx1 में कितना इसका एरिया बनेगा नाउ इफ यू रिमेंबर लोन x न x इज दिस दिस इज ल x ठीक है ये इनफिनिटी जा रहा है यहां पर भी ठीक है एंड दिस इज वन एंड दिस इज रो तो रो से वन में आपका जो एरिया है वो ये है ये वाला जो पूरा एरिया है ध्यान से देखना क्या होगा तो लन x का जो इंटीग्रेशन होता है दैट इज x l x है ना - x + c यही आता है यही आता है राइट इसमें इसमें हमने क्या डाल दिया रो और वन तो जब आप वन डालोगे दैट मेक्स इट 1 लन 1 दैट इज रो तो यहां पे आ गया -1 ठीक है यहां से तो आ गया -1 और ये प्लस मैंने फालतू में लगा दिया ठीक है इसको छोड़ो ठीक है फिर आप जीरो डालोगे तो जीरो डालने से ये भी जीरो ये भी जीरो तो आपका आंसर यही हो जाएगा बस -1 यानी कि ये किसके बराबर है -1 के तो एरिया कितना हो गया एरिया वन हो गया तो ये बड़ा ही एक इंटरेस्टिंग रिजल्ट की तरह आप इसको याद भी रख सकते हो दो रिजल्ट्स हमने एक तरीके से देख लिए अगर आपने नोटिस किया हो तो तो अगर आप देखोगे तो ये जो पूरा एरिया होता है ये जो है ठीक है ये आपका वन होता है है ना ये वन होता है सिमिलरली अगर मैं बात करता हूं sinx-cosx ये भी टू है एंड सिमिलरली अगर आप c x की सोचो तो क x में क्या होता है ये का बस इतना शिफ्ट हो जाता है ना ये ऐसा शिफ्ट हो गया बस ठीक है तो है तो अभी भी टू ही ठीक है इनफैक्ट अगर आप थोड़ा और प्रेसा इज होके सोचेंगे तो आपको समझ में आएगा कि अगर आप 0 से पा / 2 में इसको इंटीग्रेट करके देखना ठीक है 0 से पा / 2 में अगर आप सा को करोगे तो ये वन आएगा तो ये वन होता है और ये वन होता है तो एक लोप वन फिर ये भी वन फिर ये भी वन और ये भी वन सिमिलरली ये वन हो गया ठीक है फिर ये वन हो गया और ये भी वन है और ये भी ठीक है तो अगर कभी मैं आपसे बोल दूं कि 0 से 4 पा तक आपको sinx-cosx ठीक है तो आप बिना इंटीग्रेशन के भी सोच सकते हो कि 0 से 4 पा में कितने वो आ जाएंगे ठीक है रो से 4 पा में कितने आ जाएंगे पहले ये आ जाएगा जब ये आएगा ट एक्टू फिर जब ये आएगा तो है तो टू पर क्योंकि नीचे है तो इसको आप अलजेब्रिक -2 हो जाएगा फिर ऊपर आएगा टू फिर क्या आएगा -2 हेस इसका आंसर हो जाएगा जीरो खत्म ठीक है तो आप इस तरीके से भी चीजों को देख सकते हैं अच्छा एक बार एक काम करते हैं ये जो पूरी एरिया वाली चीज है ना इसको थोड़ा सा सिस्टमिकली कर देते हैं ठीक है थोड़ा सा और इस थोड़ा डिटेल एनालिसिस कर लेते हैं क्योंकि मैथमेटिशियंस ने यही किया था ठीक है तो उन्होंने थोड़ा थोड़ा लॉजिकली चीजों को सोचा था पॉइंट वाइज हम लोग बात करेंगे ठीक है सो सबसे बेसिक जो बात हो सकती है वो यह है कि जो हमने पहले भी देखा कि ए से बी में अगर आप बात कर रहे हो f d एक ठीक है तो वो हो जाएगा f ब - ए राइट जहां प हमने बोला कि एड एक जो है वो आपका f के बराबर है ठीक है सेकंड बात जो यहां से निकल के आती है वो ये है कि अगर मान लो मुझे ये दे रखा है मान लो ये इस तरीके से दे रखा है अ समथिंग लाइक दिस मान लो ऐसे कुछ दे रखा है मान ये दे रखा है अब इसका एरिया मान लो a1 है इसका एरिया a2 है और इसका एरिया मान लो a3 है ठीक है बहुत सारी चीजें एक ही बार में हम लोग यहां से समझ लेंगे मान लो हम a से b जा रहे हैं ठीक है या एक और काम करते हैं ये a से b गए ये c गए और ये आप d तक चले गए ठीक है अब मेरा जो फंक्शन fxxx.pro लिख लो इसका आंसर ओबवियसली a1 ही आ जाएगा ठीक है बट जब आप बोलोगे b से c तक ठीक है fxxx.pro माइन ए2 प् ए3 ठीक है अा अगर मैं पूछ की एरिया क्या होगा एरिया अंडर द कर्व फ्रॉम ए टू ड फम ए टूडी क्या आंसर आएगा उसका सीधा आंसर आएगा ए1 प् ए2 प् ए3 ठीक एरिया अंडर द क भी क्वेन होते उसम आपको य करना है वो तो ठीक है अ अब इसमें एक इंपोर्टेंट बात वो ये कि आप चाहो तो घुमा के भी लिख सकते हो मतलब इसी चीज को ऐसे भी सकता हूं कि d से a तक अगर मैं बात करूं fxxx.pro देखो ना हमने इस चीज को डिफाइन कैसे कर रखा था ऐसे लिमिट n टेंड्स टू इनफिनिटी राइट और यहां प था वो h सिगमा ए प् आ इफ यू रिमेंबर राइट और r इ 1 से n तक ये चीज थी पूरी की पूरी ठीक है तो जब तुम बोल देते हो कि ए से बी की जगह प वो बी से ए जा रहा है तो जो h था जो पहले बेसिकली b - a बा n था आज के टाइम प वो a- b बा ए बन चुका है राइट तो बेसिकली ये जो चीज है वो - ए बन गया राइट तो जो h लिखा हुआ था उसकी जगह प - ए आ गया हेंस पूरी कहानी माइनस में हो गई ट्स द न ली रीजन दैट द ओनली रीजन नथिंग मोर और लेस ठीक है तो जब आप बोलते हो कि b से ए या फिर ए से बी में उसमें बस इसलिए एक माइनस साइन आ जाता है ठीक है सो ये भी एक तरीके की प्रॉपर्टी की तरह आप इस चीज को लिख सकते हो ठीक है तो वो भी हम यहां पे लिख देंगे ठीक है ये तो एक्सप्लेनेशन हो गया इसको हटाते हैं ठीक है मतलब सीधी बात अगर मैं आपसे करूं ठीक है तो ये बनेगी यहां पर कि अगर आपको कोई भी ऐसा दे रखा है भैया फंक्शन fxxx.pro माइनस आ जाएगा ठीक है ये एक बहुत ही बेसिक सी बात है ठीक है अब एक और बहुत बड़ी इंटरेस्टिंग और बेसिक सी बात जो आपको समझ में आनी चाहिए कि अगर मैं बोलूं fxxx.pro ट मेक्स सेंस ठीक है तो ये तो हो गई हमारी बेसिक सी बात अब तो आईस अब इसमें कोई डाउट नहीं आपको ठीक है अच्छा हा एक बार ये और कर लेते हैं अगर मैं डी से ए जा रहा होता तो अब इसका आंसर क्या आएगा खुद सोच के बताओ मेरे को इसका आंसर क्या होगा अगर तुमडी से ए जा रहे हो तो अब उल्टा शुरू होगा तो - a3 a3 की जगह जो भी ऊपर है वो नेगेटिव हो जाएगा ठीक है फिर नीचे वाला क्या बन जाएगा प् a2 ठीक है और ये वाला क्या बन जाएगा -1 यानी जो नीचे वाला है वो पॉजिटिव बन जाता है जब आपका फ्लो उल्टा हो जाता है ठीक है यू कैन कंपेयर दिस टू ये a1 माइ a2 प् a3 ये - a3 प् a2 माइ ठीक है सो ये थोड़ा सा डेंस है मामला आई होप सो ये चीज आपको समझ में आ गई होगी ल राइट अब आते हैं तीसरे पॉइंट प ठीक है तीसरा पॉइंट जो है दैट इज ये की हमने ये देखा था कि हमारे पास इस टाइप का फंक्शन है e की पावर x स् d राइट मतलब मैंने बताया था कि इसको आप इंटीग्रेट नहीं कर सकते ठीक है तो ऐसे बहुत सारे फंशन होते हैं समथिंग लाइक मानो सा x अप x ठीक है c x अप x एंड सो ऑन ऐसे बहुत सारे फंक्शन होते हैं जिनको आप एक्चुअली इंटीग्रेट नहीं कर सकते अब पूरी लिस्ट होती है वो कोई फायदा नहीं है मैं आपको लिख दूंगा यहां पर आप याद वैसे भी नहीं कर पाओगे उसको इतने सारे होते हैं ठीक है पर कोई फायदा नहीं है उसको याद करने की जरूरत है ज्यादातर जो मेंस पूछता है या एडवांस पूछता है वो ज्यादातर ये होता है ठीक है तो चलो अगर मैं इसी की बात कर लू e की पावर x स् d एक ठीक है और मानो मैं तुम्हारे से बोलू कि यार नहीं मुझे तो ये जा e की एक्स का स्क्वा जो है इसमें जीरो सेव में क्या हाल होगा जी से में अगर मुझसे पूछा जाए तो क्या हाल होगा इसका तो अब देखो ये बात तो पक्की है कि इसका एज्ट इंटीग्रल तो मैं बता नहीं रहा क्योंकि एट इंटीग्रल तो मुझे इसका क्या बताना पड़ेगा इसका एरिया फंक्शन निकालना पड़ेगा जो भी इसका एरिया फंक्शन होगा उसम वन डाल देता और फिर जीरो डाल देता ब हम ये बोल रहे हैं वी आर कमेंटिंग इसका एरिया फंक्शन निकाला ही नहीं जा सकता तो सारी बात खत्म हो गई ठीक है सो ये तो करा जा नहीं सकता तो मैं से ये प्लीडर हूं एक तरीके से कि भाई मुझे एक ऑन एन एवरेज एक आईडिया चाहिए ठीक है ऑन एन एवरेज क्या ये फंक्शन का वो रहेगा तो हमने बना बनाने की सोच कि e की ब x स् है ठीक है अगर रो पे देखेंगे तो e की ब 0 यानी कि वन आएगा तो रो पे इसका जो ग्राफ है वो वन वन बना रहा है ठीक है और वन पे अगर आप देखोगे तो e की पावर 1 e की पावर व यानी कि ये वन है तो वन पे इसका ग्राफ कुछ e आ रहा है राइट तो ये मान लेते हैं e है तो यहां पे कहीं पे आ रहा है एंड लेट्स टेक इट लाइक दिस है ना कुछ इस तरीके का बनेगा होगा कंटीन्यूअस ही क्योंकि कंटीन्यूअस की पावर कंटीन्यूअस करोगे है ना कंटीन्यूअस के अंदर कंटीन्यूअस लोगे कंटीन्यूअस ही आएगा तो ग्राफ तो कंटीन्यूअस ही बनेगा इनफैक्ट डिफरेंशिएबल ग्राफ भी है ठीक है वो सब तो ठीक है तो मतलब अल्टीमेटली तुम हमसे ये पूछना चाह रहे हो सीधी बात ये है तुम हमसे ये पूछ रहे हो राइट दिस इज व्हाट यू आर इंटरेस्टेड इन सो नाउ हाउ टू इवन बिगिन लाइक कैसे सोचा जाए मतलब मुझे कम से कम कुछ तो आईडिया मिले कि भाई ये जो एरिया है ये जो एरिया रिप्रेजेंट कर रहा है कि भाई ये जीरो से दो के बीच में है मान लो कम से कम इतने सेही मैं खुश हो जाऊंगा कि अभी तो कुछ आईडिया लग ही नहीं रहा पता नहीं इसका आंसर क्या होगा हो सकता है 100 स्क्वायर यूनिट हो क्या है क्या है ना एक ऑन एंड आइडिया लग जाए तो इसी के लिए कुछ मैथमे ने सोचा तो उन्होंने बोला उन्होने बोला एक बात सोच के देख उन्होने बोला बात सोच के देखो अगर एक ऐसे मालो कर्व जा रहा है ऐसे कर कर्व जा रहा है मान लेते इंक्रीजिंग ग्राफ है और हम बोल रहे हैं किय ए से बी में हम बात कर रहे हैं ए से बी में हमय बात कर रहे तो अगर इंक्रीजिंग है तो ये इसकी मिनिमम वैल्यू है और ये इसकी मैक्सिमम वैल्यू है ना ये मैक्सिमम वल्य मिनिमम वैल्यू तो एक बात तो पक्की है बोला क्या कि ये जो ये जो पूरा इसका एरिया अंडर द कर्व है जिसको हम बोल रहे हैं इंटीग्रल में a से b fx8 एरिया तो ये किसके बीच में लाई करेगा तु पूछो किसके बीच में लाय करेगा हम ये बोल रहे हैं हमारा कहना ये है कि यहां पे अगर आप एक ट्रायंगल बना लो मिनिम वैल्यू से मिनिमम वैल्यू से अगर मैं एक ट्रायंगल बना रहा हूं ये ये मैंने वाइट कलर से अभी बनाया ठीक है ये वाला ट्रायंगल ठीक है इसका एरिया क्या होगा इसका एरिया होगा हाइट कि है इसकी m और वृथ क्या है इसकी b - a सो m * b a राइट एंड एक बड़ा वाला रेक्टेंगल भी है इसमें बड़ा वाला रेक्टेंगल कौन सा है जो मैं रेड कलर से बना रहा हूं ठीक है ये ये जो पूरा रेक्टेंगल है ये वाला ठीक है ये पूरा जो रेक्टेंगल है क्या आपको समझ में आ रहा है कि इसका जो एरिया होगा ट विड बी m * बी माइ ए इतनी बात तो बिल्कुल पक्की है ना कि ये जो चीज है आपको जो दे रखी है f एक में ए से बी ये पक्की बात है कि ये इसके बीच में लाई करेगा है ना दिस मेक्स कंप्लीट सेंस टू यू राइट अच्छा अगर यही ग्राफ उल्टा होता तो क्या होता सर अगर यही ग आपका उल्टा हो जाता मान लेते डिक्रीजिंग ग्राफ होता ठीक है बहुत ही बेसिक सी बात कर रहा हूं य बहुत ज्यादा हाई तोली बात नहीं कर र ठीक है अभी भी एक मिनिमम वैल्यू य ला करती है और य प मैक्सिमम वलू ला करती है तो अभी भी सेम चीज ीय है य बी है ठीक है तो फिर से आप य बोलोगे इंटीग्रल एय जो आपका है इसमें क्या बोलोगे इसम बोलोगे की मैक्सिमम जो वैल्यू है वो वैसे तो ए प आ रहा है ठीक है तो आप क्या बोलोगे आप य पर भी वही बोलेंगे बी m ब - a अब यहां पे ये जो m है इसकी वैल्यू भी बताई जा सकती है एंड दैट इज द फन पार्ट ना यहां पे जो है राइट सो यहां पर हम ये बोल सकते हैं कि इस केस में जो ये वाला केस है इसमें मैक्सिमम वैल्यू b पे आ रही है तो यहां पे आप बोलोगे fbb-fashion कि सर ऐसा केस भी तो हो सकता है मैंने क कौन सा वाला सर ये वाला केस भी हो सकता हैना कि a से b में आपका जो फंक्शन है वो मान लो एक डिप करके ऐसे चला गया मान लो ये फंक्शन है मान लो ऐसा अगर ये फंक्शन है तो इट मेक्स सेंस कि सर मिनिमम वैल्यू तो ये आ रही है है ना इसको m बोल सकते हैं और ये जो मैक्सिमम वैल्यू है वो ये आ रही है है ना m तो जो एक्चुअल जो एरिया अंडर दी कर्व है वो तो ये है जो मैंने अभी येलो से शो किया राइट उसका तो कोई तोड़ नहीं है ना उसको तो आप सीधे बोलोगे a से b लर बना दोट बी एन बी माइन ए और एक बड़े वाले से बना दो बड़ा वाला य बड़ा वाला हाइट जो है उसकी तो जाएगा एन बी य और को आपको अलग से फाइंड करना पड़ेगा ब यूजिंग आपका ही डिफरेंट करके देख लो देखलो पर उसकी स्लोप जीरो रही है मिनिमम ल मिल जाएगी मैसम व मिल जाएगी तो वहा से भी एप्रोक्सीमेशन कर सकते हो ठीक है इ को बोलते इटी इ को बोलते इवे ठीक है या बोल देते हैं एस्टीमेट करना एस्टीमेट करना फॉर एग्जांपल जैसे मानो हमें य दे रखा है कि यहां करते चलो क्या दे रखा है हम हमें हमारे पास था e की पावर x का स्क्वा ठीक है और बोला जा रहा है जीरो से वन में बताइए क्या इसकी हालत होगी व्ट वड बी र क्या हुआ य तो हमने सोच लिया हमने क्या बोला भाई हमने ये बोला भाई कि जीरो प भाई तुम्हारा हाल क्या था जीरो प तुम वन थे जीरो प तुम वन थे और वन पे तुम ई हो वन प तुम ई हो है ना ई हो तो एक बात पक्की है कि और यहां प एकदम इंक्रीजिंग ग्राफ बनने वाला है तो इंक्रीजिंग ग्राफ क्यों बनेगा भैया क्योंकि अगर x इंक्रीज करेगा तो x स् भी इंक्रीज करेगा एंड हेंस e की x स् भी इंक्रीज करेगा कोई रीजन ही नहीं है कि यहां प कुछ हो जाए और ये सारा मामला जीरो से वन में चल रहा है अच्छा सर आप गलत बोल रहे हो मैंने कहा सही बोल र गलत बोल रहा हूं क्या अगर तुम्हारा x इंक्रीज करेगा ध्यान से समझना नहीं नहीं वो तो मैंने सही बोला था मैं कुछ और चीज पकड़ गया सॉरी ये तो मैंने सही बोला था इक्रीज तो करेगा हम ये बोल रहे हैं कि क्योंकि तुम्हारा x जो है वो जीरो से वन में है ठी है क्योंकि x रो समझ में है तो क्या आपको ये बात समझ में आती है कि x और x स् में x बड़ा होगा क्योंकि एक तरफ मान लो है 1/2 और 1/2 का स्क्वायर है 1/4 तो बड़ा तो 1/2 ही होगा तो x से बड़ा होगा x का स्क्वायर एंड यहां से आप बोल सकते हो कि e की पावर x में और e की पावर x स् में e की ब x बड़ा होगा एक बात तो ये हो गई दूसरी बात ये होगी दूसरी बात ये होगी कि वही जो हमने मिनिमम और मैक्सिमम वाला फार्मूला है तो यहां प देखोगे तो मिनिमम वन है और मैक्सिमम e है राइट तो मिनिमम के हिसाब से इस इसका एरिया कितना आ गया ये भी वन है और ये भी वन है तो 1 * 1 व हो गया यानी कि पक्की बात है कि वन से तो बड़ा ही होगा ये ठीक है वन से तो बड़ा ही होगा और मैक्सिमम क्या आ रहा है e तो e इनटू देखो ये हाइट इसकी e है ये e है और ये वन है तो e * 1 दैट इज e हेंस प्रूव्ड हो गई बात एकदम कि ये आपका वन से e के बीच में लाई कर रहा होगा ठीक है पहली पहली एप्रोक्सीमेशन हमने ये करी अब हमारी जो नेक्स्ट अप्रोच है उसमें हम थोड़ा और नजदीक लाना चाहने की कोशिश कर रहे हैं है ना थोड़ा और नजदीक लाने की कोशिश कर रहे हैं और जब देखा हमने अभी ये एनालिसिस की उससे हमें पता चल गया कि e की पावर x स् जो है ना वो e की पावर x से भी कम है e की पावर x स् जो है वो e की पावर x से छोटा है व्हाट डज दैट मीन व्हाट डज दैट मीन अ कि सोच देखो सैंडविच थ्योरम वाली बात है कि अगर मेरे पास एक फंक्शन है मान लेते हैं fxxx.pro कि इसका एरिया और इसका एरिया है ना ए से बी में सेम चीज फॉलो करेगा क्योंकि जी f से छोटा है तो जो एरिया अंडर द कव होगा वो भी छोटा होगा ठीक है ए का एरिया अंडर द कर्व बड़ा होगा जी के कंपेरिजन में राइट तो यहां प अगर मैं एरिया अंडर द कर्व बिल्कुल इसी लॉजिक से मैंने यहां प कर दिया जीरो सेव में एंड रो सेव में ये बात बिल्कुल ओबवियस है कि e स् का जो एरिया होगा जीरो सेव में वो कम होगा इसके कंपेरिजन में और इसका एरिया एंडर द कव निकालना तुम्हें आता है क्या हो जाएगा ये बोलो ये हो जाएगा e की पावर x है और उसमें आपको जीरो और वन डालना है यानी कि e की पावर 1 और e की पावर 0 यानी कि e की पावर 1 माइनस e की पावर 0 यानी कि व हेंस हम ये बोल सकते हैं ठीक है ना अब यहां से हमें क्या मिल गया इन दोनों को कंबाइन करके आप सीधे-सीधे बोल सकते हो कि आपका जो इंटीग्रल है जीरो सेव e की पावर x स् d एक है ना अपने बच्चों वाले एनालिसिस से हमने इतना तो बोल ही दिया सर कि ये वन से e-1 के बीच में लाय करेगा एंड दैट इज क्वाइट अ विन टस क्वाइट अ विन राइट e-1 का मतलब क्या हो गया समथिंग लाइ 2 मा यानी कि 1.7 है ना तो कहानी न से 1.7 के बीच में है है ना से 1.7 के बीच में ये कहीं प लाई कर रहा है समथिंग लाइक बी 1.35 और 1.4 समथिंग लाइक दैट वुड बी द पर हैप्स द आंसर इससे बहुत हेल्प हो जाती है है ना इससे अगर आप देखोगे तो आपको एक एप्रोक्सीमेट आडिया तो लग ही गया ना ठीक है सो ये भी बड़े इंटरेस्टिंग क्वेश्चन होते हैं ठीक है कि आप इंटीग्रल को क् हम इंटीग्रेट तो कर नहीं सकते तो कुछ एप्रोक्सीमेट करने की कोशिश करें ठीक है तो मैंने इन सबको फेर आ करके लिख दिया है ठीक है तो ये हमारा फोर्थ हो गया थर्ड हमने क्या डिस्कशन किया थर्ड वाला पूरा जो टॉपिक था उसको बोलोगे कि नॉन इंटीग्रेबल जो आपके फंक्शंस होते हैं उनको हमें एस्टिमेशन करना पड़ता है उनके साथ ठीक है तो उसका मैंने आपको पूरा आईडिया दे दिया और उस एस्टिमेशन के थ्रू जो हम लोगों ने नियम निकाले वो भी मैंने लिख दिए हैं ठीक है तो फोर्थ रूल है आपका ये वाला ठीक है बिल्कुल बेसिक सा है है ना कॉमन सेंस वाली बात है बिल्कुल ये तो ठीक है फिर फिफ्थ वाला भी एकदम बिल्कुल अखंड कॉमन सेंस है ठीक है सिक्स्थ वाला देखते हैं सिक्स्थ वाला भी इंटरेस्टिंग ही है ठीक है तो वो एक अलग से रूल लिख दिया एक्चुअली बहुत सारे रूल्स होते हैं अगर अभी ये लेक्चर हमारा अल्ट्रा एडवांस लेवल पे होता तो मैं एक दो घंटे का तो सिर्फ डेफिनेट की इन इक्वेशंस पे लेक्चर ले लेता बहुत ही इंटरेस्टिंग और बहुत ही एडवांस लेवल टॉपिक है ये ठीक है हम थोड़ा सा झलक मात्र ले रहे हैं उस टॉपिक प ठीक है अब जैसे ये दे रखा है तो व्हाट डज दिस इवन मीन टू से ठीक है जैसे एक एग्जांपल के तौर पे लेते हैं मान लो 0 से 2 पा में अगर आप देखो सा x क्योंकि बेस्ट एग्जांपल रहता है ये है ठीक है तो जैसे कि हमारे पास सा x है तो ये 0 से 2 पा में ऐसा जाएगा है ना 0 पा और 2 पा ठीक है अब क्लियर सी बात है ये भी टू है और ये भी टू है तो 2 - 2 आपका आंसर आ गया रो राइट अब अगर मैं बोलता मॉड्यूस sinx-cosx ज्यादा रहेगा प्रोवाइडेड अगर आपका पूरा फंक्शन जो है अगर वो ऊपर ही है मान लो आपका फंक्शन है समथिंग लाइक दिस मान लो x स् ही आपका फंक्शन है तो अगर x स् ही फंक्शन है तो उस केस में तो फिर क्या ही कर लोगे भई अगर आप बोलो x स् की ऊपर मॉड्यूस लगा दो ठीक है और आप बोल दो कि भाई दो से चार तक का आपको आंसर निकालना है आपको याद होगा कि हमने डिस्कशन कर रखा है कि x स् ऐसे लगा दो या मॉड्यूस का स्क्वायर ले लो या फिर आप x का स्क्वायर ले लो सब बात एक ही है ठीक है ये तो x स् का ही इंटीग्रेशन हो गया तो क्या आंसर आएगा 4 क - 2 क डिवा बा 3 ये आंसर आएगा ठीक है अच्छा अगर मैं ये ना करके ये करता कि x स् है और 2 से 4 है और इस पूरे पे आपने लगा दिया उससे भी आपका सेम ही आंसर आता पॉइंट इज कि अगर आपका कर्व जो है वो पूरी तरह से x एक्सिस से ऊपर है तो इसमें और इसमें कोई डिफरेंस नहीं है इसका जो बेनिफिट मिलता है वो तब मिलता है कि जो जो ते y एक्सिस से नीचे हैं वो भी ऊपर आ जाती हैं हेंस उनका जो एरिया है वो नेगेटिव से पॉजिटिव हो जाता है तो एरिया कम होने की वजह बढ़ जाता है क्योंकि सब कुछ पॉजिटिव हो गया ठीक है इसी वजह से ये इक्वलिटी होल्ड करती है एंड आई गेस दिस आल्सो बेक्स अ क्वाइट अ कॉमन सेंस कि अगर आप यहां पे मॉड्यूस लगाएंगे तो नेगेटिव वाला ऊपर हो जाएगा ठीक है इक्वलिटी कहां प होल्ड होती है ये बराबर कहां पे होता है जहां प आपका फंक्शन जो है वो पूरी तरह से एक्स एक्सिस से ऊपर हो जाए ठीक है अब ठीक है ये बात तो क्लियर हो गई अब जरा और चीजों प आते हैं ठीक है सेवंथ पॉइंट बहुत ही बेवकूफ वाला बहुत ही सिंपल सा पॉइंट है कोई कहेगा क्यों लिख पा रहे हो सर f d एक है ए से बी तक ठीक है तो ये सोच के देखो भाई अ ये x है है ना और ये आपका fxxx.pro ठीक है और ये ए से बी में ही जा रहा है तो क्या आप समझ पा रहे हो कि आंसर सेम आएगा आंसर सेम क्यों आएगा सर देखो इसका आंसर क्या आएगा इसका आंसर क्या आएगा सर इसका आंसर आएगा f ब माइ ए राइट इसका आंसर क्या आएगा इसका आंसर भी यही आएगा क्योंकि ए बादल के साथ अगर यहां प कुछ और होता यहां प कुछ और होता तो तो कुछ फर्क भी पड़ता यहां तो सेम ही चीज लिखी हुई है क्योंकि सेम चीज लिखी हुई है हेंस आप यहां प भी इसमें क्या बोलोगे f बकल इसका इंटीग्रेशन क्या हो जाएगा f उसम आप बी डालोगे फिर आप उसम ए डालोगे आपका स सेम ही आने वाला है देखो दोनों सेम ही है ठीक है इसका जो खानदानी तरीका होता है व ऐसे नहीं लिखते हैं उसको ऐसे लिख देते हैं कि भाई अगर मैं वेरिएबल चेंज कर दूं एडीटी कर दूं तो बात एक ही है ठीक है ऐसे लिखो या ऐसे लिखो बात एक ही है ठीक है तो इसका एक लॉजिक होता है ऐसे फालतू चीज करने के लिए नहीं होता है तो जैसे अगर मैं तुमहे बोल दूं कि मान लेते हैं e की पावर सा x डिवाइड बाय x इसका इंटीग्रेशन फ्रॉम मान लो दो से पा ऐसा कुछ दे दिया मैंने आपको ठीक है और मैंने पहले से बता दिया है कि ये चीज मानो ये g एक के बराबर है मान लेते हैं ठीक है और मैं आपको एक नया इंटीग्रल दे रहा हूं ठीक है दो से पांच है वो भी ठीक है और वो है e की पावर में मान लेते यही है ठीक है मान लेते हैं ये है ठीक है तो ये चीज आपको दे रखी है अब इसको ध्यान से देखा हमने और हमने बोला कि भाई एक मिनट रुक जाओ x क को t मान लो ठीक है अभी इसकी लिमिट भी चेंज होंगी वो मैंने सोचा नहीं है एक्चुअली आईस य 8 होगा य 25 होगा यहां पे ट की पावर 1 बा 3 यहां प 5 की पावर 1/3 ठीक है लेट अस सी व्ट हैपेंस अगर तुमने x क को ती ले लिया तो 3x का स् dx1 के बराबर आएगा ठीक है तो हेंस आप क्या बोलोगे आप बोलोगे कि ये चीज क्या बन गया सर ये बन गया e की पावर में सा t e की पावर में सा t एंड 3x का स् dx3 एक का स् चाहिए ठीक है तो तुम्हें यहां पे 3x स् से नीचे डिवाइड भी करना पड़ेगा सीधी सी बात है तो नीचे बन गया देखो 3 तो बाहर आ गया 1/3 को तो बाहर निकालना पड़ेगा वो तो बाहर निकल गया कोई दिक्कत नहीं है 3x स् dx2 ठीक है और नीचे बन गया आपका सिंपली t अब ये चीज जो आपको दे रखी है और यहां पे लिमिट क्या बन गई 2 1/3 इसमें डालना जरा तो टू ही आ जाएगा और 5 की 1/3 डालोगे तो फ बन जाएगा अब ये जो चीज दे रखी है सर यही आपको पहले से पता है कि इसका आंसर g एक है हेस यहां बन गया 1/3 * g तो मोटा मोटा ये परपस होता है इसका ठीक है सो या ये एक अच्छा इसका वो है ठीक है सो बाकी इसका कोई खास है नहीं फालतू की चीज ठीक है तो एयर पॉइंट प आते हैं थोड़ा सा लेवल बढ़ाते हैं ठीक है एक तो बहुत ही बेसिक सी बात है कि अगर मैंने आपको दे दिया ऐसे जा रहा है और a से b तक जा रहा है अब मैंने बीच में एक पॉइंट ले लिया c तो इट मेक्स क्वाइट अ कॉमन सेंस कि अगर मैं बोलूं कि a से c जाओ और फिर c से b तक जाओ तो ये बराबर होना चाहिए पूरा a से b तक दैट्ची ल गया और फिर ऐसे चला गया ठीक है अब ये जो पॉइंट था डिस्कंटेंट ग्रेट कर दो a से b fx1 डेफिनेशन में कर ही नहीं सकते तो इसको इंटीग्रेट करने का मतलब ही यही है कि आपको पहले a से c तक करना पड़ेगा और फिर c से b तक करना पड़ेगा नाउ यू मे रिलाइज नाउ यू मे रिलाइज कि पहले मुझे इस फंक्शन के सर क्या पॉइंट्स फाइंड करने पड़ेंगे पॉइंट्स ऑफ डिस्कंटीन्यूटी फाइंड करने पड़ेंगे या फिर जहां पे फंक्शन चेंज हो रहा है डेफिनेशन है वो चेंज हो रही है ठीक है वो सारे पॉइंट्स मुझे अलग से फाइंड करने पड़ेंगे एंड सिर्फ तभी ही मैं उसको इंटीग्रेट कर पाऊंगा क्या बात समझ में आ रही है बड़ी गजब की बात है ये मान लेते हैं डिप बा एक् है मान लो मेरे पास डिप बा एक् है और मैं बोल रहा हूं जीरो से टू तक बताओ क्या इसका आंसर होगा अगर तुम ग्राफिकली सोचो ग्राफिकली अगर आप देखते हो तो जीरो से टू में ग्राफ आपका ये बनेगा ये बनेगा ये जीरो है ये वन है और ये टू है ठीक है ये आपका बने ठीक है तो जीरो से टू में अगर आप देखोगे तो जीरो से वन में तो आपका एरिया क्या होगा जीरो हो गया ठीक है और वन से टू में आपका एरिया कितना हो गया वन से टू में ये वन ही है ठीक है तो आपका एरिया कितना हो गया a ही हो गया तो इसका आंसर वन आ जाएगा दैट्ची तो आप देख पा रहे हो कि वन पे कहानी गड़बड़ हो रही है तो आप इसको ऐसे खोलोगे कि रो से वन और फिर वन से टू अब रो से वन में डिब्बा x जो है वो सिंपली क्या है डिब्बा x जो है वो वो सीधे-सीधे रो के बराबर है ठीक है और वन से टू में जब आपका x व से टू के बीच में है उस पॉइंट पे डिब बा x की वैल्यू जो है वो वन है ठीक है तो 0 dx1 ठीक है अब 0x का इंटीग्रेशन क्या होगा तुम बोलोगे कि सर देखो आपने ये बताया था कांस्टेंट x जो होता है उसका जो इंटीग्रेशन होता है सॉरी आपने बताया था सर कि अगर कांस्टेंट है कांस्टेंट में लिखा हुआ है cxxc1 प् c मतलब कि बस एक कांस्टेंट आ जाएगा मतलब कि बस एक कांस्टेंट आ जाएगा ट्स इट एंड कांस्टेंट का वैसे ही कोई वैल्यू होता नहीं है तो यहां तो आपका आंसर आ जाएगा जीरो ठीक है प्लस वन से टू में ये बन गया x यानी कि 2x ठीक है यानी कि ये बन गया ना x तो आप टू डाल तो 2 -1 आपका आंसर आ गया वन हेंस आपका आंसर क्या आ गया वन आ गया पॉइंट इज सिंपली कि आपको इसको तोड़ना पड़ा ठीक है सो इट्स अ वेरी इंपॉर्टेंट एंड अ वेरी नीडेड प्रॉपर्टी खासकर अगर आप देखोगे तो जितने भी आपके मॉड्यूलर फंक्शंस होते हैं डिब्बा वाला हो गया जीआईएफ हो गया पीस वाइज हो गया ठीक है इन सारे फंक्शंस में अगर मुझे एरिया निकालना है तो मुझे पहले क्या करना पड़ेगा कि उनके वो वो स्पेशल पेन पॉइंट्स वो वो सारे पॉइंट्स ढूंढने पड़ेंगे जहां पे उनको मैं तोड़ सकूं ठीक है एंड दैट्ची उन्होंने एक चीज बहुत सिंपल सी सोची उन्होंने बोला कि अगर एक ग्राफ है जो कि बिल्कुल सिमिट्रिकल है मतलब क्या कि मान लेते मान ऐसे लेता य पर अगर ऐसे ब ठीक और इधर ठीक उसका अपोजिट है ठीक उसका पिट है ठीक है मतलब क्या मिट य थोड़ा सही से नहीं बना ठीक है तो आस ऐसे बना सकते ठीक तो अगर मा ली हम सा का ग्राफ बना रहे तो हमें पता हैर ये है और ये माइन है तो इ इट यस की अगर मैं देखूंगा तो यह माइनस पाई है और ये पाई है तो अगर बो को निकालो माइन पा से पा में तो काफी यस है इसका आंसर जीरो ही आएगा राइट लेकिन अगर मैं इसी के करेस्पॉन्डिंग्ली -1 बेसिकली आपका जो आंसर है वो रो ही हो गया इस केस में बट अगर मैं कुछ और लेता अ मान लेते हैं मैं लेता हूं - पा / 2 से पा / 2 लेता हूं - पा / 2 से पा / 2 ध्यान से समझना एकदम - पा / 2 से पा / 2 में ये - पा / 2 है ये पा / 2 है एकदम सिमिट्रिकल हम ले रहे हैं जानबूझ के तो 1 + 1 आपका आंसर आ गया ू डू यू अंडरस्टैंड डू यू अंडरस्टैंड ये एकदम कॉमन सेंस की बात है कि अगर मैं सिर्फ इतने लोग का एरिया निकाल लेता तो मुझे इसको निकालने की तो जरूरत ही नहीं है क्योंकि एकदम सिमिट्रिकल है मतलब क्या कि अगर सर मैं 0 से पा / 2 में अगर मैं cx-5 बा 2 से पा / 2 चले जाते मान लेते हैं - 5/2 से पा / 2 तो - पा / 2 में ये - 5/2 है और ये 5/2 है राइट उसमें भी ये वन होगा और ये -1 होगा मतलब आप कुछ भी कर लो इसका आंसर तो जीरो ही आएगा तो उन्होंने बोला कि इसको हम क्या बोलेंगे इसको बोल दिया उन्होने ऑड फंक्शन ठीक है और ये क्या है ये क्या है अगर आपको नहीं भी पता इवन ऑ फंक्शन नहीं पढ़ा आपने मेरे से फंक्शन या कुछ भी ठीक है तो भी अगर आप समझना चाहे तो बहुत ही बेसिक सी बात है बहुत ही बेसिक सी बात है कि ये कैसा फंक्शन होगा कैसा फंक्शन होगा ये वो फंक्शन है जो ओरिजिन के अराउंड अगर आप देखेंगे तो सिमिट्रिकल है ठीक है ओरिजिन के अराउंड सिमिट्रिकल ठीक है फॉर एग्जांपल जैसे मानो x क का ग्राफ होता है तो ऐसा बना और फिर ऐसा बन गया देखो आप ओरिजिन के अराउंड कहानी एकदम मिरर कर गई एकदम सिमिट्रिकल सी है एंड यहां पर क्या होगा कुछ नहीं होगा वा एक्सिस जो है वा एक्सिस जो है वो शीशे का काम करता है वो मिरर है ठीक है तो अगर यहां पे ऐसा बन रहा है तो यहां पे भी ऐसा बन बनेगा इट इज अ मिरर ठीक है अगर यहां पे ऐसा बना है तो यहां पे भी ऐसा बनेगा राइट दैट इज कॉल्ड इवन फंक्शन ठीक है तो कुछ ऐसा नहीं कि कॉल्ड एंड ऑल दैट मतलब बेसिकली क्यों कर रहे हैं वो ये काम इसी की वजह से कर रहे हैं ठीक है इसी की वजह से कर रहे हैं जैसे कि आप यहां पे एरिया बड़े आसानी से निकाल सकते हो सो अब इसकी डेफिनेशन भी उन्होंने सोच ली उन्होने बोला कि अगर यहां पे एक फंक्शन f है ठीक ये भी तो एक फंक्शन f है इसमें अगर मैं नेगेटिव वैल्यूज डल रहा हूं नेगेटिव ाल रहा हूं तो वो नेगेटिव हो जा रहा है अगर यहां पे आपने डाला वन तो यहां पे आएगा f1 ठीक है मब यहां पे डाल रहे हो -1 ठीक है तो उसके रेस्पॉन्डिंग आपका जो आंसर है वो आएगा - f1 मतलब अगर f1 पे वैल्यू तुम्हारी टू आ रही है तो यहां पे -2 आएगी तभी तो वो ग्राफ बिलु सिमिट्रिकली वही बनेगा मतलब कि जब आपने फंक्शन के अंदर माइनस कुछ भी डाला x में तो उसका आंसर आएगा - fx1 डालने पे अगर f1 आ रहा है तो यहां पे -1 डालने पे भी वही आना चाहिए वही आना चाहिए मतलब ये कि चाहे तुम f - x डालो चाहे तुम ट इ डेफिनेशन ऑफ इवन फंक्शन ठीक सो अब यहां पर हमने अपना एक वो बनाया की अगर तुम्हारा जो फंक्शन है मुझे दे रखा है f में f मुझे दे रखा है मान लेते ठीक है और किसी माइनस ए से ए तक लिए दे रखा है ठीक है तो मैं बोल सकता हूं कि अगर मेरा जो f है अगर वो ऑड फंक्शन है अगर वो ऑड फंक्शन है तो तो बात ही खत्म हो गई क्योंकि य ड फंक्शन है यानी कि सिकल होगा सिमल होगा समथिंग मानो ऐसा ऐसा ओ ऐसा ठीक है अब इसमें अगर आप देखते हो तो ये वाला एरिया और ये वाला एरिया एक दूसरे को काटने ही वाला है है ना कुछ भी तुम ले लो माइनस 0.5 से 0.5 ले लो या - 0.6 से 0.6 ले लो अगर तुम कुछ भी ले लोगे तो जितना एरिया तुम यहां कवर करोगे उतना ही तुम यहां कवर करोगे बिल्कुल सिमिट्रिकल कंडीशन है हेंस यहां पे रो आके ही रहेगा ठीक है सिमिलरली अगर मैं बोल दूं x जो है fx1 फंक्शन है इवन फंक्शन है उस केस में क्या होगा जैसे x का स्क्वायर है ना y = x स् अगर मैं बोल दूं कि -2 से 2 तक का निकालो ठीक है तो -2 से 2 तक का तो अगर तुम सिर्फ इतना निकाल लो है ना अगर तुम रो से टू तक का यानी कि रो से a तक का निकाल लो और उसको डबल कर लो ठीक है इतना निकाल लो उसका डबल कर लो तुम्हे ये भी मिल जाएगा ठीक है लेकिन सर ऐसा भी तो फंक्शन हो सकता है ना जो कि ना इवन हो ना ऑड हो ये भी तो फंक्शन एजिस्ट करते हैं ना ऐसे वाले अब ना ये इवन है ना ऑड है राइट ड फक्शन हो जाए तो बल्ले बल्ले बोलता सी सा सा लगा र माइन आपका आंसर जीरो आएगा बात खतम हो गई और कुछ सोचने की जरूरत नहीं है ठीक है सो य इसम खास बात है न हो गया तो क्या करोगे आप मत इन न ड उस केस में क्या करेंगे उस केस में जो हम करेंगे वो काफी इंटरेस्टिंग है लेट मी एक्सप्लेन तो इसको ऐसे देखो कि मान लो कोई फंक्शन आपका जा रहा है मान लो ये फंक्शन है आपका ठीक है ये फंक्शन है मान लो f ठीक है अब - ए टू a में क्लियर हमें दिख रहा है कि भैया ये ना तो इवन फंक्शन है ना ऑड फंक्शन ठीक है कुछ भी नहीं है इसके अंदर अब - ए टू a यानी कि आपको ये निकालना है ये वाला एरिया निकालना है आपको दैट इज व्ट हैव बीन आस्ड मैं बोल रहा हूं इसका एक फंक्शन बनाओ इसका भाई वाला फंक्शन एंड दैट इज f - x तो कुछ नहीं होने वाला ऐसा एक फंशन बन जाएगा ठीक ये जो मैंने बनाया दिस इज f - x ठीक है अब ध्यान से देखना अगर आप 0 टू a पे कंसंट्रेट करिए तो 0 टू a में जो मुझे चाहिए था वो उतना तो आ ही गया उसको मैं शो करता हूं ब्लू कलर से ठीक है तो जितना मुझे चाहिए मुझे चाहिए कौन सा मुझे देखो ये जो था ये तो आ ही गया ठीक है अब मुझे जीरो से माइनस ये वाला एरिया मुझे और चाहिए राइट ये वाला जो मेरे को एरिया है ये मुझे और चाहिए मैं कह रहा हूं ध्यान से देखना एकदम ध्यान से ठीक है आपको दिखेगा ये देखो ये एकदम सिमिट्रिकल कंडीशन बन रही है ये वाला बोलू या ये वाला बोलूं बात एक ही है राइट यानी कि मैं बोल सकता हूं मैं बोल सकता हूं कि तुमसे बोला गया है कि माइ ए से a में f का तुम्ह एरिया बताना हैट इ इक्विवेलेंट ऑफ से की जीरो से ए में जीरो से ए में f का निकाल लो ठीक है वो तो तुमने निकाल लिया ट इ ब्लू कलर वाला एंड देन एंड देन जो f माइ एक् है जो f माइ का ग्राफ है उसमें भी अगर आप जीरो से ए वाला देखोगे जीरो से ए वाला अभी बना रहा हूं ठीक है वो वाला एरिया और यह वाला एरिया सेम ही है तो आप इसको अगर जोड़ दीजिए ऐसे लिख दीजिए तो बात एक ही है ठीक है एंड ये अकेला काफी है ये बात अकेली ही काफी है क्यों क्योंकि अगर मान लो आपका फंक्शन ऑड है अगर फंक्शन ऑड है तो f - x किसके बराबर हो जाएगा - f के तो इसको काट देगा आपका आंसर जीरो आ जाएगा अगर इवन फंक्शन हो गया तो फिर fxxx.pro य ह तो य ख देता इससे भी ज्यादा अच्छा ऑप्शन है यर आपको माइन ए से ए में अगर आपको दे रखा है एक में तो इसको ऐसे ख सते ट प् माइम ठीक है अगर ड होगा तो आपका आसर जी आ जाएगा अगर इन होगा तो आपका आर आ टाम 0 से ठीक है अ इसको आप बहुत सारे एग्जांपल से समझ सकते हो कि अगर मैं तुम्हारे सामने लिख दूंगा मान ले x स् क x ठीक है माइनस पा से पाई कुछ भी सबसे पहले जैसे आपने देखा -2a आप देख रहे x स् क x आपने इसमें - x डाल दिया ठीक है तो - x का स्क्वा डाल दिया और क के अंदर डाल दिया - x तो ये क्या बन गया ये x स् क x ही बन गया दोबारा दैट सिंपली मींस की ये आपका इवन फ तो आप इसको ऐसे लिख सकते हो 0 से पा x स् अब आप इसको आगे कैसे प्रोसीड करोगे कुछ नहीं है इस बाटी लगा देना हैट्स इट है ना आपको इवर्स नोट्री सॉरी इवर्स ट्रिग्नोमेट्री कह रहा हूं इंटीग्रेशन बाय पार्टस आता है ना तो क को इंटीग्रेट कर लो और एक स् को डिफरेंट कर लो उससे काम आपका बन जाएगा दो बार लगाना पड़ेगा उससे हो जाएगा क्वे ठीक है सोट्स हाउ य प्रोसीड ठीक है बाकी हम बहुत सारे क्वेश्च करेंगे उस देख डोंट यरी ठीक है तो कहानी और आगे बढ़ती है कहानी और आगे बढ़ती है 10थ ऑब्जर्वेशन कह सकते हो आप कुछ भी कह लो प्रॉपर्टी कह लो ठीक है तो समझते हैं उस चीज को सो अब मैथमे थोड़ा और सोच रहे थे ठीक है तो उन्होने ऐसे ही खेलना शुरू किया म आपको एपल दे रहा हूं ठीक है मान लेते ये हमारा ए से बी में कोई ग्राफ जा रहा मान लेते कुछ इस प्रकार का जा रहा है मान लेते ठीक अब हमें पता है कि हा इंटीग्रल ए से बी में एडी एक होगा पूरा आपका यह वाला जो एरिया होगा अब अगर मैं ये तो f था ठीक है ऊपर वाले सेपरेशन ले खेल रहा हूं ठीक है अगर मैं f माइ एक कर दूं अगर मैं f माइ एक् कर दूं तो इसी का वो बन जाएगा राइट बिल्कुल सिमिट्रिकल यहां बन जाता है ऐसे मैं बना नहीं पाया बट आपको समझ में आ रहा होगा ठीक है और वो बिल्कुल ऐसे ही बनेगा जैसे यहां ए था तो य आएगा माइन ए और ये आएगा माइन बी ठीक है तो बिल्कुल सिमिट्रिकल यही ग्राफ दोबारा यहां बन जाएगा ठीक है तो कितने लोग ये समझ गए कितने लोग ये समझ गए कि ये जो बना है और ये जो बना है ये एरिया तो सेम ही है इनके बीच का है ना भा अगर यहां प एरिया ये a है तो ये भी तो ए ही होगा ना तो अगर ये ए के बराबर है तो अगर मैं बोल दूं कि f के अंदर अगर आप माइ डाल दो और यहां पर आप बोल दो माइन बी से माइन ए तक तो वहां पर भी आपका एरिया ए ही आएगा ठीक है बट यू नो व्ट इ इंटरेस्टिंग जो मैथमे ने किया दैट वाज कि अगर मैं ये जो चीज लिखी हुई है ये क्या है ये f माइ एक है किसी तरह अगर मैं इस पूरे ग्राफ को उठा कर के इधर ट्रांसलेट करा दूं इस ए से बी के बीच में ले आऊ मैं इस एरिया को इधर ले आऊ तो मैं बहुत कुछ कर सकता हूं क्या बोलना चाह रहे हैं वो भा अगर तुम्ह माइनस ए वाली चीज को बी प लाना है ठीक है माइन ए को अगर तुम्हे बी प लाना है तो उसके लिए तुम क्या करना पड़ेगा - ए में ऐसा क्या जोड़ो कि b आ जाए एक तो a जोड़ दो और एक b जोड़ दो राइट अगर तुम a + b जोड़ दो तो ये और ये कट जाएगा और b तक पहुंच जाएंगे तो उन्होंने दिमाग में सोचा कि अगर मैं ये करूं f में - x तो है ही मैं यहां पे a + b जोड़ दूं हर - x में तो ये जो पूरा ग्राफ है ये जो पूरा ग्राफ है ये यहां पहुंच जाएगा राइट ये ऐसा बन जाएगा ये जो मैंने येलो कलर से बनाया दिस इज द सेम ग्राफ जो बस ट्रांसलेट हो कर के राइट हैंड साइड में आ गया है ठीक है नाउ इफ यू सी द ग्राफ ठीक है येलो वाला जो ग्राफ है चाहे मैं ये वाला एरिया बोलूं ठीक है या फिर मैं वाइट से बोलूं ये वाला एरिया ये दोनों एरियाज ही सेम है सही बात है सो व्हाट वी आर ट्राइम टू से ये जो येलो वाला ग्राफ है ये क्या है ये कौन सा फंक्शन है ये है f + b - x वाला फंक्शन राइट सो वी कैन वेरी क्लीयरली से कि a से b में ही अगर आप फंक्शन ले लो a + b - x dx6 ठीक है तो आप क्या कर सकते हो कि आप इसकी लिमिट को जोड़ दो a + b कर दो ठीक है आपने ए प् बी कर दिया ए प् बी कर दिया और उसको माइनस कर दिया यहां पर तो ये बात बिल्कुल आपकी सही है ठीक है ये बात बिल्कुल सही है ठीक है सो दिस इ वेरी बहुत ही ज्यादा काम की चीज है ठीक है इससे बहुत ज्यादा कॉम्प्लिकेटेड जो इंटीग्रल होते हैं वो आपके सॉल्व हो जाते हैं इससे ठीक है अच्छा इसको हम एक और तरीके से भी कर सकते थे अगर हम चाहे तो इस को एक और तरीके से भी प्रू कर सकते हैंट इ की जसे यहां पर हमय दे रखा है सो व्ट यू कुड हैव डन इ कि आप या तो यहां पर बोल दो आप बो कि x जो है वो a + b - t के बराबर है मान लेते हैं ठीक है सो फिर जो dx-data-grid तो ये और ये कट जाएंगे बेसिकली t जो है वो b के बराबर हो जाएगा और जब x आपका b के बराबर है तो आपका जो t है वो a के बराबर हो जाएगा राइट सो बाय बाय दिस लॉजिक व्हाट वी डू इज व्हाट वी डू इज कि ये बन गया a + b - t ठीक है यहां पे आ गया - dt1 है और माइनस बाहर आ गया ठीक है और ये बन गया आपका जहां पे a है वहां पे b आ जाएगा तो b से a तक ठीक है तो ये वाली चीज ऐसे हमने लिख दी ठीक है अब इसको मैं फिर से घुमा के लिख सकता हूं एंड आई कैन राइट इट लाइक दिस a से b है ना - n को इंक्लूड कर लिया और लिमिट को घुमा दिया और इसको लिख दिया f + b - x मैंने क्या करा व्हाट इज दिस ये मैं यहां से यहां कैसे पहुंच गया t तो वेरिएबल है ना तो हम लोगों ने ये वाली प्रॉपर्टी अभी-अभी तो पढ़ी थी कि अगर आपको दे रखा है fxxx.pro पावर 5x प् क की पावर 5x ठीक है और मान लो हम बात कर रहे हैं फ्रॉम 0 टू 5/2 चलो ये है मान आपसे बोला ये निकालना है अब ये आपके पास क्या दे रखा है है ना ये आपको क्या दे रखा है ये आपको बेसिकली ये दे रखा है राइट इसमें मैंने क्या करा मैंने बोला कि देखो ये चीज किसके बराबर होगी ये चीज बराबर होगी इसके सा पा / 2 प् 0 दैट इज पा / 2 राइट तो पा / 2 - x और नीचे भी लिख दिया मैंने सा 5/2 - x की पावर 5 प् क पा / 2 - x की पावर 5 है ना और यहां पे भी इसकी पावर भी 5 हो रखा है अब धन से देखना क्या खींच सा पा / 2 - x इ बेसिकली क ठीक है तो ये नीचे वाला क्या बन गया अगर आप ध्यान से समझ पा रहे होंगे तो ये बन गया क की पावर 5x ठीक है ये क्या बन गया क की पावर 5x और ये जो क पा / 2 - x लिखा हुआ है ये बन जाएगा सा पा / 2 - x ठीक है ये बन गया सा की पावर 5x नाउ इफ यू सी डिनो मिनेट दोनों में सेम है ठीक है और यहां पे लिमिट अभी भी क्या लिखी हुई है 0 से 5/2 ये मैंने कुछ नहीं किया बस ये लगाया है ठीक है नाउ व्हाट आई एम ट्रांग टू से इज कि ये दोनों चीजें ही आ के बराबर है मान लेते हैं ठीक है तो ये जो चीज लिखी हुई है ये भी i के बराबर है और ये जो चीज लिखी हुई है ये भी i के बराबर है लेट अस ऐड बोथ ऑफ दीज लेट अस ऐड बोथ ऑफ दीज तो अगर तुम इन दोनों इंटीग्रल्स को जोड़ दो ये लिखा हुआ है i और ये भी लिखा हुआ है i तो क्या आ जाएगा 2i आ जाएगा हम्म अरे इसको ऐसे देखो ना अ अगर आपको समझ में नहीं आ रहा तो इसको ऐसे देखो कि अ अगर अ आप इसको हटा द तो थोड़ा सा खिच पिच हो गया बट ट्रा प्लीज ट्राई टू अंडरस्टैंड कि मालो ये आपका i है ठीक है और ये भी आपका i के बराबर ही लिखा हुआ है राइट एडिंग बोथ ऑफ दीज तो एलएचएस क्या आएगा i + i 2i आ जाएगा ठीक है और आरएचएस क्या आएगा आरएचएस क्या आएगा 0 से पा / 2 में अगर आप इनको जोड़ो ग अगर आप इनको जोड़ो ग तो डिनॉमिनेटर तो वही आ जाएंगे ना सा की पावर 5 + क की पावर 5 और न्यूमरेशन क्या आएंगे सा की पावर 5 + क की पावर 5 दिस इज द ब्यूटी और ये और ये कट जाएंगे सिंपल dx2 का इंटीग्रेशन क्या बन जाएगा वन का इंटीग्रेशन यानी कि x राइट तो बेसिकली हुआ कुछ नहीं यहां पे ये पूरा कट पिट के सिंपल x बन गया और सिंपल x बन गया अब x के अंदर आप पा / 2 डाल दीजिए और रो डाल दीजिए तो x में पा / 2 डाल दो तो पा / 2 आ जाएगा रो डालोगे तो ज़ीरो आ जाएगा उसको माइनस कर दिया आपने तो आपका इंटीग्रल जो है वो क्या आ गया वो आ गया पा बा 4 ट्स इट ट्स इट ठीक है इनफैक्ट इसको तो हम याद तक कर सकते हैं कि अगर यहां पे हम फ से कोई लेना देना तो है नहीं ठीक है आप इसको याद तक कर सकते हो कि 0 से 5/2 में अगर आपको दे रखा है सा की पावर n कुछ भी हो चाहे n की पावर में ठीक है और यहां प दे रखा हो n प् क की पावर n तो इसका आंसर हमेशा पा बा 4 ही आएगा आप देख सकते हो ठीक है सो बहुत ही कॉम्प्लिकेटेड जो इंटीग्रल्स होते हैं वो इस प्रॉपर्टी से सॉल्व हो जाते हैं इसीलिए इसको बोला भी जाता है किंग प्रॉपर्टी ठीक है क्योंकि इट इज अ वेरी वेरी यूजफुल प्रॉपर्टी ठीक है तो काफी सारे इंटीग्रल ऐसे निकाल सकते ठीक है सो यह बात तो हमारी हो गई अब मै म तो आ रहा है ठीक है उन्होने और सोचा उने और देख रहे और क्या हो सकता है ठीक है तो इसी से मिलता जुलता उनके दिमाग मेंचीज आटस की खेल रहे और कुछ नहीं मान लेते य हमारे पास कोई फ जा रहा ठीक है और जीरो से मान लेते हम यहां तक गए ठीक हैय मान लेते हमारे पास है कोई हम किसी तक जा रहे ठीक है और फिर उन्होने बोला कि इसका जो मिड पॉइंट होगा जो बीच का पॉइंट होगा टड बी आपका a बाट होगा ठीक थोड़ा कॉम्प्लिकेटेड हो रहा तो एक काम करते ना a बाटू एंड ल थोड़ा सा लगता है काम करते है इसको ए बोल देते हैं और इसको 2a बोल देते हैंट मेक्स सेंस राइट सो जीरो से ए है और से 2a है तो जब मैं बोलता हूं कि इंटीग्रल में आप बोल रहे हो कि जीरो से 2a को आपको इंटीग्रेट करना है f ठीक है तो इतनी बात तो क्लियर हो गई कि जीरो से ए तक का क्लियर है कि इट इज fx8 एंड प्लस में अब a से 2a वाला और हमारे पास एक है कि a से 2a में हमारे पास एक्स्ट्रा कुछ दे रखा है ना fxxx.pro वेरी इजली बट हमने ये तो हम नहीं कर रहे हैं ठीक है हमारा प्लान कुछ और है हमारा प्लान ये है कि ये जो ग्राफ है ये जो बचा हुआ ग्राफ है इसको भी अगर मैं ट्रांसलेट करके यहीं पे ले आऊं रो से a में सो इसके थ्रू होगा क्या कि मेरी लिमिट जो है जो लिमिटे जो लिमिट्स दे रखी है ना 0 से 2a उसको अगर मुझे रो से a में लाना है दिस प्रॉपर्टी इज बेसिकली यूज की अगर किसी तरह मुझे लिमिट को हाफ करना हो तो उसके लिए मुझे क्या करना पड़ेगा सो मैथमेटिशियंस ने क्या दिमाग लगाया उन्होंने बोला कि ये जो फंक्शन है हमारे पास fx1 कर लूं बिल्कुल वही सेम लॉजिक है कुछ कुछ खास नहीं है अगर इसका माइनस कर लेंगे तो ये यहां पे आ जाएगा ठीक है ये यहां पे आ जाएगा और फिर ये जब आएगा यहां पर तो ये कहां पर आएगा ये एक्चुअली - a पे आएगा और मुझे इसको इधर ट्रांसलेट करना है तो इसलिए मैं इस पे क्या जोड़ देता हूं मैं इसमें 2a जोड़ देता हूं ठीक है तो एक ग्राफ जो ये है ना इसी का घूमता हुआ वर्जन यहां बन जाएगा बिल्कुल ऐसा ठीक है समझ रहे हो बात को ये जो मैंने वाइट से बनाया हुआ है इसी का जो रिफ्लेक्शन जो है वो यहां बन जाएगा ऐसे ठीक है ये ये जो मैंने ग्राफ बनाया ये जो मैंने ग्राफ बनाया दिस इज द ग्राफ ऑफ f2a - x आप सोच लो यही बनेगा एंड नाउ वी कैन से एंड नाउ वी कैन से कि ये वाला जो एरिया है है ना और ये वाला जो एरिया है ये दोनों तो सेम ही होंगे तो अगर मैं बोल रहा हूं a से 2a में f gx2 - x dx2 - x ठीक है d तो ये क्या करा हमने हमने किया क्या बेसिकली ये आपका आ गया 0 से 2a और f एक dx2 करना है जैसे अगर तुम्हें दे रखा हूं मान लो रो से पा सा x दे रखा है आपको ठीक है और आपको पहुंचना है 0 से पा बा 2 सा x पे ठीक है तो ये चमत्कार इसके थ्रू हो सकता है क्या को लिमिट ही आधी कर दया आपने ये इसके थ्रू हो सकता है देखो आप ठीक है तो क्या आंसर आएगा आपका अगर आपने ऐसा कर दिया तो आपका आंसर क्या आएगा आपका आंसर ये आएगा सर कि अगर आपको ये करना है तो ये इसके बराबर आएगा ये प्लस प्लस सा के अंदर सा के अंदर 2a - x यानी कि पा - x बस ट्स इट ठीक है तो कर लीजिए इसको सॉल्व ये हो जाएगा 0 से पा / 2 और यहां बन जाएगा सा x सा x तो एज इट इज हो गया और ये हमें पहले से पता है ये पा कहां से आ गया पा / 2 का डबल है ना या फिर आप सीधे-सीधे बोल दो कि ये वाली लिमिट लगा दे यहां पर ट्स इट सो सा पा - x दैट इज अगेन sin2 सा x ट्स इट ठीक है इनफैक्ट आप इस पे भी थोड़ा सा अगर आप मेडिटेटिव काम कर सकते हैं आप ये बोल सकते हो कि देखो ये ऐसा क्यों हुआ ऐसा इसलिए हुआ क्योंकि f2a - x और fx2 है ये दोनों सेम आ गए अगर ये दोनों इक्वल आ जाएंगे तो कॉमन सेंस है कि ट ही भर आएगा ना मतलब क्या कि अगर मुझे ऐसे दे रखा है 0 से 2a सी है 0 से 2a fxxx.pro कि भाई इसका आंसर या तो जीरो आएगा या फिर इसका आंसर आएगा टू टाइम्स ऑफ 0 से ax2 आंसर आ सकते हैं कैसे भाई देखो या तो f2a - x जो होगा वो fxxx.pro ऊपर वाला यूज़ करना पड़ेगा ठीक है आपको ये वाली चीज यूज़ करनी पड़ेगी ठीक है दिस इज वेरी सिमिलर टू जो हमारी इवन ऑड प्रॉपर्टी थी जो इवन ऑड वाली प्रॉपर्टी थी बिल्कुल उसी के ही बात एकदम आपकी इक्वल बैट रही है ठीक है सो ये भी एक बड़ी ही इंपोर्टेंट बात बन जाती है और ये सब ऑब्जर्वेशंस हैं और कुछ नहीं है इन्हीं को दुनिया बोलती है प्रॉपर्टीज ऑफ डेफिनेट इंटीग्रल्स बट दीज आर नॉट आईडियली आई थिंक प्रॉपर्टी इज नॉट द राइट वर्ड अकॉर्डिंग टू मी ठीक है अ वी कैन से कि भाई ये तो तुम बस एनालाइज कर रहे हो ना तुम अलग-अलग फंक्शंस के बारे में सोच रहे हो ठीक है अब जैसे कि ये बात कितनी ओबवियस है जो मैं नेक्स्ट बात करने वाला हूं वो कितनी ओबवियस सी है ठीक है एक बंदे ने बस ये सोच लिया कि भाई sinx-cosx है ना और ये 6 पा है तो अगर तुम्हें रो से 2 पा पता है यानी कि हम बोल सकते हैं कि ये इसको हमने बोलेंगे इसको बोलेंगे पीरियोडिक फंक्शन राइट तो ये जो पीरियोडिक फंक्शन होता है वो बेसिकली क्या है जो रिपीट कर रहा है फॉर एग्जांपल जैसे फ्रेक्शनल पार्ट x है अब फ्रैक्शन पार्ट x में सारे ग्राफ ऐसे बनते हैं राइट ये दिस लाइक दिस ऐसे है ना तो इसमें अगर आप सोच पाओ कि एरिया क्या होगा तो अगर आप बोलूं मैं जीरो से वन तो अगर तुम्हें जीरो से वन का एरिया समझ में आ गया जो कि आप बड़ी आसानी से निकाल सकते हो बिकॉज दिस इज आल्सो वन तो ये ट्रायंगल का एरिया क्या हो जाएगा 1/2 बेस इनटू हाइट यानी कि 1/2 हो जाएगा तो इसका एरिया भी 1/2 हो गया तो ये भी 1/2 होगा ये भी 1/2 होगा भाई ट्रायंगल है तो सब सेम ही ना है ना सब सेम ही कॉन्फिन के हैं तो अगर तुमने एक पीरियड का निकाल लिया फॉर एग्जांपल अगर मैं बोलता फ्रैक्शन पार्ट x ठीक है और मैं बोल दूं रो से 100 तक का बता आंसर क्या आएगा ठीक है व्ट ् व्हाट विल बी द आंसर तो आप थोड़ा दिमाग लगा लो आप ये बोलो कि भाई एक काम कर ये जो फ्रैक्शन पार्ट x है ना इसका जो पीरियड होता है वो वन होता है वन ठीक है मतलब वन के बाद ये चीज रिपीट करती है जैसे sinx-cosx वो रिपीट करती है नेगेटिव में भी यही हाल होता है राइट नेगेटिव में भी तो यही हाल होता है ठीक है सो यहां पर पीरियड वन है अगर पीरियड वन है तो पहले तो ज़ीरो से व तक का निकाल ले बस ठीक है जैसे अगर मैं ऐसे तुमसे बोलूं कि sinx-cosx पा अगर तुम सोचोगे तो 1 2 3 4 और एक और आ जाएगा पांच राइट तो यहां पे पांच से मल्टीप्लाई कर दो क्योंकि पांच टोटल साइकिल्स हो जाएंगे ना राइट और ये अच्छा हमें पहले से पता है इत्तेफाक की बात है कि 0 से 2 पा में sinx-cosx 100 ट्रंगल ठीक है और हमने एक ट्रायंगल के पहले निकाल दिया तो ये जो आ रहा है ये किसके बराबर है ये बाट के बराबर है तो 100 न बा आपका आंसर सी आ जाएगा 50 कितने लोगों ने पैटन भी बना लिया होगा सर ठीक है बात समझ में आ रही है दिस वे य इट ठीक है अ यर 100 ना हो करके माइन 100 होता मान लो चलो मान लेते या फर कुछ और 50 होता अब तुम समझ पा रहे हो माइन इधर है और य 100 है तो टोटल कितने होंगे टोटल होंगे 150 टोटल होंगे 150 कितनी साइकिल्स होंगी 150 तो सर ये आप क्या कर रहे हो कितने लोगों को एक पैटर्न दिख रहा है कि सर आपने क्या करा आपने अपर लिमिट ली और आपने लोअर लिमिट ले ली है ना और आपने उन दोनों को माइनस कर दिया और इससे आपका आंसर 150 आ गया मैंने कहा गलत गलत किया तुमने गलत किया तुमने दे सेना क्यों भाई यहां पर भी तो तुम कर सकते हो ना भाई यहां पर भी तो तुम ये चीज कर सकते हो ना कि भाई 8 पा है ना और फिर माइनस में -2 पा ठीक है ये क्या हो गया ये हो गया 10 पा राइट तो क्या यहां पर फव लिखा हुआ है यहां पर 10 लिखा हुआ है तो आपको डिवाइड भी करना पड़ेगा ना पीरियड से ये पूरी एक पूरी साइकिल आ गई सॉरी ये पूरा लेंथ आ गई अब इस लेंथ को आपको अपने अपने पीरियड से भी तो डिवाइड करना पड़ेगा ना तो यहां पे हमारा पीरियड क्या था 2 पा था तो आपने 2 पा से डिवाइड कर दिया इसको तो 2 पाई से डिवाइड कर दिया आपका आंसर आ गया पांच ठीक है तो पांच साइकिल्स यहां पे आ जाएंगी ठीक है सिमिलरली यहां पर हमारा जो पीरियड था वो वन था इसी वजह से यहां पे आपका आंसर 150 ही आ गया डायरेक्टली ठीक है तो ऐसे बहुत सारे पीरियोडिक फंक्शन हो सकते हैं तो अब समझने की कोशिश करना ठीक है थोड़ा सा और मैं इसको एडवांस लेवल लेकर जा रहा हूं ठीक है सो sinx-cosx ठीक है तो हमारे पास सा x का हम बना के रख लेते हैं ऐसे और फिर ऐसे तो हमने एक बात तो बहुत प्यार से समझ ली है कि सर अगर मान लो मुझे ठीक है या एक और अच्छा एग्जांपल लेते हैं सा की जगह एक और एक बढ़िया काम करते हैं मॉड्यूस सा लेते हैं मॉड्यूस सा ठीक है तो उसमें सब पॉजिटिव हो जाएगा तो कुछ सेंस बनेगा ठीक है तो ये आ जाएगा मडल सा x ठीक है ना मॉडल सा में आपको एक बात दिख रही होगी कि इसमें जो आपका पीरियड है वो जीरो से पाई प ही आ गया क्योंकि अगर आप देखोगे अगर आपको जीरो से पाई पता है तो आपको सब पता है फिर सही कह रहा हूं राइट तो एक बात तो क्लियर हो गई कि इसका जो पीरियड है का जो पीरियड है वो पा है सा मॉड्यूस सा x का ठीक है तुम्हारा जो फंक्शन है वो ये है अच्छा पीरियड के लिए एक और बात होती है अगर आपको पीरियोडिक फंक्शन नहीं पढ़ रखा है तो आपको पता हो नहीं होगा तो अब मैं आपको बता देता हूं कि अगर मैं बोल दूं कि fx5 ध्यान से देखना क्या क्या कह रहा हूं मैं मतलब मॉड्यूस सा के अंदर अगर तुमने डाल दिया x + पा ठीक है तो क्या मिलेगा आपको सा पा + x इज बेसिकली - सा x है ना और उसका मॉड्यूस जो होगा वो फिर से आपको क्या दे देगा sinx-cosx इसको भी अगर आप हटा दो ये भी फालतू की री है मैं कहना सिर्फ आपसे ये चाह रहा हूं कि अगर आपको कभी भी दे रखा हो कि फंक्शन जो है वो पीरियोडिक है वो पीरियोडिक है ठीक है यानी कि उसका पीरियड जो है वो मान लो वो t है दैट सिंपली इंप्लाइज कि fx1 जो होगा वो fxxx.pro इसका जो पीरियड होगा तुमने इसमें पाई जोड़ दिया क्योंकि इसका पीरियड पाई है तो अगर तुमने इसमें पाई जोड़ दिया तो x प् पा यहां पे कहीं प आ रहा होगा क्योंकि पाई तो यहां पे आ रहा है तो x प् पा यहां प कहीं प आ रहा होगा अगर तुम ध्यान से देखोगे तो तुम फिर से वही खड़े होगे जहां तुम पहले खड़े थे और इसका एक पूरा फंडामेंटल लॉजिक है क्योंकि आप पाई यूनिट आगे बढ़ गए तो आप वहीं पे तो खड़े हुए हो इनफैक्ट अगर मैं यहां पे 2t भी कर देता अगर आप 2 पा जोड़ देते तो आप कहां खड़े होते तो आप यहां खड़े होते तीनों ही केसेस में आपका जो आंसर है वो सेम आएगा आप देख सकते होगे f एक f x+ पा f x+ 2 पा f एक + सब बराबर आएगा ठीक है तो f एक प् n इ f ये एक बिल्कुल जनरल डेफिनेशन है एक पीरियोडिक फंक्शन की एंड दिस वेरी बल डिफाइंस पीयो ठीक है कि मतलब ही क्या हुआ इस बात का ठीक है तो ये तो चलो मैंने जनरल बात कर ली अब फिलहाल हम अपने डिस्कशन प लौट के आते हैं ठीक है सो या अ जैसे मुझे ये दे रखा है ठीक है अब ध्यान से समझना एकदम ठीक है सो एक बात तो मैं कर रहा हूं वो ये है मैं थोड़ा जरा इसम नेगेटिव वाली चीज ले ले चलो ये माइनस अगर मैं बोलता हू तुमसे 0 से 100 पा तक का दे रखा है 0 से 100 पा ठीक है और यहां पे दे रखा है मॉडल sinx-cosx * 2 आपका आंसर आ गया 200 और ये आपका आंसर हो जाएगा तो अगर मैं आपसे बोल रहा हूं जनरल रूल के तौर पे हम जनरल रूल्स यहां लिख देते हैं कि अगर आपको कभी भी ऐसा दे रखा है कि जीरो से कोई फंक्शन दे रखा है है ना और वो पीरियोडिक है ये पहले से बताया आपको कि x प् t जो है वो f के बराबर है मतलब ये जो फंक्शन दे रखा है आपको f इसका पीरियड t है और यहां प मैं बोल दू कि रो से n तक तुम जा रहे हो जैसे यहां प था ना 0 से 100 पा तक तुम जा रहे हो ठीक है तो यहां जा रहे हो n तो इसका सीधे आंसर हो जाएगा n बाहर निकाल दो और यहां लिख दो 0 से t f बोलो बात एकदम कॉमन सेंस की है बिल्कुल कॉमन बात है कि एक पीरियड निकाल लो बाकी n साइकिल से मल्टीप्लाई कर दो ये तो हमने पहली बात कर ली अब एक और बात अगर मैं रो से 100 पा पे ना जा कर के ध्यान से समझना मैं क्या कह रहा हूं मान लो मैं जाऊं अ 2 और यहां प लिख दूं 100 पा + 2 अब अगर तुम देखोगे तो मैंने क्या करा ये अब ये जो पूरी कहानी है ये टू से शुरू होगी अब टू यहां पे कहीं पे होगा ठीक है ये दिस इज टू ठीक है तो टू से पूरी कहानी शुरू होगी अब तुम समझो इस बात को की जब तुम से 100 प् पर जा रहे हो उससे कोई नहीं प पूरी कहानी य ऐसे शिफ्ट हो गई रहा अभी भी व वैसा ही जैसे व था पहले व अभी भी वही रहा मतलब क्या अगर मैं आपसे बोल द सेकंड वाला जो आपको ऊपर दे रखा था इसी में जोड़ दोन लिमिट में य जोड़ दीजिए प् तो इसका आंसर भी यही हो जाएगा जी से क्याय बा आपको बनाती ख रही है क्योंकि पहले तुम्हारा क्या चलो एक एग्जांपल लेते हैं ना 100 पा बहुत ज्यादा लग रहा होगा आपको थोड़ा सा ठीक है तो एक काम करते हैं सिंपल रखने के लिए इसको पहले 0 से 4 पा ले लेते हैं तो 0 से 4 पा में क्या एरिया आता जो मैं येलो कलर से शो करता हूं तो 0 से 4 पा में ये हो गया ये हो गया ये हो गया और आपका ये पूरा हो गया ये आपका रो से 4 पा में आ गया एंड क्लियर आप देख सकते हो कि अगर आपको जीरो से पाई में पता है उसको आपको फोर से मल्टीप्लाई कर दोगे तो यही आ जाएगा अब जब तुमने बोल दिया कि इसमें टू जोड़ दो तो ये पूरा ये जो येलो वाली चीज है ना मैं कह रहा हूं ये टू यूनिट्स आगे शिफ्ट हो गई बस और कुछ नहीं हुआ तो अब गाड़ी आपकी यहां से शुरू होगी अब आपकी गाड़ी यहां से जी होगी ठीक है तो आप यहां तक पहुंचे ये पूरा कवरा आ गया एज इट इज बिल्कुल ऐसी का ऐसी राइट 4 पा में आप टू तक जाओगे क्योंकि 4 पा + 2 तक जाना है ना तो तुम देख पा रहे होंगे कि जो तुमने उधर को छोड़ा है जो तुमने यहां से छोड़ा है वो यहां कवर हो गया तो अल्टीमेटली एरिया तो वही रहा ना तो इसीलिए a + n वाला जो एरिया जो आपका बात बनेगी वो यही बन जाएगी ठीक है चलो ये तो एक बात हो गई ऐसे ही अगर मैं सोचूं अ कुछ और अगर मैं इसमें सोच के देखूंगा आपके सामने अ मान लो मैं बोल दूं आपसे कि आपको जाना है अ 20 पा से 800 पा तक जाना है आपको ठीक है और यह लिखा हुआ है मॉड्यूस sx8 पा 20 पा से 800 पा तक जाना है भाई देखो सर आप बात को समझो मैंने कहा हां बोल भाई सर बात तो वही रहेगी ना आपको आपने अगर एक साइकिल निकाल लिया आपको बस नंबर ऑफ़ साइकिल निकालना है 800 पा 20 पा इससे आप सर कंफ्यूज मत होइए मैंने कहा ठीक है नहीं हो रहा कंफ्यूज मुझे बस इतना बता दो 20 पा से 800 पा में कितने वो आएंगे आप कंफ्यूज हो रहे होगे तो आप एक काम करो मैं चलो ये ना लिख करके अगर मैं आपके सामने लिख देता कि 2 पा से 6 पा तक जा रहे हो ये मैं क्या कर रहा हूं ये पाई क्या चीज है ये हमारा यही हमारा वो है पीरियड और ये जो 2 पा है ये क्या कर रहा है ये 2t कर दिया इसने 2 2t कर दिया यहां पे 60 हो गया तो 2t से 60 तक जा रहे हो मतलब अगर मैं जनरल फॉर्म यहां लिखूं इसकी तो आप क्या कह रहे हो सर आप ये करने की कोशिश कर रहे हो कुछ कुछ इस प्रकार की चीज करने की कोशिश कर रहे हो कि अगर आपके पास लिखा हुआ है fx2 और यहां लिख दूं मैं n ठीक है मतलब आपने टाइम पीरियड के ही आपने इक्वल्स में जैसे अभी हम लोगों ने ऊपर किया था कि अगर तुम sinx-cosx 2 पा से 8 पा तक हमने किया था ना अभी ऊपर तो वहां पे sinx-cosx क्या किया था यहां पे था 2 पा से 6 पा तो 6 पा - 2 पा दैट इज 4 पा डिवाइडेड बाय पा तो फोर ही तो साइकल्स आएंगी टोटल देखो ना 2 पा से अगर आप सोचो 6 पा है है ना तो ये हो गया 6 पा तो टोटल साइकिल कितनी है 1 दोती चार तो चार ही तो साइकल आएंगी यही तो आंसर आएगा इसका तो यहां पे आप क्या लिखोगे यहां पे आप लिखोगे n - m ठीक है और कुछ अगर हम सोचे एंड दैट इज कि जैसे ये वाला था से प् य परलो था ए प् अगर मैं करू ए प् एटी से बी प् तक इस केस में क्या होगा अब यह वाली क्या प्रॉपर्टी है तो य भी काफी इंटरेस्टिंग है कैसे समझाया चलो एक एपल लेते कर रहे मस सा ठीक है और हमारे पास मान लो 3 पा प्व ठीक है और य पर है प प बोल रहा पा प् 3 ठीक है सो अ 3 पा वाले को थोड़ा जरा खाली करते हैं फिर से ठीक है फिर समझने की कोशिश करते हैं कि क्या बोला जा रहा है 3 पा + 1 यानी कि आप यहां पे आ गए ज 3 पा + 1 ठीक है और 3 यहां पर होगा दैट इज 3 पा + 3 तो जब मैं तुमसे बोल रहा हूं 3 पा + 1 से 3 पा + 3 का निकालो यानी कि ये वाला एरिया निकालो डोंट यू थिंक कि ये वाला एरिया निकाल या ये वाला एरिया निकाल बात एक ही है कौन सा एरिया भाई कौन से एरिया की बात हो रही है सर ट्राई टू अंडरस्टैंड ट्राई टू अंडरस्टैंड कि जब मैं बोल रहा हूं तुमसे कि 3 पा प्व से 3 पा प् 3 का एरिया निकालो इजट इक्विवेलेंट ऑफ से की वन से थ तक का एरिया निकालो भाई जो एरिया तुम यहां निकालो वही एरिया तुम यहां निकालो सो वी कैन डायरेक्टली से कि भाई तू इतनी पापड़ का को ब रहा है ये 3 पा 3 पा को हटा दे टी और सीधे बोल दे व से थ का निकाल दे ट्स इट ट्स इट ठीक है तो ये एंटी एंटी कट जाएगा है ना आंटी जी आप निकालिए तो ये हो जाएगा ए से बी f खत्म बात ठीक है मेक सेंस ठीक है रटने की जरूरत नहीं है आप लॉजिकली सोच के देखोगे तो आपको सब समझ में आएगा ना लोग बहुत रटते हैं इस ट्रस बनाते हैं ठीक है अ सो आई डोंट थिंक सो कि उसकी जरूरत भी पड़ेगी आपको ठीक अ और और भी हो सकता है अगर मानो मैं ये ना करके मानो ये बोलता सिंपल सा कि अ एटी से a प् एटी तो उसमें भी आप एटी और एटी तो काट ही सकते हो आप बोल दोगे फिर जीरो से a तक हो जाएगा दैट मेक्स सेंस राइट अगर ये सब आपको समझ में आ गया है तो बस यही हमारे पास सारी आइडेंटिटी होती है ठीक इनको बोलते हैं पीरियोडिक की प्रॉपर्टीज ठीक है बड़ा ये वो होता है बच्चों को कि यार ये याद कैसे होंगी ठीक है तो अगर आपको दे रखा है कि इफ x t = fxxx.pro बहुत सारे रिजल्ट्स बना सकता हूं राइट तो अगर आप चाहो तो आप अपने खुद के भी रिजल्ट बना सकते हो ऐसा थोड़ना कि बस जो पढ़वी बस उतना ही है आप हजारों चीजें सोच सकते हो कि अच्छा अगर ऐसा फंक्शन होगा कि अगर मा यहां पे एक फूल पत्ती बन रही है और यहां पे एक फूल पत्ती बन रही है राइट तो इसको भी सर ये वाली चीज इसके बराबर होगी मतलब मुझे नहीं पता आप चीजें सोच सकते हो कुछ नया क्रिएटिव बना सकते हो ठीक है डिस्कवरीज कैन बी मेड इन दिस पर्टिकुलर सेक्शन बिकॉज आप जस्ट रैंडम जि चीजों को देख रहे हो ऑब्जर्व कर रहे हो और फिर उसे एक रूल बना दे रहे हो कि हां भाई ऐसे ऐसे इसमें शायद हो रहा होगा ठीक है तो आई होप सो अब चीज आपको क्लियर होंगी ऑलराइट सो अभी बहुत ही एक्साइटिंग हमारे सामने चीज है ठीक है तो ये हमारा जो सिस्टम य जो हो रहा है जो मैंने आपके सामने बनाया हुआ है ठीक है तो हमारे लेबनीज भाई साहब जो है वो इसको देख रहे हैं ठीक है वो कर क्या रहे थे मैं बताता क्या चक्कर है तो वो ये इस चीज को एनाला करने की कोशिश कर रहे थे कि अगर ये कोई फंक्शन जा रहा है मान लो ठीक है और ये उसके नीचे का एरिया हो गया राइट तो अभी तक हमने ऐसे बोला कि एरिया तो फिक्स होगा है ना ए से बी आपका एरिया फिक्स है उन्होंने बोला व्ट इफ दिस थिंग स्टार्ट मूविंग मतलब क्या ए जो है वो और राइट साइड होता चला जाए तो अगर वो शिफ्ट हो गया राइट साइड में तो यहां पहुंच गया मान लेते हैं और b जो है वो भी बढ़ रहा है है ना अब मान ले a किसी अपनी स्पीड से बढ़ रहा है कोई उसकी अपनी स्पीड से वो बढ़ रहा है ठीक है और b भी कोई अपनी स्पीड से बढ़ रहा है ठीक है उस स्पीड को हम किसी फंक्शन से शो कर सकते हैं तो मान लेते हैं ये य स्पीड से बढ़ रहा है और ये v एक स्पीड से बढ़ रहा है तो अगर य जो आपकी स्पीड होगी जिससे आपका a जो है वो राइट हैंड साइड में बढ़ रहा है तो उससे क्या होगा उससे एरिया कम हो जाएगा और इतना ही एरिया इधर बढ़ जाएगा अगर य और v एक बराबर होते तो तो तो फिर आपका एरिया नहीं एरिया तो तब भी बराबर नहीं होता क्यों नहीं बराबर होता क्योंकि यहां पे ज्यादा ग्रोथ आ गई ना अगर आपने बोला कि 1 मीटर इधर बढ़ जा और 1 मीटर ही इधर बढ़ जाओ तो 1 मीटर में भी इधर तो इतना एरिया कम हुआ और इधर इतना ज्यादा बढ़ गया क्योंकि इधर हाइट ज्यादा है और उन्होंने बोला उन्होंने बोला कि अगर हम इस चीज को ऐसे ऐसे फालतू में करें तो क्या होगा क्या लाइक हाउ टू इवन एनालाइज दिस तो उन्होंने इसको बड़े इंटरेस्टिंग तरीके से सोचा उन्होंने बोला एक काम करते हैं ऐसे मान लो जैसे जैसे कार्पेट बिछा हुआ है कार्पेट समझते हो ना आप लोग तो इस बार इन्होंने फंक्शन को मान दिया f ठीक है जहां पे इन्होंने t को नीचे ले लिया उसे कोई फर्क नहीं पड़ता अब ये जो चीज है ये कारपेट है जिसको हम इधर से तो अनरोल कर रहे हैं ठीक है इधर से तो हम अनकवर कर रहे हैं ठीक है मतलब वो फैला हुआ था और हम उसको वापस से रोल कर रहे हैं ठीक है वापस कर रहे हैं उसको ठीक है और इधर से उसको खोल रहे हैं एक तरफ से उसको वापस कर रहे हैं और इधर से खोल रहे हैं इधर से उसको खोल रहे हैं कवर कर रहे हैं कवर कर रहे जमीन को ये जमीन है मान लो ये जमीन है ठीक है तो कार्पेट को आप खोल रहे हो और इधर से ड़ रहे हो इधर से वापस ले रहे हो उसको ठीक है अब जो अनकवरिंग और जो कवरिंग है ये अलग-अलग स्पीड से चल रही है ठीक है ये अलग-अलग स्पीड से चल रही है ठीक है तो मान लेते हैं अनकवरिंग जो है वो चल रही है यटी की स्पीड से और कवरिंग चल रही है मान लेते हैं सीटी की स्पीड से सीटी टी समझते हो टाइम मान लेते हैं यहां पर है ना t को हम टाइम बोलते हैं यहां तो इस तरीके से उन्होंने एनालाइज किया तो य का मतलब क्या है कि मान लेते हैं मान लो य का मान लो दे रखा है t स्क ठीक है मतलब ये मतलब ये कि अगर पहले आपका कार्पेट यहां तक बिछा हुआ था पहले आपका कार्पेट यहां तक बिछा हुआ था तो यहां से यहां पहुंचने में जो उसकी स्पीड है वो t स् से दी जाएगी ठीक है तो अगर मैं बोलूं कि किसी पर्टिकुलर एक्स पर ठीक है मान लेते को हमारी पर्टिकुलर x है ये ठीक है तो इस x पर इस x पर हम क्या बोलेंगे कि यह आपको अगर कोई पर्टिकुलर x निकालना है तो आप नका दोगे मतलब क्या कि अगर u = t स् है इसके अंदर मैंने बोल दिया कि कोई पर्टिकुलर फंक्शन अगर मैं बोल रहा हूं u2 है ना कि 2 पे बता t = 2 सेकंड पे क्या हालत होगी तो भैया चार यानी कि मतलब क्या हुआ कि आपका जो कार्पेट है वह चार यूनिट कवर हो चुका है ऑलरेडी वह यहां पर है ठीक है यहां पर है वह तो अगर किसी जनरल u पे मैं बोल दूं तो यह बता देगा कि हां अभी तक े है और इधर वह बोलेगा बोलेगा c यानी किसी गिवन t इ x पर किसी गिवन टाइम इंस्टेंट x पर या ऐसे मान ले t = 2 सेकंड्स पर अगर मैं बात करूंगा तो u2 से v2 तक का आपका पूरा एक्सपेंस होगा आपका जो कार्पेट है वो u2 से v2 तक खींचा हुआ होगा ठीक है अगर अब मैं पूछता हूं इसका एरिया क्या होगा तो उसका एरिया कैसे बताओगे आप बोलोगे सर u2 से लेकर के c तक c2 तक सॉरी u2 से लेकर के c2 तक आपका जो फंक्शन दे रखा है जिसको बोल रहे हैं f ठीक है वो आपका एरिया निकल के आ जाएगा तो ये जो मैंने एरिया निकाला है ये एरिया है टाइम t इ 2 इंस्टेंट पर राइट अगर मैं बोलता हूं थ्री पे बताओ तो आप यहां थ्री डाल दोगे है ना यहां पे आप थ्री डाल दोगे इससे आपको समझ में आ गया कि इसका जनरल फंक्शन क्या बन जाएगा कि अगर किसी जनरल इंस्टेंट पे पूछता हूं किसी x पे t = x पे अगर मैं पूछता हूं तो आप बोलोगे कि a जो होगा मेरा वो दिया जाएगा uxx1 ये बात कुछ प पल्ले पड़ गई हल्की-हल्की सी कि हां ठीक है ये एरिया अनद कब जा रहा है अब उसका एरिया ये होता है बट अगर ये कम होता जा रहा है और ये बढ़ता जा रहा है राइट तो ये जो एरिया है ये भी तो एक फ्लकचुएट मतलब एक एक एक फंक्शन हो गया अपने आप पे एरिया इज नॉट नाउ अ कांस्टेंट चीज द एरिया इज आल्सो चेंजिंग किसी टाइम t 2 सेकंड प एरिया इतना था फिर क्या हुआ एक सेकंड बाद ये तो इतना कम हो गया और ये इतना बढ़ गया अब एरिया इतना हो चुका है पहले एरिया इतना था अब एरिया इतना हो चुका है ठीक है फिर एरिया इतना हो गया फिर एरिया इतना हो गया तो एरिया इज इंक्रीजिंग या हो सकता है एरिया पहले इतना था फिर इतना हो गया फिर इतना हो गया फिर इतना हो गया तो एरिया डिक्रीजिंग या ऐसा भी हो सकता है पहले एरिया इतना था फिर इतना हो गया फिर बीच में ऐसा हो गया फिर ऐसा हो गया सो द एरिया बिकम अ फंक्शन नाउ राइट बात समझ में आ रही है सो जो एरिया है हमारा ये हमारा ये बन गया क्या बन गया य से v एक ठीक है f dt1 निकालना पड़ेगा हेंस मुझे इसको डिफरेंशिएबल बनीज भा ने सोचा यार ये क्या चीज है फिर उन्होंने बोला कि डरने की जरूरत नहीं है अगर मैं बोल दूं कि f का जो इंटीग्रेशन होता है वो मान लो कैपिटल f होता है अरे वोही सब जो हम करते थे ना कि f ' जो है वो f के बराबर होगा तो इसका आंसर क्या आएगा अगर मैं सिर्फ इतनी सी बात करता अगर मैं सिर्फ इंटीग्रल की बात करूं ठीक है तो वो कितना होगा तो वो होगा f के अंदर पहले डाल दो vx2 क्या डाल दो फिर डाल दो u दैट्ची दे रखा है ना भाई a आपको ये चीज दे रखी है ना तो आप यहां से बोल दो कि ये आएगा सही बात है अब अगर मैं बोल रहा हूं इसको डिफरेंशिएबल जा रहा है इसको डिफरेंशिएबल a-x ठीक है और इधर ये क्या बन गया ये क्या बन गया ये क्या बन गया पहले f को डिफरेंशिएबल लो तो आ जाएगा f के अंदर vx1 को डिफरेंशिएबल गया लेबनीज रूल इसी को बोल देते हैं लेबनीज रूल ऑफ डिफरेंशिएबल क्यों यहां पे हुआ क्या ये जो a-x लिखा हुआ है ना ये कोई छोटी मोटी चीज थोड़ ना लिखी हुई है ये क्या लिखा हुआ है a-x मतलब क्या है आप एरिया को डिफरेंशिएबल से v एक एडीटी ठीक है क्वाइट इंटरेस्टिंग क्या चल क्या रहा है इसमें ठीक है कि मतलब आधे लोगों को तो समझ में भी नहीं आएगा कि भाई ये बात क्या हो रही है अभी मैं समझा रहा हूं मुझे पता है बहुत लोगों को समझ में नहीं आया होगा भया ये क्या चल रहा है ठीक है सो मैं अभी बता देता हूं तो इसमें आंसर क्या आएगा आपका इसका आंसर आपका आ गया f एक ठीक है और फिर साथ में लिखा हुआ है dvx200 ठीक है एंड यहां पर माइनस साइन का भी अपना एक पूरा महत्व है हम समझते हैं अभी एक मिनट रु जाओ ठीक है तो ये लिखा हुआ है अब पहले जो लोग बहुत डर चुके हैं जो लोग बहुत डर चुके हैं जिन्हें कुछ भी समझ नहीं आ रहा उनको मैं एक एग्जांपल से बता देता हूं जिससे कि उनको ये तो होही जाएगा कि चलो यार क्वेश्चन तो हो ही जाएगा मान लो मैं तुमसे बोल देता हूं कि अ एक मिनट कोई सही क्वेश्चन ढूंढता हूं मान लो ये है सा t dt1 दे रखा है और बोला जा रहा है इसको डिफरेंशिएबल विद रिस्पेक्ट टू x ये क्वेश्चन है आपके पास सीधा-सीधा ठीक है तो कैसे करोगे इसको कैसे करोगे जो ऊपर लिखा है बिल्कुल वही करना है तो यहां पे f था यहां पर भी f ही लिखा हुआ है ठीक है तो आपने कुछ नहीं कर दिया आपने बस ये कर दिया ठीक है f के अंदर आपने v एक डाल दिया v यानी कि अपर लिमिट तो अपर लिमिट डाल दो इसके अंदर तो x स् आ जाएगा और फिर इस x स् को डिफरेंशिएबल वाला डाला ठीक है तो ये बन गया र सा x क्या करा पहले आपने ऊपर वाला डाला अब आपने अंदर वाला डाला अब फिर अंदर वाले को डिफरेंशिया दैट इज वन तो बस यही आंसर हो गया इसका ट्स इट बस खत्म ठीक सामने स् प् की पावर दिने ठीक है और य चलो कुछ और ना कुछ भी करलो यार कुछ भी कर लोलो की पावर ठीक है साइन लिख दिया आपके सामने सबसे कु नहीं करना लिमिट ने की लिट डाल दी तो आ जाएगा e की पावर e की पावर x और सा e की पावर x इतना तो कर ही लिया और अब जो आपने अपर लिमिट यूज़ करी उसको डिफरेंशिएबल चीज डाल दो तो e की पावर में x स् + 2 फिर सा के अंदर x स् + 2 बेसिकली इसको तो कुछ करना ही नहीं है इसको इंटीग्रेट नहीं करना है तो डरने की जरूरत नहीं है ठीक है इसको तो बस डालना है इसमें वैल्यूज और फिर x + 2 को डिफरेंशिएबल हैं लेबनीज रूल ऑफ़ डिफरेंशिएबल का पर इनका मतलब क्या है इनका मतलब क्या है इनका मतलब ये है कि जैसे रट सा t dt1 के फंक्शन से तो उसके करेस्पॉन्डिंग्ली थ्रू ये क्या है ये रेट ऑफ चेंज ऑफ एरिया है और अगर आप थोड़ा सा बारीक नजर रखते हो तो आपको ये भी समझ में आएगा कि यहां पे - सा काई को हो रहा है व्हाट इज दिस ध्यान से देखो क्या चीज़ है क्या लिखा हुआ है ये लिखा है dvx200 है ना एटी क्या f के अंदर v एक डाल दो तो उसी से तो आपको इसका एरिया मिल जाएगा ना ये वाली स्ट्रिप मिल जाएगी ना आपको इससे और ये क्या लिखा हुआ है ये लिखा हुआ है कि ना f के अंदर आपने य डाल दिया मल्टीप्लाई बाय मल्टीप्लाई बाय रेट ऑफ चेंज ऑफ य अब य कितनी चीज से इंक्रीज कर रहा है उससे आपको ये मिल जाएगा ये वाला एरिया कितना कम हुआ अब ये तो बढ़ रहा है तो ये तो पॉजिटिव में होगा और ये कम हो रहा है इसलिए इसको माइनस कर रखा है इसलिए इसको माइनस कर रखा है तो ये आपको कभी कंफ्यूजन नहीं होनी चाहिए यहां पे बस माइनस कर दिया दैट्ची वो इतना तो इंक्रीज कर गया और कितना डिक्रीज कर गया इतना डिक्रीज कर गया तो इतना तो इंक्रीज कर गया और इतना डिक्रीज कर दिया इसलिए माइनस कर दिया ठीक है इंक्रीज और उसमें से आपने डिक्री मेंट हटा दिया ये आपका नेट जो एरिया है वो है ठीक है तो ये आपका रेट ऑफ चेंज आ गया कि हां भाई एरिया जो है वो पर यूनिट में इतना चेंज कर रहा है तो दिस इज बेसिकली व्ट दिस इज व्ट दिस इज एड एक् दिस इज एड एक् ठीक है सो इसी को बोलते हैं लेबनीज रूल ठीक है देखने में थोड़ा कॉम्प्लिकेटेड लगता है ठीक है बट अब आपको समझ में आ गया होगा कि अगर मानो मुझे दे रखा है ऐसे करके अगर मैं सब लो है ना सारी इंटेंशन आपको कुछ समझ में नहीं आया एक फंक्शन दे रखा होगा यहां पे कुछ तो दूसरा फंक्शन दे रखा होगा मान लेते हैं कोई अ एक दे रखा है a1x और एक दे रखा है a2x मान लो ये दे रखा है और बोलेंगे इसको डिफरेंशिएबल गे इसको डिफरेंशिएबल a2x डाल देना है ठीक है और फिर आपको एक बार a1x डाल के रख लो बस दैट्ची है और एक बार a1 को डिफरेंशिएबल करते थे ना वही वाली चीज़ है बिल्कुल तो आई होप सो ये आपको समझ में आ गया होगा बट अगर किसी को इंटू की समझ में आई होगी तो उसे काफी अच्छा लगा होगा कि अरे यार क्या बात गजब की चीज है कि हां एरिया है और वो इधर से कम हो रहा है इधर से बढ़ रहा है तो द एरिया थिंग वड ल विल जस्ट एक्ट एज अ फंक्शन एंड हेंस उसका डेरिवेटिव निकाल के उस फंक्शन को भी स्टडी किया जा सकता है कि एरिया जो है वो कितना फ्लक्ट कर रहा है बेसिकली इंक्रीज ही करया जा रहा है या डिक्रीज किया जा रहा है ठीक है या फिर जो एरिया है वो पहले बड़ा बड़ा बड़ा फिर कम हो गया फिर बढ़ने लग गया फिर बहुत तेज बढ़ने लग गया अगर आप डबल डेरिवेटिव निकाल लो अगर आप d2 y / निकालो एरिया फंक्शन का तो आप और आगे जा सकते हो ठीक है और ये एनालिसिस बहुत ही काम के होते हैं ठीक है अभी तो आपको समझ में नहीं आएगा ठीक है डिफरेंशिएबल जमेट्री पढ़ते हैं वो सब होता है तो ठीक है मुह बंद रखता हूं अपना मैं ठीक है सो या सो इसको बोलते ले रू दिस अगर आप जे रेप देखोगे दिस इ वन ऑफ द मोस्ट इंपोर्टेंट रूल ठीक है आईस इसी से अराउंड 30 क्वेश्चन आए हुए मेंस में वेरी वेरी वेरी वेरी वेरी इंपोर्टेंट ठीक खींच के नहीं बोल रहा हूं मैं ये तुमसे ठीक है सच में बता रहा हूं बहुत इंपोर्टेंट है ठीक है अब जरा एक छोटा सा आखिरी पॉइंट और है वो भी आप समझ ही जाओगे ठीक है तो उसके साथ फिर हम बहुत सारी चीजें हम समझ में आएंगी तो 14 पॉइंट लिख लो एंड दैट इज वेरी बेसिक सी बात है कि अगर एक फंक्शन दे रखा है आपको fxxx.pro देन दैट इट a से b में क्या करा पहले तुमने gx-1 अ भी हो जाएगा अभी भी अगर आप देखोगे तो ये जो क्लोज फिगर है a से b अगर आपको ये वाला एरिया निकालना है ये निकालना है आपको आप ध्यान से देखो आपका अभी भी आंसर बिल्कुल ठीक आएगा भाई अगर आप gx8 का एरिया निकालते हो तो वो तो इतना आ जाएगा ठीक है वो तो ये आ जाएगा ये वाला एरिया ठीक है और जब आप fx8 इंटीग्रेशन नहीं निकालना है मुझे एरिया निकालना है तो अगर तुमने माइनस का साइन लगा रखा है तो ये जो नेगेटिव वाला एरिया है ये अल्टीमेटली बन जाएगा पॉजिटिव बन जाएगा तो पूरी चीज कवर हो जाएगी ठीक है मान लो ये एरिया आपका पांच के बराबर आ गया और ये वाला एरिया आपका आ गया -3 तो 5 -3 करेगा तो आंसर टू आएगा व्हिच इज नॉट द एक्चुअल एरिया एक्चुअल एरिया क्या है वो है 5 + 3 तो ये क्या हो गया ये दे देगा आपको फाइव ठीक है और अगर आप a से b में अगर आप सोच रहे हो तो अ आई होप सो इट मेक्स क्लियर कि gx-1 के बराबर ठीक है -2 है और जो fxxx.pro किसके वो बराबर आएगा माइन के वो आ गया माइ के बराबर माइनस अब तुम f निकालो वो आएगा माइन पा के बराबर जो इंटीग्रल है और ये पूरी चीज क्या बन गई य बन गया 5 माइन एट एट इ वट व नीड ठीक है तो हर सिचुएशन में आपका वैलिड है आई होप सो आपको अच्छे से समझ में आ गई य बात ठीक है अगर दो कर्व के बीच में आपको एरिया निकालना तो कैसे निकालते ठीक है अच्छा कई लोगों को इसमें डाउट होता है यह काम तो चलो हमने ऐसे करा हम ऐसे भी कर सकते थे ठीक है मलब ऐसा भी इस तरीके से भी हम सोच सकते हैं मान लो य फंक्शन है अभी तक मैंने बोला तुमसे से बी निकाल अगर कहानी ही पलट द पूरी और मैं बोलू य से करते आ ऐसे यह भी तो एरिया है यह भी तो एक एरिया है य ट तो य मा लेते य है और य बी हैय तो एक्सस है तो यहा परनेट बनेगा होगा धन सम क्या फभ ही है यहां पर आप f एक को इंटीग्रेट तो करोगे बट आपवा के रिस्पेक्ट में करोगे ए से ये आपका इसका एरिया होगाय जो येलो कलर हमने शो किया है अब कई लोग सोच रहे सर ये आपने क्या कर दिया ए लट श उसको छोड़ते हैं आप मेन बात करो मेन बात क्या है मेन बात सर यह है मेन बात यह है कि अच्छा यहां पर य एक् नहीं आएगा सॉरी य पर एक नहीं आएगा क्योंकि हमने जो फंक्शन के अंदर डाल रहे हैं हमर इसको एवा की तरह ट्रीट करेंगे एवा जैसे आपने इसमें डाला मा ये क्या है ये वन है सॉरी तो बहुत ऊपर मान ये फाइव है तो आपने फंक्शन में फाइव डाला आपने फंक्शन में फाइव डाला तो आपको आंसर ये मिलेगा इट इज लाइक हमने बस रोल्स को रिवर्स कर दिया दैट स इट ठीक है सर एक एग्जांपल दे दो ऐसे कम समझ में आ रहा है मान लेते हैं x का स्क्वा ले लो चलो मान लो ये दे रखा है x का स्क्वा और आपसे बोला जाए कि इसको बताओ रो से टू तक का एरिया बता दो आप मेरे को ये वाला एरिया बता दो ये वाला एरिया ठीक है तो अब आपसे अगर मैं वैसे पूछता तो क्या होता है यहां पे आंसर भाई टू है तो यहां पे होता है √2 राइट तो वैसे क्या होता है 0 से √ तक का एरिया क्या होता है भाई 0 से √2 एक का स्क्वा अगर आपको एरिया निकालना है तो वो आएगा x क बा 3 राइट और आप कर देते यहां प जीरो डाल दीजिए और यहां पे √3 डाल दीजिए सॉरी √2 डाल दीजिए तो आपका आंसर क्या आ जाएगा √2 डिवा बा 3 दैट इज योर आंसर दैट इज योर आंसर तो ये तो निकालना हम सबको आता है ये सब तो हम निकालना आता है ये तो आप निकाल लोगे रेड वाला एरिया ठीक है तो रेड वाला एरिया जो हो गया वो जो रेड वाला एरिया हो गया वो हो गया 22/3 ब ये जो येलो वाला एरिया है ये कैसे निकलेगा भाई ये कैसे निकलेगा तो ये निकालने के लिए ही हम कहानी को पलट रहे हैं हम बोल रहे हैं इसको अब आप ऐसे इंटीग्रेट करो कि x स् को आप dy8 कर रहे हो ठीक है तो उसके लिए या तो आप इवर्स फंक्शन बना लो इसका या तो आप इसका इवर्स फंक्शन बना लो ठीक है आप इसको ऐसे बोल दो कि यहां लिखा हुआ है √ x ये √ y लिखा हुआ है सॉरी x स् = y सो x = √ y और ये कहानी पॉजिटिव वाली है तो हमने वही ले लिया अब आपसे बोला जा रहा है कि इसको रो से टू में निकालना है आपको 0 से टू में आप ध्यान से देखेंगे तो अब आप अब आपका ये फंक्शन बिल्कुल वैसा ही बन गया जैसा कि √ y में बनता अगर मैं इसी फंक्शन को ये जो चीज दे रखी है ये जो चीज दे रखी है इसी को घुमा के यहां लिख दूं ऐसे तो ये बन जाएगा ना 0 से 2 0 से टू और यहां पे क्या आएगा यहां पे आएगा √2 बिल्कुल सेम सिचुएशन हो गई बिल्कुल सेम सिचुएशन है अब आप बिल्कुल इसको वैसे ही सॉल्व कर सकते हो तो रवा का जो इंटीग्रेशन होता है वहां से आपका काम बन जाएगा इसका इंटीग्रेशन आएगा 2/3 y की पावर 3/2 अब इसके अंदर आप रो डाल दीजिए और टू डाल दीजिए आपका आंसर आ जाएगा दैट वुड गिव यू द इंटीग्रेशन इसका इसका एक और एग्जांपल देख लेते हैं शायद उससे आपको क्लेरिटी और मिल जाएगी जैसे हमारे पास होता है सा इवर्स ठीक है हमारे पास होता है ना सा इव x ठीक है तो इसका ग्राफ कैसा बनता है सर ऐसा ग्राफ बनता है अच्छे से याद हो गया तो आपने इतना अच्छे से करा रखा है ना फंक्शंस में -1 से वन ठीक है ये होता है अब अगर मैं आपसे बोलूं कि नहीं मुझे ये वाला एरिया नहीं चाहिए मुझे तो ये वाला एरिया चाहिए आई जस्ट वांट दिस ठीक है अब अगर थोड़ा तुम्हारे अंदर दिमाग हो तो यू ऑलरेडी यू ऑलरेडी नो दिस एरिया भाई ध्यान से सोच सा इव x है तो अगर इसका इवर्स तुम मनी मन सोच लो तो सर ये तो sinx-cosx वर्टिकली भी तो एरिया ये हो जाएगा ठीक है बट लेकिन सर आप ऐसे तो चलो ठीक है आपने बता दिया बट ऐसे तो हर क्वेश्चन में तो नहीं कर पाएंगे ना तो कैसे करेंगे इसको कैसे कसे कसे ठीक है तो कैसे कसे कुछ नहीं होता है आप बोलोगे भाई आपको जो दे रखा होता है वो होता है y = सा इवर x तो इसको उधर ले जाओ तो ये हो जाएगा सावा इ x और मैंने बताया था कि इवर्स को आप हमेशा उधर ले जा सकते हो बट यही अगर आपको उल्टा दे रखा हो सा x दे रखा हो तो वहां प आप ऐसे नहीं ले जा सकते हैं ठीक है वहां पे तो फिर आपको इंटरवल में देखना पड़ेगा ठीक है सो सा इवर्स x = y तो सा y इ x कर दिया आपने अब बस कुछ नहीं करना है आप इंटीग्रेट कर दो बस खत्म भाई ये क्या होता है ये होता है - पा / 2 है ना और ये होता है पा / 2 तो बस येही करना है आपको आपको क्या करना है आपको करना है sin2 y है ना और आपको करना है - पा / 2 से पा / 2 में ठीक है ठीक है ना अ अब देखो ये करोगे तो आपका आंसर ज़ीरो आ जाएगा उसका एक लॉजिक है क्योंकि सावा जो होता है ना वो ऑड फंक्शन होता है अच्छा एक ब बताओ अगर मैं चेंज इन वेरिएबल कर दूं तो मैं इसी ज को ऐसे भी तो लिख सकता हूं ना sinx-cosx अब आपका ये फंक्शन बिल्कुल वैसा बन गया जैसे हम एक नॉर्मल क्वेश्चन सॉल्व कर रहे हो और sinx-cosx पा / 2 तो पहले पा / 2 डालो तो क पा / 2 क पा / 2 इ 0 तो आ जाएगा 0 माइनस ऑफ जब आप रो डालेंगे तो वन आ जाएगा तो माइनस माइनस व हो जाएगा आपका आंसर आ जाएगा वन ठीक है तो वही हम बोल रहे थे कि वन ही आएगा ठीक है अच्छा अब यहां पे ही अगर मैं बोल दूं कि इसी के अंदर ही मैं आपको बता देता हूं को कोई बहुत ज्यादा बड़ी बातें नहीं कर रहे हम लोग इस टाइम पे ठीक है जैसे मानो एक कव है कुछ इस तरीके से मान लो आ रहा है दूसरा कव मान लो इस तरीके से आ रहा है अब इनके बीच का जो होगा ठीक है मान लेते हैं ये कोई पॉइंट है a और ये कोई पॉइंट है b ठीक है अब मैं ऐसे जोड़ देता हूं a हो गया और ये b हो गया तो मुझे ये वाला एरिया निकालना है आई जस्ट वांट टू फाइंड दिस एरिया ठीक है सो हाउ टू फाइंड दिस एरिया बहुत सिंपल है ये आपका fxxx.pro तो f माइ g कर दो और d के रिस्पेक्ट में इसको इंटीग्रेट कर दो फ्रॉम a टू बी ट्स इट आपको आंसर मिल जाएगा ज्यादातर हम ये अप्रोच यूज नहीं करते हैं क्योंकि इसमें आपको इवर्स निकालना पड़ता है ज्यादातर हम क्वेश्चन को किसी तरह से ज्यादातर क्वेश्चन आपको वैसे भी दिए हुए ही इस तरीके से होते हैं ठीक है सो या एंड दैट इज द एनटायर थिंग ट्स इट इसी को आप बोलते हो एरिया अंडर द कर्व ठीक है सो इसके थ्रू आप सब कुछ निकाल सकते हो आप बहुत सारे एरिया इसके थ्रू निकाल सकते हो जैसे अगर मैं बोलू एलिप्स जो एलिप्स होता है ठीक है तो एलिप्स का एरिया भी आप सकते हो आप बोल सकते हो ये ऊपर कर्व लिखा हुआ है नीचे कर्व लिखा हुआ है तो ऊपर वाले कर्व को नीचे वाले से माइनस कर देंगे उससे हमें एरिया मिल जाएगा पहले इतना निकाल दिया फिर ये निकाल दिया इसको माइनस कर दिया तो पूरी चीज हमें मिल गई एक बार में ऐसे ही करके सारे एरियाज को निकाल लिया जाता है कोई बहुत बड़ी बात नहीं है ठीक है तो ट्स इट ये आपका पूरा जो होता है एरिया एंड डेफिनेट इंटीग्रेशन जो आपके पूरे तीन चैप्टर्स होते हैं ना इनफिट इंटीग्रेशन है ना डेफिनेट इंटीग्रेशन एंड एंडर द कवर हाईली थोरेट्स एंड वेरी अच्छी इनकी थ्योरी हो है और वही लोगों ने कवर कर ली है अब जरा थोड़ा आगे बढ़ते हैं अ एक नई दुनिया में घुसते हैं ठीक है और नई दुनिया जो है उसमें घुसने से पहले कुछ एक इंपोर्टेंट चीज है जो कुछ लोगों के दिमाग में आई होगी जहां तक है ठीक है पर मैं दिखाता हूं उनको ठीक है सो लेट अस सी दैट जैसे जब हम बोलते हैं कि मान लो ये आपका फंक्शन जाना है ठीक है और मैं बोलता हूं कि इस पॉइंट पर ये कौन सा पॉइंट है सर ये पॉइंट मान लो आपका कोई a पॉइंट है ठीक है इस a पॉइंट पे आप बोलते हो कि थोड़ा सा आगे चले जाओ तो आप पहुंच गए a + h पे है ना आप पहुंच गए a + h पे राइट और फिर हम क्या बोलते हैं फिर हम बोलते हैं कि ये हो जाएगा सर ए ये तो हो गया ए है ना और ये हो जाएगा सर ए + h क्या हो जाएगा ए + h राइट और फिर आप बोल देते हो कि f + h - ए वो तो ये वाली हाइट हो जाएगी ये वाली हाइट हो जाएगी राइट डिवाइडेड बाय h h क्या है ये इनका डिफरेंस है ना a + h और a के बीच का जो डिफरेंस है और इसमें अगर मैं बोल दूं कि लिमिट h टेंड्स टू 0 तो ये जो चीज होती है इसी को आप क्या बोल देते हो ये डेरिवेटिव हो जाता है फंक्शन का है ना f ' a राइट और इसी को हम क्या बोल देते हैं सर दिस इज द स्लोप ऑफ द टेंट एट x = a तो अगर यहां पे मैं एक टेंज बना दूं समथिंग लाइक दिस है ना ये जो हम टेंट बना द अगर येलो कलर की तो ये जो स्लोप होगी जो स्लोप होगी वो भी इसी के थ्रू दी जाएगी राइट ये हम बोलते हैं इसको बोलते हैं डेरिवेटिव और इसी को ये भी लिखा जाता है इसी चीज को हम ऐसे भी लिख देते हैं dydekop.org नॉट अ रेशियो मैथमेटिशियंस ने बोला चलो एक काम करते हैं ठीक है एक काम करते हैं जानबूझ के एक बहरूपिया बनाते हैं तो उन्होंने बोला कि ये जो चेंज आ रहा है ये y के अंदर चेंज आ रहा है तो उन्होंने बोला डिफरेंस इन y है ना इसको उन्होंने डिफाइन कर दिया d वा से डिफरेंस इन y और इसको उन्होंने बोल दिया कुछ ये मैं बोल रहा हूं मैं बोल रहा हूं कि ये जो छोटी सी चीज है इसको अगर तुम इग्नोर मार दो इसको अगर तुम इग्नोर मार दो और d को तुम सिर्फ इतना रखो तो चमत्कार हो सकता है तो हम क्या बोल सकते हैं कि ऑन एन एवरेज ऑन एन एवरेज a के पास में ये जो कर्व होता है और ये जो रेड कलर की लाइन होती है ये ऑलमोस्ट सेम होता है देखो मैंने इतना जूम करके बनाया तो ऐसा लग भी रहा है वरना यहां अगर तुम देखोगे तो इसको आप ऑलमोस्ट इग्नोर मार सकते हो कहने का मतलब क्या है कि जो d वा है और जो अगर रेड लाइन जा रही है मेरी ठीक है ये मेरी रेड लाइन जा रही है और ये मेरा dx1 मिनट ठीक है अब ये जो रेड कलर की लाइन जा रही है इसकी स्लोप होगी सर इसकी स्लोप होगी और इसकी स्लोप को ही हम क्या बोलते हैं f ' x बोलते हैं सर इसको है ना किसी भी गिवन पॉइंट पे अगर आपको स्लोप निकालनी है तो f ' x के बराबर आएगी ठीक है अब अगर मैं ते से बोलता हूं एक जनरल लाइन दे रखी है जिसकी स्लोप है मान लो टू ठीक है और उसमें मान लो मैं अ कोई x यूनिट इधर को चेंज हुआ और उससे मैं y यूनिट ऊपर चला गया दैट सिंपली मींस कि y जो होगा वो 2x के बराबर होगा बोलो भैया अगर तुम x यूनिट आगे बढ़े तो यहां पर क्या होगा थोड़ा सा ये देखने में सही नहीं लग रहा क्योंकि कहीं से कहीं तक भी ये दो की लाइन नहीं लग रही ये सही लग रहा है ठीक है कि आप एक यूनिट बढ़े फिर ये एक इतना ही बढ़ गया आप आगे और फिर एक बार फिर से इतना ही चल गए ठीक है तो अगर आप एक यूनिट यहां बढ़े तो आप दो यूनिट यहां बढ़ो ग राइट ट्स हाउ वी डिफाइंड द एंटायस ऑफ स्लोप राइट तो अगर इसकी स्लोप टू है तो वन से टू आता है तो अगर मैं बोलूं कि तुम x यूनिट राइट साइड में बढे तो तुम अगर मैं बोल रहा हूं कि y यूनिट ऊपर बड़े तो ये y कुछ नहीं है ये x का ही डबल लिखा हुआ है यहां पे एक x आ गया और ये x आ गया बेसिकली y जो है वो डबल है 2x का ठीक है सो एक सिंपल भाषा में अगर मैं बात करूं तो आप सीधे-सीधे ये बोल सकते हो कि अगर जनरली आपको स्लोप दे रखी है m तो अगर यहां पे x बड़े हो तो यहां पर आप mx2 बढ़े हो हमने जो ग्रोथ होगी ये जो ग्रोथ होगी ये बराबर होगा m d एक के तुम बोलोगे हां ठीक है और इसी को तुमने नया नाम दे रखा है एंड दैट इज d हां ठीक है सो व्ट आ य ट्रा टू से सो आई एम जस्ट ट्रांग टू से कि जिसको आपने बोला है d वो बराबर है m एक के और जिसको हमने बोला है m वो बराबर है f एक के ठीक है ध्यान से देखना मैं क्या चलाख कर रहा हूं ठीक है सो d = f'd एक एंड यहां से मैं बोल रहा हूं कि d डिवाइड बाय d एक ये परफेक्टली एक रेशो है ये बराबर हो गया f एक् के नोटिस व्ट आई एम नॉट सेइंग d बा d एक ये वो वाला नहीं है f एक में जब आप बोलते हो d नोटेशन में तो आप ऐसे लिखना चाहिए आ उसको d बा d एक और यहां पर आप f को डिफरेंशिया डिफरेंशियल क्या बोला गया डिफरेंशियल तो d जो है वोवा का डिफरेंशियल डिफरेंशियल है और d एक जो है वो x का डिफरेंशिएबल है डिफरेंशियल है डिफरेंस y डिफरेंस इन x एंड dydekop.org उस पॉइंट पे हेंस हम ये एप्रोक्सीमेशन लेकर के कर सकते हैं वरना ये चीज गलत लिखी हुई है क्योंकि dydekop.org ग्राफ को जो ग्राफ आपका ऐसा था उसको आपने उस पर्टिकुलर पॉइंट पे लीनियर कर दिया ठीक है जसे वैसे तो ऐसा ग्राफ है बट हमने ऐसा कर दिया लीनियर कर दिया उसको ठीक है बट इसका बेनिफिट बहुत है ठीक है तो अब हमें समझ में आ गया कि dydekop.org इसको डिफरेंशिएबल गलती से क्या बोल देते हैं कि बेटा dx2 ले जाइए dx2 ले जाओ ठीक है तो dx1 x = कर दिया को x आ गया अब कहां यहां पर dx7 x डिफरेंशियल ऑफ सा x इ सा का डेरिवेटिव इन d एक इसको थोड़ा अगर और कॉमेडी करू इसके साथ ठीक है तो और कम भी हो सकती है जैसे हम बो नावा जो है वो बराबर है f एक् इन d के और जो f एक् है वो बराबर होता है खुद में बा की कौन सा बा हैय वो वाला जो हमारी पुरानी नोटेशन है लेनी की ठीक है आ इसको ऐसे लिखना चाहिए d बा इन इनटू नहीं है मतलब आप f को डिफरेंट कर रहे हो वि रिपे टू x ठीक है तो गलती से भी ये मत बोल दीजिएगा कि d एक और d एक कट जाएंगे ठीक है पर वो हां देखने में बिल्कुल ऐसे ही लगेगा इसी का तो फायदा होता है इसी को तो बोलते हम सजेस्टिव नोटेशन ठीक है सजेस्टिव नोटेशन का मतलब यही होता है कि जो काम आप एक्चुअली मैथमेटिक्स में बहुत ज्यादा काम झाम के बाद करोगे वो नोटेशन लेवल प हम ऐसे बोल द हां d d एक कट गया तो d जो है वो d के बराबर आ गया वैसे भी y जो है व f के बराबर ही तो है ठीक है तो अगर मैं से बोल दू कि बताओ d एक का स्क्वा बताओ क्या होगा तो आप सीधे बोलोगे सर 2xdx चलो बताओ e की पावर x क्या होगा तो आप सीधे बोलोगे e की पावर x dx8 ठीक है इनफैक्ट एक लेवल और लेकर जाता हूं जिसमें तुम्हारी थोड़ी बैंड बजना शुरू हो जाएगी तो हमें पता है कि भाई y जो है वो fxxx.pro हो जाएगा पहले x को डिफरेंशिएबल सप्लीकेशन कर रहे हो यहां पे रह सही में ठीक है तो इसी चीज को मैंने यहां थोड़ा और अच्छे से लिख दिया कि ये ऐसे ना लिखने की जगह मैंने ऐसे लिख दिया कि पहले आप x f x को डिफरेंशिएबल अब आप उसको कर लो इसको तो आ जाएगा x f x और ये पूरी चीज इसको ऐसे बो सकते ना कि ये लिखा हुआ है d एकवा हां ठीक है और फिर ये क्या लिखा हुआ है ये लिखा हुआ है y अगर y इ f है तो सर इतनी बात तो शर है कि अगर मैं बोलूंगा d = f एक d एक ये तो सही लिखा हु एकदम हेंस यहां से बोल सकता हूं f एक जो हो जाएगा वो बराबर हो जाएगा d डिवाइडेड बाय d एक राइट तो f जो है वो बराबर है d डिवाइड बा के तो यहां मैंने लिख दिया d डिवाइडेड बाय d एक और क्योंकि डिवाइडेड बा है तो डिफरेंशिएबल और डिफरेंशियल कट जाएंगे ट मेक्स इट y d एक प् एकवा सो d एकवा इ दिस ठीक है अगर मैं बोलू d एक बावा तो आप सोचेंगे बट आपका आंसर यही आएगा y स्वा स् फिर आप x को डिफरेंट कर लो और y को ऐसे लिख दो न्यूटर को डिफरेंट कर लेते हैं माइनस आप डिनॉमिनेटर को डिफरेंशियल हो d एक बावा ट इ सिमिलर ऑफ से की मानो d एक बा e की पावर x करना है आपको ठीक है जहां पर आपको y जो है वो e की पावर x के बराबर दे रखा है और आपको पहले से पता है कि y इ e की पावर x d एक ये आपको पता चल गया डिफरेंशियल की डेफिनेशन से ही आ जाएगा एंड सो ऑन यू प्रोसीड एंड यू रीच यर तो यहां से इस टप के नियम निकाले जाते हैं कुछ बात समझ में आ रही है दिस इज नॉट उल्लंघन नहीं किया गया ये नहीं बोला जा रहा है कि dydekop.org वि रिस्पेक्ट टू x दोनों में डिफरेंस है जमीन अस्पन का जमीन आ स्पन का क्या वो छोटे से इंच का डिफरेंस है बस इतनी छोटी सी जो बची हुई सी चीज है उसका डिफरेंस है ठीक है तो इतना तो आपको समझ में आ गया है ठीक है तो अब हम थोड़ा सा कहानी को आगे बढ़ाते हैं तो अ कंसीडर y = mx2 की बात करें तो मैंने इस पे ऑलरेडी डिस्कशन कर रखा है कि y = mx8 लाइंस आ जाएंगी जो ओरिजिन से पास करती हैं बहुत सारी क्या इनफैक्ट सारी की सारी स्ट्रेट लाइन आ देंगी राइट अगर आप देखो तो y = x y = x / 2 y = 2x है ना ये सारी तो आ ही जाएंगी और नेगेटिव वाली भी आ जाएंगी बेसिकली जितनी भी आपकी लाइंस हो सकती है वो सब आ जाएंगी तो इस चीज को आप क्या बोल देते हो इसको आप बोल देते हो फैमिली ऑफ स्ट्रेट लाइंस राइट तो आप बोल सकते हो इसको फैमिली ऑफ कर्व्स ठीक है कि एक लाइन को मैंने जस्टिफाई कर दिया मतलब मैथमेटाइजेशन केंट है अगर m2 है तो y = 2x हो जाएगा वना 3x हो जाएगा एंड सो ऑन अब तुम जरा एक चीज सोच के देखना एक चीज सोच के देखना ठीक है अगर मैं इसको डिफरेंशिएबल कर रहे हो mx1 / dx1 बा dx1 / x = y / x राइट तो ये जो सामने लिखा हुआ है तुम्हारे ठीक है और ये जो तुम्हारे सामने लिखा हुआ है इसमें और इसमें कोई डिफरेंस है क्या कोई डिफरेंस नहीं है क्योंकि जो m है जिसको आप बोलते हो स्लोप तो स्लोप तो वैसे भी हमें पता है कि dydekop.org डिफरेंशियल इक्वेशन क्या बोल देते हैं डिफरेंशियल इक्वेशन ठीक है राइट अब इसमें आपको कई बार कंफ्यूजन होगा बहुत ज्यादा कि अ ये जो dydekop.org ठीक है इसको भी आप यही बनाओगे और इसमें भी आप यही ग्राफ बनाओगे ठीक है यही मतलब है इसका ठीक है अब इससे एक और एग्जांपल ले लेते हैं फॉर एग्जांपल इफ आई टेक लेट अस से x स् + y स् = r स् नाउ व्हाट डज दिस मीन अगर मैं इसके बारे में बात करूं तो ये क्या चीज है भैया ये कुछ नहीं है ये स्ट्रेट लाइन है सॉरी स्ट्रेट लाइन नहीं सर्कल है ठीक है भैया आप समझ ही गए होंगे कि अगर ये मैं बना रहा हूं ठीक है तो अगर अ ये मेरा सर्कल है राइट इसका कोई रेडियस होगा है ना एक और सर्कल बना दो है ना ये और सर्कल्स बना लो जितने भी सर्कल हो सकते हैं जिसका सेंटर ओरिजन है है ना जितने भी सर्कल हो सकते हैं वो सब के सब एक बार बार में यहां लिख दि लिख दिए गए हैं सो दिस रिप्रेजेंट्स फैमिली ऑफ सर्कल्स है ना तो फैमिली ऑफ कर्व्स को ही रिप्रेजेंट कर रहा है ठीक है अब अगर मुझे इसकी भी डिफरेंशियल इक्वेशन बनानी है आप डिफरेंशियल इक्वेशन का धीरे-धीरे मतलब समझ रहे हो अगर आप थोड़ा सा समझ पाए हो तो हमने यहां पे आर्बिट्री कांस्टेंट जो था जो m था उसको हटा कर के हमने यहां पर क्या कर दिया हमने यहां पर इसके अंदर dydekop.org जाए है ना या फिर आपका d2 y / dx1 आ जाए समझ रहे हो बेसिकली डिफरेंशियल्स या फिर डेरिवेटिव या फिर x और y इसमें पूरी कहानी अगर है तो वो डिफरेंशियल इक्वेशन कहलाती है सिंपल सी बात है जैसे x स् + y स् = r स् दे रखा है अब मैंने क्या करा मैंने इसको डिफरेंशिएबल डिफरेंशिएबल पास एक चीज आ गई यहां पर ठीक ये अपने आप में खुद ही ये आपका क्या बन गया ये व्हाट इज दिस दिस इज डिफरेंशियल इक्वेशन ऑफ अ सर्कल ठीक है तो ये वाली चीज और ये वाली चीज दोनों एक ही चीज को रिप्रेजेंट कर रहे हैं ये भी इसी को रिप्रेजेंट कर रहा है ये भी इसी चीज को रिप्रेजेंट कर रहा है कोई बहुत बड़ी बात नहीं हो गई ये ठीक है दोनों एक ही चीज को रिप्रेजेंट कर रहे हैं ठीक है सो अ इसी को आप रिअरेंज करके ऐसे भी लिख सकते हो कि भाई माइनस x अपवा है ना ये भी ऐसे भी लिखा जा सकता है ठीक है अच्छा अब आप एक चीज सोच के देखना कि ये तो चलो हमने कर दिया ठीक है अब आपको एक चीज है जो आपको पहले से आती है पता है आपको एक्चुअली डिफरेंशियल इक्वेशन आपको पहले से आता है ठीक है अब मैं आपके सामने एक चीज लिखता हूं अ लेट मी राइट इट सो लेट इट बी y इ टू अ ठीक है आईडेंटिफाई ये जो मैं लिख रहा हूं ये आपको ऑलरेडी आता है काइंड ऑफ ये क्या लिखा हुआ है पहली बात तो आप इसको आइडेंटिफिकेशन है बात कंफर्म है कैसे है डिफरेंशियल इक्वेशन क्योंकि इसमें x y और [संगीत] dydekop.org पढ़ते हुए आते ना v = u + ए है ना s = य + 1/2 ए स् v स् = u स् + 2as ये सब कुछ नहीं है ये यही है ये यही है ठीक है ये सब कुछ नहीं है डिफरेंशियल इक्वेशन ठीक है तो डिफरेंशियल इक्वेशंस जो होता है ये कोई देखो अभी जो हम पढ़ने वाले हैं वो बहुत ही इसको कह सकते हो क्रूड सेंस में होगा मतलब बिल्कुल ही सारा रस निकाल दिया उसका ठीक है तो हम डिफरेंशियल इक्वेशंस के ऊपर एक मैथमेटिकल स्टडी करेंगे जो कि आईडियली पूरी तरह से है ही नहीं मेरे हिसाब से तो अगर डालना चाहिए तो तो फिर ढंग से डालते जा टॉपिक को कि पढ़ाने में भी मजा आता बट उन्होंने इस तरीके से डाल नहीं रखा है ठीक है उन्होंने बस बहुत ही सिलेक्टिव चीजें डाल रखी हैं जो डिफरेंशियल इक्वेशन है आपका ये दुनिया भर की जगहों पे एक्जिस्ट करता है मतलब दुनिया भर की जगहों पे ये पॉप अप करता है ठीक है जैसे आपने देखा अब हम मोशन को एनालाइज कर रहे थे उस टाइम पे हमारे दिमाग में डिफरेंशियल इक्वेशंस होने चल रही थी हमारे दिमाग में तो हमने हमने क्या करा हमने dy8 हमने dy2 y / dx2 को एक्सीलरेशन बोल दिया था बट हम जो पूरी चीज को हैंडल कर रहे थे वो चीज तो हम उसी में कर रहे थे ना किसमें आपका अ जो पूरा मोशन था एक बॉल का नीचे से गिरना या कुछ भी वो पूरा मोशन आप सिर्फ डिफरेंशियल के उसमें ही कर सकते हो यानी कि पूरी फिजिक्स जो आप पढ़ रहे हो पूरी की पूरी फिजिक्स जो आप पढ़ते हो केमिस्ट्री पढ़ रहे हो बायोलॉजी पढ़ रहे हो जैसे बायोलॉजी में होता है बैक्टीरिया ग्रोथ हो रहा है तो बैक्टीरिया की जो ग्रोथ है वो बढ़ रही है अब वो जो बढ़ रही है जो उसका रेट ऑफ चेंज है वो भी p t ऐसे बोल दिया मैंने इसको ठीक है अब मैं एक इक्वेशन बना सकता हूं उस इक्वेशन को देख के आपको ऐसी लगेगी वो इक्वेशन ठीक है इस इक्वेशन को जब तुम देख रहे हो तो कहीं से भी आइडिया नहीं लग रहा कि अच्छा ये डिफरेंशियल इक्वेशन है ठीक है बट जब इसको एकदम खोल के लिख दोगे तो समझ में आ जाएगा कि डिफरेंशियल इक्वेशन है तो डिफरेंशियल इक्वेशन जो होती है ये आप जो भी आप साइंस पढ़ रहे हो उसमें साइंस में इकोनॉमिक्स में ठीक है ये बहुत ज्यादा पॉप अप करती है इसके बिना डिफरेंशियल इक्वेशन के बिना एक बंदा परिंदा भी नहीं हिलेगा आप सोच के देखो ना आपका जो नाइंथ क्लास में आपने जो फिजिक्स पढ़ी थी उसमें भी डिफरेंशियल इक्वेशन इवॉल्वड था ठीक है सो आप आप समझ चाहिए कि बेसिक से लेकर के एडवांस तक में हर जगह डिफरेंशियल इक्वेशन ही है बस और कुछ नहीं है ठीक है तो वेरी वेरी वेरी डिटेल स्टडी वेरी वेरी डिटेल स्टडी इज नीडेड टू एक्चुअली अंडरस्टैंड एंड सी दिस थिंग्स ठीक है तो इसमें होता क्या है कि हमारे सिलेबस में उन्होने बहुत ही कुछ गिनी चुनी डिफरेंशियल इक्वेशन डाली है और उन्हीं के बारे में हमारी चर्चा होती है पूरी की पूरी ठीक है पहली बात तो ये बहुत ही सिलेक्टेड चीजें डाली है तो आपको चीजें इनकंप्लीट लगेंगी अच्छा ठीक है अगर ऐसा हो जाता तो तो हम उसमें नहीं जाएंगे क्योंकि इन्होंने बहुत सिलेक्टेड चीजें डाली है तो मेरा इसमें ऐसा रहता कि तो या तो डालो मत और डालो तो फिर ढंग डालो बट इन्होंने जो भी किया है अपना थोड़ा थोड़ा बहुत ही डाला है ठीक है और अब एक इंपोर्टेंट बात क्या है कि आप अगर ध्यान से देखेंगे तो जो डिफरेंशियल इक्वेशन है उसके रेस्पॉन्डिंग हमेशा एक फैमिली ऑफ कर्व होगा भाई ये जोडि ये जो डिफरेंशियल इक्वेशन हमने यहां पे बनाई है ठीक है और ये y = mx0 आ गया है ना ये डिफरेंशियल इक्वेशन है और ये फैमिली ऑफ कर्व्स है तो डिफरेंशियल इक्वेशन जो होता है वो हमेशा एक फैमिली ऑफ कर्व्स के साथ एसोसिएटेड होता है ठीक है तो जब फैमिली ऑफ कर्व्स को जब तुम डिफरेंशिएबल जब तुम डिफरेंशिएबल जाओगे कहां पे डिफरेंशियल इक्वेशन पे और डिफरेंशियल इक्वेशन को हेंस अगर तुम इंटीग्रेट कर दोगे अगर तुम इंटीग्रेट कर दोगे तो तुम वापस से पहुंच जाओगे फैमिली ऑफ़ कर्व्स पे ठीक है तो अगर मैं आपको बोल दूं डिफरेंशियल इक्वेशन दे दी मैंने आपको मैंने आपको डिफरेंशियल इक्वेशन दे दी मानो मैंने आपको ये डिफरेंशियल इक्वेशन दे दी तो मैं आपसे पूछूंगा बताओ इसका सॉल्यूशन क्या है तो इसको बोलते हैं सॉल्यूशन सॉल्यूशन मतलब क्या होता है है कि इसका फैमिली ऑफ़ कर्व्स क्या है जब आप इसको सॉल्व करोगे सॉल्व करने का मतलब कुछ नहीं है बस आपको इसका फैमिली ऑफ़ कर्व्स बताना है आपको बताना है कि बिना डिफरेंशियल के ये इक्वेशन कैसी लगेगी वो इक्वेशन मेरे को लिख के दे दे यहां पे और इसी को बोलते हैं सॉल्यूशन ऑफ दैट डिफरेंशियल इक्वेशन ठीक है और अगर मैं आपको दे दूं अगर मैं आपको फैमिली ऑफ क दे दू और मैं पूछ बताओ इसकी डिफरेंशियल इक्वेशन क्या होगी तो कुछ नहीं करना उसको डिफरेंट कर देना है अब ये बहुत ही ब्लाइंड है मैं समझ सकता हूं कि सर ये करना ही को है ब ठीक है जैसा भी है तो आपके सिलेबस में इतना ही है फालतू में आपको एक्स्ट्रा पढ़ाऊंगा टाइम जाएगा कोई फायदा नहीं है ठीक है सो बस यही इसमें चीज होती है मोटा मोटा तीन चीज होती है ठीक है मोटा मोटा तीन टॉपिक्स होते हैं इसम ले दे करके ठीक है सो पहला तो होता है जिसमें आप डिफरेंशियल इक्वेशंस को ही समझ रहे होते हो ठीक है कि भा डिफरेंशियल इक्वेशंस भी में भी हम दो क्वांटिटीज डिफाइन कर देते हैं बहुत ही बेसिक सी बातें हैं कुछ बहुत कुछ खास नहीं है एक होता है ऑर्डर ठीक है और एक हो गया डिग्री ठीक है तो वो कुछ कुछ कुछ उसमें कुछ खास नहीं है आप सिंपल सी बात है आप सिंपल सी बात करो ना जैसे आपने यहां पे देखा ये लिखो y = dydekop.org वन है ठीक है इसका ऑर्डर क्या है इसका ऑर्डर क्या है इसका ऑर्डर भी वन है क्यों ऑर्डर वन क्यों है क्योंकि dydekop.org हास्ट ऑर्डर क्या है उसका है ना हाईएस्ट डेरिवेटिव उन्होने कौन सा किया डबल डेरिवेटिव ट्रिपल डेरिवेटिव कौन सा उन्होने लिया है वही इसकी ऑर्डर हो जाता है अब डिग्री क्या चीज है डिग्री जो है थोड़ा सा कॉम्प्लिकेटेड आईडिया होता है ठीक है तो डिग्री का मतलब य होता है कि पहले पूरी चीज को पनल फॉर्मेट में ले आओ ठीक है जसे फर एपल ये जो लिखा हुआ है ये पॉमल फॉर्मेट में ही लिखा हुआ था ठीक है अगर आप बात करें हम अपने की बात करते ठीक है तो हमारे साने ये इक्वेशन लिखी हुई है ठीक है ये इवे लिखी हु है अब इस इक्वेशन में इस इक्वेशन में आप देखोगे बा d x की पावर कितनी है देखो डिफरेंस ध्यान से समझना एक होता है dy1 dx2 y / dx2 तो dy1 dx1 है ठीक है और d2 y / dx2 का ऑर्डर टू है तो नेट अगर मैं इक्वेशन देखूंगा तो मैं बोलूंगा कि इस नेट इस का ऑर्डर जो होगा वो टू होगा हाईएस्ट को हम काउंट करते हैं बोलते हैं इस इक्वेशन का ऑर्डर टू हो गया बट डिग्री में आप क्या देखते हो डिग्री में आप देखते हो कि ये जो dy1 dx3 इसके ऊपर पावर कौन सी लगी हुई है अब d2 y / dx2 की भी डिग्री तो एक ही है ना उसमें पावर तो एक ही लगी हुई है तो इस पूरी इक्वेशन की डिग्री क्या होगी तो डिग्री सर इसकी वन होगी डिग्री इसकी वन होगी कुछ बात समझ में आ रही है बट डिग्री के लिए आपको पॉलीनोट फॉर्मेट में डालना बहुत जरूरी है यानी कि ये पॉलिनॉमियल फॉर्म में होनी चाहिए ऐसा नहीं कि इसके ऊपर स्क्वायर रूट फॉर रूट लगा हुआ है वो सब नहीं डिग्री हमेशा आपका पॉलिनॉमियल फॉर्मेट में आएगी पहले आपको पूरी जो डिफरेंशियल इक्वेशन है उसको पॉलीनोट में कन्वर्ट करना पड़ेगा मैं एग्जांपल देता हूं आपको अब जैसे ये मैंने चार एग्जांपल्स लिख दिए हैं ठीक है अ आप पहले तो ये देखो कि सब के सब डिफरेंशियल इक्वेशंस है ठीक है अब जो पहली डिफरेंशियल इक्वेशन आपके सामने लिखी हुई है चलो पहले दूसरी वाली को देखते हैं दूसरी वाली जो लिखी हुई है पहले मुझे इसका ऑर्डर बताओ ठीक है पहले इसका ऑर्डर बताओ तो ऑर्डर क्या है भैया dy2 y / dx2 है यानी कि ऑर्डर तो इसका टू हो जाएगा राइट क्योंकि इसमें आप देखोगे तो सेकंड डेरिवेटिव इवॉल्वड है तो वही होगा और डिग्री क्या हो जाएगी इसकी अब डिग्री के पहले हम देखेंगे सब कुछ पॉलीनोट में है क्या तो आप देखोगे हां सब कुछ पॉलीनोट में तो दिख रहा है हमें है ना तो अच्छा एक इंपोर्टेंट बात पॉलीनोट में कौन होना चाहिए ये पॉलीनोट में होनी चाहिए ठीक है इनसे मतलब नहीं है यहां पे कुछ भी लिखा हुआ हो यहां पे लिखा हुआ हो x की पावर 3/2 अब 3/2 कोई x की पावर 3/2 इज नॉट अ पॉलीनोट वी डोंट गिव अ डैम अबाउट इट ठीक है हमें मतलब इस बात से है कि जो जो डिफरेंस ल जो को एफिशिएंट है आपके ठीक है वो अ उसमें होने चाहिए ठीक है ना वो पॉलिनॉमियल फॉर्मेट में होने चाहिए तो जैसे यहां दे रखा है dy5 है और यहां पे d 2y / dx1 की पावर वन है और ये पॉलिनो फॉर्म में आपको साफसाफ दिख रहा है हेंस इसकी डिग्री वन हो जाएगी ठीक है अच्छा अब कोई बोल सकता था सर फ भी तो है नहीं जो आप डिग्री निकालो वो हाईएस्ट डिफरेंशियल होना चाहिए और उसके ऊपर की हाईएस्ट डिग्री होनी चाहिए यहां पे ऑर्डर कैसे निकलता है जो भी हाईएस्ट डिफरेंशियल है हमारे पास उसके बेसिस पे हा डिफरेंशियल को एफिशिएंट बोलते हैं हम इसको डिफरेंशियल को एफिशिएंट बोल देते हैं d / [संगीत] dx1 / dx-data-grid मैं यहां पे लगा दूं e कोई दिक्कत नहीं है बट तुमने e की पावर में लगा दिया या फिर समथिंग लाइक दिस अगर मानो ऐसे कर देता लॉन के अंदर मैं डाल देता dydekop.org डिग्री तुम बोल ही नहीं सकते आप बोल नहीं सकते कि इसकी डिग्री वन है ना डिग्री वाला जो टर्म है वो डिसाइड डिफाइन ही तब होगा जब पूरी चीज पॉलीनोट इंग है तो जिन्होंने एओ देखा होगा उनको याद होगा कि सर हमने देखा था कि 1 अप dy1 dx1 बा dx1 बा dx1 ठीक है प्लस में y dydekop.org लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशंस फिर और आपका आगे बढ़ती है कहानी तो वहां पे आपको बोलना पड़ता है जब आप बोल रहे हो लीनियर है तो आपको बताना पड़ेगा ना कि ऑर्डर वन है या डिग्री वन है उस तरीके से सो दैट व्हाई दिस टू वेरिएशन हैव बीन मेड कि फर्स्ट ऑफ ऑल कि वो जो डिफरेंशियल इक्वेशन है उस वो उसमें इवॉल्व क्या-क्या है वो ऑर्डर वन है ऑर्डर टू है ऑर्डर थ्री है क्या है है ना वो तीन अच्छा एक बार सोच के देखो अगर किसी डिफरेंशियल इक्वेशन का ऑर्डर टू है इसका मतलब क्या हुआ इसका मतलब ये होगा कि जो इनिशियल फैमिली ऑफ कर्व्स जो होगा उसको तुमने दो बार डिफरेंशिएबल तो इसको मैंने जब एक ही बार डिफरेंशिएबल गई थी दैट वाज दिस और यहां पर आप देख सकते हो कि इसका जो ऑर्डर है वो वन है राइट अगर मैं अगर यहां पे कुछ इस तरीके से होता कि मैं इसको दो बार डिफरेंशियल से क्यों मिल गई क्योंकि यहां पे जो पैरामीटर था ना जो जो ये जो चीज थी जो r स् जो आर्बिट्री कांस्टेंट है ये एक ही है ना यहां पे r लिखा हुआ है बस ठीक है अगर दो होते कुछ ऐसा होता मान लो a एक का स्क्वा प् बीवा का स्क्वा इ जीरो या कुछ ऐसा होता है ठीक है कुछ ऐसा होता मान लो ये अब ये भी अपने आप में फैमिली ऑफ़ कर्व्स है इसमें दो पैरामीटर्स हैं इसको इसकी डिफरेंशियल इक्वेशन निकालने के लिए आपको उसको दो बार डिफरेंशिएबल डिफरेंशिएबल सी बात है कि उसमें d2 y / dx2 का टर्म आ जाएगा और फिर वो जो भी इक्वेशन आएगी उसको आप क्या बोलोगे कि भैया ये ऑर्डर टू की इक्वेशन है ये ऑर्डर टू की इक्वेशन है तो ऑर्डर टू का मतलब क्या हुआ कि आपने फैमिली ऑफ़ कर्व से दो बार डिफरेंशिएबल क्या हुआ तीन बार डिफरेंशिएबल डिफरेंशिएबल डिफरेंशिएबल ये ऐसे डिसाइड होता है कि उसका पैरामीटर जो है वो कितने हैं उसमें ठीक है एक है दो है तीन है ठीक है अभी देखेंगे इस चीज को ठीक है सो अ अच्छा इसमें आपको एक और चीज प डाउट मैंने वो बता दिया था ना आपको कि यहां पर जब हम बोले ना ऑर्डर और डिग्री की जब हम बात कर रहे हैं तो इसमें आप एक चीज प बिल्कुल क्लियर रहिएगा वो ये कि जब हम बोले डिग्री तो डिग्री में हम जब बोलते हैं ना कि पॉलिनो फॉर्मेट में होना चाहिए उसको तो पॉलिनो फॉर्मेट में हम डिफरेंशियल को एफिशिएंट को चाहते हैं बा एक्सप्रेशन कुछ भी होता रहे जैसे अगर मैं तुम्हारे सामने लिख देता हूं कि dydekop.org ठीक है बट ये तो पॉलिनो नहीं है ना बट जो dy2 / dx1 का अगर आप देखोगे तो ये लोग अभी भी पॉलिनो के अंदर है ठीक है तो आप यहां बोल सकते हो कि इसका जो ऑर्डर हो जाएगा वो हो जाएगा टू ओबवियसली टू हो जाएगा और डिग्री क्या हो जाएगी डिग्री इसकी फोर हो जाएगी सिंपल ठीक है इसका एक इसका फिर से एक शद आई गेस ये तो मेंस में आया हुआ क्वेश्चन है आई गेस आई डोंट रिमेंबर ये दे रखा है आपको मान लेते हैं a एक प् ब है ना बड़ा फेमस क्वेश्चन है ठीक है तो इसमें भी आप क्या करोगे अब मानो मैं बोलू इसमें आप d बा d को छुड़ा लो ठीक है तो आप बोल सकते हो ना ये बन जाएगा ना e की पावर में ये अब अगर आप इसको ध्यान से देखोगे एकदम तो dy1 लिखा हुआ है यहां पर dy1 है और डिग्री भी वन है दिस इज परफेक्टली पॉलिनो फॉर्म ठीक है आई गेस ये कोई इसमें अब आपको दिक्कत नहीं है तो अब मैं जरा ऑफिशियल अभी ये सब खिच बिच हो गई ऑफिशियल अगर मैं बात करूंगा तो डिफरेंशियल इक्वेशन होती है ठीक है और डिफरेंशियल इक्वेशन कुछ नहीं है बेसिकली इक्वेशन है ना इक्वेशन इवॉल्विंग क्या एक्वा d एक d वा है नावा बा d एकवा ड बोल देता हूं वा डबल ड एंड सो ऑन ठीक है इसको बोलते है डिफरेंशियल इक्वेशन ठीक है और और हमारे पास होता है फैमिली ऑफ कर्व्स ठीक है तो जो फैमिली ऑफ कर्व्स होता है उसी को जब आप डिफरेंशियल इक्वेशन पे और जब आप इंटीग्रेट कर देते हो उसी चीज को तो आप पहुंच जाते हो आपका फैमिली ऑफ कर्व प वापस ठीक है और ये तो गई बात ठीक है इसको इलस्ट्रेट करने के लिए यहां पे एक बार कर भी देते हैं एक काम करते हैं कर भी देते हैं जैसे हमारे पास था y = mx8 किया तो मैं पहुंच गया dydekop.org और ये हमारा हो गया फैमिली ऑफ कस ठीक है अब अगर उल्टा दे रखा होता मान लो ये ना हो कर के ये दे रखा होता कि x d y बा dx-data-grid बस एक बार इंटीग्रेट करना है इंटीग्रेट कर दो अब अगर तुम इंटीग्रेट करने आओगे इस चीज को तो ये क्या बन जाएगा ये बन जाएगा सर x dydekop.org तो बच्चों का काम था वो तो कर लिया बट ऐसे तो नहीं कर पाएंगे इसको ठीक है तो आपको समझ में आ रहा है कि अप्रोच नंबर वन जो है उसमें अड़ंग आ चुका है और आपको समझ में आ रहा होगा कि साला डिफरेंशिएबल पड़ता है ठीक है लेकिन जो उसका सॉल्यूशन फाइंड करना है डिफरेंशियल इक्वेशन से कहां तक पहुंचना है तुम्हें डिफरेंशियल इक्वेशन से उसकी फैमिली ऑफ कर्व वाली तक जगह तक पहुंचना ये कोई मजाक का काम नहीं है ठीक है फॉर एग्जांपल जैसे हम मैंने ऊपर अभी एग्जांपल लिया था आपका ये वाला s = य + 1/2 ए स् तो ये भी तो एक डिफरेंशियल इक्वेशन है y = dydekop.org फैमिली ऑफ कर्व क्या होगा वो ऐसे ही नहीं निकाला जा सकता उसके लिए सोचना पड़ेगा ठीक है ब डिफरेंस करना तो मजाक का काम था बट वो कैसे निकालो उल्टा कैसे निकालो उसके लिए आपको थोड़ा सा अंग ऐसे नहीं होगा वो अप्रोच नंबर वन से तो जैसे नहीं हो रहा यहां पर ठीक है तो अप्रोच नंबर टू देखना जरा ठीक है तो मैंने इसी को थोड़ा रिअरेंज कर लिया तो मेरे को दे रखा था x d बा d तो मैंने क्या करा मैंने ऐसे बोल दिया ये लिहुआ d बा d एक है ना इसको तो ऐसे भी लिख सकते है ऐसे लिखा हुआ y अप x d बा d = अप सही बात है अब जो मैं करने वाला हूं वो आपको काफी कन्फ्यूजिंग लग सकता है ठीक है क्योंकि वो ऐसे ही पढ़ाया जाता है और वो बोलता है बेटा एक काम करो वेरिएबल को सेपरेट कर लो बेटा ठीक है तो आप देखना उनकी अप्रोच क्या है वो बोलते हैं ऐसे कि बेटा एक काम करो y वाले सारे एक तरफ ले जाओ ठीक है और x वाले सारे एक तरफ ले जाओ ठीक है तो y है ना और यहां पे आ जाएगा यहां पे क्या आ जाएगा लन y ् c है ना और यहां पे आ जाएगा आपके पास लन x प् c अब देखो हो सकता है कांस्टेंट अलग-अलग हो यहां पे c1 हो और यहां पे c2 हो तो हमने c1 को अगर हम उधर ले जाएंगे तो बन जाएगा c2 - c1 जिसको हम अल्टीमेटली एक कांस्टेंट बना सकते हैं राइट तो ये बन गया अब आप चाहो तो इसको बहुत तरीके से कर सकते हो आप बोल सकते हो कि ये तो लिखा हुआ है y = e की पावर में ल x + c व्हिच इज फदर इक्वल टू e की पावर लन x * e की पावर c ठीक है अब e और लन तो कट गया तो यहां पे सिंपल x आ गया तो ये बन गया y = x * e की पावर c अब ये e की पावर c तो एक कांस्टेंट है उस कांस्टेंट को मैंने m बोल दिया ले हो गया काम आपका ठीक है सो ये जो इक्वेशन आपको दे रखी थी यहां से आप कहां पहुंच गए भाई यहां से आप कहां पहुंच गए उसके सॉल्यूशन पे एंड यही है फैमिली ऑफ कर्व्स तो अगर मैं आपको कभी बोल दूं d d = y / x तो यहां से तो कोई आईडिया लग नहीं रहा यहां से तो कोई आईडिया लग नहीं रहा है है ना लेकिन इसके थ्रू आपको आईडिया लग जाएगा अच्छा y = m की बात कर रहा है अच्छा समझ गए समझ गए ठीक है ठीक है अब ये जो स्टेप आपने किया ये वाला जो स्टेप था ना ये सबसे दर्दनाक स्टेप है ठीक है बिकॉज ठीक है देखने में बड़ा कंफर्टिंग लगता है इसको बोलते हैं वेरिएबल सेपरेट कर दिया आपने है ना y वा को एक तरफ कर लो x एक वालों को एक तरफ कर लो बट मेरे भाई dy1 अप 1 - y स् अब हमें ये दे रखा है क्लियर में दिख रहा है इसका ऑर्डर जो है वो भी वन है और अगर हमें डिग्री निकालनी है तो पॉलिनो मियल फॉर्मेट में कर लेते हैं पहले सो dydekop.org है ठीक है तो ये हो जाएगा x स् / 1 - y का स् अच्छा पॉलिनॉमियल फॉर्मेट में तो पहले भी था ना क्योंकि dydekop.org क्वेश्चन में यही तो करेंगे 1 / y स् dy2 dx2 साइड्स ठीक है फिर ये क्या बन जाएगा वन का इंटीग्रेशन y y स् का इंटीग्रेशन y क / 3 माइनस में फिर प्लस में एक कांस्टेंट आ जाएगा ठीक है फिर यहां क्या आ जाएगा यहां आ जाएगा x क / बा 3 और यहां पे भी कांस्टेंट आ जाएगा तो वो कांस्टेंट को आप एक तरफ ले जाइए ठीक है एंड दैट्ची है अब आप इसको बड़ा सज सज के लिख सकते हो कि x क / 3 y क / 3 - y + c इ 0 ठीक है ये हमारा फैमिली ऑफ कर्व्स हो गया ठीक है इसमें जो कांस्टेंट है ना यही फैमिली ऑफ कर्व्स है देखो ये तो एक कांस्टेंट ग्राफ आएगा ये तो एक ग्राफ आएगा है ना इसमें आप प्लस c कर दोगे अगर इसमें आप प् c कर दोगे तो वही आपको फैमिली ऑफ कर्व्स देता है तो हमेशा एक आर्बिट्री कांस्टेंट तो होगा ही होगा ठीक है बट ये हुआ कैसे हाउ डिड दिस थिंग वर्क आपने क्या कर दिया आपने dx1 / dx8 इज है जैसा वो था ठीक है आप 1 - y स् को उधर ले जाओ ले गए उधर ठीक है ये तो बिल्कुल ठीक किया है ना यहां पर तो कोई दिक्कत नहीं है अब आप करिए इंटीग्रेशन अब आप इंटीग्रेट कर दीजिए दोनों तरफ विद रिस्पेक्ट टू ओबवियसली x ठीक है विद रिस्पेक्ट टू x आप इंटीग्रेट कर रहे हो चलो मैं काम करता हूं मैं d लिखूंगा ही नहीं हटाओ d नहीं लिखो मैं यहां ये यूज करूंगा विद रिस्पेक्ट टू x और यहां प भी लिख है विद रिस्पेक्ट टू x अब यहां तो बच्चा भी देख के बता देगा कि सर ये तो बन गया आपका सीधे-सीधे x क डिवा बा 3 प्लस कांस्टेंट आ जाएगा कांस्टेंट सी लिख देता हूं इसको कैसे इंटीग्रेट करेंगे भाई 1 माइवा स् * d बा d एक इसको समझने के लिए मैं आपको एक एब्स्ट्रेक्शन में लेकर जाता हूं ठीक है जनरलाइज कर देते हैं ये 1 मावा स् हो या आगे जाके कोई भी फंक्शन हुआ तो कोई भी फंक्शन लिखा हुआ है मान लेते हैं y के अंदर ठीक है और इसके बगल में हमेशा लिखा हुआ होगा बा ये तो हर क्वेश्चन में वैलिड है ये जो मैं कर रहा हूं यहां पर ये हर क्वेश्चन में वैलिड है ऐसा ही होगा हर क्वेश्चन के अंदर एक d होगा और आप y को उधर लेकर जाओगे तो का जो फंक्शन होगा वो इस तरफ आ जाएगा फिर आप बोलोगे इस पूरी ची को इंटीग्रेट कर दो इसको इंटीग्रेट कर दो विद रिस्पेक्ट टू d ठीक है तो आ जाओ स जनरल बात करते हैं ठीक है अगर जनरल बात कर जाए तो आप क्या बोल रहे जब आपसे बोला जा रहा है इसको इंटीग्रेट करो तो व्हाट आर यू ट्राइट से यू आर सेइंग कि किसी चीज को डिफरेंशिएबल करूं तो आंसर आ जाए f dydekop.org y के रिस्पेक्ट में और फिर y को डिफरेंशिएबल कुल जो चेन रूल में हम करते थे तो ये चीज आ गई 2y के बराबर बिल्कुल सही कह रहा हूं एकदम मैं सो आर यू एबल टू अंडरस्टैंड कि यही चीज तो यहां पर भी हो रही है dy1 लिखा हुआ है यहां पे भी लिखा हुआ है ये जो fy5 का इंटीग्रेशन अंदर लिखा हुआ है तो f का इंटीग्रेशन मान लेते हैं लिखा हुआ है fy8 दैट्ची इसका आंसर क्या आएगा इसका आंसर क्या आएगा इसका आंसर आएगा fy8 ठीक है सो इसका आंसर क्या आ गया भैया इसका आंसर आ गया इसका आंसर आ गया f y अबप f का मतलब क्या है कुछ नहीं है 1 - y स् को इंटीग्रेट कर दो तो वो क्या हो जाएगा वो हो जाएगा y - y क बा 3 + c + c यानी कि c1 लिख देते हैं यहां पर एंड यू कैन सी वी हैव लैंडे टू द सेम इक्वेशन जो हमें यहां से मिली थी वही हमें यहां से मिल रही है सेम बट बहुत कांसेप्चुअल चीज इसमें इवॉल्वड है ठीक है बट उसी को शॉर्टकट बना कर के हम ऐसे बोल देते हैं कि बेटा dx6 कट गया ठीक है बट वो कटा नहीं है ठीक है आप बात को समझो ठीक है सो हां ऑन अ जनरल बेसिस पे आप एक रूल बना सकते हो कि कभी भी अगर आपको ये दिख जाए कि भाई fy1 / dx1 बोल दोगे कि यहां dx6 कट जाएगा और यहां पे आ जाएगा सिंपल आपको fy1 - y स् को इंटीग्रेट कर दिया हमें मतलब ही नहीं है d dx1 - y स् से उसी को इंटीग्रेट कर दिया ना तो डायरेक्टली बोलो ना सीधे-सीधे बोलो कि 1 - y स् को इंटी कर दे तू किसके रिस्पेक्ट में y के रिस्पेक्ट में ऐसे मान लो d बा d जो लिखा हुआ है वो तो अंदर चला गया है ना ये जो चीज है ये बन गई d है ना ये चीज बन गई d ठीक है तो अब ये जो आ गया इसका आपका आंसर आ जाएगा f प् c ट्स इट तो कोई उल्लंघन नहीं किया गया है कोई उल्लंघन नहीं किया गया जैसा लगता है कि ये वेरिएबल में आपने जब ये किया ना कि सेपरेट कर दिया वेरिएबल को कि y वाले इधर एक् वाले इधर तो d इधर आ गया और d एक उधर आ गया तो एकदम से बच्चा बोलता है आए ये का मतलब हुआ भाई इसका कि d बा d एक है तो d को उधर ले जाओ d को उधर ले जाओ इसका क्या मतलब हुआ ठीक है सो आई गेस अब आपको समझ में आ रहा होगा ठीक है हालांकि ऐसा जरूरी नहीं है कई बार आपकी इक्वेशन ऐसी भी हो सकती है फॉर एग्जांपल तो हो सकता है मैं आपको इक्वेशन ही ऐसे ही दूं मैं आपको एक एग्जांपल देता हूं आई गेस ये मेंस में आया हुआ है ठीक है तो जेई मेंस में 2004 में आया हुआ था ये डिफरेंशियल इक्वेशन आप ध्यान से देखना आप समझ जाओगे ठीक है तो y dx2 y अ dy1 / dx5 का यूज़ किया गया है ठीक है तो अब इसको देखो ध्यान से आप समझ जाओगे क्या हो रहा है ठीक है तो आप समझ रहे हो ना य d और d का क्या मतलब है यहां पय जो d है ये बराबर होता है किसके f एक d एक के ठीक है ये डिफरेंशियल वाली इन्होने चीज यूज कर दी है ठीक है तो हम यहां बहुत कुछ कर सकते हैं अगर हमने बोल दिया y खोल दो इसको ये बन जाएगा x प् x स्वा d इ 0 ठीक है अब ये चीज करो क्या ये है एकवा प्वा d एक सर ये तो d एकवा होता है सर ये तो d एकवा होता है सर ठीक है और ये क्या बन गया ये बन गया - एक स्वा d ठीक है [संगीत] अब इसको अगर आप देखोगे तो अब अगर आप इसको इंटीग्रेट करने की कोशिश करोगे तो इसको तो आप बड़े आसानी से इंटीग्रेट कर सकते हो भाई dx1 का क्या मतलब हुआ d एकवा का मतलब क्या हुआ आपने x y को पहले डिफरेंशिएबल कर दिया तो ये और ये तो कट जाएंगे सिंपल x y रह जाएगा यहां पर ठीक है सो वो तो हम कर लेंगे वो तो हो जाएगा बट इधर क्या होगा सर इधर कैसे करोगे इधर तो आप फंस ही जाओगे ना क्योंकि इधर तो दो वेरिएबल दिख रहे हैं ना x स् और y दो वेरिएबल दिख रहे हैं ठीक है तो इसीलिए हम डायरेक्टली ऐसे ना इंटीग्रेट करके हम पहले थोड़ा दिमाग लगा लें एक काम करते हैं कुछ इस तरीके से करो कि यहां पे सिर्फ एक वेरिएबल रह जाए तो मैंने क्या करा मैंने इसको एकवा स् से डिवाइड करने की कोशिश करी मैंने इसको x स् से डिवाइड किया पहले तो तो अगर मैंने x स् से डिवाइड कर दिया पूरी चीज को तो x स् और x स् इधर तो कट जाएगा तो इधर तो सिंपल सिंगल वेरिएबल रह गया सिंपल y रह गया है ना तो आप कहोगे अरे वाह बढ़िया हो गया काम है ना बढ़िया हो गया यहां तो लेकिन अगर तुम ध्यान से देखोगे मेरी नजर से तो आपको दिखेगा कि बढ़िया नहीं हुआ क्यों बढ़िया नहीं हुआ क्योंकि फिर इधर कोई फायदा नहीं हुआ ना क्योंकि एकवा है तो यहां पर फिर आप इसको कैसे इंटीग्रेट करोगे यहां पे d एकवा लिखा हुआ है तो कुछ ऐसा हो जो एकवा के ही फंक्शन में हो तो उसके लिए आप क्या करोगे उसके लिए आप बोलोगे कि एक बार एक और काम करो इसको y स्क्र से भी डिवाइड कर दो ठीक है तो अगर आप y स्क्वा से भी डिवाइड कर देते हो तो यहां बन जाएगा लेट मी टेल यू ये बन जाएगा 1 अपवा ठीक है यहां प सिंपल y आ जाएगा अब यहां पे ये क्या बन गया अगर आप ध्यान से देखेंगे तो ये लिखा हुआ है एकवा और नीचे लिखा हुआ है एकवा का ही होल स्क्वायर अब मैं बोलूंगा इंटीग्रेट बोथ साइड्स अब मैं बोलूंगा इंटीग्रेट बोथ साइड्स ठीक है अब जब मैंने बोला इंटीग्रेट बोथ साइड्स अब ध्यान से देखना ये चीज तुम्हे आती है क्योंकि ये ऐसे लिखा हुआ है कि अंदर कुछ भी लिखा हुआ हो अंदर बादल है d बादल और डिवाइड बाय बादल का स्क्वायर है ना तो dt1 t स् मतलब ये कि 1 अप t स् को इंटीग्रेट करना है विद रिस्पेक्ट टू t अब ये dt1 बा t स् का इंटीग्रेशन क्या हो जाएगा आप करके देखिएगा आपका आएगा -1 / t ठीक है तो यहां पे आ जाएगा -1 अप t यानी कि एकवा ठीक है ये आ जाएगा जब आप एलएचएस को इंटीग्रेट करेंगे और जब आप आरएचएस को इंटीग्रेट करेंगे तो आपके पास आ जाएगा लन y ठीक है - y गई - लवा आ जाएगा और प्लस कांस्टेंट आपने लगा दिया ठीक है ये आपका इसकी पूरी जो इक्वेशन है वो ये बन जाएगी अब देखो मैं आपको एक बिल्कुल ऑनेस्ट ब्रो टू ब्रो एडवाइस देना चाहूंगा यहां पर ठीक है तो एडवाइस सिंपल सी है कि यहां पे हम इस वाले लॉजिक को भूल ही जाए तो ज्यादा अच्छा रहेगा जैसे ये जो मैंने यहां पे पूरा किया आपको मैंने पूरा एकदम आपको मैथमेटिकली एक्सप्लेन किया कि एग्जैक्ट वर्किंग क्या चल रही थी इसके पीछे जो इन्होंने यहां पे काम कर दिया ठीक है बट हर एक स्टेप प अगर मैं आपको समझाने बैठूंगा तो वर्किंग निकल आएगी वर्किंग यही होती है ठीक है वो समझाया इस तरीके से जाता है बट वर्किंग यही होती है पीछे की तो दिक्कत हो जाएगी इस वजह से यहां पर वी वुड टेक इट लाइक दिस कि आप dydekop.org हुआ है ठीक है क्योंकि वो स्पीड में फिर आपका काम कर देगा फालतू में आप बारबार सु ये चीज करोगे ठीक है तो हम मैथमेटिकल बात कर रहे हैं यहां पे हम ऐसे इलॉजिकल बात नहीं कर रहे हैं कि जिस क्वेश्चन में मन हो तो कर लेना नहीं बिल्कुल ट्राइड एंड टेस्टेड बात हो रही है ठीक है तो अब आपको एक बात तो समझ में आ रही है ना आपको एक बात तो समझ में आ रही है कि सर देखो अ ज अगर आपको फंक्शन अगर आपको वो दे रखा है फैमिली ऑफ कर्व दे रखा है वहां से डिफरेंशियल इक्वेशन में पहुंचना तो मजक का काम है बस डिफरेंशिएबल इक्वेशन दे रखी है तो वहां से अगर आपको उस के फैमिली ऑफ कर्व प पहुंचना है वो बड़ा कॉम्प्लिकेटेड काम है राइट उसमें हमेशा ऐसा नहीं होगा तो अगर आप ध्यान से देखोगे तो एक तो होता है इसको आप बोलते हो वेरिएबल सेपरेबल ठीक है कि ऐसी डिफरेंशियल इक्वेशंस जहां पे क्या हो कि एक्स वाले सारे टर्म एक तरफ आ जाए y वाले सारे एक तरफ चले जाए और फिर हम दोनों को इंटीग्रेट कर द जैसे अभी हमने ऊपर वाले दो क्वेश्चन में किया भी था तो वो उसको हम बोलते हैं वेरिएबल सेपरेबल ठीक है वेरिएबल सेपरेबल और इसमें आप कुछ नहीं करना है एक तरफ करो एक तरफ करो दोनों को इंटीग्रेट कर दो और आपको आपका मनचाहा फैमिली ऑफ का बड़े आसानी से मिल जाएगा ठीक है और भी टाइप की इवे होती है जहां पर ये चीज पॉसिबल ही नहीं हो पाएगी जहां पर ये चीज पॉसिबल नहीं हो पागी फॉर एपल अगर मैं तुम्हारे सामने लिख दू एकवा प् एक स् और प्वा स्क्वा बाडी एक ठीक है और चलो बस इतना बोल द अब ये जो इवे आपके सामने लिखी हुई है क्या ये एक डिफरेंशियल इक्वेशन है हा जी बिल्कुल है क्या इसमें आप वेरिएबल सेपरेट कर सकते हो नहीं कर पाओगे वेरिएबल सेपरेशन इ इंपॉसिबल इन दिस इक्वेशन या और कॉम्प्लिकेट बनाने के लिए लिख देता मा चलो एकवा लो अब तो बत पढ़ोगे अब तो कुछ नहीं हो पाएगा है ना सा x y क्या मैं इसमें क्या x और y को कैसे आप सेपरेट करोगे नहीं कर पाओगे ठीक है तो इस वजह से हर डिफरेंशियल इक्वेशन में तो वेरिएबल सेपरेबल लगने से रहा ठीक है तो कुछ ऐसी भी होंगी जहां पर हम ये वाली टेक्नीक लगाएंगे कौन सी टेक्निक जो मैंने अभी यहां लगाई थी ये जो मैंने किया था ना ये ठीक है कि मैंने क्या करा मैंने क्या करा मैंने देखा कि हिडन रूप से यहां पर y dx8 डिफरेंशियल फॉर्म कर लिया मैंने बोल दिया कि ये तो dx1 लिखा हुआ है और फिर मैंने पूरी चीज को वेरिएबल सेपरेबल से सॉल्व कर दिया तो उसको बोलते हैं एग्जैक्ट डिफरेंशियल कि पहले आप एग्जैक्ट डिफरेंशियल बना लीजिए और काम आपका हो जाएगा ठीक है तो आप उससे भी कर सकते हो और क्या होते हैं और भी तरीके होते हैं जैसे आप होमोजीनस ठीक है कि होमोजेनियस इक्वेशंस होती हैं और आप उसको अ कर सकते हो या फिर एक और होता है दैट इज लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशंस ठीक है तो जो लीनियर डि डिफरेंशियल इक्वेशन होती हैं उनको सॉल्व करने का एक तरीका होता है होमोजेनियस को अपना अलग तरीका होता है एग्जैक्ट डिफरेंशियल हम देख ही लेंगे अब ये सब जो है ये बेसिकली क्वेश्चंस का काम हो गया यहां पर ठीक है यहां पे कोई थ्योरी नहीं बची अब यहां पर बस टेक्निक्स है कि अगर ऐसा हो तो ये कर सकते हो और इसमें ही रिड्यूसबायके बाद वो या तो इस फॉर्मेट की बन जाएंगी या इस फॉर्मेट की बन जाएंगी या इस फॉर्मेट की बन जाएंगी ठीक है सो दिस इज द मेन थिंग ये मेन कॉम्प्लिकेशन आपका एरिया होता है ठीक है इसमें बताऊं मेजर एन क्या होता है चाहे होमोजीनस हो चाहे लीनियर डिफरेंशियल इक्वेशन हो या कोई भी तरीका हो अल्टीमेटली सबका एम यही होता है कि सबको लौट लौट के आना इसी पे होता है ठीक है इसी पे सबको लौट के आना होता है वेरिएबल सेपरेबल पे ठीक है है तो ये जो तीन है ये तीनों में भी यही होगा कि कुछ कुछ करो और फिर उस कुछ कुछ करके वापस से इस पे आ जाओ ठीक है वेरिएबल सेपरेबल पे आ जाओ अब ये वाला पार्ट जो होगा ये हम प्रॉब्लम सॉल्विंग में देखेंगे ठीक है यहां पे हम एक-एक टाइप की डिफरेंशियल इक्वेशन को अ एनालाइज करेंगे अच्छे से ठीक है मैक्सिमम क्वेश्चंस यही आते हैं जो मैक्सिमम क्वेश्चन आते हैं वो यही आते हैं एंड दैट्ची कैलकुलस फॉर यू जितना भी आपका जेई के सिलेबस में है उतना ठीक है तो हमने इंफिनिट देख लिया हमने डेफिनेट देखा और हमने एरिया ए कब देख लिया और हमने डिफरेंशियल इक्वेशन भी देख लिया एंड या दैट्ची जो चीजें इसमें बची कुची रह गई है दैट इज जस्ट क्वेश्चंस में आप समझते हो वो छोटी-छोटी बातें जो होती है वो शवरी में कराने का कोई फायदा नहीं है ठीक है तो आपको मेन आईडिया हो गया है एंड विद दिस लेट्स बिगिन विद द प्रॉब्लम सॉल्विंग वाला पार्ट इन द नेक्स्ट लेक्चर या तो हम इनफिट से शुरू कर रहे होंगे ठीक है मेरी जो पर्सनल फ्लो रहेगा जो मुझे लगता है सही है टाइम के हिसाब से भी और वेटेज के हिसाब से भी वो ये रहेगा कि पहले हम शुरू करेंगे इंफिनिट इंटीग्रल्स के क्वेश्चंस के साथ ठीक है कि हम उसको निकालना सीख रहे हैं बहुत सारी इसमें आपको मैंने टेक्निक्स तो बता दी सारी की सारी सारी सब्सीट्यूशन बता दिया मैंने आपको है ना बाय पार्टस बता दिया आपको टेक्निक्स पता है अब उनको क्वेश्चंस में कैसे अप्लाई करते हैं हाउ टू इंटीग्र इंटीग्रेट डिफरेंट टाइप्स ऑफ इंटीग्रल्स बहुत सारी टाइप्स बनेंगी इसके अंदर ठीक है बहुत सारी टाइप्स होती है इसमें तो हर टीचर टाइप बनाता है आपको ठीक है सो वो तो है ही तो वो हम करते हुए चलेंगे बिकॉज इनफिट इंटीग्रल्स इज द बेस ऑफ इट और फिर उसके बेसिस पे ही आप डेफिनेट इंटीग्रल करते हो उसके बेसिस पे ही आप डिफरेंशियल इक्वेशन को सॉल्व करते हो अगर आपने देखा डिफरेंशियल इक्वेशंस के अंदर हम बस इनफिट इंटीग्रल वाला इंटीग्रेशन कर रहे हैं हम डेफिनेट इंटीग्रेशन यूज़ नहीं कर रहे हैं तो मेरा प्लान ये है कि इनफिट इंटीग्रेशन के बाद मैं प्रॉब्लम सॉल्विंग में डेफिनेट सॉरी डिफरेंशियल इक्वेशन ले लू या तो या अगर आप बोलेंगे तो हम डेफिनेट इंटीग्रेशन भी ले सकते हैं एरिया अंडर द कब जो है वो तो ओबवियसली डेफिनेट इंटीग्रेशन का पार्ट ही है ठीक है सो या पहले मेन किंग जो है वो ये है अगर आपको इनफिट इंटीग्रल के क्वेश्चन सॉल्व करना आ आ गए ठीक है जोक बहुत टफ माने जाते हैं द टफेस्ट ऑफ इट तो फिर आप ऑलमोस्ट सब में मास्टरी कर लोगे ठीक है ऑलमोस्ट आप सब में मास्टरी कर लो ऑल एन देन मिलते हैं वन ऑफ द मोस्ट इंपोर्टेंट इंटीग्रल कैलकुलस में सबसे इंपोर्टेंट जो होता है और सबसे ब जो सबसे लीस्ट वेटेज होती है वो इनफिट की होती है लेकिन सबसे इंपोर्टेंट जो होता है वो यही होता है क्योंकि ये हो अगर आपसे हो गया तो ये क्वेश्चन तो चिल्लर है ये सब तो एकदम सेट पैटर्न में आते हैं ये तो हो ही जाते हैं ठीक है ये है जो मेन है जहां प मेन मैनिपुलेशन होती है ठीक है सो या मैं कोशिश करूंगा कि ये आपका बेस्ट सेशन बन जाए ठीक है राइट देन मिलते हैं अगले सेशन में या गुड [संगीत] बाय विद्या सकल [संगीत] तारिणी