Tere, mina olen Varvara Prosjana ja täneme jätkame teiega trigonomeetrija teemadega. Kui te veel ei ole jõudnud läbi vaadata minu esimest videot, trigonomeetrija esimene osa, siis palun mingi ja vaadake see ära. Selle pärast, et selles videos need teemad, mis me hakkame teiega arutama, nad eeldavad seda, et need eelmised teadmised on teil olemas.
Me ei juba oskame teiega moodustada nurga ja me saame aru, et mis nurg on positiivne nurg ja mis nurg on negatiivne nurg. Samuti me õppisime, et et nurga võib mõõta graadides, millega me oleme juba väga harjunud, aga samuti võib nurga mõõta ka radiaanides ja me oskame teiega teisendada nurgad, mis on antud graadimõõdus, teisendada radiaanidesse ja vastupidi. Me oskame teiega kirja panna trigonomeetrilised seosad täisnurkse kolm nurga jaoks ja ka selles esimeses osas vaatasime, kuidas trigonomeetrilised seosad saab...
Kirja panna ka üks kõik, mis nurga jaoks ja selleks me tegime teiega ühi kringi, kus me näitasime, et nurg on nurgasid võibolla lõpmata palju ja kõikide nende jaoks siis me saame siinust, koosinust, tangensid, kootangensid leida. Arutasime veel seda, et mis märgid on trigonometristed funksioonidel erinevates veerendites. Ma tean, et kui mul on antud mingi suvaline punkt siin ühi kringioone peal, see on ringioond, mille raadius on täpselt. 1. Ehk siis kui mul on antud 1 punkt siin selle ringi joone peal olgu see punkt näiteks B, siis ma tean, et selle punkti x-koordinat, ehk siis see osa siin on koosinusalfa ja selle punkti y-koordinat, ehk siis see osa siin on siinusalfa ja nurgalfa on meil see nurg.
Kuna me teame, et siinusalfa võrdub y-ga, ma tean, et y on positiivne Siin pool ja siin pool. Sõla pärast, et Y-telk on C ja C-ose siin on positiivne. Siis ma saan kirjutada, et siinuse puhul kehtsivad sellised märgid.
Siin on pluss, pluss ja siin on miinus ja miinus. See on esimene veerand, teine, kolmas ja neljas. Koosinus alfa on X X on positiivne siin pool.
See tähendab, et koosinuse puhul märgid on sellised. Siin on pluss. pluss ja siin on miinus, miinus.
Tangens on siinus ja katud koosinusega. Tangens alfa võrdub siinus alfa ja katud koosinus alfaga. Ja siis me saame vaadata, et pluss ja katud plussiga on pluss, pluss ja katud miinusega on miinus, siia tuleb ka pluss ja siia tuleb miinus.
Ja koo tangens alfa on vastupidi koosinus ja katud siinusega. Ja koo tangensi märgid on täpselt samasugused nagu tangensil. Siin on plussid.
Ja siin on miinuse. Liigume edasi. Ja võtame teiega selle ringioone peal mingit suvalist punkti jälle.
Võtame punkti B. See nurg, mis siia ülesse tekib, on alfa. Me teame, et kui ma liigun siia üles, ehk siis vastu päeva, siis minu nurg tuleb positiivne. Aga moodustame samasugus nurga, aga siia alla.
Ehk siis samasugust, aga negatiivset nurga. Miinus alfa. Ma tean, et kui ma liigun siia päri päeva, Ehk siis alla, mulle meeldib öelda, et ma liigun alla, sest see on minu ajule lihtsalt loogilisem aru saada, aga noh, muidugi me liigume päripäeva. Siis nurg on negatiivne.
Paneme teiega kirja siinuse, koosinuse, tangentsi ja kootangentsi seosed nende nurkade jaoks. Alfa jaoks ja miinusalfa jaoks. No alustame siinusest. Siinus alfast võrdub. See võrdub selle punkti P-Y koordinaatiga.
See osa. sest see on selle punkti P-Y koordinaat. Ma võin panna lihtsalt Y. Aga vaatame, millega võrdub siinus miinus alfast. Siinus miinus alfast võrdub selle punkti, oledame, et siin on P1, selle punkti P1 ka Y koordinaatidega.
Ja kuna see alfa meil on samasugune väärtus lihtsalt miinus märgiga, siis see Y tuleb just ka samasuguse väärtusega. Ainuke asja, et ta jääb nüüd siia alla poole ja Y puhul siia tuleb miinus märk ette. Ehk siis ma kirjutan, et see on miinus Y.
Leieme selle sama nurga jaoks veel koosinuse väärtus. Proovin siia mahutada. Koosinus alfast võrdub X, aga koosinus miinus alfast, selle punkti B jaoks X koordinat, või tähendab selle punkti B1 jaoks X koordinat, on ka ju lihtsalt X Ehk siis siin ta ei lähe negatiivseks. Ka X Tangens oli meil selle positsiivse nurga jaoks, ma tean, et mul oli vastas kaatjad jagatud lähis kaatjad, ehk siis Y jagatud X Aga nüüd tangens miinus alfast, kuna siin albool.
On Y negatsiivne, siis siia tuleb miinus Y jagatud X-iga. K-tangensi puhul põhimõtteliselt kõik on täpselt sama nagu Y-il. Võib nagu tangensil lihtsalt need siin vahetavad kohad. Ehk siis siia tuleb X jagatud Y-iga ja k-tangens miinus alfast võrdub X jagatud miinus Y-iga.
Kas te märkasite seda, et siinus negatsiivses nurgast annab ikka negatsiivset värtust? Tangents negatiivses nurgast ikka tuleb miinus ette, kootangents negatiivses nurgast ka miinus tuleb ette, aga koosinuse puhul miinus kaob ära, jääb lihtsalt x. Sellist omadust, kus funksioon sööb selle miinuse ära ja tuleb ikkagi positiivne väärtus, sellist omadust nimetakse, et see on paarisfunktsioon. Nendest trikodomeetrilistes funksioonidest on paarisfunktsioon ainult koosinusfunktsioon. Paneme teiega lühidalt seda kirja, et siinus miinus alfast.
Miinus tuleb siia ette. Meil tuleb miinus siinus alfast. Me tahame alad siis siit sellest miinussest lahti saada.
Selle pärast me peamegi seda vaatama, et kas ma tõstan seda miinust ette. Võite sööb selle ära. Noh, ainugi funksioon, kes sööb miinust ära on koosinus.
Nagu ma rääkisin teile, koosinus on selline pehmekenne. Ta võtab negatiivsust enda sisse. Koosinus miinus alfast sööb selle miinuse ära ja jääb lihtsalt koosinus alfa.
Tangens miinus alfast miinus tuleb ette ja kootangensi puhul ka miinus tuleb ette. Proovime teiega lahendada mingisugused ülesanded ja leida siinuse koosinuse ja nii edasi väärtused väga suurest nurgast. Siin on veel negatiivsed nurgad. Esiteks, kui te näete mingit siukast avaldist siinus mingisuguses nurgas, te võiksite kohe võtta kalkulaator, panete siinus, trükkite seda arvu ja ta annab teile väärtust. Aga väga paljud õpetajad nõuavad ka seda, et te kirjutate seda nurga, et te eraldate sinne täis pöördet, mis oli tehtud.
Sest siin on ilmselgelt, kuna siin on üle tuhande, siin on ilmselgelt tehtud kolm pöördet. Ma liigun siia positsiivses suunas ja ma teen ühte pöörad, ma teen teist pöörad ja kolmandat pöörad. Vaga palju tõbete, et me jõuad ka seda, et te näitate seda, et ma näen need täis pöörded.
Kuiki ma saaksin kohe seda väärtust teada, ma pean ikkagi näitama seda, et ma eraldasin need täis pöörded. Ja me peame seda näitama. Ja mina ka kus juures nõuan seda.
Nii et kuulage tähelepanelikult. No 1140. Kuidas ma saan siin jõelda eraldada täispöörd? Ma pean aru saama, mitu korda 360 mahub siia sisse. Me võime teha seda kalkulaatoriga, me võime teha seda oma peas. Ma teen seda peas.
360 plus 360 on 720 plus veel 360 on 1080. Eks siis see on siinus 3. korda 360. Ma tegin kolm ringi ja see oli 1080 ja mul jäi järgi veel 60. Ja nüüd kui mul niimoodi kirja pandud on, siis ma võin nendest täist pööretest nii-öelda loobuda ja ma kirjutan lihtsalt siinus 60 graadi ja see on ruutjur kolm jagatud kahega. Koosinus 540 graadi miinus 540 graadi. Kui ma näen, et mul on siin sulgudes ja negatiivne nurg, ma pean hakkama kohe mõtlema, et kuidas see akselest miinuses lahtis, sest see segab. Ja ma mäletan seda, et koosinus on paarisfunktsioon, ehk siis ta sööb selle miinuse ära ja ma võin lihtsalt kirjutada, et see on koosinus 540. Kui palju siia mahub täispöördeid?
No ilmselgelt mahub ainult üks täispöör, siis ma võin kirjutada, et koosinus 360 plus mida? 40 plus 180. Ja ma võin... loobuda nendes täispööratest ja lihtsalt kirjutada, et koosinus 180 graadi. Ja see võrdub miinus 1. Tangens miinus 360 graadi. Siin on miinus märk, mis mind heerib ja ma mäletan, et koosinus oli ainuke, kes sööb selle miinuse ära.
Siis ma tangensi puhul tõstan seda miinus siia ette ja siis mul tuleb miinus tangens 360. Siin ei ole mitte mingid täispöörad, et vaja lahutada. Siin võib kirjutada niimoodi, et see on miinus tangens 360 plus 0. Ehk siis see on miinus tangens... Nullist ja see võrdub null. Koosinus 720. Ma kohe tean, et 720 on tegelikult 12 pöörad. Ehk siis ma ükskord läksin, teine kord läksin ja ma saabusin ju punkti jälle nulli.
Ja ma võin kirjutada, et see on koosinus nullist ja see võrdub üks. Siinus miinus 920. See on miinus siinus 920 graadi. Ja nüüd ma mõtlen, mitu täispöörad mul mahub sinna.
360 plus 720. Minus siinus 720. No võib kirjutada ka niimoodi, et 2 x 360 graadi. Sellega ma näitan, et see on kaks täispöörad. Plus 200. Ja nüüd ma loobun nendest täispööratest ja kirjutan, et see on miinus siinus.
200 graadi ja seda siin võib kalkulaatoriga juba arvutada. Järgmine on kood tangens miinus 2160. Kui ma näen siin miinust, siis ma tean, et see miinus tuleb ette. Miinus kood tangens 2160. Ma pean aru saama, mitu täispöörad siia mahub. Kui näiteks on mingi arv selline, ütleme suurem arv, seda on peas raskem arvutada, siis te võite teha niimoodi, et 2160. jagate 360, et vaadata, mitu korda 360 mahub siia sisse. Ja see mahub siia sisse täpselt 6 korda.
See on miinus koo tangents 6 korda 360 graadi. Ma tegin 6 ringi ja ma sattusin ikkagi 0 punktsi. Ma võin kirjutada, et see on miinus koo tangents 0. Miinus koo tangents 0 ei saa kahjuks arvutada.
Kui te kalkulaatorisse panete seda, siis ta ütleb selle kohemingi ero, sest koodangens nullile ei ole määratud. Miks see on nii? Ma seletan.
Selle pärast, et koodangens on ju koosinus jagatud siinusega. Ma võin kirjutada, see on koosinus, ja jätame miinusmärki ka, koosinus nullis graadist jagatud siinusega nullist graadist. Miinusmärk koosinus nullist on jah, 1. Aga siinus nullist on null. Aga kuna nulliga ei saa jagada, siis eksisteerik ka koodangensid siin nullikraadi kohal.
Ja kui teil on selline olukord, siis te võite kirjutada niimoodi võrdusmärk ja selline kriib siia. Tähendab seda, et seda ei saa lahendada. Eelmises videos me panime teiega kirja trigonomeetrilised seosad täisnurkse kolmnurga jaoks. Ja ma pakun teil uuesti seda teha. Siis me kirjutame, et siinus alfa võrdub vastas kaated jagatud juba tenuusiga, a jagatud c-ga.
K-sinus-alfa võrdub lähiskaatet jagatud hüpotenusiga, B jagatud C-ga. Tangens võrdub vastaskaatet jagatud lähiskaatetiga, A jagatud B-ga. Ja K-tangens-alfa on vastupidi B jagatud A-ga.
Tangens-alfa võrdub siinus-alfa jagatud K-sinus-alfaga. K-tangens. on tangensi pöörd funksioon ja see võrdub koosinusalfa jagatud siinusalfaga. Ma ei mäleta, kas me panime seda asja kirjat eelmises videos, aga paneme nüüd, et tangensalfa korda kootangensalfa võrdub 1. See on üsna loogiline, et kui ma korrutan need kaks murdu oma vahel.
No korrutame. See on siinusalfa jagatud koosinusalfaga korda. koosinusalfa ja katud siinusalfaga. Need anduvad välja ja mul jääb alles üks. See seos on hästi oluline meile.
Ja see, ja see, kui me hakkame teiega lihtsustama, nüüd trigonomeetrilis igasuguseid avaldisi, kus me peame siis, kui meil on näiteks kuskile pandud mingi kootangens, ma pean seda lahti kirjutama niivisi või vastupidi, mul on näiteks andud mingi selline murd ja ma pean... Meeldatuletame, et siinus jagatud koosinusega oli ju tangens, siis ma nii-öelda sellist suurt murdu asendan siis lühema tekstiga. Üks väga kasulik matemaatiline seos, mis me kasutame ka täisnurkse kolmnurga jääuks, on pütagoorase teoreem.
Seda saab kirja panna niimoodi, et C-ruudus, ehk juba tenuusruudus, võrdub esimene kaatedruudus plus teine kaatedruudus. Sellest järjeldub, et kui ma tahan leida hübatenuusi, siis ma pean sellest ruud juure võtma. A ruud plus B ruud. Ja nüüd me saame seda pütakoorase teoreemi kasutada teiega, et kätte saada ühte tähtsamat trigonomeetriist seost, mida kasutatakse matemaatikas väga palju, geometriast, matemaatikas ja igal pool. Ja me proovime nüüd teiega seda leida.
Ja selleks me peame minema siia ühik ringi peale jällegi. See on ringioon. mille raadius on 1 ja me võtame siin ja moodustame täisnurksed kolmnurka.
See on nurk alfa siin ja siin on täisnurk. Ja selle täisnurkse kolmnurka jaoks ma tean, et see siin, no oletame, et siin on punkt B, selle punkti B siin see x-koordinaat on ju koosinus alfa. See on koosinus alfa.
Ja Y koordinaat on siinusalfa. See osa siin on siinusalfa ja see osa siin on koosinusalfa. Siis ma saan panna kirja just selle väikse kolmnurga jaoks ühte kõige tähtsamatrikonomeetrilis seost, mis ütleb mulle, et siinusruudalfa plus koosinusruudalfa võrdub Ma lihtsalt panin püda koorase tõareemi kirja selle väikse kolm nurga ajauks, sest ka tetsid ruudus liidadud oma vahel võrdub juba tenuus ruudus. Aga siin on üks ja üks ruudus me ei kirjuta, jääb siia lihtsalt üks. Mis see nüüd siin tähendab?
Siinus ruud alfa. See on lihtsalt nii-öelda lihtsustatud kirjapanek. Ma võiks kirjuda ka niimoodi, et siinus alfa ruudus.
Nagu me teiega kirjutasime siin A ruudus, on ju, et ma võiks ka niimoodi kirjutada sinus alfa ruudus plus koosinus alfa ruudus võrdub üks. Aga noh, te võite niimoodi ka kirjutada, kui teil on niimoodi lihtsam, aga niimoodi me ei kirjutada, tähendab, niimoodi ei kirjutada tavaliselt. Et säästa aega siis kirjutakse see ruud siia ja see sinus ruud alfa. Tähendab, et see on lihtsalt kaks siinust oma vahel läbi korrutatud.
Siinus alfa on sama, mis me rääkisime teega. A-ruudus on sama, mis kaks aad on oma vahel läbi korrutatud. See siin on väga tähtis trigonomeetriline seos ja seda nimetataksegi tegelikult trigonomeetriliseks põhiseoseks.
Ja sellest trigonomeetrilisest põhiseosest järjelduvad ka teised seosed, mis kõik järjelduvad siit ja kõik... avalduvad siit ja ma avaldan teiega praegu seda ka teiega koos lihtsalt, et te saaksite aru, kus see tuleb, et te ei peaks kõiki valemeid meelde jätma. Esimene asja, mis ma tein, ma jagan seda koosinusruud alfaga. Ma jagan kõik liigmed seda, seda ja seda koosinusruud alfaga ja vaatan, mis mul tuleb. Ma saan, et siinusruud alfa jagatud koosinusruud alfaga pluss.
Koosinus ruud alfa jagatud koosinus ruud alfaga on lihtsalt 1 ja võrdub 1 jagatud koosinus ruud alfa. See siin siinus jagatud koosinusega on ju tangens. See on tangens ruud alfa plus 1 võrdub 1 jagatud koosinus ruud alfaga.
teine oluline trigonomeetriline seos, mida me hakkame teiega kasutama. Ja täpselt samamoodi tehakse ka jällegi võetakse seda põhitrigonomeetrilist seost ja jagame nüüd siinusega. Siinus ruud alfaga. Mis ma saan siin? Siinus ruud alfa jagatud siinus ruud alfaga.
Ma saan lihtsalt siia 1 plus koosinus ruud alfa. jagatud siinus ruud alfa võrdub üks jagatud siinus ruud alfa. Koosinus jagatud siinusega on kootangens.
See on üks plus kootangens ruud alfa võrdub üks jagatud siinus ruud alfa. Need seosad siin, mis ma siia kirja panin, nad on väga tähtsad. Need jäävad nii kui niidel pikka peale meelde, aga võibolla mõni peaks isegi õppima seda eraldi. Üks asi, mis ma tahan veel teiega eraldi vaadata, on täiendusnurga. Me teame, et täisnurkses kolmnurgas, kui üks nurg on alfa, siis see siin on, jah, taavlasti öeldakse lihtsalt beeta, aga tegelikult millega võrdub see nurg?
See võrdub ju 90 miinus alfa. See siin on 90 graadi miinus alfa. Sest nende terafnurkade summa siin täisnurkses kolmnurgas, on 90 graadi. Kui üks nurg on alfa, siis see on raudselt 90 miinus alfa. Ja siin täisnurgses kolmnurgas kehtivad siis sellised seosed, et kui ma leian siinus alfa, siis ma tean, et see võrdub täpselt samasuguse väärtusega nagu koosinus sellest.
teisest teraf nurgast, ehk siis koosinus 90 graadi miinus alfa. Näiteks mul on siinus 30 graadist, et oletame, et siin on 30 graadi, siis selle väärtus, mis ma siia leian, on täpselt sama, mis koosinus sellest nurgast. Kui see on 30, siis see nurg siin on ju 60, ehk siis 90 miinus 30. Miks see on nii?
Võime veel ka niimoodi kirja panna, et ütleme, et siinus... 30 graadist võrdub ju A jagatud C-ga. Aga koosinus sellest teises nurgast, ehk siis 60 graadist, ka võrdub ju A jagatud C-ga, sest koosinus sellest nurgast on lähiskaated jagatud hübatenusiga.
Siis ma saan ka, et siin on A jagatud C-ga. Siit me saamegi näha, et tegelikult siinus 30 võrdub koosinus 60-ga. Ja vastupidi Koosinus alfast võrdub siinus sellest teises nurgast.
Siinus 90 graadi miinus alfa. Kui mul on öeldud, et on antud näiteks koosinus 40 graadi, see võrdub sama, mis siinus 90 miinus 40 on siinus 50 graadi. Ja tangensi ja kootangensi puhul on täpselt sama.
Tangens alfa võrdub sama, mis kootangens. sellest täiendusnurgast. Ja k-tangens alfa võrdub tangens sellest teises nurgast, ehk täiendusnurgast. Me nüüd lahendame teiega koos mõned ülesanded selle kohta. Kui ma näen mingit siukast asja, siin on nurgad antud, kuigi teil on kalkulaatorid kõikidel kasutusel, siis kontroll töödas ja niimoodi käestakse ikkagi näidata, kuidas sa teisendad siin seda.
Mitte lihtsalt, et sa leiad seda väärtust. Eesmärk ei ole see, vaid eesmärk on see, et sa saad aru, et mis see siin tähendab. No, nendes ülesandus on alati nii, et ütleme, et ma näen, et see 12 plus 78 on 90 kokku. Ehk siis me oleme siin praegu täis nurgse kolm nurga sees.
See on siinus ühes nurgast ja see on siinus sellest teises nurgast. Aga nüüd ma ei saan, et siin oma vahel lihtsalt nii sama liita. Mul peaks olema...
Ühesugune nurg näiteks. Kuidas ma saan tekitada siia ühesugus nurga? Ma tean, et siinus sellest nurgast võrdub ju sama, mis koosinus täiendus nurgast. Siinus, noh, praegu ignoreerime seda ruutu praegu siin.
Siinus 12 graadi võrdub ju koosinus 78 graadist. Paneme niimoodi, et see on 90 graadi miinus 12 graadi. Ehk siis võrdub.
koosinus 78 graadist. Ma võin seda siinust siin, siinust 12 graadist kirjutada kui koosinus 78 graadist. Koosinus 78 graadi ja ma ei unustasin ruutu, sest siin algselt mul oli ka ruut ja siia tuleb ka see ruut. Koosinus ruut 78 plus siinus ruut 78. Aga meie põhitrikonomeetriline seos, mis meil oli teiega siin. Räägib meile, et siinus mingis nurgast, ruudus, pluss koosinus üks kõikmis nurgast, ruudus, võrdub üks.
Siis ma saan siia ka kirjutada, et see on üks. Liigume edasi. Jällegi tangens ja tangens. Need on jällegi tajendusnurgad.
Ma pean tekitama siukast asja, et oleks üks ja sama nurg, et ma saaksin mingisugused teisendused siin teha. Tangens 16 graadist on sama, mis kootangens. täiendusnurgast.
See on sama, mis k-tangens 74 graadi korda tangens 74. Ja k-tangens mingisnurgast korda tangens samasuguses nurgast on 1. Liigume edasi. Las ülesõjab lihtsalt 1 ja ma vaatan, mis mul sinnal tangensruud siin on 66, siin on 24. Ma tekitan kuskile siia. Liigume edasi.
Siin on tangens ja siin on k-tangens, aga nurgad on erinevad. Tangens ruud 66, see on ju sama, mis k-tangens ruud 24 graadi. Korda 1 plus tangens ruud 24 graadi. Ja nüüd siin on mingisugused sulud ja siin nende trigonomeetriliste funksioonide lihtsustamisel meil tuleb hästi palju mingis sellist asju, mis me oleme teiega juba teinud.
Lihtsalt siin meil olid mingisugused tähed, ma ei tea, kus me avasime sulud, aga nüüd siin tähtede asemel on lihtsalt sellised keerukamad võibolla avaldised. Ma avan sulud ja korrutan niimoodi läbi siin nimetäes ja ma saan, et... Teeme 1 jagatud, siia tuleb k-tangens ruud 24 graadi plus ja nüüd k-tangens 24 korda tangens 24 on ju tegelikult 1. Ma niimoodi ei jätta, vaid ma proovin veel siin kuidagi lihtsustada.
Ma tean, et k-tangens ruud mingis nurgast võrdub k-tangens jagatud siinusega. koosinusruud 24, jagatud siinusruud 24 plus 1. Siin tuleb kolmekorruseline murd, aga me ei karda seda. Siin teeme ühised nimetaja alla viime. 1 jagatud ja siia tuleb koosinusruud 24 graadi plus siinusruud 24 graadi. Jagatud siinusruud 24 graadi.
See osa siin on 1, on ju nii. Siis ma võin kirjuda, et see on 1 jagatud. 1, siinus, ruud, 24. Kui ma jagan siis tagumist murduma pööran, siis ma saan siia, et see on lihtsalt siinus, ruud, 24 graadist. See on vastus siia.
Järgmine lihtsustemis ülesanne siinus 71 ja tangens 19. No, ma pean tekitama kas siia? Nurka 71 või siia nurka 19. Proovime nüüd seda tangentsid kirja panna kui siinust jagatud koosinusega. Siinus 71 graadi korda siinus 19 graadi jagatud koosinus 19 graadi. Siinus 71 on ju sama, mis koosinus 19. Ehk siis ma võin kirjutada, et see on koosinus 19 graadi korda siinus.
19 graadi ja katud koosinus 19 graadi. Koosinused taanduvad välja ja vastus on lihtsalt siinus 19 graadi. Järgmises ülesandes on meil siin koosinused, siinused, siin on tangens olemas.
Kui ma näen tangens, siis tavaliselt on mõte, kas tangensid esitada kui siinus ja katud koosinusega ja me teeme seda, et see on koosinus 24 graadi. See on siin siinus 66. Jagatud koosinusega 66 graadi korda siinus 24 graadi miinus. Nüüd vaatame, mis me sellega saame panna. Esiteks siin on siinus 15 ja siin on koosinus 75. Aga koosinus 75 on ju sama, mis siinus 15. Ehk siis ma võin ülesääb see sama siinus 15 graadi ja alla. tuleb siinus 15 graadi.
No liigume edasi. Neid siin võib taandada. Ehk siis siia tuleb üks ja siia tuleb üks.
Aga vaatame nüüd siia. Kuna see kolmekorruseline murd segab mind, siis ma proovin sellest kuidagi lahdi saada. Ja ma saan, et koosinus 24 graadi.
Te võid kuskil eraldi seda ka lahendada. Ehk siis te teete niimoodi, et... et koosinus 24 graadist jagatud siinus 66 jagatud koosinus 66, siis seda tagumist murdu pöörate ja nii edasi, nii edasi. Aga noh, mina teen seda kohe oma peas, et see on koosinus 66, see tuleb siia üles ja siia tuleb siinus 66 graadi.
Korda siinus 24 graadi. Miinus 1. No nii, praegu... ma näen seda, et see koosinus jagatud siinusega, koosinus jagatud siinusega on tegelikult ju kootangens, aga ma praegu ei hakka kiirustama sellega ja ma tean, et see koosinus 24 on ju sama, mis siinus 66. Ma võin niimoodi kirjutada, et see on siinus 66 graadi. Või tändab, ma ei hakka seda kirjutama, ma saan kohe siin taandada.
Teadas seda, et koosinus 24 graadist ja siinus 66 on sama. Siis ma saan see ja see taandub välja. Ja nüüd see koosinus 66 on ju sama, mis siinus 24. Ma võin kirjutada, et see on.
Esiteks siia jääb 1 ja 1 on ju nii. Ja siis ma saan üles, see mul tuleb. Siinus 24 graadi ja kadud ühega, no ma kirjutan lihtsalt ee jaoks, et oleks aru saadavam, korda siinus 24 graadi miinus 1. Ja nüüd see tuleb siia lugeesse, siinus 24 korda siinus 24 on ju siinus ruud 24. Siinus ruud 24 graadi miinus 1. Ja kuigi see on juba päris ilus, siis siin tegelikult saab veel lihtsustada.
Kui ma näen kuskil ühte, siis ma saan seda esitada kui... Põhidrikonomeetrilis seost, ehk siis, siinus ruud 24 jääb nii nagu ta on ja miinus ja nüüd see 1 me võime kirja panna kui siinus ruud 24 graadi plus koos siinus ruud 24. Miks ma panin just siia 24? Lihtsalt sellepärast, et mul oli minu lasandas oli juba mingi 24 mingi nurg, et siin sai valida, sest see koos annab niiku nii ühte.
Ehk siis ma võin seda panna jooks... Kirja ükskõik, mis nurga abil. Ma võin siia kirjutama, ei tea, mingi 1080 ja siia 1080 isiganes.
Ma panin siia 24 lihtsalt sellepärast, et minu ülesandes oli see nurg kasutusel. Ja nüüd avame sulud siin. Siin oli miinusmärk, ma avan sulud ja ma saan siia, et siinus 2, 24, miinus siinus ruud 24. Miinus koosinusruud 24 graadi. Ja nüüd läheb ilusamaks. Need taanduvad välja ja vastus on lihtsalt miinus koosinusruud 24 graadi.
Järgmistes ülesannates, nagu te mäete, siin ei ole kasutusel nurga, nagu meil siin eelmistes ülesannates oli. Kus me täiendus nurga abil siis siinus tegime koosinuseks ja nii edasi. Vaid siin on kasutusel lihtsalt alfaad.
Ja eesmärk on... lihtsustada seda avaldist niimoodi, et see näeks kompaktsem välja. Ja siin me kasutame põhilisel teega siis neid seoset, mis me siin kirja panime. Noh, kõige tähsam on see tangens, et see on siinuseagatud koosinusega. K-tangens on hea teada.
Tangensi ja k-tangensi korrutis ja siin need seoset, mis me kõik leidsime teega sellest põhi trigonomeetrilised seosest. Kui tangens on siin olemas, siis siis tavaliselt on mõte, kas tangents esitada kui siinus jagatud koosinusega ja me teeme seda. Üles ajab siinus alfa korda koosinus alfa ja alla tuleb meil siinus jagatud koosinus alfaga. Miinus 1. Okei, nüüd on mul jälle kormekorruseline murd, mida ma võin, kas siin kuskil muste andib paperi peal või oma peas.
teisendada niimoodi, et ta ei oleks kolmekorrusseline. Ma võiks niimoodi kirjutada, et siinusalfa korda koosinusalfa ja nüüd, see on avaldis, on ju, jagan nüüd selle muruga, siinusalfa jagatud koosinusalfaga. See tagumist murdu ma pööran ja nii edasi, nii edasi.
Aga mina teen seda kõiki oma peas. Põhimõtteliselt kuidas ma seda teen? See rändab lihtsalt üles ja see jääb siia alla. Siinus korda koosinusalfa, korda koosinusalfa ja siinus ja palla. Miinus 1. Siinused saab taandada.
Ja koosinused, nurgu on ühesugune, ehk siis ma võin seda ruutu tõsta. Ma võin kirjutada, et see on koosinus ruut alfa miinus 1. Jällegi. See on väga kompaktne juba, aga kui ma näen ühte, siis alati on mõte, kas seda ühte lahti kirjutada kui põhidrikonameetrilis seost. Ja ma teen seda. Ja ma saan, et koosinus ruut alfa miinus nüüd sulgudes.
See tuleb alati sulgudes kirjutada. Siinus, ruud. Alfa plus koosinus ruud alfa. Avame sulud ja ma saan siia koosinus ruud alfa miinus. Siinus ruud alfa miinus koosinus ruud alfa.
Koosinused anduvad välja ja ma saan siia miinus siinus ruud alfa. See on minu vastus. Järgmine ülesanne. Mis ma siin näen?
See on... 1 jagatud 1 miinuskoosinus, siin on 1 pluskoosinus. Kuna siin ei ole enam midagi teha, on ju, siin ei ole kuskil tangents, mida me saame esitada, kui siinus jagatud koosinusega.
Siin ei ole mingid põhitrikonomeetrilis seost, aga siin on ju kaks murdu. Mõttekas oleks leida nendel ühine nimetaja. Ühine nimetaja tuleb neil 1 miinuskoosinusalfa ja 1 pluskoosinusalfa.
Jälle lihtsustamised. Kõik lihtsustamiste reeglid. Kehtsivad ka siin.
Ehk siis ma võtan need nimetajad, nüüd asetan sulgudes see toraks ilusam ja mugavam minu jaoks. Viskan kõik nimetajad kokku ja see ongi ühine nimetaja. See tuleb laiendada 1 plus koosinus alfaga. See tuleb laiendada 1 miinus koosinus alfaga. 1 plus koosinus alfa miinus sulud.
Alati kui mul on murru ees miinus, siis ma alati panen sulud. 1 miinus koosinus alfaga. koosinus alfa. Avame nüüd sulud siin üleval.
1 plus koosinus alfa miinus 1 plus koosinus alfa. Ja kattud. Ja nüüd on siin.
Ühes sulus on miinus märgiga, teises sulus on pluss märgiga. See on ju valem. See on ju a plus b a miinus b võrdub a ruud miinus b ruud.
Ja siin Vaatamata sellele, et meil ei ole siin aad ja beed või mingisugused tähed, aga reeglid on samad. Kui ühes sulus on mingisuguste liikmete vahe ja teises sulus on mingisuguste liikmete summa, siis ma võin seda kokku panna kui 1 miinus koosinus ruud alfa. Üleval ühed taanduvad välja.
Koosinus alfa plus koosinus alfa. Õun plus õun on kaks õuna. Kaks koosinus alfa. Ja siin all on üks.
Miinus koosinus ruud alfa. Kui ma näen kuskil ühte, siin on see üks, siis ma esitan seda, kui põhitrikonomeetrilis seost üles jääb kaks koosinus alfa ja alla tuleb siinus ruud alfa plus koosinus ruud alfa miinus koosinus ruud alfa. Siin nimetes koosinused taanduvad välja ja ma kirjutan nüüd uuesti kaks. Koosinus alfa jagatud siinus ruud alfa. Mis nüüd siin teha saab?
No esiteks ma võin seda siinust kirjutada kui siinus alfa korda siinus alfa. Kirjutame. See on kaks koosinus alfa ja see on ju siinuste korrutis. Ja nüüd ma näen, et see siin koosinus jagatud siinusega on ju kootangens alfa.
On ju. Siis ma võin ju öelda seda eraldada siit. Ma võin niimoodi jätta, et see on koosinus alfa jagatud siinus alfa.
Ma praegu eraldasin need liikmed siit. Ja see on korda kaks jagatud siinus alfaga. See siin on kootangens alfa. Ja ma kirjutangi seda, et see on kootangens alfa korda kaks siinus alfa.
Ja see ongi vastus. Järgmine lihtsustamis ülesanne. Ma näen, et siin on k-tangens ja siin on tangens. Ja siin on mingid ühed.
Kuna k-tangens ja tangens on teine-teise pöörd funksioonid, ma võin niimoodi kirjutada, et k-tangens alfa võrdub 1 jagatud tangens alfaga. Ehk siis ma võin seda k-tangensid siin asendada selle muruga. Ma teen seda.
See on 1 miinus 1 jagatud tangens. alfaga jagatud 1 miinus tangents alfa. Nüüd mul tekis olukord, kus mul on üleval mingisugune vahe ja ma teen siia ülesse veel neile ühine nimete. See laiendab tangents alfaga ja ma saan, et tangents alfa miinus 1 alla jääb ka tangents alfa. Ja see veel oma korda jagatud 1 miinus tangents alfa.
alfaga. Me võiks seda lahti kirjutada niimoodi, et see ülemine murd, see tangents alfa Miinus 1 siin edasi. See jääb siia ja ma võin kirjutada, et see jagatud 1 miinus tans alfa. Lihtsalt, et mulle ei oleks seda 3 korruslist murdu, siis ma kirjutan, et see ülemine osa jagatud siis alumise osaga.
Nii on lihtsam vaadata. Võrdub. Nüüd, mis ma teen, see tagumine murd pöörab.
Praegu seda saaks vaadata, kui see aval siis jagatud ühega on ju. Ja nüüd, kuna see pöörab... Mis ma saan?
See tangens alfa miinus üks on ikka siin üleval. Korda üks, siin on tangens alfa korda üks miinus tangens alfa. Kas ma saan siin need asjad taandada? Ei saa.
Selle pärast, et siin on tangens miinus üks ja siin on üks miinus tangens. Ma pean siin näiteks eri korda vahetama. Või siin. Vahet pole, kus ma tahan. No vahetame selle üleval järjekorda.
Kui ma selle suure murru ees tahan vahetada järjekorda ühes sulus, siis ma tõstan miinus märki ette ja ma saan siia 1 miinus tangens alfa korda 1 jagatud tangens alfa korda 1 miinus tangens alfa. Need taanduvad välja ja ma saan siia, et see on miinus 1 jagatud tangens alfaga. Ja ma tean, et üks jagatud tangens alfaga on tegelikult k-tangens alfa. See on miinus k-tangens alfa. Selline vastus tuli.
Järgmine. Siinus ruud alfa ja nii edasi. Kui ma näen tangens, ma teen seda siinus jagatud koosinusega.
Kirjutan seda kui siinus jagatud koosinusega. See siinus ruud alfa jääb oma kohale. Siinus tuleb x plus siinus ruud alfa.
Jagatud koosinus ruud alfaga. Avame sulud. See korrutan sellega ja korrutan ka sellega.
Ma saan siia siinus ruud alfa plus siinus ruud alfa korda siinus ruud alfa jagatud koosinus ruud alfa. Ma korrutasin läbi. Mis seda asi?
No marvan et... Esiteks siin on mingi liige ja siin on murd. Nimete. on siin see. Teeme ühis nimetajad.
Siin nagu oleks üks, siis seda tuleb laiendada koosinus ruud alfaga. Ja ma saan siia siinus ruud alfa korda koosinus ruud alfa plus siinus ruud alfa korda siinus ruud alfa. Jagatud.
koosinus ruud alfaga. Mis ma siin üleval näen? Ma näen siin üleval.
Põhimõtteliselt me oleme neid asju kõiki teiega teinud. Lihtsalt siin, kuna need on niimoodi kirja pandud koosinused ja siinused ja tangensid ja nii edasi, siis tuleb nagu mõelda kuidas ma need teisendan või kuidas ma kombineerin need oma vahel. Aga põhimõtteliselt see on sama asi, mis me tegime kui me toimetasime tähtedega. Ütleme ma ei tea mingi a ruud on ju.
Siin ma tean selles avaldises siin, et saab aad sulgud ette võtta. Siin on kohe seda näha, et see on b plus a, on ju nii. Aga siin on ju täpselt sama moodi. Ma näen, et see esimene liige on siin, tal on siin siinus ja koosinus, nagu oleks siin a korda b, on ju nii.
Aga siin on a ja siin on ka a. Siis ma saan seda aad sulgud ette võtta. Ehk siis ma võtan siinus ruud alfa sulguda ette. Ja mis mul siia jääb? See võtsime välja.
Siinus jääb koosinus ruud alfa. Ja siit selle võtsin ka välja sulguda ette. Plus siinus ruud alfa jääb sisse. Ja katud koosinus ruud alfa.
See siin sulgudes annab meile ühte. Aga see siin... siinus jagatud koosinusega annab meile tangens ruud alfa. Ja viimane lihtsustamise ülesanne näeb välja niimoodi. Meil on siin mingid siinused, siin on koosinuse, siin edasi.
Ja kui ma näen mingid siugust murdu, millega ma nagu kohe ei saa mitte midagi siin teha, siin ei ole kuskil mingid tangens, siin ei ole mingid ruute, kus ma saan seda põhitrikonomeetrilis seost kasutada, siis esimene samm oleks mõte, kas leida neile ühine nimete. Me viskame kõik nimetejad kokku. ja see, mis tuleb, see on ühine nimete. Eks siis see on 1-kosinusalpha korda siinusalpha on ühine nimete. Seda laiendame siinusalfaga, aga seda laiendame 1-kosinusalfaga.
Ma saan siia... Siinus korda siinus on siinus ruud alfa. Miinus Kui murru ees on miinus märk, siis ma alati panen sulud siia.
Üks kõik mida, aga ma panen siia sulud. Ja ma kirjutan, et see on 1 plus koosinus alfa korda 1 miinus koosinus alfa. Siinus ruud alfa jääb oma kohale.
Ja nüüd miinus märk ja sulud ja vaadan, mis siia tuleb. Ühes sulus on summa, teises summas on vahe. See on ju ruutude vahe.
See on 1 miinus koosinus ruut alfa. Ja siia ala tuleb 1 miinus koosinus alfa. Ma lihtsalt kirjutan ümber. Siinus alfa. No nii, nüüd siin avan sulud.
Ma saan, et siinus ruut alfa miinus 1 plus koosinus ruut alfa. Ja siia tuleb 1 miinus koosinus alfa. Ja siinusalfa. Vaatame, mis siia üles tuleb.
Esiteks siinusruud pluss koosinusruud annab meile kokku ühte. 1 miinus 1, siia tuleb 0. Kui siia üles see tuleb 0, siis üks kõik, mis mul siin alga ei oleks, vastus on 0. Ja nüüd järgmine teema, mis me hakkame teiega käsitlema, on taandamisvalemid. Ma tegin teile siia ette sellist tabelid, mis te võibolla olete juba näinud, õpikus on see tabel olemas.
See on... trigonomeetriliste funksioonide väärtused nende põhinurkade jaoks. Põhimõtteliselt te võite seda meelde jätta ja pigapeale nad jäävadki meelde mingisugused väärtused siit, aga need saab kõik kalkulaatori abilt kätte.
Siin kus ruud juured on, siis kalkulaator ilmselt näitab teile mingit kümnend murdu, aga mõni kalkulaator näitab ka sellisel kujul ja see võib olla väga kasulik. Just sellisel kujul neid kirjutada mõnikord just lihtsustamise jaoks on see kasulik. Aga põhimõtteliselt need on need väärtused, mis me teeme. Aga noh, oletame neideks, et me võtame, võtame neideks, kui meil oleks vaja leida siinus, ma ei tea, 750 graadi.
Ma tegin teie jaoks siia ringi joond, et lihtsalt meeldetulatada, kus mis asub ja et me saaksime need nurkasid siin uuesti hakkama näitama. Noh, siin on 0 graadi, siin on 90 graadi, ehk piia katud kahega. Siin on 180 graadi, ehk pii ja siin on 270, ehk 3 pii kahendiku. No 750. Me oleme teiega juba teinud sellist ülesannet, kus me kirjutame ja eraldame siit täispöörded. Siin saab need ilusti eraldada.
Siin on kaks täispöörad. See on 360 plus 360 on 720. Ma võin kirjutada, et siin on kaks täispöörad tehti on ju ja lisaks veel 30 graadi. Siis see nurg, kuhu ma satun, on kuskil siin.
See on see 30 graadi. Ja selle siinuse puhul ja kõik teiste trigonometriliste funksioonide puhul ma loobun siis nendes täispööretest ja ma võin lihtsalt kirjutada siia, et see on lihtsalt siinus 30 graadi, mis võrdub 1 kahendik. Aga vahest meil on mingi selline nurg, mille sisse need täispöörded ei mahu.
Võtame koosinus 120 graadi. Siin täis pöörded ei mahu. Ja ka selle tabeli puhul, tähe tabeli kaudu ma ka ei saa seda väärtust kohe kätte, sest mõned tabelid on sellised hästi suured tabelid, kus on ka 120 on ka sealt välja toodud ja mingid veel teised natukad suuremad ja ka oorulised nurgad.
Ja põhimõtteliselt ma saaks seda kalkulaatori abil ka liida. Aga me peame teie ka aru saama tegelikult. Kus see nurk asub ja mis see 120 on? No 120 on ju suurem kui 90 on ju.
90 ja liideti veel 30. Ma võin seda nurka näidata siin. See on see nurk 120 graadi. Ma kirjutan selle kohe siia peale.
Ja nüüd selle nurga jaoks ma kirjutan välja ka täpselt samamoodi nagu ma kirjutasin siin. Ainugi asjad siin ma kasutasin need täispöörded, aga siin ma võin kirjutada, et see on koosinus 90 graadi pluss 30 graadi. Täispöörete puhul me lihtsalt loobusime nendest, eesme kirjutasin siinus selles kolmekümnest.
Kui ma nüüd kirjutasin selle, et siin ei ole seda täispöörde, siin ei ole kaks piid on ju, siin ei ole 360 graadi, siin on lihtsalt 90, siis ma ei saa lihtsalt niimoodi lihtsalt võtta ja loobuda sellest ja kirjutada koosinus 30. See ei ole õige. Siin me peame kasutama teadud reegleid. Ja siin tehakse niimoodi, et kõigepealt... Esimene samm, alatsime toimimased selle algoritmi järgi. Esimene samm, ma vaatan, mis veerandis asub minusse nurg.
See asub teises veerandis. Okei, vaatasin. Koosinuse puhul siis positsiivsed tulevad ainult need värdused, aga see saabub siia teise veerandise, siis tuleb negatsiivne.
Siis ma kirjutan enda jaoks kuskile või lihtsalt jädan meelde. Ja nüüd kolmandaks sammuks ma pean vaatama veel ühte asja. Ma pean vaatama, kas koosinus muutub siinuseks või mitte. Ja meil hakkab nüüd olema nende taandamise valemite puhul on niimoodi, et kui on koosinus alfa, siis ta muutub siinuseks.
Mitte alati, aga me kohe saame teada, mis need reeglid on. Ja tangensi ja kootangensi puhul nad on ka kohufunktsioonid. Ja nüüd, et aru saada, kas see koosinus muutub nüüd siinuseks või mitte, ma vaatan niimoodi, et kui see nurg siin asub selle vertikaalse telje peal, Siis kui ma lähtun sellest nurgast, ükskõik, kas ma liigun siia poole või siia poole ja või ma lähtun sellest nurgast siin, me kohe lahendame teega, väris mitte üles on selle kohta, et kui ma nendes nurkadest siin lähtun, siis jah, see muudab, muutub siinuse vastu.
Siis siin ongi see liigutus, mis ma nii-öelda peaga teen, ma vaatan nii-öelda üles, alla, üles, alla, nii-öelda leidan, et nurkasid siin, siis siin koha peal on jah. muutub siinuse vastu. Siis ma võin kirjutada, et see miinus tuleb siit, et me kirjutasime, et see on teise veerandi nurg ja koosinus on siin negatiivne. Nüüd ta muutub siinuse vastu ja siia tuleb see 30. Kui ma leidsin, et see funksioon muutub oma koo funksiooni vastu, siis ma saan sellest 90 loobuda ja siis juba kirjutasin siia. Ja see tuleb siia miinus 1 kahendik.
Aga te võite mulle vabalt öelda, et see 120 graadi võib ju tegelikult kirjutada niimoodi, et see on 180 miinus 60, mis on ka õige. Ma võin seda kirjutada niimoodi, et see on 180 graadi miinus 60 graadi. No teeme läbi täpselt seda asja, mis me just tegime. Kõigepealt, see nurg on teises veerandis ja see on ikkagi miinus märgiga. Ma võin seda miinus märgi kohe siia etta tõsta.
Ja nüüd ma vaatan, kas see muutub oma koofunktsiooni vastu või ei muutu. Kuna ma lähtunud sellest 180-st, on ju nii, ma liigunud siia poole, aga vahet poole, kui ma liiguks ka siia poole, siis reegel on sama. Ehk siis kui minu need sõlmed on siin või siit ma oleks nagu liikuma hakkanud, siis vastus on ei, siin ei muutu koofunktsiooni vastu.
Sest siin ongi, et see peaga see liigutus, mis ma teen, kui ma nii-öelda otsin need nurgas, siis ma vaatan. Siinus, siia, ei, ei muutu koo funksiooni vastu. Siis jääbki lihtsalt koosinus 60 graadi. Ja koosinus 60 on 1 kahendik ja mul tulebki miinus 1 kahendik.
Ja vastus tuleb sama. Üks kõik kumba pidi ma otsustan liikuda. Kas ma 90 liidan 30 või ma 180 lahutan 60. Vastus tuleb ikka sama. Võtame järgmis nurga näiteks siinus 300. 315 graadi. Kõigepealt ma jällegi vaatan, et selle nurga sisse täispööre ei mahu.
315, kui palju see on? No see on peaaegu 360. 360 on mul kuskil siin. Siis ma põhimõtteliselt 360 võin lahutada midagi, et saada see 315. Või siis ma võin liikuda niimoodi siit ja 270 midagi liidan.
See, kuidas ma seda nurga esitan. Ei omaani öelda tähtsust, et kumba ma võtan sellest lähtepunktiks. Põhiline on see, et lähtepunkt peab olema üks nendest sõlmedest.
Ja see peab olemas sellele nurgale nii-öelda lähedal. Et näiteks, kui ma võiks ju niimoodi kirjutada, et see, ma ei tea, et ma võiks võtta, et see 180 pluss midagi. Aga see ei sobi sellepärast, et 180 asub selles nurgast nii-öelda liiga kaugel, et ma pean ikkagi võtma seda osa veel, siia poole liikuma.
Et see peab asuma sellele nurgale lähedal. Antud juhul on see kaks. 270 või 360. Siin on veel 360 ka.
No mina pakun, et lähtume 270. Ma võin kirjutada, et see siinus 315 on sama, mis siinus 270 plus 45 graadi. Ja nüüd ma hakkan vaatama, et see nurg sattub siia neljandasse veerandisse. Panen endale seda kirja. Neljandasse veerandis. Meil oli siinus.
Siinus neljandas veerandis on miinus märgiga ju, sest siinus oli Y ja siin kõik Y väärtused on negatiivsed. Siinus tuleb miinus märg, siis ma võin kohe seda miinus märgi siia ette tõsta. Ja nüüd ma vaatan, et 270 asub selle vertikaalse telle peal ja muutub koo funksiooni vastu.
Siis makirjutame siin kosinus nelikend viis krati. Ja siin miinus. Ruut juur kaks, jagatud kahega.
Mul on pandud kirja siia tabeli väärtus, aga te võite ka kalkulaatoriga seda väärtust arvutada. Nüüd on mul siin terve hunnik ülesand, et mida me lahendame koos teiega sama põhimõtte järgi. No, vaatame, koosinus miinus 210. Esiteks ma näen siin miinusmärki ja sellest peab kohe lahtsi saama.
Ehk siis koosinus 210 jääb meil järgi. 210 on ju kuskil 180 ringis on ju. 180 plus 30. Siis ma võin panna kirja, et see on koosinus 180 plus 30. Ma võiks ka seda kirja panna näiteks, kui ma võtan lähtepunktiks seda punkti siin, see 270. Ma võiks kirja panna, et see on 270 miinus 60. See oleks ka õige. Ma võiks siia kirjutada, et see on 270 graadi. Miinus 60 graadi.
Vastus tuleb sama. Ükskõik kuidas ma arvutan? Kas ma arvutan kirjutades niimoodi või nii? Koosinus 180 plus 30. 180 plus 30 veel.
See sattub kuskile siia kolmandasse veerandisse. Kolmas veerand. Koosinus on kolmandas veerandis negatiivne. Koosinus on siin negatiivne, sellepärast, et ta on positiivne ainult selles osas. Siis ma võin kohe tõsta siia ette miinusmärgi ja nüüd ma vaatan, kas see muutub koo funksiooni vastu või mitte.
Ja 180 asub selle horisontaalse joone peal ja ma ütlen ei, see ei muutu koo funksiooni vastu. Siis ma kirjutan lihtsalt koosinus 30 graadi ja see võrdub, no see on selles siit ära, miinus 1 kahendik. Tangens 120, kas ma võin seda kirjutada kui 90 plus 30?
Või siis ma võin kirjutada, et see on 180 miinus 60. Ma valin alati pluss märgiga 90 pluss 30 graadi. Nüüd hakkan vaatama tangens. 90 pluss 30, see tähendab, et see sattub kuskile siia.
See on teine veerand ja siin on tangens negatiivne, sest tangensid on negatiivsed siin ja siin on ainult positiivne. Siinus tuleb kohe miinus märg ette. Ja siis ma hakan vaatama, kas ta muutub koo funksiooni vastu või mitte. Lähte punkt on oli mul 90, on ju nii.
Ja see asub vertikaalse siin telle peal. Siis vastus on ja, muutub koo funksiooni vastu. Siis ma kirjutan, et see on miinus koo tangens 30 graadi. Ja see võrdub miinus ruut juur kolm.
Järgmine on koo tangens 300. No see kord ma leian, et mugavam oleks kirjutada 360 graadi. Miinus 60 kraadie. 360 miinus 60 on ju 300. Ehk siis 360 ja ma lahutasin 60 siis miinus 60. Tähendab, et ma liikusin siia poole. Ma sattun siia neljandase veerandise ja siin oli k-tangens ka negatiivne.
K-tangens on ja nagu tangens nad on negatiivsed siin ja positiivsed siin. Siin on ka miinusmärk. Miinus Nüüd ma vaatan, et see. Koo tangens 360 oli minu lähtepunkt, kas see muutub koo funksiooni vastu.
Kuna see 360 asub siin horisontaalse telle peal, siis vastus on ei, ei muutu. Kõrkimul koo tangens 60 graadi ja see võrdub miinus ruut juur 3 jagatud kolmega. Nüüd proovime teiega samasugused seoset teha ka siis, kui nurg on antud radiaanides. Kui te näete nurga radiaanides, siis te võite seda teisendada graadidesse.
Ehk siis 7 pii jagatud kuuega. Teen niimoodi, et see on 7 x 180 graadi jagatud kuuega. No siin pii asemel panen 180. Nii, nüüd siia jääb...
Üks siia jääb 30 ja siia tuleb mul 210 graadi. Ja ma võiks lihtsalt ümber kirjutada, et see on siinus 7 pii jagatud kuuega on sama, mis siinus 210 graadi. Ja täpselt sama loogika järgi, mis me just tegime, ka leida selle siinuse väärtust. Aga ma pakun teile lihtsalt harjutamise mõttes, sest me tahame arendada mingid uusi teadmisi ja saada teada midagi uud. Siis ma täpselt samamoodi seda väärtus siin radiaanides pean esitama kuidagi niimoodi, et mul oleks mingisugune lähtepunkt.
Esiteks, no see on 210 graadi, me juba saime teada, see asub kuskil siin on ju. Ehk siis lähtepunktiks ma võin võtta kas pii või ma võtan lähtepunktiks kolm pii jagatud kahega. Ma kirjutan kuskil siin, et lihtsalt seletada seda. Ma võin seda 7 pii jagatud kuuega esitada kui pii pluss. Midagi, aga mida ma pean siia liitma?
Pi kuendiku. See vajab harjutamist lihtsalt, et kui meil on antud mingisugune selline murt, et kuidas seda esitada summana. Siis ühine nimete kontrollime. Ühine nimete on 6, 6 pi plus pi jagatud kuuega ja ma saangi siia 7 pi kuendiku. Siis ma võin siia ümber kirjutada, et see on sama, mis siinus.
Pi plus pi kuuendiku. Nüüd vaatan, kus see nurg sattub. Pi oli mul siin plus pi kuuendiku.
See tähendab, et kuskile siia. See on kolmas veerand. Siinus on siin negatiivne.
Miinusmärk tuleb kohe ette. Vaatan, lähtepunkt oli pi. Ja see pi lähtepunkt asub siin horisontaalil tellel ja vastus on ei. Ei muutu koofunktsiooni vastu.
Siis jääbki siinus pi kuuendiku. Pi kuendiku on 30 graadi ja see on miinus 1 kahendik. Vaatame veel ühte nurka. Siinus miinus 91 pi viiendiku. Ma võiks seda nurka teisendada täiesti vabalt graadidesse ja arvutada ka graadidejauks.
Aga me harjutame. Ja ma vaatan, et siin on miinus märk. Miinus tuleb siinuse puhul ette.
Ma kohe kirjutan seda. Siinus 91 pi viiendiku. Esimene asi, mis siin võiks proovida teha, on eraldada täis osa, nagu tavalises murrus.
Ja täis osa saab mul 18, või 18 x 5 on 90. Ja mul jääb 18 pii viiendiku. Ja sellest järeldub, et ma võin kirjutada, et see on miinus siinus 18 pii plus... pii viiendiku. Kontrollime. Kui mul oleks ühine nimetaja, oleks viis, korrutan siia viiega, ma saangi siia 90, plus üks, ma saan 91 pii ja katud viiega.
Kõik klapib. See 18 pii on, mitu täispööred on mul tehtud. Kui mul on siin 18 poolikud pööred, siis on just see tähendab, et 9 korda 2 pii.
9 täispööred on siin tehtud. Kui meil on tegemist täispööretega, siis ma võin kohe loobuda sellest osast. Siis ma ei pea kasutama need taandamisvalemite, need põhimõteid, mis ma teile rääkisin, sõlmepunktid ja nii edasi.
Kui mul on siin täispööret peidus kõik, ma loobun sellest osast ja jääb ainult see. Ja ma kirjutangi siia, et see on miinus siinus pii viiendiku. Eelnevates ülesannades me võtsime teie ka need nurgad, teisandasime need mingisugusele kujule. siis vaatasime, kas see muutub koo funksiooni vastu ja nii edasi. Aga tegelikult need täpselt samasugused põhimõtted kasutatakse ka siis, kui me ei tea, mis on see täpne see nurg.
Meil on lihtsalt antud mingisugune selline avaldis, kus nurg on asendatud mitte arvulise väärtusega, vaid lihtsalt alfaga või b-tega või vahetpola. Ja siin kehtsivad täpselt samasugused seosed. Vaatame seda esimest ülesannet, mis meil on antud. Siinus..
Pi kahendiku pluss alfa. Esiteks pi kahendiku on meie see sõlme punkt, on ju üks nendast neljast. Pi kahendik pluss mingisugune alfa. Pi kahendik... Ja liideti veel mingisugune alfa.
Me ei tea, kui suur see on. Aga põhimõtteliselt liideti mingisugune alfast tähendab, et see minu nurg sattub kuskile siia, teise veerandisse. Okei, teine veerand. Kas siinus on siin teises veerandis positsiivne või negatiivne? Siinus on siin teises veerandis positsiivne.
Okei, siia jääb pluss märk. Okei, lasta olla. Nüüd vaatame, et kas minu funksioon muutub koo funksiooni vastu. Kuna minu lähtepunkt oli pi kahendiku. Lähte punkt oli see, siis see asub siin vertikaalselt tellel ja vastus on ja see muutub koo funksiooni vastu.
Ma saan, et koosinus alfa. Ja kõik ma edasi mitte midagi enam ei tee, sest ma ei tea, millega võrdub see nurg. Ma ei peagi praegu siin mingid väärdust otsima sellele. Mul eesmärk oli lihtsalt teisendada ja vaadata, mis ma saan.
Et sellised taulist ülesanded pärast on väga suureks abiks. just suurtes lihtsustamisülesanedes, kus me peame siis loobuma kõikides nendest või kudagi taandama või teisendama need mingid sulud ja tegema nendest normaalsed sellised avaldised. Järgmine on selline tangens 3 pii kahendiku miinus alfa. Kus see asub, kus see sõlme punkt asub? See on siin.
Miinus alfa, see tähendab, et ma liikusin siia poole. See nurg asub kuskil siin, ma ei tea täpselt, aga kuskil siin kolmandas veerandis. Tangens on siin positiivne.
See on kolmas veerand, tangens on positiivne. Ja nüüd ma mõtlen, kas see muutub koo funksiooni vastu. Kuna see sõlm asub siin vertikaalse tele peal, siis vastus on ja muutub.
Koo tangens alfa. Nüüd on üks huvitav ülesanne, kus meil on antud koo tangens alfa miinus pii. Ta küll on väga sarnane sellise kirjapildiga, mis me oleme teiega juba mitu korda läbi teinud. Aga ta on kahtlane selles suhtes. et meil oli siin antud mingisugune lähtepunkt, kus ma üsna lihtsasti sain aru, et kuhu pole ma liigun ja kuhu ma sattun, mis veerandise.
Aga siin on alfa miinus pii. Tahaks nagu siin järjekorda vahetada ja me teemegi seda siin. Aga ma ei saa siin lihtsalt järjekorda vahetada lihtsalt niimoodi oma oliliselt, vaid ma vahetan siin järjekorda täpselt samamoodi nagu meil olid lihtsalt mingisugused avaldised, kus me tahtsime kohad vahetada. siis me tõstime miinusmärki ette ja me teemegi siin seda.
Ma tõstan julda siin miinusmärki ette ja nüüd see annab mulle võimalust siin seda järjekorda vahetada siin. Nüüd on mul siin mingi k-tangens, miinus ja siin on ju mingi nurgpeidus. Praegu see näeb välja nagu mingisugune avaldis, aga tegelikult see on ju lihtsalt mingi nurg.
Aga teame, et kui meil on miinus mingisugune nurg, k-tangensi puhul, siis miinusmärk. tuleb ette. Ma saan kirjutada, et see on miinus k-tangens pii miinus alfa.
Nüüd see selline kirjapilt on meile juba tuttav ja me saame taandamisvalemite abil, taandamisreeglite abil seda teisendada. Ja ma lähtun nüüd sellest, et vaatan, et kuhu see nurg sattub k-tangens pii miinus alfa. Pii miinus alfa kuskile siia.
Teine veerand, siin on k-tangens negatsiivne, sest... Nii tangens kui ka koo tangens, siin on negatiivsed ja siin on positiivsed. Ja kuna koo tangens tuleb siia negatiivne ja siin on ka miinus, siis miinus korda miinus annavad ju plussi. Ehk siis siin mitte midagi ei muutu, siia tuleb nüüd pluss. Ja see miinus kaob ära nüüd tänu sellele, et me teame, et see koo tangens on siin negatiivne.
Nüüd vaatan, kas see muutub koo funksiooni vastu. Minu lähtepunkt oli pii ja see asub horisontaalse joone peal ja vastus on ei, ei muutu. Siis ma kirjutan, et see on lihtsalt k-tangens alfa. Järgmine ülesanne, milles ma pean leidma siinuse, koosinuse tangensi ja k-tangensi värdused, kui ma tean, et nurg alfa on 300. Siinus 300. Kuidas me saame seda kirjutada? Ma võin seda kirjutada kui 360 miinus 60 graadi.
See sattub siia. Siin on siinus negatiivne. Ma võin kohe kirjutada miinus märki siia ette. Ja nüüd... Kuna minus sõlme punkt asub siia poole, siis see on horisontaalne joon, siis ei muutu koo funksiooni vastus.
Ma kirjutan lihtsalt siinus 60 graadi ja see on miinus ruutjur 3 kahendiku. Kirjutame 270 lihtsalt vahelduseks. See on 270 plus 30 graadi.
Vaatame, kus see nurg asub. 270 plus 30 graadi. See nurg asub kuskil siin.
See on neljas veerand. Koosinuse puhul see on positiivne. Nüüd vaatame, kas see muutub koofunktsiooni vastu. Kuna see lähtepunkt asus siin vertikaalse joone peal, siis jääb... muutub, siis ma kirjutan, et see on siinus 30 graadi ja see on sama, mis 1 kahendik.
Nüüd tangensi puhul kirjutame ka 270 plus 30 graadi. See nurg saatub ikkagi siia neljandasse veerandise ja siin oli tangens negatiivne. Ma kirjutan miinusmärki ette. Ja kuna see sõlme punkt asus vertikaalse telepeal, siis jah muutub koo funksiooni vastu. Kootangens 30 ja see on miinus ruutjur 3. Viimane on kootangens 300 ja ma kirjutan seda kui 360 graadi, miinus 60 graadi vahelduseks.
See sattub neljandasse veerandisse. Neljandassese veerandis on kootangens negatiivne. Miinusmärk tuleb kohe ette. Sõlme punkt asus horisantaalse tele peal ei muutu koofunktsiooni vastu. Siis ma kirjutan, et see on kootangens.
60 graadi ja see on miinus ruud juur 3 kolmandiku. Ja nüüd meil on viimane ülesanne. Me näeme, et siin on murd ja siin lugejas on mingisugused avaldised ja siin all on mingid avaldised.
Siin on hästi palju igasugused sulge, mis häirivad ja milles me tahame lahti saada. Ja me lahti saame nendes täpselt kasutades need teadmisi, mis meil juba olemas on. Alustame kohe siit esimesest.
Koosinus ruud pii miinus alfa. Pi minus alfa, pi on siin ja miinus alfa stendab, et ma liigun miinus negatiivse suunas, liigun siia. See nurg sattub kuskile siia teise veerandisse. Koosinus on teises veerandis negatiivne, siis tuleb siia miinus märgiga.
Ja nüüd ma vaatan, kas see muutub koo funksiooni vastu. Kuna minu sõlme punkt asus siin horisontaalse tele peal, siis ei, ei muutu. Siis mul jääb lihtsalt koosinus alfa. Aga kuna kõik oli see ruudus. Siis ma võin ka kirjutada siin sulgudes ruudus.
Liigume edasi. Siinus Siinus ruud pi kahendiku miinus alfa. Pi kahendik on siin, miinus alfa.
Liigun siia, saatum siia esimesse veerandisse. Siinus on siin positiivne. Ja kas ta muutub koo funksiooni vastu?
Ja muutub. Siis ma kirjutan seda koosinus alfa. Ja kõik oli ruudus.
Kuna mul oli siin see ruud. Ma soovitan niimoodi kirjutada, et kõigepealt leiate selle nagu ilma ruuduta vaatad. Leiad seda asja, mis siia tuleb ja siis paned sulgudes siia ruudus.
See on lihtsalt minu loogika, kuidas mina teen. Te võite ka oma süsteemid välja mõelda. Liigume edasi koosinus pii pluss alfa.
Pii pluss alfa, pii on siin, pluss tähendab liigund siia. Ma saatun siia kolmandasse veerandisse, siin on koosinus negatiivne, siia tuleb miinus märgiga. Ma kirjutan kohe siia miinus, koosinus, alfa. 2 pii miinus alfa.
Miinus alfa tähendab, ma liikusin siia ja ma sattun siia neljandasse veerendisse. Siin on koosinus positiivne ja kas see muutub koofunktsiooni vastu? Ei muutu ja ma kirjutan kohe siia, et see on koosinus alfa.
Nii, luge on korras. Vaatame nüüd nimetajad. Tangens alfa miinus pii kahendiku. Siis ma kirjutan lihtsalt ümber.
Ma kirjutan, et see on... Tangens ruud. Ja kirjutan siia miinusmärki ette, et saaks seda järjekorda siin vahetada. Ja ma saan siia pi kahendiku miinus alfa. K-tangens 3 pi plus alfa.
3 pi plus alfa on kuskil siin. Neljas veerand. Siin on k-tangens negatiivne.
Eks siis siia tuleb korda miinusmärk. Kas see k-tangens muutub? Koo funksiooni vastu.
Kuna minu lähtepunkt on vertikaalne telk, siis jah muutub. Siis ma saan siia tangens alfa ja kõik on ruudus. Nüüd minu avaldis on palju ilusam kui ta oli.
Miinus ruudus sööb selle miinus ära. Ma saan lihtsalt siia koosinus ruud alfa plus koosinus ruud alfa miinus koosinus ruud alfa. Sest koosinus alfa korda koosinus alfa on koosinus ruud alfa.
Okei, luge on korras. Nimete. Me testime siia miinust.
Tangensi puhul see miinus tuleb siia ette. Miinust tuleb kohe ette. Ja ma võin kirjutada.
Ma kirjutan mitu korda ümber, sest siia tuleb pi kahendiku, miinus alfa. Ja nüüd siin miinus ruudus sööb miinus ära. Lihtsalt kirjutan tangens alfa. Võrdusmerk. Nüüd ma vaatan, need siin taanduvad välja.
Mul jääb üles see lihtsalt... koo sinus ruud alfa ja nüüd lõpuks ma jõudsin sinna, kus ma saan seda tangensid. ka teisendada.
Tangens 5 kahendik miinus alfa. 5 kahendik on siin. Miinus alfa tähendab seda, et ma liigun siia poole.
Ma sattun siia. Siinus tuleb pluss märgiga. Okei, see on pluss märgiga. Kas see muutub koo funksiooni vastu? Jah, muutub.
Siis mul tulebki siia miinus koo tangens ruud alfa. Korda tangens alfa. See koo tangens ruud alfa ma võiks lahti kirjutada kui Kootangens korda kootangens. Koosinus ruud alfa jõub üles.
Siinus tuleb miinus. Siinus tuleb kootangens alfa korda kootangens alfa korda tangens alfa. Nüüd see siin on üks.
Siis ma võin seda siit kaotada. Ma saan siia üles, et tuleb koosinus ruud alfa. Testame seda miinust ette, siis on mugavam.
Ja siia tuleb kootangens alfa. Nüüd k-tangens on koosinus jagatud siinusega. Kirjutame lahtsi. Miinus koosinus ruud alfa ja siia tuleb koosinus alfa jagatud siinus alfaga. Kolmekorruseline murd.
Tõstame kõik niimoodi, et meil ei rohkseda kolmekorruselist murdu. Ja ma saan, et koosinus ruud alfa korda siinus alfa jagatud koosinus alfaga. Siin on koosinusseid kaks tükki ja siin on üks. Saab taandada ühte. Üks siit läheb ära ja siin on lihtsalt üks.
Ja ma saan vastuseks miinus koosinus alfa korda siinus alfa. Ja selleks on meie tund läbi. Ma loodan, et teil oli sellest kasu. Antke mulle teada, aga näeme teiega tunnis. Tchau!