Catatan Kuliah: Dilatasi

Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh. Pada kesempatan ini, kita membahas tentang dilatasi dalam geometri.

Pengertian Dilatasi

• Dilatasi adalah transformasi geometri yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) tanpa mengubah bentuk bangun.
• Pusat dilatasi: (0,0) dengan skala k.

Ilustrasi Dilatasi

• Objek P(x,y) didilatasikan menjadi P’(x’,y’).
• Hubungan:
  • X’ = k * X
  • Y’ = k * Y
• Dalam bentuk matriks:
  • [ \begin{pmatrix} X' \ Y' \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} X \ Y \end{pmatrix} ]

Contoh Soal

1. Tentukan bayangan titik A(2,-5) oleh dilatasi skala k=3:
   • Hasil: [ (6, -15) ]

Dilatasi dengan Pusat A, B

• Jika pusat dilatasi A,B dengan skala k:
  • Hubungan:
    • Panjang garis C-P’ = Y’ - B
    • Panjang AC = X’ - A
  • Rumus:
    • [ X' = k(X - A) + A ]
    • [ Y' = k(Y - B) + B ]
• Dalam bentuk matriks:
  • [ \begin{pmatrix} X' \ Y' \end{pmatrix} = k \begin{pmatrix} X - A \ Y - B \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} A \ B \end{pmatrix} ]

Rumus Mudah

• Untuk pusat A,B dengan skala k:
  • [ X' = k(X - A) + A ]
  • [ Y' = k(Y - B) + B ]

Contoh Soal

2. Tentukan bayangan titik A(6,1) oleh dilatasi di (2,5) dengan skala 3:
   • Hasil: [ (14, -7) ]
3. Tentukan bayangan titik A(2,6) oleh dilatasi (1,1) dengan skala 2:
   • Hasil: [ (11, -5) ]

Perbandingan Luas Bangun

• Luas bangun mula-mula: 1 (A, B, C, D)
• Setelah dilatasi oleh skala 3: luas = 9.
• Perbandingan luas = 1:9
• Menggunakan determinan matriks:
  • [ L = \frac{1}{\text{det}(M)} ]

Dilatasi Garis

• Pusat (1,2) dengan skala 3:
  • Hubungan:
    • [ X' = 3X - 2 ]
    • [ Y' = 3Y - 4 ]
• Hasil persamaan garis:
  • [ 3X' + 5Y' + 5 = 0 ] dari [ 3X + 5Y - 7 = 0 ]

Penutup

• Pembahasan tentang dilatasi dapat dipahami dengan contoh dan rumus yang telah dijelaskan.

Terima kasih atas perhatian dan dukungannya. Wassalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh.