Necessità di un sistema di riferimento: Per parlare delle coordinate di un vettore, è necessario fissare un sistema di riferimento.
Vettori di base: Nel piano, servono due vettori di base (B1 e B2).
Proiezione sui vettori di base: Il vettore V può essere proiettato sui vettori di base, ottenendo i vettori λ₁B₁ e λ₂B₂.
Esempio: Il vettore V si esprime come somma dei vettori proiettati: V = λ₁B₁ + λ₂B₂.
Coordinate: I numeri λ₁ e λ₂ sono le coordinate del vettore V rispetto al sistema di riferimento basato su B1 e B2.
Sistemi di Riferimento Diversi
Le coordinate di un vettore cambiano se si cambia il sistema di riferimento.
Spazio vettoriale generico: Consideriamo V in uno spazio vettoriale di dimensione n.
Prima base: Formata dai vettori V₁, V₂,..., Vₙ.
Seconda base: Formata dai vettori V₁', V₂',..., Vₙ'.
Scrittura del Vettore rispetto alle Basi
Prima base: V = somma per j da 1 a n di λⱼVⱼ.
Seconda base: V = somma per i da 1 a n di λ'ᵢV'ᵢ.
Coordinate:
λ₁, λ₂,..., λₙ sono le coordinate del vettore V rispetto alla prima base.
λ'₁, λ'₂,..., λ'ₙ sono le coordinate del vettore V rispetto alla seconda base.
Relazioni tra le Coordinate
Considerazione di Vⱼ: Ogni vettore Vⱼ della prima base può essere scritto come combinazione lineare dei vettori della seconda base.
Scrittura: Vⱼ = somma per i da 1 a n di pᵢⱼV'ᵢ.
Matrice di cambiamento di base: La matrice composta dai coefficienti pᵢⱼ.
Definizione: La matrice di cambiamento di base, M, tiene traccia delle relazioni tra le basi.
Uso della Matrice di Cambiamento di Base
Dettagli della matrice: Le colonne della matrice rappresentano le coordinate dei vettori della prima base rispetto alla seconda base.
Relazione tra coordinate: λ'ᵢ = somma per j da 1 a n di pⱼλⱼ.
Descrizione in termini di matrici: Scrittura matriciale delle coordinate.
Formula di Cambiamento di Base
Passaggio dalle coordinate:
Vettore di coordinate rispetto alla base V': [λ'₁, ..., λ'ₙ].
Matrice di cambiamento di base M.
Vettore di coordinate rispetto alla base V: [λ₁, ..., λₙ].
Calcolo: [λ'₁, ..., λ'ₙ] = M * [λ₁, ..., λₙ].
Conclusione: Per calcolare le coordinate di un vettore rispetto a un nuovo sistema di riferimento, si moltiplicano le coordinate iniziali per la matrice di cambiamento di base.