consideriamo un vettore di quali sono le coordinate di questo vettore beh ammetterete che la domanda così come posta è priva di significato naturalmente per poter parlare delle coordinate di un vettore bisogna prima aver fissato un sistema di riferimento in altre parole per poter parlare delle coordinate di questo vettore vi dobbiamo introdurre due vettori di base beh due in questo caso perché siamo nel piano i vettori di base b1 e b2 individuano un sistema di riferimento dopodiché quello che dobbiamo fare è proiettare il vettore vi sugli assi di questo sistema di riferimento si ottengono in questo modo dei vettori landa 1 v1 e landa 22 e il vettore vi si potrà esprimere come somma di tali vettori vi uguale landau non è uno più landa 2 v 2 i due numeri uno e landa due sono quelli che chiamiamo le coordinate del vettore vi rispetto al sistema di riferimento individuato dalla base b1 e b2 naturalmente se cambiamo vettori di base otteniamo un diverso sistema di riferimento per cui lo stesso vettore di rispetto ad un diverso sistema di riferimento avrà coordinate diverse in generale allora cosa bisogna fare per trovare le coordinate di un vettore e soprattutto il problema che ci poniamo è di capire che relazioni ci sono fra le coordinate di un vettore rispetto a due diversi sistemi di riferimento consideriamo allora un vettore vi in uno spazio vettoriale di grande e fissiamo due basi dello spazio vettoriale vi una prima base che indicheremo con sottolineato formata dai vettori v1 v2 fino a via in dove n è la dimensione dello spazio vettoriale vi prendiamo una seconda base che indicheremo con il primo sottolineato formata da vettori che chiamiamo v1 primo v2 primo fino a v n prima queste qui sono due basi dello spazio vettoriale il vettore v che abbiamo considerato si potrà quindi scrivere come combinazione lineare degli elementi della prima base quindi come somma per l'indice j che va da 1 fino ad an di londra j per via j ma naturalmente si potrà anche scrivere come combinazione lineare dei vettori della seconda base quindi come somma questa volta chiamiamo i quindicenni sommato riassuma penney che va da 1 a n di langa primo è il primo i coefficienti di questa combinazione lineare da uno dal 2 fino all'alba n sono quelli che chiamiamo le coordinate del vettore vi rispetto alla base vi sottolineato scriveremo qui sopra per ricordarci che queste sono le coordinate coordinate del vettore vi rispetto alla base rispetto alla base sottolineato formata dai vettori v1 v2 fino ai n allo stesso modo da questa combinazione lineare troviamo i coefficienti landa un primo run da 2 primo e così via fino all'alba n primo e queste sono le coordinate dello stesso vettore però rispetto alla base vi sottolineato prima quindi ancora queste sono le coordinate del vettore di rispetto alla base sottolineato prima la domanda che ci poniamo adesso è quali sono delle relazioni che intercorrono fra le coordinate da un olanda n rispetto alla base vi è le corone a te dando uno primo land an primo rispetto alla base di primo per farlo consideriamo uno dei vettori della prima base ad esempio il rettore che chiamiamo j e naturalmente siccome ogni vettore di uno spazio vettoriale si può scrivere come combinazione lineare dei vettori di una base e noi possiamo scrivere il vettore i vj come combinazione lineare dei vettori della seconda base quindi scriveremo musei e uguale una somma per i che va da 1 a n di determinati coefficienti che chiamerò p i j per i vettori di primo e in questo modo si viene a determinare una matrice formata da questi elementi pdj una matrice quadrata che chiameremo un'attrice rispetto alle basi vi sottolineato che scriviamo in basso e di prima sottolineato che scriviamo in alto e questo è quella che chiameremo la matrice di cambiamento di base matrice di cambiamento di base come vedete si tratta della matrice che è composta dai coefficienti delle combinazioni linea li dei vettori della prima base di j quando sono scritti rispetto ai vettori della seconda base più precisamente se analizziamo in dettaglio come è composta questa matrice scopriamo che le colonne di questa matrice quindi le colonne della matrice che abbiamo indicato con m v sottolineato in basso vi primo sottolineato in alto non sono altro che le coordinate dei vettori della prima base vi sottolineato rispetto ai vettori della seconda base vi sottolineato prima ora abbiamo tutto quello che ci serve per ricavare le relazioni esistenti fra le coordinate del vettore vi rispetto alle due diverse basi dello spazio vettoriale che abbiamo considerato partiamo da questa scrittura questa è la scriviamo nella forma somme per j che va da 1 ad an di lambda j ma ora al posto del vettore vj possiamo sostituire questa espressione quindi troviamo in una sommatoria per i che va da 1 al n ci sono gli elementi e ejei della matrice di cambiamento di base per vi primo è questo allora è uguale andiamo qui è uguale a una somma per j che va da 1 al n poi abbiamo un'altra somma per i che va da 1 ad an ma consideriamo allora una doppia sommatoria somme per j che va da 1 a denne e per i che va da 1 a denner lo scriviamo che in questo modo poi abbiamo pj che moltiplica mettiamo il coefficiente lambda j e poi abbiamo il vettore nel primo e ora questa doppia sommatoria l'aspettiamo un'altra volta in due sommatorie come qui sopra ma invertiamo l'ordine delle due sommatorie mettiamo prima la sommatoria sull'indice e che va da 1 a danny e poi mettiamo la sommatoria sull'indice j che va da 1 a n qui abbiamo il prodotto e per l'ambra j e poi il vettore il primo questo è il nostro vettore di nola ricordiamo che il vettore vi è anche uguale a questa sommatoria cioè alla sommatoria per che va da 1 al n di lambda primo e per il vettore di prima ora se confrontiamo queste espressioni abbiamo due diverse scritture che coinvolgono i vettori della base del primo ma naturalmente dalle proprietà delle basi noi sappiamo che un vettore si può scrivere come combinazione lineare dei vettori di base in modo unico questo significa che il coefficiente lambda primo i che moltiplica il vettore di primo deve essere uguale a questa espressione che moltiplica il vettore e quindi scopriamo che le coordinate landa primo i land prima e sono collegate alle coordinate lambda geni da una formula di questo tipo lambda primo è uguale a una sommatoria per j che va da 1 a denne dpj berlanda gen questa è la formula che lega le coordinate del vettore vi rispetto alla base il primo sottolineato questa landa primo j alle coordinate dello stesso vettore vi rispetto alla base vi sottolineato queste lambda gente in termini di prodotto fra matrici e vettori questa scrittura è esattamente equivalente alla seguente allora abbiamo le coordinate landa primo i scritte come vettore colonna landra un primo fino a land an prima e ci ricordiamo che queste erano le coordinate espresse rispetto alla base vi primo sottolineato il primo sottolineato sono uguali qui li conosciamo il prodotto della matrice di cambiamento di base quella che abbiamo indicato con m v sottolineato in basso il primo sottolineato in alto che moltiplica il vettore colonna formato dalle coordinate lando 1 eccetera eccetera fino all'alba n le quali ricordiamo sono le coordinate del vettore vic ma espresse rispetto alla base vi sottolineare e questa è la formula di cambiamento di base quindi ricapitolando se abbiamo un vettore vi e conosciamo le coordinate di questo vettore rispetto alla prima base vi sottolineato quindi conosciamo i coefficienti landa un'olanda 2 fino alla ndrina e vogliamo calcolare le coordinate dello stesso vettore rispetto ad un altro sistema di riferimento determinato dalla seconda base vi è il primo sottolineato quello che bisogna fare e moltiplicare il vettore colonna costituito dalle coordinate un'olanda 2 fino alla n per la matrice di cambiamento di base questa m v sottolineato in basso vi primo sottolineato in alto la quale matrice m è composta dagli elementi pj che non sono altro come dicevamo che le coordinate dei vettori della prima base quando vengono scritte come combinazione lineare dei vettori della seconda base