Catatan Kuliah: Ketaksamaan (Pertidaksamaan)

Pengantar

• Ketaksamaan adalah salah satu materi penting dalam kalkulus diferensial.
• Ketaksamaan ditandai dengan simbol: <, >, <=, >=.
• Berbeda dengan persamaan yang ditandai dengan simbol =.

Definisi Ketaksamaan

• Ketaksamaan merupakan kalimat terbuka yang mencari himpunan bilangan real yang memenuhi ketaksamaan.
• Contoh: 3x - 17 < 6.
  • Solusi: Mencari nilai x yang memenuhi ketaksamaan tersebut.

Notasi Selang

• Penyelesaian ketaksamaan ditulis dalam bentuk interval:
  • Selang Terbuka: (A, B) - A dan B tidak termasuk.
  • Selang Tertutup: [A, B] - A dan B termasuk.
  • Selang Campuran: A, B) - A termasuk, B tidak termasuk.

Penulisan Himpunan

• Ditulis sebagai:
  X | X > A dan X < B
  Ditulis dalam notasi: (A, B)

Contoh Penulisan Selang

• x > -1 dan x < 6 ditulis sebagai (-1, 6).
• x <= -1 dan x < 5 ditulis sebagai [-1, 5).
• x < B ditulis sebagai (-∞, B).](streamdown:incomplete-link)

Penyelesaian Ketaksamaan

1. Prosedur Penyelesaian:
   • Menambahkan atau mengurangkan nilai yang sama pada kedua sisi.
   • Mengalikan atau membagi dengan bilangan positif tanpa mengubah tanda.
   • Mengalikan dengan bilangan negatif, harus mengubah tanda ketaksamaan.

Contoh Penyelesaian

Contoh 1: 2x - 7 < 4x - 2

• Langkah-langkah:
  • Tambahkan 7 pada kedua sisi.
  • Hasil: 2x < 4x + 5.
  • Kurangi 4x: -2x < 5.
  • Kalikan dengan -1/2: x > -5/2.

Contoh 2: x^2 < 6

• Ubah menjadi x^2 - 6 < 0.
• Faktorkan menjadi (x - 3)(x + 2) < 0.
• Temukan nilai-nilai yang memenuhi.

Ketaksamaan Kuadrat

• Untuk ketaksamaan kuadrat, tentukan nilai pembuat nol.
• Misalnya, x^2 - 6 < 0.
• Faktorkan dan tentukan selang negatif.

Ketaksamaan Rasional

• Penyelesaian ketaksamaan bentuk A/B > 0.
• Tentukan pembuat nol dan periksa tanda di sekitar nilai tersebut.

Contoh 3: (x - 1)(x + 2) >= 0

• Tentukan pembuat nol: x = 1 dan x = -2.
• Gambar garis bilangan dan periksa tanda.

Kesimpulan

• Ketaksamaan mencakup linear, kuadrat, dan bentuk rasional.
• Pemahaman mengenai penyelesaian ketaksamaan sangat penting untuk kalkulus selanjutnya.
• Diharapkan mahasiswa dapat membuat resume dan menyelesaikan soal latihan yang diberikan.

Tugas

• Mahasiswa diharapkan membuat resume tentang ketaksamaan dan menyelesaikan soal di buku pada halaman 17 dan 18.

Catatan: Ketidaksamaan adalah bagian penting dalam kalkulus yang perlu dipahami dengan baik untuk pengaplikasian di materi selanjutnya.