वीक चार के नोट्स

परिचय

• आज हम वीक चार के बारे में चर्चा करेंगे।
• वीक एक से तीन के सारे वीडियो और प्रश्न उत्तर पहले ही अपलोड किए जा चुके हैं।
• वीक चार में हम कुछ ऐसे विषयों पर ध्यान केंद्रित करेंगे जो वीक जीरो से जुड़े हैं।

क्यूलेट डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन (CDF)

• सीडीएफ (Cumulative Distribution Function) का उपयोग रैंडम वेरिएबल के लिए किया जाता है।
• रैंडम वेरिएबल X के लिए सीडीएफ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
  • ( F(X) = P(X \leq x) )
• सीडीएफ की विशेषताएँ:
  • गैर-घटी (Non-decreasing) फ़ंक्शन होना चाहिए।
  • जब ( x \to -\infty ) हो तो ( F(x) \to 0 ) होना चाहिए।
  • जब ( x \to +\infty ) हो तो ( F(x) \to 1 ) होना चाहिए।
  • सभी संभावनाओं का योग ( 1 ) होना चाहिए।

उदाहरण

• उदाहरण 1:

  • रैंडम वेरिएबल के लिए संभावनाएं:
    • ( P(X=0) = -1/1 )
    • ( P(X=1) = p )

• सीडीएफ के लिए विभिन्न सीमा मान निकालें।

• उदाहरण 2:

  • और रैंडम वेरिएबल्स के लिए संभावनाएँ निकालें जैसे ( 0, 1, 2, 3 ) इत्यादि।

कंटीन्यूअस रैंडम वेरिएबल

• एक रैंडम वेरिएबल ( X ) कंटीन्यूअस होता है यदि उसके लिए सीडीएफ हर बिंदु पर निरंतर हो।
• जब रैंडम वेरिएबल की संभावनाएँ ( 0 ) हों, तब उसे कंटीन्यूअस कहा जाता है।

प्रोबेबिलिटी डेंसिटी फंक्शन (PDF)

• यदि एक रैंडम वेरिएबल ( X ) का सीडीएफ है, तो उसके पास PDF भी होगा।
• PDF की परिभाषा:
  • ( F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt )

सपोर्ट

• सपोर्ट उन बिंदुओं का सेट है जहाँ PDF हमेशा ( > 0 ) होता है।
• सपोर्ट एक इंटरवल होगा जिसमें संभावनाएँ हमेशा सकारात्मक होंगी।

निष्कर्ष

• वीक चार में हमने CDF, PDF और संबंधित उदाहरणों पर चर्चा की।
• ध्यान दें कि सभी गुणों को मानने पर ही CDF और PDF मान्य होंगे।

समापन

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• अगली बार प्रश्न और उत्तर वाले वीडियो में मिलते हैं।
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