नमस्कार तो आज हम बात करने वाले वीक फोर के बारे में इससे पहले वीक थ तक के सारे वीडियोस एंड क्वेश्चन आंसर सारी चीजें अपलोडेड है तो आप देख सकते हो जाके अब हम वीक फोर से स्टार्ट करते हैं क फोर में जो चीज हम स्टार्ट करने वाले हैं कुछ कुछ चीजें हमने पहले भी वीक जीरो में देख रखा है ठीक है तो उसी से लिंकड है चीज तो अगर वीक जीरो नहीं देखा है तो जाकर सारी वीडियोस देख लेना क्योंकि वो देख रखोगे तभी यहां पर चीजें कुछ ज्यादा अच्छे से समझ में आ गे ठीक है चलो तो सबसे पहला हमारा कांसेप्ट है दैट इज क्यूलेट डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन ठीक है क्यूलेट डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन इसको हम बोलते हैं सीडीएफ सीडी एफ ठीक है सीडीएफ भी बोलते है तो देखते हैं ये क्या है तो सीडीएफ ऑफ रैंडम वेरिएबल सीडीएफ ऑफ रैंडम वेरिएबल x ठीक है ये हमारा एक्स क्या है रैंडम वेरिएबल है ठीक है डिनोटेड बाय कैपिटल f ऑफ x ठीक है ये कैपिटल है ठीक है कैपिटल ए ठीक है इज अ फंक्शन फ्रॉम आर टू जीव तो सीडी बेसिकली क्या होता फंक्शन होता है ठीक है आर से जीरो व तक ठीक है क से क तक आर से जीरो व तक ठीक है डिफाइंड एस एफ कैपिटल एफफ एक्स इ प ऑफ एक्स लेसन इक्व टू एक्स यानी कि बेसिकली सीडीएफ क्या होता है सम ऑफ ल द प्रोबेबिलिटी जीरो टू दिस ठीक या माइनस इनफिनिटी से य तक की सारे पॉइंट्स पर प्रोबेबिलिटी का सम ठीक है हमने वहा पर भी देखा था है ना डिस्क्रीट वाले में हम सम करते थे तो सीडीएस निकलता था राइट तो यह वही चीज इट वेरी इंपोर्टेंट ब्रिज बिटवीन डिस्क्रीट वर्ड एंड कंटीन्यू व बेसिकली यही है डिस्क्रीट से डिस्क्रीट एंड कंटीन्यूअस को जोड़ने का काम करता है है सीडीएफ हमारा ठीक पर्टी ऑफ सीडीए जिसमें सबसे पहला कि f एक b - f एकले x < = b ठीक है तो जब भी हमें ये चीज निकालना होगा दैट इज p ऑफ a < x < = b ठीक है तो हम इसको डायरेक्ट क्या कहेंगे प ऑफ एक्स लेन इक्ट बी यानी कि इन सबके सम ठीक है सम ऑफ ल लेसन इ बी सेम ए एक् ऑफ ए कहने का मतलब क्या है ए एक्स ऑफ ए कहने का मतलब है पफ एक्स ले इ ए ठीक हैय ची न रख य कैपिटल दूसरा क्या कहता है कि ए जो है नॉन डिक्रीजिंग फंक्शन होना चाहिए टेक नेगेटिव नॉन नेगेटिव वैल्यू ठीक है नॉन डिक्रीजिंग यानी इंक्रीजिंग ही होगा और य नॉन नेगेटिव वैल्यूज अ लेगा ठीक है ये सीडीएफ की प्रॉपर्टीज है यानी कि फॉर बीइंग अ वैलिड सीडीएफ दिस दिस शुड दिस प्रॉपर्टी शुड बी फॉलो ठीक है तो ये एक प्रॉपर्टी हो गया दूसरा एक प्रॉपर्टी हो गया तीसरा क्या कह रहा है एज x टेंड्स टू इनफिनिटी यानी कि जैसे-जैसे x इनफिनिटी की ओर जाएगा fxxx.pro कहां जाएगा वन की ठीक है तो ये चीजें भी है ठीक है तो ये चारों चीज मिलके ठीक है हमें एक वैलिड सीडीएफ देते हैं ठीक है ये चार प्रॉपर्टीज है इसमें क्या है प < x < = b = p f ऑफ x की तरफ जाते हैं हम तो ये वन की तरफ जाते हैं ठीक है एग्जांपल लेते हैं एग्जांपल से समझते हैं तो एग्जांपल है x में 0 1 दिया हुआ है जिसमें 0 की प्रोटी कितनी है -1 / 1 1 - p एंड वन की कितनी है p ठीक है तो हमें सीडीएफ ड्रॉ करना है इसके लिए सीडीएफ बताना है तो सीडीएफ क्या होगा सीडीएफ बेसिकली एक पीस वाइज फंक्शन होगा दैट इज fxxx.pro ए एक्स ऑफ एक्स क्या होगा 1 माइनस पव माइनस प जब वो कहा होगा जीरो से लेके एक्स लेसन व यानी वन इसमें इंक्लूड नहीं है जीरो जीरो इंक्लूड है जीरो से लेके वन से पहले तक ठीक पहले तक की प्रोटी कितनी होगी 1 माइनस प ठीक है और एक्स ग्रेटर देन व यानी कि न के बाद का कितना होगा प्र तो वो होगा व ठीक है य से निकलता हैय सारी चीज ठीक है तो व कैसे होगा इन दोनों सम को दोनों जोड़ देना या एक्स ग्रेटर एक्स ग्रेटर जी ग्रेटर व कहने का मतलब क्या है प ऑफ एक्स लेसन जी प्लस प ऑफ ये जीरो लेसन एक्स लेवय सार चीज का सम ठीक तो य सबका सम करेंगे तो ये क्या आएगा वन आएगा ठीक है इसको रिप्रेजेंट कैसे करेंगे इसको रिप्रेजेंट करने के लिए देखो ग्राफ बनाया इसमें जीरो है न है माइन प है है तो जब ये जीरो से जीरो से वन के बीच में रहेगा यानी जीरो से जस्ट वन के ऊपर तो उसकी प्रोटी कितनी होगी 1 माइनस प ठीक है और जैसे ही ये वन तक जाएगा ठीक है यानी कि वन के ऊपर चला जाएगा ऊपर चला गया तो इसकी प्रोटी कितनी हो जाएगी वन हो जाएगी यानी वन से है ना प जैसे ही वन से ऊपर जाएगा इसकी टी वन ठीक ये चीज एक और एग्जांपल है एक है 0 1 2 3 ठीक है इसमें जीरो की प्रोटी कितनी है p है इसकी प्रोटी कितनी है है इसकी प्रोटी कितनी है 3 प इसकी प्रोटी कितनी है 4 प है ठीक है तो य से प कितनी आ हमारे पास तो य से प हम सब सम क्योंकि वन होता है तो हमने करा तो वहा से प हमारा / 10 आ गया या ये 1 बा 10 ये 2 बा 10 ये 3 बा 10 य 4 बा 10 की प्रोबेबिलिटी ठीक है अब पीडीएफ सीडीएफ निकालेंगे सीडीएफ है सीडीएफ तो सीडीएफ क्या होगा लेसन जीरो जीरो से कम के लिए क्या होगा जीरो ठीक है फिर जीरो से न जीरो से वन तक है ना जीरो से वन मतलब जीरो लेसन इक्वल टू है और x लेसन व है तो यहां तक प्रोबेबिलिटी कितनी होगी p है ना प दैट इज / 10 ठीक है दैट इज p अब वन से टू है ना न ले इक्व टू x लेन 2 तो इसमें क्या होगा तो p प् 2p दैट इज 3p है ना तो ये हो जाएगा p प्लस 2p दैट इज 3p है ना उसके बाद ट से थ के बीच में कितना हो जाए तो ये हो जाएगा क्या p + 2p + 3p p + 2p + 3p ये हो गया कितना 6p है ना 6p यानी 6/1 और ये कितना हो जाएगा ये हो जाएगा वन दैट इज सम ऑफ ऑल है ना तोब इससे ऊपर जाएगा तो ये p + 2p + 3p + 4p दैट इज 1 ठीक है तो यहां से ये होगा इसको भी हम प्लॉट कर सकते हैं तो प्लॉट करने के लिए ये हो गया ठीक है हमारे पास यहां पे 0 1 2 3 ये हमारी ये रेंजेस है और ये इसकी प्रोबेबिलिटी है कंसीडर ठीक है तो जीरो से न तक इसकी प्रोटी कितनी है / 10 ठीक है फिर न से टू तक के बीच में प्रोटी कितनी है 3 बा 10 ठीक है और फिर ू से थ के बीच में बेसिकली ये 3 बा 10 उसके बाद कितना है 6 बा 10 है ना ट से थ के बीच में कितना है 6 बा ये वाला राइट फिर थ से आगे तक में क्या है व है तो य देखो अब अगर अगर यहां पे अगर ध्यान से देखा जाए तो यहां पे हम देख रहे हैं कि क्या है जंप्स हो रहे हैं है ना यहां देखोगे तो ये जंप हो रहा है जंप कितना है 2/10 का यहां पे कितना है 2/10 का जंप है यहां पे कितना है 3/10 का जंप है यहां पे कितना है 4/10 का जंप है ठीक है देख रहे हैं है ना तो ये जो जंप्स है जो गैप्स है ये बेसिकली हमारी प्रोबेबिलिटी है एट दिस पॉइंट्स तो जैसे कि ये जो है है ना 1/10 तो 1/10 किसकी प्रोटी है यहां पे जीरो की ऐसे ही 2/10 किसकी प्रोटी है वन की ठीक है ऐसे ही 3 बा 10 किसकी प्रोटी है टू की ऐसे ही कैसे है ये किसकी है थ की ठीक है तोय जंप्स जो है हमारी पॉइंट्स की प्रोबेबिलिटीज भी है ठीक है तो ये ग्राफ से हमें दो चीजें समझ में आ रही ठीक है नेक्स्ट एक और देखते हैं लेट एक्स क्या है यूनिफॉर्म है वन से लेकर 100 ठीक है और कहा प्लॉट सी तो हम जानते हैं यूनिफॉर्म है तो सबका कितना हो बा 100 बा 100 बा 100 ठीक है तो इसको जब हम प्लॉट करेंगे तो ये कुछ ऐसा जाएगा जीरो से लेकर फिर य ग्राफ ऐसे ऐसे बढ़ते जाएगा बढ़ते जाएगा 100 प आके ये स्ट्रेट हो जाएगा है य पर आके ये स्ट्रेट हो देख रहे जैसे जैसे य पॉइंट बढ़ता जा रहा है ठीक है कितने बहुत सारे प्रोबेबिलिटी आते जा रहे तो इनके बीच का डिफरेंस क्या हो रहा है कम होता है य तो मैंने बहुत कम दिखाया अगर 100 पॉइंट जब ऐसे प्लॉट करोगे बारीकी से तो वो दिखेगा हमें क्या कि वो कंटीन्यूअस लाइन है राइट क्योंकि लेट से पा या 10 या 15 या 20 में गैप्स देख सकते हैं 100 200000 इन सब में गैप नहीं देख पाएंगे राइट है वहां प हम क्या लगेगा डिस्क्रीट चीज है जैसे यहां प देखो लेट्स से एक बानो मियल ए 0.6 ठीक है तो जब हमने n को 10 ट्रायल्स करा तो हमारा कुछ ऐसा दिखा ठीक है ऐसे ही हमने ए को बढ़ाया ट्रायल्स बढ़ाए तो कुछ गैप्स फिर कम हो गए ठीक है फिर 50 करा और कम हो गए ठीक है 60 फिर 100 करा देखो ये क्या हो गया तो ये धीरे धीरे धीरे धीरे कहां जा रहा है ये कंटीन्यूअस की तरफ निकल रहा है है ना यानी कि ये एकदम लाइन फाइन लाइन दिखाएगा ठीक है तो यही हमारा डिस्क्रीट और रैंडम डिस्क्रीट एंड कंटीन्यूअस के बीच का जो बो ना ग्री क्या ब्रिज है डिस्क्रीट वर्सेस कंटीन्यूअस है ना तो बहुत सारे कंटीन्यूअस बेसिकली जो हम कहते हैं ना डिस्क्रीट रैंडम वेरिएबल के बीच में प्रोटी हम निकालते हैं x = 1 पे x = 2 पे x = 3 पे एंड हम हमने कहा ना कि जीरो और वन के बीच में बहुत सारे पॉइंट्स है राइट हर डिस्क्रीट वाले में रो एंड व रो एक ज़ीरो पे हम निकालते हैं एक वन पे निकालते हैं राइट है ना तो कंटीन्यूअस में क्या है कि उसके बीच में अनगिनत पॉइंट से अनगिनत पॉइंट्स पे हम प्रोबेबिलिटीज निकाल सकते हैं ठीक है तो वही बेसिकली है जब डिस्क्रीट के लिए हम प्लॉट करते हैं तो वो क्या है एक लाइन लिखता है कंटीन्यूअस लाइन दिखता है बट अगर यही कंटीन्यूअस के लिए एकएक चीज को प्लॉट करने लगेंगे ठीक है तो हमें पता चलेगा कि अच्छा वो लाइन कैसे बन रहा है वो बेसिकली क्या है ढेर सारे कंटीन्यूअस चीजों का मिक्स अप है है तो नोट दैट सीडीएफ स्टार्ट ल लुकिंग लाइक अ कंटीन्यूअस लाइन विथ इंक्रीज इन द वैल्यू ऑफ n है ना तो ये चीज है आई होप इसको समझ में आया अब बात करते हैं एक थ्योरम है छोटी सी कह रहा था गिवन ए वैलिड सीडीएफ f वैलिड सीडीएफ वैलिड सीडीएफ के लिए क्या होगा वैलिड सीडीएफ के लिए हमने बताया प्रॉपर्टीज है चार है ना सो चार प्रॉपर्टीज अगर वो सेटिस्फाई करते हैं तो हम क्या कहेंगे ये वैलिड सीडीएफ होगा है ना चार प्रॉपर्टीज हमारे ऊपर हमने देखे ये वाली चारों प्रॉपर्टीज राइट ये रहे गए तभी हम कहेंगे क्या है कि वैलिड सीडीएफ है यानी कि अगर x हमारा कहां जाएगा लेट से माइनस इनफिनिटी की तरफ जाता है तो f एक कहां जाएगा हमारा जीरो की तरफ जाता है राइट x हमारा अगर पॉजिटिव इनफिनिटी की तरफ जाता है तो f एक हमारा कहां जाता है f एक हमारा वन की तरफ जाता है ठीक है ऐसे ही वो चाहे तो जब वैलिड सीडीएफ अगर दिया हुआ है अगर हमें सीडीएफ दिया हुआ है देन वहां पे एक रैंडम वेरिएबल एजिस्ट करेगा ठीक है टेकिंग वैल्यूज इन आर जो क्या करेगा आर में वैल्यूज ले रहा होगा सच दैट प ऑफ एक्स लेसन इ एक् इज बेसिकली f एक ऑफ एकस है ना तो यह चीज एक थ्योरम है कि अगर सीडीएफ दिया हुआ है तो रैंडम वेरिएबल एजिस्ट करेगा ही करेगा ठीक है रैंडम वेरिएबल एजिस्ट करेगा है ना जब सीडीएफ दिया गा ठीक है अच्छा सीडीएफ की वही चार प्रॉपर्टी जो हमने मैंने बताया ठीक है a ले x < इ ब बेसिकली f ए माइ f बफर मतलब वही ठीक है इफ f एक राइज फ्रॉम f1 टू f2 एट x1 ठीक है लेट्स से x1 पॉइंट पे f एक क्या है राइज करता है f1 से f2 तक ठीक है देन p एक ऑफ x इज बेसिकली क्या होगा f2 - f1 और आई गेस ये ब माइ ए होना चाहिए राइट हा माइन हो चाहिए ठीक है तो f2 से f1 तक राइज करता है तो p ऑफ एक् इक्व x1 यानी उस पर्टिकुलर x1 प्रोबेबिलिटी कितनी होगी f2 माइ f1 जो कि जंप हमने बताया ना कि वो जब जंप था ये ये वाला ठीक है तो बेसिकली एट एट वन क्या हो रहा है ये f1 से कहां जा रहा है f1 से f2 प जा रहा है राइट तो एट दिस पॉइंट एट पॉइंट p एक इव यानी कि p एक इव पे जो हमारा है वो क्या है f2 मानव यही प्रोबेबिलिटी है एंड य क्या था 3 बा 10 माइनस बा ट इ बा मैंने बताया पस कितनी प्रोटी है वाला हैय जीरो जी ठीक तो वही सेम ओके य कह रहा है प सेम प रा क्या क कस एट एक्सन ठीक है यानी एक्सन अगर व कंटीन्यूअस है देन प एक इ एक्सन विल बी जीरो जहां पर भी ये कंटीन्यूअस है जैसे य पर देखो कंटीन्यूअस सारी चीज है कंटीन्यूअस है राइट जहां पर भी कंटीन्यूअस होगा अगर उस पॉइंट परर प्रोटी पूछी जाए तो व क्या होगी जीरो य एक मतलब वो है ठीक है अब देखते एपल लेट से ये तीन प्रॉपर्टी हम यही से समझ लेते एग्जांपल f इ एक् जीरो है जब एक ले व है ठीक है 0.2 ् 0.1 x है जब x क्या है वन से पा के बीच में है एंड वन है जब x पा से बड़ा है ठीक है कह रहा फाइंड p x = 1 px5 एंड px2 ठीक है तो हम इसके अकॉर्डिंग हम ग्राफ को प्लॉट करें तो ग्राफ हमारा ये कुछ ऐसा है है ना इसमें हमने x और y ये हो गया हमारा ठीक है तो वन पे हमारा क्या है 0.3 इससे नीचे का तो क्या है हमारे पास जीरो है ठीक है अब वन से लेकर फ तक में य हमारा क्योंकि वैल्यू ऐसे फॉर्म में दिया तो ये क्या हो कंटीन्यूअस वैल्यू है बढ़ रहा है इंक्रीजिंग है ना तो वन पे हमारा क्या 0.3 तो 0.3 से पाच पे जाने पे क्या हो रहा है पाच पे 0.7 पे जाएगा राइट 0.7 पे जाएगा पाच तक जाते जाते ये क्या है जी ये यहां से आता है कंटीन्यूअस कंटीन्यूअस लाइन जा रहा है ठीक है एंड देन इसके बाद क्या है ये वन है ठीक है सब x के पाच के बाद राइट अब यहां पे हमें पूछा था p x = 1 तो x = 1 हमारा क्या है तो एट वन हम क्या निकालेंगे हम बेसिकली निकालेंगे प्रोटी राइट और इज बेसिकली p x = 1 प प्रोटी क्या होगा बेसिकली उसका जंप राइट दैट इज f2 - f1 है ना और f2 - f1 तो 0.3 माइन 0 दैट इज 0.3 ठीक है तो x x1 पे क्या आएगा 0.3 सेम यहां पे फ पे तो फव पे भी हम जो जंप है वही बेसिकली हमारा प्रोटी होगा तो यहां पे जो जंप है उसको देखेंगे ठीक है तो ये भी क्या है 0.3 ही है तो इसका भी 0.3 अब बात करते हैं p x = 2 हम x = 2 दिखें x = 2 कहीं यहां पे है ठीक है यहां पे कोई जंप नहीं है है ना कोई जंप नहीं है यानी कंटीन्यूअस लाइन है जंप नहीं है जंप नहीं है तो हम क्या कहेंगे कि इट इज कंटीन्यूअस है कंटीन्यूअस है तो इसकी प्रोबेबिलिटी कितनी हो जाएगी ज़ीरो हो जाएगी तो यह तीन प्रॉपर्टीज थी हमारी आई गेस समझ में आया होगा यह भी समझ में आया होगा कैसे हम ये निकाल रहे हैं राइट जंप्स के थ ठीक है ओके अब बात करते हैं कंटीन्यूअस रैंडम वेरिएबल के बारे में कंटीन्यूअस रैंडम वेरिएबल क्या होता है तो x विथ fxxx.pro f एक n इज कंटीन्यूअस एट एवरी पॉइंट x ठीक है यानी हर एक पॉइंट x पे वो कंटीन्यूअस है अगर सीडीएफ ठीक है तो हम कहेंगे क्या है वो कंटीन्यूअस रैंडम वेरिएबल ठीक है हर एक पॉइंट x पे कंटीन्यूअस होगा त कंटीन्यूअस होने का क्या मतलब है कि वहां पे कोई जंप नहीं होगा है जंप नहीं हुगा यहां पे देखा ना हमने राइट कंटीन्यूअस था तो कोई जंप नहीं है यहां पे ठीक है तो कंटीन्यूअस रैंडम वेरिएबल कब होगा जब वहां पे कोई ंप नहीं होगा p x = x पे जीरो होगा फॉर ऑल x है नहीं हर एक पॉइंट x पे क्या होगा क्योंकि वो कंटीन्यूअस है जंप नहीं है जंप नहीं है तो क्या है जीरो ठीक है और यहां पे इक्वलिटी वाली कोई चीज मैटर ज्यादातर नहीं करती यानी कि लेफ्ट इक्वल राइट इक्वल है ना ये सब चीजें सब सेम होता है दैट इज f एक ऑफ b - f एक ऑफ a ठीक है यानी प लेन x < इ b हो या फिर प < इ x लेन b हो या फिर प ले इ x ले इ ब हो या फिर इक्वल टू ना हो सबका वही होता है p मतलब b - a ठीक है रियल वर्ल्ड एग्जांपल ऑफ कंटीन्यूअस रैंडम वेरिएबल हमारे रियल वर्ल्ड एग्जांपल्स है बहुत सारे जिसमें कंटीन्यूअस रैंडम कंटीन्यूअस रैंडम वेरिएबल कहने का मतलब क्या है जहां पे बेसिकली बहुत सारे पॉइंट्स है ठीक बहुत सारे पॉइंट्स हम इंक्लूड कर रहे तो उसको कह रहे हैं क्या कंटीन्यूअस रैंडम यानी कि जीरो एंड व जीरो वन के बीच में बहुत सारे पॉइंट है तो बहुत सारे पॉइंट जब हमारा रैंडम वेरिएबल लेगा उसको हम कहते क्या है कंटीन्यूअस रैंडम वेरिएबल ठीक है तो इसके बीच में जितने भी होगा ये होगा कंटीन्यूअस रैंडम वेरिएबल ठीक है तो सेम चीज जैसे वेट ऑफ ए ह्यूमन बीइंग तो वेट ऑफ ए ह्यूमन बीइंग कहने का मतलब क्या है कुछ भी हो सकता है बहुत सारी वैल्यूज ले सकता है राइट 2.3 के 72.6 केजी 72.4 केजी 71 केजी 84 केजी 64 केजी ठीक है तो ये सारी देन स्पीड ऑफ ए डिलीवरी इन ककेट वो भी सेम स्पीड कुछ भी हो सकता है कोई भी प्राइस कोई भी अमाउंट ले सकता है राइट प्राइस भी कोई इन ऑफ स्टॉक भी सेम है और अमाउंट ऑफ मिल्क इन पड इन बोल भी सेम ठीक तो यह हमारे कुछ रियल वर्ल्ड एग्जांपल थे कंटीन्यूअस रैंडम वेरिएबल के ठीक अब बात करते हैं प्रोबेबिलिटी डेंसिटी फंक्शन कंटस रंड वेरिएबल एक् विथ सीडीएफ ए एक ठीक हैट टू हैव पीडीएफ ठीक है एक कंटीन्यूअस रैंडम वेरिएबल है एक्स जिसके पास सीडीएफ है अपना ऑलरेडी ठीक है वैलिड सीडीएफ है हमारे पास ठीक है ये वैलिड है ठीक है वैलिड सीडीएफ है ल तो कहेंगे कि उसके पास पीडीएफ भी हैगा f एक इफ फॉर ऑल x नॉ इक्वल फॉर ऑल x न f एक ऑफ एक विल बी इंटीग्रल ऑफ माइनस इनफिनिटी टू x न f एक d एक दैट इज f एक यहां पे क्या है पीडी ठीक है यानी ऑल द पीडीएफ का सम इज बेसिकली सीडीएफ ये हम वीक जीरो में भी पढ़ते आए हैं राइट कि वन दे रखा है ये वाला याद हो तो लेट्स सेव x है और f एक है ठीक है तो ट 2 3 है ना फोर तो ऐसे तो हमारा पीएएफ आता था हम कहते थे ना फिर निकालते थे सीडीएफ के लिए याद होता हम कहे कि x < 3 का वैल्यू निकालो है ना लेसन इ ये हमारा सीडीएफ हो जाता राइट तो सेम वे में यहां पे भी क्या है अ बेसिकली सीडीएफ बेसिकली क्या है पीडीएफ का सम या फिर इंटीग्रेशन बेसिकली सम ही होता है ना सबका पॉइंट पॉइंट वाइज इंटीग्रेशन ठीक है तो यही चीज कह रहा है कि अगर कोई रैंडम वेरिएबल दे रखा है कंटेन रैंडम वेरिएबल दे रखा है जिसके पास अपना अपना सीडीएफ भी है तो उसके पास पीडीएफ भी होगा कब पीडीएफ होगा न सब हर एक पॉइंट एक्स नॉट के लिए हम यह लिख सकते हैं कि क्या है सम ऑफ ल पीडीएफ का इंटीग्रेशन इ बेसिकली व्ट एफ एक् ठीक है तो एक फिगर से समझ लेते जसे य हमारा ठीक है ग्राफ है जिसम ये जो लाइन है हमारा क्या है पीडीएफ है ठीक है अब य पर कोई एक्स न पॉइंट है ठीक है तो क्या कहा कि एकन फॉर ऑल अ x न ठीक है सीडीएफ क्या होगा बेसिकली इंटीग्रेशन ऑफ fxxx.pro जो मैग्नी आएगा वो बेसिकली क्या है हमारा सीडीएफ ठीक है ऐसे एकन कहीं भी हो सकता है ठीक है बट ये हमेशा क्या होगा एक्स एक्सिस में होगा ठीक है ऑलवेज पॉजिटिव है राइट एक्स एक्सस में ठीक है अब हमने अभी पढ़ा क्या प्र डिव फंक्शन तो उससे पहले एक डेंसिटी फंक्शन जो है ये समझते ठीक है डेंसिटी फंक्शन भी प्रोटी डेंसिटी फंक्शन तो हमने समझ लिया लेकिन प्र प्रोबेबिलिटी डेंसिटी फंक्शन को भी वैलिड होने के लिए कुछ रीजन कुछ कंडीशन है तो डेंसिटी फंक्शन फंक्शन ए आ से आ ठीक है आ से आर मैपिंग है ठीक है इ सेड टू बी अ वैलिड डेंसिटी फंक्शन वो वैलिड डेंसिटी फंक्शन होगा कब जब ऑल f एक f एक नॉ इज ऑलवेज ग्रेटर दन 0 है ना f एक हमेशा ग्रेटर दन 0 होगा क्योंकि एरिया है राइट एरिया अंडर द क हमेशा क्या होगा पॉजिटिव होगा राइट तो पीएमएफ के लिए या पीडीएफ के लिए क्या होना चाहिए f हमेशा ग्रेटर दन इक्वल टू 0 होना चाहिए सेकंड सारे पीएमएफ का सम है ना सारे पीडीएफ का सम f एक्डी एक क्या होगा वन होगा जब कहा से होगा माइनस इनफिनिटी से इनफिनिटी तक यानी सबका इंटीग्रेशन करें टोटल इंटीग्रेट कर देंगे तो वन होगा ठीक है और तीसरा क्या होना चाहिए f क्या होना चाहिए पीस वाइज कंटीन्यूअस होना चाहिए ठीक है पीस वाइ कंटीन्यू होना चाहिए ठीक है ये तीन चीज रहेगा तो हम कहेंगे वो एक वैलिड डेंसिटी फंक्शन ठीक है रिमार्क दिया हुआ है य गिवन डेंसिटी फंक्शन ए देर इ कंटस रम वेरिएबल एक् विथ पीडीएफ एस ए तो अगर कोई एक वैलिड डेंसिटी फंक्शन हमने दे रखा है f ठीक है तो वहां पे एक कंटीन्यूअस और रैंडम वेरिएबल x भी एजिस्ट करेगा जिसका पीडीएफ क्या होगा वो पर्टिकुलर फंक्शन f होगा ठीक है ये एक रिमार्क है छोटा सा ठीक अब नेक्स्ट कांसेप्ट जो क्या है वो है सपोर्ट सपोर्ट ऑफ अ रैंडम वेरिएबल सपोर्ट रैंडम वेरिएबल क्या होता है तो याद हो हमारे डिस्क्रीट रैंडम वेरिएबल में डिस्क्रीट में हमारे पास होता है रेंज ठीक है हमारे पास क्या होता है रेंज होता है तो वही सेम चीज यहां पे सपोर्ट का काम है ठीक है सपोर्ट इज द रेंज ऑफ द कंटस रैंडम ठीक है तो इट इज डिफाइंड एज द पॉइंट्स ठीक है क्या पॉइंट्स वेर डेंसिटी फंक्शन स्ट्रिक्टली ग्रेटर दन इक्व टू ग्रेटर दन जीरो तो यहां पे डेंसिटी फंक्शन क्या होगा हमेशा जीरो से बड़ा होगा उन सारे पॉइंट्स को क्या कहेंगे हम सपोर्ट कहेंगे यानी कि सपोर्ट एक स सेट होगा सेट होगा ठीक है यहां पे f एक की वैल्यू हमेशा ग्रेटर जीरो होगी ठीक है तो सपोर्ट ऑफ एक्स इ बेसिकली व्ट ऑल द एक्स वेयर दिस कंडीशन होल्ड्स यानी f एक इज ऑलवेज ग्रेटर दन जीरो ठीक है नोट सपोर्ट कंटेंस इंटरवल इन व्हिच एक्स कैन फुल विथ एक्स कैन फॉल फॉल ठीक है विथ पॉजिटिव प्रोबेबिलिटी तो जहां पे x क्या है की प्रोबेबिलिटी हमेशा पॉजिटिव आएगी ठीक है वो सारे पॉइंट्स ठीक है का कलेक्शन बेसिकली क्या है सपोर्ट है तो इंटरवल बेसिकली ठीक है तो ये चीज समझ में आ गई थो फॉर एनी इवेंट ए डिफाइंड यूजिंग रैंडम वेरिएबल x द प्रोबेबिलिटी ऑफ एन इवेंट इज कंप्यूट एज p ऑफ a इ इंटीग्रेशन fxxx.pro 3/4 और फिर फाइंड करना है x लेन 1 गिवन कि x क्या है लेसन 3/4 ठीक है तो क्योंकि ये तीन चीज हमें देना है निकालने के लिए तो हम यहां से ऑलरेडी पहले ही गेस कर सकते हैं कि क्या है ये वैलिड होगा ठीक है अगर फिर भी चेक करना है तो यहां पर क्या करो वैलिड डेंसिटी फंक्शन के लिए चार चीजें हैं तीन चीजें हैं इन तीन चीजों को चेक कर लो ठीक है चेक करोगे तो सबको सेटिस्फाई करेगी तो इसलिए हम कहेंगे क्या है पहला हमारा सही है ठीक है अब बात करें क्या है दूसरा सपोर्ट ऑफ x सपोर्ट ऑफ x क्या होगा सपोर्ट ऑफ x हमारा क्या होगा 0 से वन जहां पे बेसिकली सारे प्रोबेबिलिटीज क्या होगी प्लस पॉजिटिव होगी राइट जीरो से वन तक है ना क्योंकि ये रो से वन तक के बीच में ही लाई कर रहा है ना 4x क राइट तो हमारा रो से वन क्या होगा सपोर्ट होगा ठीक है अब कह रहा है p x < 1/2 p एक < 1/2 हमें निकालना है तो px1 / 2 के लिए हम क्या करेंगे इंटीग्रेट करेंगे जीरो से बेसिकली हमें माइनस इनफिनिटी से जीरो और फिर क्या करना चाहिए तो जैसे बेसिकली 0 से 1/2 करा तो इसके साथ एक और क्या होता है माइनस इनफिनिटी से 0 4 एक्स कडी एक लेकिन ये क्या होता ये कट के ऑलवेज क्या हो जाता जीरो बन जाता ठीक है तो इसको हमने लिखा ही नहीं फिर 0 से 1/2 तक इंटीग्रेट करा तो इसका वैल्यू हमारे पास कितना आया / 16 एंड आई गेस आपको इंटीग्रेशन आता ही होगा लाइक x3 d एक है तो इंटीग्रेशन में क्या करते हैं हम ऊपर में प्लव और जो ये आया पूरा इसको नीचे लिख देते हैं है ना यही होता है इंटीग्रेशन x4 बा 4 ऐसे ही अगर x d एक है तो हम क्या करेंगे x की पावर वन है + 1 कर देंगे अपन 1 + 1 दैट इज x स् / 2 ठीक है और फिर अगर वैल्यूज है तो वैल्यूज को हम लिखते हैं दिस इज रो अ मतलब b और a ठीक है तो अब इसको इवेलुएट कैसे करते हैं पहले a पुट करते हैं तो a स् / 2 माइनस फिर b पुट करते हैं इसमें तो b स् / 2 तो ऐसे करके हमारा वैल्यू निकलता है a पुट करो फिर माइनस पुट करो वो माइनस ठीक है तो ये चीज हो ग हमारे अलग कैलक चीजें जो इंटीग्रेशन के बारे में ठीक है तो ये ऐसे करके निकलेगा नेक्स्ट p 1/4 से 3/4 तक ठीक है तो p 1/4 से 3/4 बेसिकली वही अ इसको भी इंटीग्रेशन करोगे यहां पे भी वही सेम चीज होगा कि माइनस इनफिनिटी से अ माइनस इनफिनिटी से अ कितना था 0 तक राइट 4x क बा x क dx4 तक आई गेस हां ठीक है 4x क ये चीज ठीक है ओके तो ये दोनों चीज हमारे जीरो क कट जाएंगे ठीक है तो यह बचेगा यह हमारा इसका इंटीग्रेशन करोगे ये आएगा ठीक है ओके नाउ नेक्स्ट प एक् लेन 1 बाटू गिवन की x लेन 3/4 है तो ये बेसिकली क्या है कंडीशनल कंडीशनल है हमारा है ना और कंडीशनल का हम पता है कंडीशनल के लिए हम क्या करते हैं जॉइंट अपॉन मार्जिनल जॉइंट और ये क्या हो गया मार्जिनल है ना ये तो हम शुरू से पढ़ते आ रहे हैं राइट तो जॉइंट हमारा क्या होगा दोनों कॉमा में है राइट और अपन जिसका कंडीशन है वो नीचे आ जाएगा ठीक है तो ये हो गया और जिसको हम इसको हम ये भी कह सकते हैं दिस इज बेसिकली व्हाट p x < 1/2 ही है है ना p x < 1/2 गिवन कि x x < 3/4 तो बेसिकली वही है सेम चीज ठीक है अब इसको बेसिकली क्या होगा ये बेसिकली क्या हो गया हमारा fx1 1/2 और ये क्या होगा हमारा fx3 / 4 और fx1 / 2 एंड fx3 बा 4 तुम ऐसे इंटीग्रेट करके कैलकुलेट कर सकते हो तो इजी है ठीक है नेक्स्ट ये एग्जांपल ये कह रहा है कि पूछ रहा है ये दिया हुआ है पूछ रहा है कि क्या ये एक वैलिड पीएमएफ वैलिड डेंसिटी फंक्शन है या नहीं यानी fx4 ठीक है -1 से x और 3 तक ठीक है तो पूछ है तो हमारा वैलिड डेंसिटी फंक्शन होने के लिए क्या होना चाहिए हमेशा fx3 इ 0 होना चाहिए यहां पे -1 इंक्लूडेड है -1 जैसे ही पुट करेंगे क्या होगा - 1/4 तो माइनस आ गया हो तो तो फिर वो वैलिड नहीं रहा जसे तो इसलिए यहां पे ये ट्रू नहीं हो रहा है तो ये वैलिड नहीं है ठीक है वैलिड नहीं है नाउ नेक्स्ट की बात करते हैं तो एक और एग्जांपल ही है ठीक है f एक दिया हुआ है a एक स् + x और 0x 3 है ना ये चीजें दी हुई है ठीक है तो सपोज f इज अ वैलिड डेंसिटी फंक्शन फाइंड a ठीक है वैलिड डेंसिटी फंक्शन ऑलरेडी है बता दिया तो ए फाइंड करना तो हमें पता है व डेंसिटी फंक्शन है तो सम ऑफ माइनस इनफिनिटी से इनफिनिटी के इंटीग्रेशन करेंगे अगर ए का तो न के बराबर होगा ठीक है तो इसको हम यही करेंगे जीरो से माइनस इनफिनिटी से जी जीरो से 3 और से इनफिनिटी ठीक है तो दोनों व माइनस इनफिनिटी से जीरो और जीरो से इनफिनिटी तो हट जाएगा ठीक है बचेगा ये जीरो से इसका इंटीग्रेशन करेंगे इसको सॉल्व करेंगे ठीक है तो इंटीग्रेशन जी0 से 3 एक्स स् प् एक्डी एक्ट इ इन दोनों को अलग अलग कर देंगे है ना इस a एक स् dx8 x dx2 dx7 ठीक है तो यही बेसिकली अ चीजें थी और इतना ही कांसेप्ट था हमारे वीक फोर में ठीक है तो वीक फोर हैंड्स शयर ठीक है आई होप आपको वीडियो पसंद आया कांसेप्ट समझ में आया तो समझ में आया तो प्लीज वीडियो को लाइक करना चैनल को सब्सक्राइब करना मिलते हैं नेक्स्ट क्वेश्चन आंसर वाले वीडियो में ठीक है बाय