Hai semuanya, ketemu lagi dengan saya di Biomed Official, channel kajian matematik. Oke, pada seri materi kuliah kali ini, kita akan lanjutkan untuk materi kuliah Algebra Linear Elementar. Sebelumnya kita sudah membahas mengenai solusi dari sistem persamaan linier.
Solusi sistem persamaan linier, tapi yang di video sebelumnya itu adalah dengan menggunakan operasi baris elementar. Nah, Untuk kali ini kita akan membahas mencari solusi sistem persamaan linier dengan menggunakan matrix inverse. Bagaimana caranya untuk mencari solusi sistem persamaan linier dengan menggunakan matrix inverse?
Saksikan kita sampai ke sini. Pertama, kita punya SPL. Sistem persamaan linear dalam bentuk matriks Jadi kita sajikan dalam bentuk matriks seperti ini Yang biasa kita lakukan Ini bentuknya Kalau kita ringkas penulisan yang matriks seperti ini Kedalam notasi matriks Kita akan memperoleh suatu notasi matriks seperti ini Jadi nanti ini akan menjadi AX sama dengan B AX sama dengan B A A nya itu adalah matriks koefisien, yang ini A nya, kemudian X nya adalah matriks variable, kemudian B nya adalah matriks konstanta. Ini sudah dijelaskan di video sebelumnya, versi SPL ke dalam matriks.
Oke, lalu setelah kita punya matriks, bentuk matriks seperti ini, notasi matriks, kita kalikan ke dua ruas itu dengan A inverse. Kita kalikan dengan A inverse. Sehingga kita akan memperoleh kondisi seperti ini, A inverse dikali AX sama dengan A inverse dikali dengan B.
Ini A inverse-nya dikalikan di sini, di sebelah kirinya B, karena yang di sini juga dikalikan di sebelah kirinya AX. Ini posisinya harus sama. Oke, perhatikan bahwa di sini ada A inverse dikali A. A inverse dikali A itu akan menjadi identitas.
Dia akan menjadi matriks identitas, sehingga matriks identitas dikalikan dengan X, itu dia akan menjadi dirinya sendiri, X itu sendiri, sehingga kita memperoleh solusi seperti ini. Jadi kita akan punya X sama dengan A inverse dikali B. Nah, X ini adalah matriks variable yang justru akan kita cari di masalah sistem persamaan linier. Di SPL ini X-nya kan berapa yang memenuhi sistem persamaan linier tersebut.
Nah, Berarti dalam hal ini, nanti kita tinggal mencari A inverse-nya, lalu kita kalikan dengan matriks konstantannya, yaitu B di sini. Jadi nanti A inverse-nya dulu dikalikan dengan B, nah itu adalah solusi dari sistem persamaan linear. Cukup sederhana, cuma di sini E force-nya itu ada di cari matriks inverse. Berarti sebelum kita mencari matriks inverse, pastikan dulu dia pun.
dulu saya sudah ingatkan bahwa suatu matriks itu mempunyai inverse apabila apa jika dan hanya jika determinannya itu tidak nol karena pada dasarnya inverse itu yang waktu bentuk umum diawal inverse itu sendiri adalah satu per determinan dan determinan A dikali dengan joinnya join daripada A Kalau determinannya 0, disini akan terjadi pembagian dengan 0, maka A inverse itu sudah terdefinisi. Oke, jadi effort kita disini adalah mencari A inverse-nya. Bagaimana cara mencari A inverse-nya? Itu sudah diperlaskan di video sebelumnya dalam menentukan matrik inverse. Bagi yang belum tahu caranya, silakan kembali ke video sebelumnya untuk mencari A inverse.
Ini sebetulnya ada di playlist ya, tinggal dicari aja di playlist, disitu banyak opsi materi untuk kuliah aljabar. Oke, kita lihat contoh. Contoh sederhana yang ini sudah ada jawabannya di video sebelumnya dengan menggunakan operasi baris elemen.
Kita sekarang menggunakan matrik inverse. Kita punya... Sistem persamaan linear seperti ini, A plus C sama dengan 4, kemudian A min B sama dengan min 1, kemudian di sini ada 2B plus C sama dengan 7, berarti variabelnya di sini adalah ABC.
Oke, kita lihat di sini, kita pisahkan saja papan tulisnya menjadi 2 bagian. Oke, perhatikan ini A plus C sama dengan 4, kalau kita tulis ini akan menjadi... Hai apa namanya Matrix nya untuk Matrix koefisiennya kemudian ini Matrix perubahannya itu adalah a kemudian B kemudian disini C lalu disini ada Matrix konstantannya konstantannya disini adalah 4 kemudian min 1 dan 7 ya Oke kita isi Matrix koefisiennya disini hanya satu Kemudian B nya tidak ada di yang persamaan pertama, jadi 0. Kemudian C nya di sini ada 1. Lalu yang bersamaan kedua, yang ini A min B sama dengan min 1. A nya sudah 1 di sini, B nya adalah min 1. Kemudian C nya tidak ada. Di sini A nya yang tidak ada, 0. Kemudian B nya ada 2, di situ ada 2 koefisiennya.
Kemudian C-nya, koefisienya adalah 1. Oke, ini adalah penulisan dalam bentuk matriksnya. Dari sistem persamaan linier, dikonversi ke dalam bentuk matriks. Perhatikan kita punya di sini A. Ini adalah A.
Yang kita lakukan pertama adalah mencari determinannya. Oke, kita cek di sini determinan dari A. Apakah determinan dari A itu 0 atau tidak? Kalau 0 berarti yaudah gak usah dilanjutkan Mencari solusinya dengan metode ini Nah kecuali kalau determinannya tidak 0 Ya kalau tidak 0 Kita bisa melanjutkan Mencari solusi persamaan linearnya Dengan menggunakan metode Inversive Nah kalau misalkan ini Tidak Kalau ini 0 bagaimana Kita bisa menggunakan Operasi baris elementer Jangan-jangan disitu ada baris 0 yang menyebabkan determinan 0 kalau ada baris nol kan jadi nanti solusinya banyak ya oke kita lanjutkan untuk yang ini kita periksa dulu determinan dan ini juga nanti akan digunakan untuk mencari determinan A disini kita coba ekspansi pakai ini aja ya pakai ekspansi aja nggak pakai terus disini saya pakai ekspansi ini aja ini 101 ekspansi baris pertama oke ekspansi kokator baris pertama berarti di sini ada satu c11 ditambah nol untuk yang keduanya elemen keduanya c12 dikali ya ditambah dengan 1 dikali c13 nah ini satu oke tinggal c11 aja c11 berarti kan min 1 Pangkat 2 ya, 1 plus 1 jadi pangkat 2, dikali dengan minor.
Minornya berapa di sini? Minornya C11 berarti kita hilangkan. Di sini baris pertama, kolom pertama berarti yang ini, kolom pertamanya.
Jadi kita punya min 1, 0, kemudian 2, 1. Oke, ditambah dengan, ini 0 dikali C12 ya, udah 0. Ditambah dengan 1 C13. C13 berarti min 1 pangkat 1 plus 3, itu pangkat 4. Dikali dengan 1, 3 baris pertama dengan kolom ketiga kita hilangkan. Jadi kita punya 1, 1, 1, min 1, 0, 2. Sehingga kita punya determinan A-nya di sini. Determinan A-nya adalah... Disini yang ini 1 kuadrat, min 1 kuadrat 1, ini min 1 kali 1 jadi min 1. Ditambah 0, yang ini 0, suku keduanya.
Ditambah suku ketiganya yang ini, ini juga min 1 pangkat 4. Intinya dikali dengan 1 kali 2 disini. Jadi 2, jadi plus 2. Sehingga kita punya determinannya adalah 1. Oke, ini determinannya sudah dapat. Determinannya adalah... 1. Tinggal kita mencari A inverse. A inverse itu sendiri, formulasinya seperti yang tadi ditulis, A inverse itu adalah 1 per determinan A, dan kebetulan di sini determinannya adalah 1 dikali dengan join daripada A.
Berarti karena determinan di sini 1, maka A inverse-nya akan sama dengan join A-nya. Bagaimana cara mencari adjoints? Adjoints itu sudah ada juga di materi sebelumnya.
Silahkan bagi yang belum untuk melihat kembali. Di sini adjoints. Ini itu adalah C, transverse, di mana C-nya di sini adalah matriks kofaktor. Oke, berarti sekarang kita akan mencari kofaktornya, elemen-elemen untuk matriks kofaktor. Ini kita punya C11, C11 itu sudah ada berapa tadi?
Di sini ya, ini C11 nih, jadi ini min 1. Oke, saya tulis langsung aja, C11 adalah min 1. Kemudian C12 belum dihitung karena disini langsung dikalikan ke 0. Oke saya hitung disini. Ini min 1 pangkat 3 ya. Pangkat 3 dikali 1 2. 1 2 itu berarti baris pertama kolom kedua dihilangkan. Jadi 1 0 0 1. Disini dapat 1 0 0 1. Maka kita akan memperoleh hasilnya disini min 1 yang ini.
1 kali 1 juga 1, jadi min 1 kali 1 sama dengan min 1. Kemudian C13-nya ini sudah dihitung di sini. C13, oke saya bisa kan. C13 di sini sudah dihitung, yaitu berapa tadi?
2 ya. Di sini 2. Oke, tinggal yang lainnya untuk baris kedua. Kita lihat baris kedua, C21. Oke, C21 berarti kita punya...
min 1 kita pangkatkan 3 atau plus 1 lalu kita kalikan dengan yang ini ya apa namanya minornya minor 2 1 berarti ini harus mungkin beda warna lebih kelihatan nah ini baris kedua kemudian kolom pertama kolom pertamanya yang ini Baris kedua kolom pertama. Jadi kita punya determinan dari sini adalah baris keduanya kita hilangkan. Kolom pertama juga kita hilangkan. Jadi 0, 1, 2, 1. 0, 1, 2. Ini jadi 0, 1. Kemudian ini 2, ini 1. Sehingga kita punya apa? Kita punya di sini min 1 pangkat 3 itu adalah min 1. Kemudian ini 0 dikurangi.
2 disitunya jadi min 1 dikali min 2 sama dengan 2. Oke ini C21 nya adalah 2. Selanjutnya C22 nya berapa? C22 nya berarti disini adalah min 1 angkat 4. Karena 12 2 dikalikan dengan minor nya. Minor nya disini adalah baris kedua kolom kedua yang ini kita hilangkan kolom keduanya. Baris kedua dan kolom kedua. Ini jadinya 1, 1, 0, 1. Kita punya determinan dari 1, 1, 0, 1. Itu minor untuk elemen 2, 2. Ini jadi positif.
Ini 1 dikali 1 dikurangi 0. Ini 1. Lalu kita lanjutkan untuk C23. Ini memang importnya disini ya dalam mencari cofactor kalau memang kita mencari importnya dengan menggunakan cofactor. Silahkan kalau mau pakai OBE juga silahkan.
Atau mau pakai yang lain juga ada lagi. Ini 23 berarti kita punya min 1 pangkat 5. Kemudian kita hilangkan baris kedua kolom ketiga jadi 1002. 1002. Berarti di sini pangkat 5 kan negatif ya. Ini min 1. Jadi pangkat 5 adalah negatif.
Ini 1 kali 2. Jadi min 2. Ini 1 kali 2, 2. Ini negatif. Oke, itu adalah C23-nya. Selanjutnya adalah C31-nya. Elemen dari C31 adalah min 1 pangkat 4. Dikali minornya. Minornya di situ adalah 0, 1. Hai dan min 10 dengan cara itu tadi yang hilangkan berarti baris ini harus diganti apa namanya tiga baris ketiga yang ini baris ketiga dan kolom pertama berarti yang ini kita hilangkan jadi kamu punya minornya 01-10 ini udah saya tulis 01-10 hasilnya berapa di sini adalah ini positif Kurangi ini min 1. Ini 1 hasilnya ya.
Oke itu adalah C31. Sekarang C32. C32 kita punya berarti min 1 pangkat berapa nih? 32 itu 5 berarti. 3 plus 2 ya.
Lalu kita hitung di sini minornya. Ada 1 ini baris ketiga. Baris ketiga. Kolom kedua kita hilangkan.
Yang ini kolom keduanya. Jadi kita akan punya 1. 1110 ya 1110 sehingga kita akan memperoleh yang ini adalah negatif satu kemudian ini satu kali 00 dikurangi satu kali satu jadi negatif tapi juga jadi hasilnya adalah satu Oke lalu berikutnya untuk C33 terakhir ini oke 33 tahun depan min 1 pangkat 6 ya 3 plus 3 itu Lalu dikalikan minornya, 1 0. 0, min 1. Ini sama seperti tadi, kita hilangkan di sini baris ketiga, kolom ketiga. Jadi, 1, 0, 1, min 1. Oke, jadi hasilnya berapa di sini? Min 1 pangkat 6 itu positif.
Ini tinggal 1 kali min 1, jadi min 1. Maka, kita punya di sini adalah C. C itu di sini isinya adalah ini, 1, 1, min 1. 12-nya adalah minus 1, kemudian 13-nya adalah 2, kemudian 21-nya di sini mana? 2, 22-nya adalah 1, lalu 23-nya minus 2, kemudian 31-nya 1, 32-nya 1, 33-nya adalah minus 1. Oke, kita punya matrix covalent.
disini kita akan ketemu dengan joinsnya joinsnya A itu adalah C-transforce jadi ini kita transforce menjadi apa? ini A, min 1, min 1, 2 jadinya tadinya baris kita buat di kolom min 1, min 1, 2 dan 2, 1, min 2 disini 2, 1, min 2 2, 1, min 2, lalu Yang terakhir, baris 1, 1, min 1 menjadi kolom di sini. 1, 1, min 1. Oke, ini adalah adjoinnya.
Dan kebetulan, karena di sini determinannya adalah 1, maka adjoinnya itu adalah infusnya itu sendiri. Jadi, A infusnya itu adalah sama dengan adjoin dari A-nya. Yaitu isinya adalah ini. Min 1, 2, 1, min 1, 1, 1, 2, min 1, 2, min 1. Nah itu inverse nya, kita baru menemukan inverse nya. Sedangkan untuk mencari solusi, untuk mencari solusi dari sistem persamaan linear, kita kan harus pakai ini, X sama dengan A inverse, ini solusinya ya.
Untuk mencari solusi adalah X sama dengan A inverse, dikali dengan B. B nya itu sendiri adalah 4-1-7. Berarti untuk mencari solusi, X itu adalah...
A inverse yang ini dikalikan dengan B, B nya adalah 4 min 1. Maka kita ketemu dengan solusi seperti ini. Jadi A, B, C nya sama dengan min 1, 2, 1. Tadi hasil inverse nya min 1, 1, 2, min 2, min 1. Ini adalah hasil inverse yang tadi. Lalu dikalikan dengan ini 4 min 1, 7. 4 min 1, 7 adalah konstantannya, matriks konstantannya. Nah ini perkalian biasa ya.
Tidak akan saya detailkan, ini perkalian biasa saja, jadi nanti hasilnya akan diperoleh 1, 2, dan 3. Apa artinya? Artinya di sini, solusi dari sistem persamaan tersebut, sistem persamaan linear tersebut adalah 1, 2, 3. Dan ini mengkonfirmasi hasil yang sebelumnya itu sudah dihitung juga untuk sistem persamaan linear yang pertama, yang adalah 1, 2, 3. Ini menunjukkan bahwa jawaban kita sudah betul, jawabannya sudah betul. dengan menggunakan pinforce jawabannya sama tapi metodenya berbeda kalau yang sebelumnya itu menggunakan operasi baris adapter, kalau yang ini kita akan menggunakan matrix pinforce jadi nanti silahkan yang mana saja nanti ada lagi satu metode lagi dan mungkin itu akan lebih disukai untuk itu terus ikuti channel ini, jangan lupa untuk subscribe Terima kasih sudah menonton video ini. Sampai ketemu di video berikutnya.