Kısmi türevin geometrik yorumu. Bu videomuzda kısmi türevin geometrik yorumunu inceleyeceğiz. Öncelikle iki değişkenli bir fonksiyon alıp, kısmi türevle ilgili birkaç şeyi konuşup, arkasından geometrik yorumla ilgili bölüme geçeceğim. Neden böyle bir şeyin peşindeyiz onu konuşacağız. Bir fx'ye çok değişkenli fonksiyonu ele alalım.
Bunun herhangi bir noktada türevini aldığımızda kısmi türevlerinin mesela nokta ne olsun? 1'e 2 noktası. 1'e 2 noktasında bunun kısmi türevlerini aldığımızda f'in x'e göre kısmi türevi.
Ve götürüp buna 1'e 2'yi koyduğumuzda daha güzel göstermini de yapalım. f'in x'e göre kısmi türevinde 1'e 2 koyduk. Veya f'in y'ye göre kısmı türevinde götürüp 1'e 2 koyduk.
f'in y'ye göre kısmı türevinde 1'e 2. Mesela bu bize 4 sonucunu versin. Sallıyorum bunları. Fonksiyonu görmüyoruz neticesinde. Bu da bize eksi 3 sonucunu versin.
Bize bu sonuçlar ne ifade ediyor? Bu sonuçlar. Bize ne anlatmalı? İşte bu videodaki derdimiz bu olacak.
Kısmi türevin geometrik yorumunu yaparak Biz bir noktada Bu herhangi bir nokta olabilir. Kısmi türev bulduğumuzda Onun sonucunda çıkan sayı bize ne ifade etmeli? X'e göre kısmi türevde çıkan sayı Y'ye göre kısmi türevde çıkan sayı Bize ne anlatmalı? Bunu geometrik yorum üzerinden inceleyeceğiz.
Fakat bu kısma başlamadan önce, kalkülüs 1'deki tek değişkenli fonksiyonlarda türevin geometrik yorumunun ne olduğunu biliyor olmalıyız. Öncelikle onu bir kısaca hatırlayalım. Arkasından kısmi türevlerin geometrik yorumuna geçelim. Kalkülüs 1 Kalkülüs 1'de fonksiyonlarımız tek değişkenlidir. Bu nedenle de kısmi türevlere ihtiyacımız yoktur.
İçinde tek bilinmeyen olduğu için zaten türev alın dediğinde o harfe göre türev alacağız. Buralarda bir belirsizlik ortaya çıktığı için her birine göre ayrı ayrı türevler alınır. Burada mesela nokta yine diyelim x eşittir 3 noktası. Is f fonksiyonunun 3 noktasında türevini bulduğumuzda hatırlamamız gerekiyor ki bizim bulduğumuz şey şudur.
Geometrik olarak bir f fonksiyonu sallayalım. Şöyle bir f fonksiyonu olsun. Şimdi 3 noktası da nerede olsun?
Hadi 3 noktası şurası olsun. Bu fx fonksiyonu. 3 noktasında biz türev bulduğumuzda bulduğumuz şey şudur. fx'e x eşit 3'te çizilen t doğrunun doğrunun eğimini buluruz.
O t-et doğrunun eğiminden de eğim negatifse doğrunun kolunun o esnada aşağıya doğru gittiğini anlarız. Tam şu noktadan çizilen şu t-et doğrunun eğimini veriyor bize. Önemli olan şu nokta. Diğerlerde fonksiyonun grafiğini kesmiş kesmemiş çok önemli değil. Tam x eşittir 3 noktasında çizilen t-etin eğimini buluyoruz.
Eğer ki bu eğim sonucu Negatif çıkarsa bizim grafik orada aşağıya doğru gidiyor anlamına gelir. Eğer ki eğim pozitif çıkarsa, funksiyonun yukarı doğru giden kolundan çizmişizdir o t'yi. Eğer ki eğim sıfır çıkarsa, tam maksimum veya minimum noktadan çizmişizdir t'yi.
Yani o noktada türevi bulmuşuzdur. Dahası bu türev, y değerlerinin x değerlerine göre değişim hızını bize gösterir. Kalkülüs bir de, Bulduğumuz her türev, bir noktada bulduğumuz her türev, o noktada o fonksiyona çizilen t doğrunun eğimini verir. Yani türev bize t'in eğimini vermekte.
Biz de bu t'in eğimi ile fonksiyonun değişimi ile ilgili çıkarımlarda bulunabiliyor. Yani türev sonuç olarak bir fonksiyonun y değerlerinin x değerlerine göre değişimini gösteriyor kalkulüs 1'de. Kalkulüs 1'de derinlemesine daha fazla uğraşmayıp bizi ilgilendiren kısmi türevin geometrik yorumuna gelelim.
Kısmi türevin geometrik yorumuna geldiğimizde de çok büyük bir değişim olmayacak. Yine t etin eğimini verecek bize. Kısmi türevde geometrik yorum. Şimdi kalkülüs 2'ye geldik. Kısmi türevde geometrik yorum.
Bunun için bir 3 boyutlu koordinat sistemini çizip Onun üzerine de bir fxy yüzeyi çizeceğiz. Biliyoruz ki çok değişkenli fonksiyonlar birer yüzey belirtirler. Bu x eksenimiz, bu y eksenimiz, bu da z eksenimiz. Şimdi sorunun çözümünde daha görsel olarak anlamak adına bu yüzeyi biraz...
küresel bir şekil olarak çizeceğim. Daha kolay anlamak adına. Daha da ziyade çizimi iki boyutlu bir yüzey üzerinde üç boyutlu görüntüleri çizerek pek yansıtamıyorum.
Bu nedenle böyle bir şekil tercih ediyorum. Şimdi burada bir yüzeyimiz var. Yani şurada bir küre parçası gibi düşünelim. Bu fxy yüzey olsun. fxy funksiyonunun çizimi.
Girdiler x, y düzleminden. Çıktılar ise z'ler. Şimdi biz bunun üzerinde herhangi bir noktada kısmi türev bulduğumuzda noktamızı da belirleyelim.
Nokta ne olsun? x'i 1 olsun. Şöyle. y'si de 2 olsun. Bunun bu yüzey üzerinde karşılaştığı bir nokta olsun.
Burada bir yüzey var. Bunun üzerindeki nokta fx'ye de ki değeri de burası olsun bunun. Biz bunun içine 1, 2 koyduğumuzda z'de eşlendiği değer yüzey üzerinde burada olsun.
Biz f'in x'e göre kısmi türevini bulduğumuzda 1'e 2 noktasında bulduğumuz şey şudur. X'e göre kısmı türe bulduğumuzda farklı bir renge geçelim. Buradaki X'e göre kısmı türe bulduğumuzda Y eşittir 2 düzleminde.
Tam şu Y'nin 2 olduğu yerde. Bu yüzeye t doğru'nun eğimini bulmuş oluruz. Fakat bu doğru y ekseninde kesinlikle ve kesinlikle dik görüntüde olmalıdır.
Yani çapraz bir şekilde kesme belli. Bunu aşağıya doğru indirdiğimizde dimdik bir kesim şekli olmalıdır. Tam bu her zaman y'nin 2 olduğu. Bu doğru üzerindeki bütün y değerleri 2'dir. Yani x'e göre kısmıyı türe bulduğumuzda y eşit 2 düzleminde yani y'nin 2 olduğu yerlerde f'e fxy fonksiyonuna t'et doğrunun eğimini buluyoruz.
Yine eğim buluyoruz. Eğimini. Fakat buradaki kritik nokta y eşit 2 düzleminde.
Yani biz burada şunu bir farklı çizime geçelim. Farklı bir renkle çizelim şunu. Y'nin 2 olduğu yerde biz bir düzlem oluşturduğumuzu düşünelim. Tam şu 2'nin olduğu yerden geçirdiğimi varsayalım şunu.
Şu gördüğümüz doğru böyle yanlamasına duran bir duvarın sadece üzerinde çizilmiş bir doğrudur. y eşit 2 düzleminde yani y'nin 2 olduğu yerdeki y'nin 2 olduğu yerdeki yüzeyin x'in de 1 olduğu yerdeki noktanın olduğu yerden çizilen t doğrunun eğimini göstermektedir bu. Bu bize şunu vermektedir. Eğer ki bu eğimi 0 olarak bulursak o zaman Bu doğrumuz x'ye düzlemine paralel bir doğru olur. Negatif bulursak bu doğru aşağıya doğru gidiyordur.
Pozitif bulursak tam tersi yukarı doğru gitme söz konusu olabilir. Buradan da bu yüzeyin nasıl hareket ettiğini tespit etmiş oluruz. Ne kadar anlaşıldı bilmiyorum. Görsel olarak çizebilmek çok kolay değil. Belki ilerleyen zamanlarda hazır çizimler üzerinden de bir konuşabiliriz.
Şimdi y'ye göre kısmi türev aldığımızda bu sefer de x eşittir bir düzleminde. x eşittir bir düzleminde dediğim yani bu x eşittir birin olduğu yerden çizilen şöyle bir tam birin olduğu yerden geçen bir düzlem düşünelim. Tam şu biri içine, tam birinin olduğu yerden kesiyor bu düzlem. Bu yüzeyimize t'et doğrunun eğimini veriyor.
Bu f'in y'ye göre kısmi türevinde 1'e 2. Bu ise f'in x'e göre kısmi türevinde 1'e 2'dir. Biz y'ye göre kısmi türev bulduğumuzda x eşittir 1 sabit kalmak koşuluyla bu çizdiğimiz doğru hep x'in 1 olduğu değerlerle eşlenmektedir. Bunun eğimini bulmuş oluyoruz.
x eşittir 1 düzlemi üzerindeyken. Diğer tarafa geçtiğimizde x'e göre kısmi türe bulduğumuzda ise y eşittir 2 düzlemi üzerinde. Yani biz bu yüzeyimizin üzerinden bir kesitini alıyoruz.
Sadece ve sadece şurada şöyle bir üzerinde şöyle bir kesitsel eğrisi kalıyor. Ve biz de bu eğriye... t'yi buluyoruz.
Diğer taraftan y'ye göre kısmi türev alırken de x eşittir 1 üzerinden x'in 1 olduğu yerden böyle bir kesiti alıyoruz. Ve bu kesit. Yani burada bir tane biz sadece ne diyelim buna eğeri bırakıyoruz.
Yüzeyden tek bir eğriye düşüyoruz. Yani bu fonksiyonun diğer yerlerini iptal ediyoruz. Sadece burada x'in 1 olduğu yerlerdeki eğriyi bırakıyoruz.
Ve bu eğri üzerinde türev alıyoruz. y'ye göre türev alırken. y'ye göre türev aldığımızda da x eşittir bir düzleminde fxy fonksiyonuna t et doğrunun eğimini buluyoruz.
İkisi de yine bize eğim anlatıyor. Çok da farklı bir şey anlatmıyor. Şu görsel çizdiğimi bir kez daha çizeceğim.
Bu sefer çok fazla üzerine şekil yapmadan şöyle çizelim. Yüzeyimiz çeşitli görüntülerde olabilir. Ben 3 boyutlu yansıtmayı çok başaramadığım için bunu tercih ettim.
Şöyle düşünelim. Şöyle de birleştirelim. Herhangi bir nokta düşündüğümüzü varsayalım.
Noktamız şurada bir nokta olsun. Ve noktamızda 1'e 2 noktası olsun. Az önce konuştuğumuzda aynı şey olsun diye.
Bu nokta 1'e 2. Bu yüzeyimizde fxy yüzeyi. Biz Burası x eksenimiz, burası y eksenimiz, burası z eksenimiz. Biz x'e göre kısmi türev alırken, x'e göre kısmi türevde 1'e 2'yi bulduğumuzda, bu şurası 1 noktası, şurası 2 noktası olsun.
Tam bu 2'nin hizasından şöyle bir... Fonksiyonun diğer kısımlarını iptal ediyoruz. Ve sadece böyle bir eğri bırakıyoruz. Tam bu eğriye bir noktasında çizdiğimiz t doğru oluyor. Bizim x'e göre kısmı itirememiz.
Çizelim onu şuradan. Bu x'e göre kısmı itiremiyor. Y'ye göre kısmı yütreve geldiğimizde ise bu sefer de 1'e 2 noktasında x'in 1 olduğu yerden sadece x'in 1 olduğu değerleri bırakıyoruz.
Şöyle bir eğriye düşürüyoruz. Bizim yüzeyin diğer kısımları iptal oluyor. Sadece şu kalan eğri üzerinden çizilen t'et doğrunun eğimini veriyor.
y'ye göre kısmi türevi. Onu da şöyle çizersek. Bu da f'in y'ye göre kısmi türevi. 1'e 2 noktasında.
Buradaki önemli olan şey bizim aslında yaptığımız şey şu fonksiyonumuzda x'i sabit tutup y yerine götürüp 2'yi koyuyoruz. y'nin 2 olduğunu netleştiriyoruz. Ve bu fonksiyonun özünde türevinde ardından 1 koyuyoruz. Ama bu gösterimi biz f'in x'e göre kısmı türevinde 1'e 2 diye gösteriyoruz. Burada yaptığımız şey bu x'in 2 olduğu değerler net olduğu için Sadece kalan bu eğriye 1'e 2 noktasında çizdiğimiz t doğrunun eğimini bulmuş oluyoruz.
Bu bulduğumuz şey eğim. Ve bu eğime göre bu yüzeyin yükseldiğini mi alçaldığını mı bu noktada nasıl bir hareket içinde olduğunu iki yönden de baktığımız için x Boyunca hareket ederken alçalıyor mu? Mesela bu tarafa doğru alçalırken bu tarafa doğru yükseliyor olabilir.
Eğimlerin sonuçlarına göre. İşte biz bu bilgiler sayesinde de bu grafiği net bir çizime kavuşturabiliyoruz. Ve diğer anlaşılması gereken önemli nokta ise şudur.
X'e göre kısmi türev aldığımızda X'e göre kısmi türev Türev Kesinlikle ve kesinlikle y eksenini dik biçimde bir görüntü vermelidir. Yani şu doğruyu düzelttiğimizde aşağıya doğru indirdiğimizde y'ye kesinlikle dik olur. Y'ye göre kısmi türev aldığımızda da bu doğruyu aşağıya doğru indirdiğimizde x'e dik olması gerekir.
Bu da sonuç itibariyle yine eğim vermektedir. Geometrik yorumla ilgili Biz ne yapıyoruz diye kafasına takılanlar için ne kadar aydınlattı bilemeyeceğim. Çizimleri yapabilmek çok kolay değil ve ufak da olsa bir fikir kafasında canlandırabilmişse bazılarınız için yeterlidir. Bu video amacına ulaşmıştır. Bu kısım bizim Türkiye'de hiç bir üniversitenin umursamadığı bölümdür.
Ne boğaz içi ne üttü yani... Bir şeyleri yaparız biz hepimiz kısmi türevi alırız. Fakat kısmi türevin bize ne verdiğini konuşma kısmını yapan üniversite neredeyse yok gibidir. Bu nedenle biz bir şeyleri yapıyoruz ülke olarak zaten.
Ama ne yaptığımızı bilmediğimiz için bir şeyi keşfedebilme, bir şeyi bulabilme noktasına bir türlü taşıyamıyoruz bu eğitim sürecini. Ben de bu şekilde yaptım. Buradan soru falan kimse beklemesin.
Buradan soru gelmez. Sadece kafanızda bir fikir oluştursun diye idir. Bu şekilde bu videomuzu burada noktalıyoruz.