Algebra Lineare e Geometria - Lezione 1

Concetto di Vettore

• Importanza dei vettori in fisica (es. spostamento)
• Elementi fondamentali:
  • Direzione (es. nord-sud, est-ovest)
  • Verso (es. verso est o verso ovest)
  • Modulo (lunghezza del vettore)
• Rappresentazione grafica: segmenti orientati

Operazioni sui Vettori

Somma di Vettori

• Regola del parallelogramma
• Somma V+V produce un vettore con stessa direzione e verso, ma modulo doppio (V+V = 2V)

Prodotto Semplice

• Prodotto di un numero per un vettore (es. 2V)
• Numero = scalare

Insiemi Numerici

Numeri Naturali (N)

• Solo somma e prodotto, problemi con sottrazione (es. 2-5)

Numeri Interi (Z)

• Risolve problema della sottrazione
• Problemi con divisione (es. 2/5)

Numeri Razionali (Q)

• Frazioni di interi (m/n, n ≠ 0)
• Somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione (n ≠ 0) fattibili
• Esempio di campo numerico

Definizione di Campo di Numeri

• Insieme non vuoto con operazioni di somma e prodotto
• Proprietà fondamentali:
  • Associativa (somma e prodotto)
  • Commutativa (somma e prodotto)
  • Elemento neutro (somma = 0, prodotto = 1)
  • Esistenza degli opposti (somma)
  • Esistenza degli inversi (prodotto)
  • Distributive

Risoluzione di Equazioni di Primo Grado

• Esempio: ax + b = 0
• Importanza delle proprietà associativa e esistenza degli opposti/inversi

Esempi di Campi Numerici

• Numeri Razionali (Q)
• Numeri Reali (R)
• Numeri Complessi (C)
• Campi finiti: es. campo con 2 elementi (0,1), verifica proprietà di campo

Costruzione di Campi Finite

• Esempi con 2 elementi (0, 1)
  • Tabella delle operazioni di somma e prodotto
  • Proprietà verificate
• Esempio controesempio con 4 elementi (0, 1, 2, 3)
  • Problema con elemento non invertibile
• Provare con insiemi di 5, 6, 7, ecc.
  • Regolarità osservata: numeri primi

Spazio Vettoriale

• Insieme non vuoto con operazioni di somma e prodotto
• Vettori e scalari
• Proprietà richieste per le operazioni:
  • Associativa (somma e prodotto)
  • Commutativa (somma)
  • Elemento neutro per somma (vettore nullo)
  • Esistenza degli opposti (somma)
  • Proprietà distributive (somma + prodotto)
  • Prodotto di 1 per vettore = vettore stesso