Algebra Lineare e Geometria - Lezione 1

Jun 28, 2024

Algebra Lineare e Geometria - Lezione 1

Concetto di Vettore

  • Importanza dei vettori in fisica (es. spostamento)
  • Elementi fondamentali:
    • Direzione (es. nord-sud, est-ovest)
    • Verso (es. verso est o verso ovest)
    • Modulo (lunghezza del vettore)
  • Rappresentazione grafica: segmenti orientati

Operazioni sui Vettori

Somma di Vettori

  • Regola del parallelogramma
  • Somma V+V produce un vettore con stessa direzione e verso, ma modulo doppio (V+V = 2V)

Prodotto Semplice

  • Prodotto di un numero per un vettore (es. 2V)
  • Numero = scalare

Insiemi Numerici

Numeri Naturali (N)

  • Solo somma e prodotto, problemi con sottrazione (es. 2-5)

Numeri Interi (Z)

  • Risolve problema della sottrazione
  • Problemi con divisione (es. 2/5)

Numeri Razionali (Q)

  • Frazioni di interi (m/n, n ≠ 0)
  • Somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione (n ≠ 0) fattibili
  • Esempio di campo numerico

Definizione di Campo di Numeri

  • Insieme non vuoto con operazioni di somma e prodotto
  • Proprietà fondamentali:
    • Associativa (somma e prodotto)
    • Commutativa (somma e prodotto)
    • Elemento neutro (somma = 0, prodotto = 1)
    • Esistenza degli opposti (somma)
    • Esistenza degli inversi (prodotto)
    • Distributive

Risoluzione di Equazioni di Primo Grado

  • Esempio: ax + b = 0
  • Importanza delle proprietà associativa e esistenza degli opposti/inversi

Esempi di Campi Numerici

  • Numeri Razionali (Q)
  • Numeri Reali (R)
  • Numeri Complessi (C)
  • Campi finiti: es. campo con 2 elementi (0,1), verifica proprietà di campo

Costruzione di Campi Finite

  • Esempi con 2 elementi (0, 1)
    • Tabella delle operazioni di somma e prodotto
    • Proprietà verificate
  • Esempio controesempio con 4 elementi (0, 1, 2, 3)
    • Problema con elemento non invertibile
  • Provare con insiemi di 5, 6, 7, ecc.
    • Regolarità osservata: numeri primi

Spazio Vettoriale

  • Insieme non vuoto con operazioni di somma e prodotto
  • Vettori e scalari
  • Proprietà richieste per le operazioni:
    • Associativa (somma e prodotto)
    • Commutativa (somma)
    • Elemento neutro per somma (vettore nullo)
    • Esistenza degli opposti (somma)
    • Proprietà distributive (somma + prodotto)
    • Prodotto di 1 per vettore = vettore stesso