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Algebra Lineare e Geometria - Lezione 1
Jun 28, 2024
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Algebra Lineare e Geometria - Lezione 1
Concetto di Vettore
Importanza dei vettori in fisica (es. spostamento)
Elementi fondamentali:
Direzione
(es. nord-sud, est-ovest)
Verso
(es. verso est o verso ovest)
Modulo
(lunghezza del vettore)
Rappresentazione grafica: segmenti orientati
Operazioni sui Vettori
Somma di Vettori
Regola del parallelogramma
Somma V+V produce un vettore con stessa direzione e verso, ma modulo doppio (V+V = 2V)
Prodotto Semplice
Prodotto di un numero per un vettore (es. 2V)
Numero = scalare
Insiemi Numerici
Numeri Naturali (N)
Solo somma e prodotto, problemi con sottrazione (es. 2-5)
Numeri Interi (Z)
Risolve problema della sottrazione
Problemi con divisione (es. 2/5)
Numeri Razionali (Q)
Frazioni di interi (m/n, n ≠ 0)
Somma, sottrazione, moltiplicazione e divisione (n ≠ 0) fattibili
Esempio di campo numerico
Definizione di Campo di Numeri
Insieme non vuoto con operazioni di somma e prodotto
Proprietà fondamentali:
Associativa
(somma e prodotto)
Commutativa
(somma e prodotto)
Elemento neutro
(somma = 0, prodotto = 1)
Esistenza degli opposti
(somma)
Esistenza degli inversi
(prodotto)
Distributive
Risoluzione di Equazioni di Primo Grado
Esempio: ax + b = 0
Importanza delle proprietà associativa e esistenza degli opposti/inversi
Esempi di Campi Numerici
Numeri Razionali (Q)
Numeri Reali (R)
Numeri Complessi (C)
Campi finiti: es. campo con 2 elementi (0,1), verifica proprietà di campo
Costruzione di Campi Finite
Esempi con 2 elementi (0, 1)
Tabella delle operazioni di somma e prodotto
Proprietà verificate
Esempio controesempio con 4 elementi (0, 1, 2, 3)
Problema con elemento non invertibile
Provare con insiemi di 5, 6, 7, ecc.
Regolarità osservata: numeri primi
Spazio Vettoriale
Insieme non vuoto con operazioni di somma e prodotto
Vettori e scalari
Proprietà richieste per le operazioni:
Associativa
(somma e prodotto)
Commutativa
(somma)
Elemento neutro per somma
(vettore nullo)
Esistenza degli opposti
(somma)
Proprietà distributive
(somma + prodotto)
Prodotto di 1 per vettore
= vettore stesso
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