Grazie. Benvenuti alla prima lezione del corso di Algebra Lineare e Geometria. In questa lezione introdurremo il concetto di vettore, che sicuramente vi sarà familiare dai corsi di Fisica, che magari avete frequentato alla scuola superiore, e arriveremo fino alla definizione di spazio vettoriale. Lo spazio vettoriale è l'oggetto più importante che incontreremo all'inizio di questo corso e lo troveremo fino alla fine.

Quindi cominciamo dal concetto di vettore. Voi sicuramente in qualche corso di fisica avete visto come alcune grandezze, ad esempio lo spostamento, non si possono caratterizzare unicamente con un dato di tipo numerico, ma per indicare uno spostamento, ad esempio, oltre al dato numerico, ad esempio mi sposto di due metri, devo... Indicare anche delle informazioni aggiuntive quali la direzione dello spostamento, ad esempio la direzione nord-sud oppure est-ovest e dopo aver specificato la direzione devo anche specificare un verso, ad esempio nella direzione est-ovest mi posso spostare verso est oppure verso ovest.

I vettori vengono normalmente rappresentati graficamente come dei segmenti orientati, come vedete qui. Le convenzioni sono che la retta su cui giace il segmento determina la direzione, la freccia posta in una delle estremità del segmento determina il verso e poi la lunghezza del segmento espresse in una qualche unità di misura, determina quello che si chiama il modulo del vettore, insomma il dato numerico. Con i vettori ci sono alcune operazioni molto importanti. La prima sicuramente che viene in mente è l'operazione di somma, somma di vettori o composizione di vettori.

si fa essenzialmente in questo modo con la famosa regola del parallelogramma quindi se ho due vettori V e W Per determinare il vettore somma di questi due devo disegnare un parallelogramma che ha come lati i due vettori V e W, dopodiché la diagonale che vedete disegnata in rosso rappresenta esattamente la somma dei due vettori dati. Naturalmente se voi sommate un vettore con se stesso, qui vedete ho considerato il vettore v e faccio la somma v più v, trovate un vettore che ha esattamente la stessa direzione, lo stesso verso, ma ha una lunghezza, per così dire, doppia del vettore iniziale. Quindi viene spontaneo scrivere v più v uguale a 2v.

Questo implicitamente... introduce un'altra operazione perché in questo caso quando voi scrivete 2V, 2 è un numero mentre V è un vettore, quindi avete implicitamente definito un'operazione di prodotto fra un numero e un vettore. Quindi, ricapitolando, finora abbiamo visto che con i vettori si possono fare due operazioni, un'operazione di somma di vettori, che produce come risultato un altro vettore, e un'operazione di prodotto.

Attenzione però, non si tratta di un prodotto di due vettori, si tratta di un prodotto di un numero per un vettore e il risultato è un vettore. Ecco, tra l'altro, quando io dico... Numero, magari in un corso di fisica dicono scalare, una quantità scalare è quella che noi chiamiamo numero, quindi potremmo dire prodotto di un numero per un vettore o prodotto di uno scalare per un vettore ed è esattamente la stessa cosa.

Allora, cominciamo dal concetto di numero. Quindi, vedete... C'è un'operazione di prodotto di un numero per un vettore, ma sono rimasto volutamente vago, non ho mai detto di quale tipo di numero si tratta.

Allora, vedremo quali sono gli insiemi numerici più convenienti per... poter operare con i vettori, per così dire. Allora, cominciamo dall'insieme dei numeri naturali. I numeri naturali, quindi, si indica con la lettera N maiuscola, è l'insieme dei numeri 0, 1, 2, 3, eccetera. Insomma, sono gli interi positivi, compreso lo 0. Allora, in questo insieme di numeri, Ci sono alcune operazioni che si possono fare senza problemi, ad esempio l'operazione di somma, ma alcune operazioni che invece presentano dei problemi, ad esempio l'operazione di sottrazione.

E'chiaro che se io faccio 2-5 non c'è nessun numero naturale che vada bene come risultato di questa operazione. Allora... conviene passare a un insieme un po'più grande, quindi l'insieme dei numeri interi, si indica con la lettera maiuscola Z, in questo caso ci sono numeri sia positivi che negativi, vedete c'è lo 0, il più 1 ma anche il meno 1, il più 2 ma anche il meno 2 e così via.

A questo punto l'operazione di sottrazione che nell'insieme precedente creava qualche problema, ora si può fare tranquillamente. Lo stesso si può fare per l'operazione di prodotto. Il prodotto di numeri interi è sicuramente un numero intero, ma quando arriviamo all'operazione di divisione incontriamo un'altra volta dei problemi. Ci sono delle divisioni che non danno come risultato un numero intero.

Vedete, 2 diviso 5 non è un numero intero e quindi questa operazione non è permessa nell'insieme dei numeri interi. Allarghiamo ancora un po'il nostro insieme numerico Il passo successivo consiste nel considerare un insieme di frazioni, quindi l'insieme dei numeri razionali, si indica con la lettera maiuscola Q, contiene degli elementi del tipo m fratto n, dove m e n sono numeri interi, ovviamente il denominatore n deve essere diverso da zero. Allora in questo insieme Le classiche quattro operazioni, quindi l'operazione di somma, di sottrazione, di moltiplicazione e di divisione per un numero diverso da zero, sono fattibili.

Allora questo insieme è un esempio di quello che si chiama un campo di numeri, di cui poi parleremo in modo più dettagliato. Eccolo qui. Allora.

Diamo la definizione formale di campo, campo di numeri, la trovate nel libro di testo nell'appendice. Allora, un campo, appunto inteso campo di numeri, è semplicemente un insieme non vuoto dotato di due operazioni che indichiamo con i simboli di somma questo più e di prodotto che di solito indicheremo con un puntino, che soddisfano una serie di proprietà che vi sono familiari perché sono le proprietà che avete imparato alla scuola elementare o alla scuola superiore che vanno sotto i nomi di proprietà associativa, proprietà commutativa eccetera di cui adesso vi parlerò. Allora la prima proprietà appunto la proprietà associativa.

dice che se prendo tre elementi di questo insieme, elementi che chiamo con le lettere minuscole a, b e c, allora fare la somma di a e b, quindi a più b, e poi al risultato di questa somma sommare l'elemento c, dà lo stesso risultato che considerare prima la somma di b e c e poi al risultato sommare a. Quindi essenzialmente a più b. B poi più C è la stessa cosa che B più C a cui sommo A. Seconda proprietà, proprietà commutativa, dice che A più B è uguale a B più A, cioè scambiando l'ordine degli addendi il risultato di questa operazione di somma non cambia.

Terza proprietà, richiediamo che esista un elemento particolare in questo insieme K che indicheremo con il simbolo 0, questo qui, tale che Fare la somma di questo elemento 0 più un elemento A qualsiasi dia l'elemento A qualunque sia tale elemento. Cioè, in altre parole, lo 0 è un elemento che sommato ad ogni altro elemento non fa assolutamente nulla, rimane tutto inalterato. È quello che si chiama l'elemento neutro per l'operazione di somma. ultima proprietà che riguarda la somma Richiediamo che per ogni elemento del campo K, di questo insieme K, esista un altro elemento che indichiamo con meno K, tale che sommando l'elemento originale A con quest'altro elemento meno A, si trovi 0, dove 0 è l'elemento neutro di cui parlavamo nella proprietà numero 3. Allora, queste quattro proprietà riguardano esclusivamente l'operazione di somma. Siccome in questo insieme di numeri, in questo insieme K, c'è un'altra operazione che abbiamo chiamato prodotto, adesso elenchiamo anche una serie di proprietà per il prodotto.

Allora, la proprietà numero 5 è la proprietà associativa, l'analogo della proprietà associativa per la somma, solo che questa volta formulata per il prodotto. Dice che moltiplicare A per B e poi... moltiplicare il risultato di questa prima operazione per un terzo elemento c dà lo stesso risultato che moltiplicare prima b e c fra loro e poi moltiplicare per a. Poi c'è la proprietà commutativa, analoga a quella della somma, quindi a per b o b per a danno lo stesso risultato, quindi anche qui scambiando l'ordine dei fattori il prodotto non cambia.

Anche in questo caso... Quindi chiediamo nella proprietà numero 7 l'esistenza di un elemento neutro, solo che questa volta è un elemento neutro per l'operazione di prodotto. Quindi stiamo richiedendo che esista un elemento, che questa volta indicheremo con il simbolo 1, tale che moltiplicare 1 per A, oppure moltiplicare A per 1, dia come risultato A e questo per ogni elemento dell'insieme K.

Grazie. Quindi 1 si chiama elemento neutro per il prodotto e per questioni tecniche diciamo supponiamo che l'elemento neutro per il prodotto che abbiamo chiamato 1 sia diverso dall'elemento neutro per la somma che abbiamo chiamato 0. altrimenti si trovano degli esempi molto banali che non sono interessanti. Ultima proprietà, questa è analoga della proprietà che richiedeva che per ogni elemento esistesse il suo opposto, qui nella proprietà numero 8 richiediamo che per ogni elemento diverso da quello che abbiamo chiamato 0, cioè diverso dall'elemento neutro per l'operazione di somma, esista un elemento che questa volta indichiamo con a-1, a alla meno 1, oppure se preferite con 1 fratto a, tale che moltiplicando l'elemento a da cui siamo partiti per questo a alla meno 1 otteniamo 1 come risultato, cioè otteniamo l'elemento neutro per il prodotto. In altre parole, questo a alla meno 1, oppure questo 1 fratto a, è quello che normalmente si chiama l'inverso di a. L'inverso è un elemento che è moltiplicato con l'elemento originale da 1, cioè dall'elemento neutro per il prodotto.

Questa è l'ultima proprietà, dicevo, per il prodotto, però adesso, per completare questo elenco di proprietà, finora abbiamo trattato separatamente le proprietà per l'operazione di somma. e le proprietà per l'operazione di prodotto. Adesso richiediamo delle proprietà che coinvolgano entrambe le operazioni, quelle che si chiamano le proprietà distributive. Allora, le proprietà distributive sono quelle classiche che conoscete, quindi in questa formulazione si dice che sommare A più B, sommare A e B fra di loro, e poi moltiplicare il risultato per C deve dare lo stesso risultato che fare prima il prodotto di A per C, poi il prodotto di B per C e sommare i risultati. Quindi, in altre parole, aperta parentesi, A più B, chiusa parentesi, che moltiplica C, è uguale ad A per C più B per C.

E, naturalmente, anche scambiando l'ordine, si ottiene una proprietà analoga, quindi C che moltiplica A più B è uguale a C che moltiplica A più C che moltiplica B. Allora, qual è l'importanza di queste proprietà? Qual è l'importanza di questo concetto di campo di numeri?

E'tutto molto semplice. In questo corso, quindi in questo corso di algebra lineare, noi avremo costantemente la necessità di risolvere delle equazioni di primo grado, o più in generale, dei sistemi di equazioni lineari, cioè dei sistemi di equazioni di primo grado. Allora, vedete, una generica equazione di primo grado si scrive sotto la forma ax più b uguale a 0, dove a e b sono due numeri e x è la nostra incognita.

La modalità di risoluzione di questa equazione, che conoscete molto bene, consiste nel sommare ad ambo i membri di questa uguaglianza l'opposto di b in modo da ottenere ax uguale a meno b. Però naturalmente per poter fare una cosa del genere ho assolutamente bisogno dell'esistenza degli opposti. E questa è proprio una delle proprietà che abbiamo esplicitamente richiesto nella definizione di campo, di campo di numeri. Arrivati a questo punto, per ricavare la x io devo dividere per a, in altre parole devo moltiplicare per moltiplicare ambo i membri per l'inverso di a, in modo da ottenere la soluzione x uguale a meno b fratto a. Però per poter fare questa operazione ho bisogno di essere sicuro che esiste l'inverso di questo elemento A.

Ovviamente se A è diverso da 0, d'accordo? E questa, quindi l'esistenza degli inversi, è esattamente una delle proprietà che abbiamo richiesto nella definizione di campo. Allora, questo ragionamento fa capire che se noi vogliamo poter risolvere equazioni di primo grado o sistemi di equazioni di primo grado, abbiamo bisogno di utilizzare dei numeri che appartengono a un insieme numerico che soddisfi le proprietà di campo, quindi non possiamo lavorare con numeri naturali o con numeri interi. perché non esistono gli opposti o perché non esistono gli inversi, dobbiamo lavorare ad esempio con numeri razionali.

con delle frazioni, perché in questo caso, come dicevamo prima, l'insieme dei numeri razionali è un campo, soddisfa quella lunga lista di proprietà di cui vi ho parlato, e quindi ci permette di risolvere agevolmente tutte le equazioni di primo grado o i sistemi di primo grado che possiamo incontrare in questo corso. Altri esempi di campi? Il campo dei numeri razionali lo abbiamo già visto, ce ne sono altri naturalmente, ad esempio nei corsi di analisi voi avete incontrato il campo dei numeri reali. Ovviamente il campo dei numeri reali è molto più grande del campo dei numeri razionali. Il classico esempio è la radice quadrata di 2. La radice quadrata di 2 è un numero reale ma non si può scrivere sotto forma di frazioni, cioè non c'è nessuna frazione che sia uguale alla radice quadrata di 2. Ancora più grande è il campo dei numeri complessi.

Il campo dei numeri complessi viene introdotto perché lavorando semplicemente con i numeri reali ci sono alcune equazioni per esempio alcune semplici equazioni di secondo grado questa volta che non si possono risolvere il classico esempio è x alla seconda uguale a meno 1 allora è chiaro che siccome il quadrato di un numero reale è sempre maggiore o uguale di 0 x alla seconda non potrà mai essere uguale a meno 1 che è negativo quindi non c'è nessun numero reale che elevato al quadrato faccia meno 1 tuttavia se voi volete Se comunque poter risolvere l'equazione x alla seconda uguale a meno 1 dovete allargare il campo, aggiungere degli altri numeri, in questo caso andate ad aggiungere ad esempio l'unità immaginaria i, e questo è un numero che ha la proprietà che i alla seconda fa esattamente meno 1, il che vi permette di risolvere l'equazione di cui parlavamo. Quindi anche il campo dei numeri complessi è un esempio di campo numerico. Questo discorso vi potrebbe forse erroneamente far pensare che i campi numerici sono tutti dei campi infiniti, cioè contengono infiniti numeri.

Questo perché? Beh, perché i tre esempi che vi ho elencato, l'insieme dei numeri razionali, l'insieme dei numeri reali e l'insieme dei numeri complessi, sono in effetti degli insiemi infiniti. Beh, non è così.

Esistono anche dei campi che contengono un numero finito di elementi. Noi non li useremo durante questo corso, ma così per curiosità vi faccio alcuni esempi che hanno anche una certa importanza pratica. Allora proviamo a costruire un esempio di campo finito e partiamo da un esempio molto semplice. Consideriamo un insieme di due elementi che indicherò semplicemente con i simboli 0 e 1. Perché?

Perché nelle richieste, nell'elenco delle proprietà di campo Vi ricordate che abbiamo richiesto che esista un elemento, l'elemento neutro per la somma, che abbiamo deciso di indicare con il simbolo 0, e un altro elemento, l'elemento neutro per il prodotto, che abbiamo deciso di indicare con 1, e abbiamo supposto che 1 e 0 siano diversi, quindi devono essere due elementi diversi, d'accordo? Allora mi devo inventare delle operazioni, quindi un'operazione di somma e un'operazione di prodotto, in modo naturalmente che tutte le proprietà che ho elencato precedentemente siano soddisfatte. Cominciamo dall'operazione di somma. Faccio la tabellina, quindi avete 0 più 0 che deve dare 0, 0 più 1 che deve dare 1, perché ricordate che 0 è l'elemento neutro per l'operazione di somma, quindi 0 sommato a un qualsiasi elemento A mi deve dare come risultato lo stesso elemento A. Poi 1 più 0 deve dare 1 perché 0 più 1 e 1 più 0 devono dare lo stesso risultato per la proprietà commutativa, rimane il problema di 1 più 1. Allora, uno sarebbe portato a dire, beh, 1 più 1 è uguale a 2, sì, ma in questo caso 2 non appartiene al nostro insieme.

Ricordatevi che abbiamo un insieme che contiene solo gli elementi 0 e 1, quindi i casi sono due. O 1 più 1 è uguale a 0, oppure 1 più 1 è uguale a 1. 1 più 1 uguale a 1 però non va bene, perché ricordiamoci che nelle proprietà di campo abbiamo supposto che per ogni elemento ne esista un altro, il suo opposto, che sommato all'elemento di partenza dia 0. Allora, se voi dite che 1 più 1 è uguale a 1, ma anche 1 più 0 è uguale a 1, Allora, la conclusione è che non esiste nessun elemento che sommato a 1 dia 0, cioè non esisterebbe l'opposto di 1, il che non va bene perché in questo modo non si ottiene un campo. Quindi vedete, siamo obbligati qui a dire che 1 più 1 deve essere uguale a 0. In altre parole, 1 è l'opposto di se stesso.

1 più 1 fa 0. In modo analogo possiamo compilare la tabellina del prodotto, vedete qui ho deciso che 0 per 0 deve fare 0, 0 per 1 fa 0, 1 per 0 fa 0 e alla fine 1 per 1 fa 1. Ricordatevi che 1 è l'elemento neutro per il prodotto, quindi 1 moltiplicato per un qualsiasi elemento A mi deve dare come risultato esattamente lo stesso elemento A. A questo punto uno potrebbe con un po'di... pazienza, verificare che tutte quelle nove proprietà che abbiamo elencato prima sono soddisfatte e in questo modo si verifica che questo insieme di due oggetti che abbiamo chiamato 0 e 1 è un campo, è un campo finito e ha solamente due elementi, d'accordo? Qui un altro modo di dire La stessa cosa, cioè di dire che 1 più 1 fa 0, sarebbe quello di dire che 1 più 1 in effetti è uguale a 2, solo che noi adottiamo la convenzione che 2 è uguale a 0 in questo esempio. Proviamo a vedere se riusciamo a costruire così a mano un campo con tre elementi.

Ricordiamoci, due elementi devono essere fissati perché uno si chiama 0, l'elemento neutro per la somma, e uno si chiama 1, l'elemento neutro per il prodotto. Dobbiamo aggiungerne un terzo, allora potremmo semplicemente scrivere gli elementi sotto questa forma 0, 1 e 2. A questo punto però dobbiamo compilare le due tabelline per la somma e per il prodotto. Allora proviamo a vedere cosa succede.

0 è l'elemento neutro per la somma, quindi 0 più 0 fa 0, 0 più 1 fa 1 e 0 più 2 fa 2. Arriviamo ora al caso di 1. Abbiamo 1 più 0 che fa 1, 1 più 1 sembra ragionevole dire che dia 2 come risultato. Il problema è 1 più 2. 1 più 2 verrebbe da dire che dà 3 come risultato, ma siamo al punto di prima. Non esiste il 3 nel nostro insieme. Nel nostro insieme esistono solamente i numeri 0, 1 e 2. quindi 1 più 2 non può dare 3 può dare o 0 o 1 oppure 2 però ricordiamoci che nelle proprietà di campo c'è scritto esplicitamente che per ogni elemento ce ne deve essere un altro che sommato all'elemento dato dia 0 allora in questo caso io sono obbligato a dire che 1 più 2 fa 0 altrimenti non ci sarebbe nessun elemento che sommato a 1 dia 0, il che non va bene.

Quindi in questo modo si può compilare la tabellina della somma e in modo analogo la tabellina del prodotto. Un modo... Più facile per ottenere questi risultati senza dover ogni volta pensare a quali sono le proprietà di campo è dato dal seguente esempio. che in realtà vi è familiare quando voi pensate a fare i calcoli con le ore rappresentate in un orologio. Ad esempio, se ora sono le 11 di mattina, fra 4 ore sono le 3 del pomeriggio, il che vuol dire che 11 più 4 è uguale a 3. Ovviamente 11 più 4 è uguale a 15, solo che l'ora 15 è uguale all'ora 3 nell'orologio.

Allora questo è esattamente quello che ci proponiamo di fare, solamente che invece di disegnare un orologio che abbia 12 ore, ne disegniamo uno che ne abbia solamente 3. Quindi vedete, ho disegnato qui una sorta di orologio in verde e... Sopra l'orologio ho indicato tre divisioni e ci ho scritto gli elementi del nostro campo, quindi 0, 1, 2 e poi questa ipotetica ora numero 3 è uguale all'ora 0, dopodiché 4 diventa uguale a 1, 5 diventa uguale a 2, 6 diventa uguale a 3 e così via, d'accordo? Allora, con questa regola qui diventa molto facile compilare le tabelle per l'operazione di somma e per l'operazione di prodotto. Ad esempio, vedete, 2 più 2, ok? 2 più 2. Beh, 2 più 2 sappiamo che fa 4, ma in questo nostro orologio 4 è uguale a 1. Ecco perché qui c'è scritto 1. Analogamente per il prodotto, 2 per 2 farebbe 4, ma 4 è uguale a 1. Ad esempio, 2 più 1 farebbe 3, però 3 è esattamente uguale a 0. In questo modo potete facilmente costruirvi degli esempi.

E si ottiene un campo con tre elementi. Anche qui se avete pazienza dovete verificare che tutte le proprietà di campo siano soddisfatte. attenzione però non pensate che questo giochino dell'orologio funzioni sempre perché se provate a costruirvi un campo con quattro elementi in questo modo quindi consideriamo l'insieme dei numeri 0 1 2 3 ci disegniamo un orologio che abbia 4 ore e quindi le ore sono 0, 1, 2, 3 e poi 4 diventa uguale a 0, 5 diventa uguale a 1, 6 diventa uguale a 2 e così via.

Allora, quando arrivate a compilare la tabellina per l'operazione di prodotto, ad esempio consideriamo qui la riga del 2 avete 2 per 0 che da 0 2 per 1 che da 2 2 per 2 darebbe 4 però abbiamo detto che 4 è uguale a 0 e quindi qui nella tabellina scrivo 0 poi 2 per 3 darebbe 6 però nel mio orologio che ha solo 4 ore 6 e 2 sono esattamente la stessa cosa Quindi questa è la tabellina che trovate, solo che adesso scoprite che c'è un problema qui. Perché? Allora, nelle proprietà di campo c'è scritto che ogni elemento diverso da 0 deve essere invertibile, il che significa che per ogni elemento diverso da 0 ne deve esistere un altro che moltiplicato per questo elemento faccia 1. Ora, in questo esempio, il numero 2 non è invertibile, perché vedete, il numero 2 moltiplicato per gli altri elementi non dà mai 1 come risultato.

Allora, 2 per 0 dà 0, 2 per 1 dà 2, 2 per 2 dà 0 un'altra volta e 2 per 3 dà 2. Conclusione, non c'è nessun numero che moltiplicato per 2 dia 1 come risultato e quindi non esiste l'inverso del numero 2 e di conseguenza questo insieme con 4 elementi non è un campo, non soddisfa una delle proprietà di campo. eccolo qui, K non è un campo Lascio a voi il divertimento di provare con 5 elementi, con 6 elementi, con 7 elementi e così via e scoprirete una cosa interessante. Ad esempio, se provate con 5 elementi ottenete un campo, ma con 6 elementi no. Poi con 7 elementi sì, con 8 elementi no, con 9 no, con 10 neanche, ma con 11 sì.

e così via. Cercate di scoprire qual è la regola generale, cioè in quali casi si ottiene un campo, come nel caso di due elementi, tre elementi, cinque elementi, sette elementi e così via, e in quali casi invece le cose non vanno bene e quindi non si ottiene un campo, come nel caso di quattro elementi, sei elementi, otto elementi, eccetera eccetera. Allora, adesso che abbiamo spiegato adeguatamente quali numeri siamo interessati ad usare in questo corso, quindi lavoreremo con campi di numeri, arriviamo finalmente alla definizione di spazio vettoriale. Allora.

Partiamo da un campo, quindi ci fissiamo un campo qualsiasi. Naturalmente per comodità potete pensare al campo dei numeri reali, visto che avete familiarità con questo insieme di numeri, però si potrebbero benissimo usare numeri complessi o anche dei campi finiti, il campo con due elementi, il campo con tre elementi che abbiamo visto prima. Allora, che cosa si intende per spazio vettoriale? Uno spazio vettoriale è semplicemente un insieme non vuoto dove è definita una operazione di somma Somma è un'operazione che prende due elementi che chiamo V e W in questo insieme e produce un terzo elemento che indico con la somma V più W.

Allora per comodità gli elementi di questo insieme li chiamerò vettori. Anche se attenzione! non sono propriamente i vettori che siete abituati a considerare nei corsi di fisica perché ho semplicemente detto che questo che chiamerò spazio vettoriale è un insieme, e quindi non ho detto chi sono i suoi elementi.

Potrebbe certamente essere un insieme di vettori, ma come vedremo potrebbe essere anche un insieme di cose che propriamente vettori non sono. Potrebbe essere un insieme di polinomi, potrebbe essere un insieme di funzioni, o altro ancora. Poi, la seconda operazione... è l'operazione di prodotto, ma attenzione, non prodotto fra elementi dell'insieme V, cioè non prodotto fra due vettori, ma si tratta di un prodotto fra un numero, uno scalare, un elemento del campo e un vettore, cioè un elemento dell'insieme V. Quindi vedete, io prendo un elemento di k che chiamo alfa, essenzialmente questo alfa è un numero, quindi potrebbe essere un numero reale, un numero complesso e così via, e poi prendo un elemento dell'insieme v e richiedo che il prodotto alfa per v mi dia come risultato ancora un elemento dell'insieme v. Quindi, ricapitolando, in uno spazio vettoriale devono essere definite due cose. Due operazioni, un'operazione di somma, somma di vettori, e un'operazione di prodotto fra uno scalare, fra un numero e un vettore, e queste operazioni devono soddisfare una serie di proprietà che sono essenzialmente ispirate alle proprietà che abbiamo visto prima.

Allora, abbiamo... la proprietà numero 1 la proprietà associativa anche qui fare prima la somma di u e v e poi il risultato sommare w oppure fare prima la somma di v e w e poi alla fine sommare u deve dare lo stesso risultato La proprietà numero 2, proprietà commutativa, u più v e v più u dà esattamente lo stesso risultato. La proprietà numero 3, l'esistenza dell'elemento neutro per l'operazione di somma. Allora, richiedo che esista un elemento, attenzione questo non è un numero, ok? Non è un elemento del campo, è un elemento dell'insieme v, quindi propriamente è un vettore e allora per distinguerlo...

dall'elemento neutro del campo lo indico sempre con lo zero ma ci metto una piccola freccina sopra, un simbolo di vettore sopra, questo è quello che si chiama il vettore nullo, il vettore zero, tale che sommando questo vettore nullo a un vettore v qualsiasi si ottiene sempre v come risultato. La proprietà numero 4, l'esistenza degli opposti, ancora per ogni vettore v esiste un altro vettore che indico con meno v, e questo è tale che sommando v con il suo opposto meno v devo ottenere il vettore nullo attenzione ancora una volta questo è il vettore nullo non il numero 0 perché sto facendo una somma di vettori e non una somma di elementi del campo Poi c'è la proprietà numero 5 dove interviene anche il prodotto, il prodotto fra un elemento del campo e un vettore. Allora la proprietà numero 5 è l'analoga della proprietà associativa, dice che se prendo due numeri, quindi due elementi alfa e beta del campo K e prendo un vettore, un elemento V dell'insieme V maiuscolo, allora moltiplicare prima alfa per beta, per beta e poi moltiplicare per il vettore v, oppure prima moltiplicare beta per v e poi alla fine moltiplicare per alfa dà esattamente lo stesso risultato. allora qui bisogna fare un attimino di attenzione perché tutti questi prodotti vedete questo prodotto e questo prodotto sono sempre indicati con un puntino questo simbolo di prodotto però in realtà si tratta di cose ben diverse perché alfa e beta sono elementi del campo K sono due numeri essenzialmente E quindi il prodotto di α per β è il prodotto in K, cioè è l'operazione di prodotto definita all'interno del campo K. mentre quest'altro puntino è il prodotto fra uno scalare cioè fra un elemento di k e un vettore e quindi è un prodotto di natura diversa non è un prodotto di due numeri ma è un prodotto di un numero per un vettore ovviamente dal punto di vista grafico per semplicità usiamo lo stesso simbolo il puntino però bisogna sempre essere coscienti del fatto che si tratta di due concetti diversi grazie Allora chiarito questo punto andiamo avanti, la proprietà numero 6 è l'analogo delle proprietà distributive di cui parlavamo prima.

In realtà ce ne sono due, una che riguarda la somma di α e β, dove α e β sono due scalari, due elementi del campo K, e un'altra che riguarda invece la somma V e W, dove V e W sono dei vettori, cioè elementi dello spazio vettoriale V. allora la prima dice che fare la somma dei due scalari alfa più beta e poi moltiplicare per v è la stessa cosa che fare alfa v più beta v La seconda dice che fare la somma dei due vettori v e w e poi il vettore risultante moltiplicarlo per lo scalare alfa dà lo stesso risultato di alfa che moltiplica v più alfa che moltiplica w. E questo per ogni alfa, per ogni beta, per ogni v e per ogni w nel nostro insieme v maiuscola. L'ultima proprietà potrebbe sembrare un attimino superflua, forse, ma l'ultima proprietà, la proprietà numero 7, richiede che il prodotto fra 1, cioè l'elemento neutro per l'operazione di prodotto nel campo K, il numero 1, e un qualunque vettore V dia sempre il vettore V come risultato.

Potreste pensare che tutto sommato questo è ovvio visto che 1 era l'elemento neutro per il prodotto e quindi avevamo detto che moltiplicando il numero 1 per un qualunque altro elemento del campo K si otteneva esattamente lo stesso elemento come risultato di questa operazione di prodotto. Questo certamente è vero però il problema è che qui stiamo moltiplicando il numero 1 per non un elemento del campo K ma per un elemento dell'insieme V. Allora, il fatto che 1 per A sia uguale ad A per ogni elemento A del campo K non è che logicamente implichi che anche 1 per V debba per forza essere uguale a V, semplicemente perché V non è un elemento del campo K, V appartiene a un altro insieme. E quindi è bene richiedere anche questa proprietà. per evitare di incontrare degli esempi in cui magari questa proprietà potrebbe non valere. Quindi esplicitamente richiediamo che moltiplicando un qualsiasi vettore per 1 si ottenga esattamente lo stesso vettore V. E queste sono tutte le proprietà che caratterizzano uno spazio vettoriale.

Nella prossima lezione cominceremo a vedere degli esempi di spazi vettoriali, quindi esempi di insiemi che soddisfano tutte queste proprietà.