Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale

Introduzione

• Discussione sul teorema fondamentale del calcolo integrale.
• Focus sulla funzione integrale.

Funzione Integrale

• Consideriamo una funzione f definita sull'intervallo chiuso [a, b] con valori in R.
• La funzione integrale F (indicata come F(x)) è definita come:
  • F(x) = ∫[a,x] f(t) dt
• F(x) rappresenta l'area sottesa al grafico della funzione f da a a x.
• F è continua e F(a) = 0.

Enunciato del Teorema

• Se f è continua e integrabile su [a, b], allora:
  • F'(x) = f(x) per ogni x in (a, b)
• Nei punti estremi a e b, consideriamo rispettivamente la derivata destra e sinistra.

Dimostrazione del Teorema

1. Calcoliamo la derivata della funzione integrale:
   • F'(x) = lim (h -> 0) [F(x+h) - F(x)] / h
   • Semplificare usando la definizione di F.
2. Utilizziamo il teorema della media integrale:
   • Esiste c in (x, x+h) tale che:
     • ∫[x,x+h] f(t) dt = f(c) * h
3. Semplificazione porta a:
   • F'(x) = f(c)
4. Con h che tende a 0, c tende a x (grazie alla continuità di f).
5. Dimostriamo che sia la derivata destra che sinistra sono uguali a f(x).*

Concetto di Primitiva

• F è una primitiva di f se F'(x) = f(x).
• Esistono infinite primitive, che differiscono di una costante c.
• Se F e G sono primitive di f:
  • F'(x) - G'(x) = 0 → F(x) - G(x) = c.

Importanza del Teorema

• Il teorema permette di calcolare l'area sotto il grafico di f:
  • ∫[a,b] f(t) dt = F(b) - F(a).

Dimostrazione della Formula Integrale

• Consideriamo F come una primitiva:
  • F(b) - F(a) = ∫[a,b] f(t) dt.
• F(b) = ∫[a,b] f(t) dt + F(a) (costante c).
• Semplifichiamo per dimostrare l'equivalenza.

Esempio Pratico

• Calcolo dell'integrale di f(x) = 3x² tra -1 e 2:
  • F(x) = x³ (primitiva di f).
  • F(2) - F(-1) = 2³ - (-1)³ = 8 - (-1) = 9.
• Risultato finale: area = 9.

Conclusione

• Importanza del teorema nel calcolo integrale e nell'analisi matematica.
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