buongiorno ragazzi in questo video parliamo del teorema fondamentale del calcolo integrale evitiamo la dimostrazione partiamo dal concetto di funzione integrale consideriamo una funzione f definita sull'intervallo chiuso a b con valori in r una funzione integrabile sull'intervallo ab chiamiamo allora funziona integrale di f la funzione indicata con f grande definita sempre sull'intervallo chiuso a b con valori in r definita come vedete l'integrale da a hicks di fdt indetti osservate che la variabile che andiamo a considerare all'interno dell'integrale e questa variabile accessori ati per non confonderci con l'estremo hicks che invece è la variabile della funzione integrale ma cosa significa funziona integrale l'idea è che ad ogni hicks andiamo associare il valore dell'area sottesa al grafico da a fino a hicks come vedete rappresentato sul grafico f la funzione integrale e continua e osservate inoltre che se vado a valutarla nell'estremo a ritrovo l'integrale da a ad a df di tnt e quindi trovo 0 vediamo ora l'enunciato del teorema fondamentale del calcolo integrale consideriamo sempre f definita sull'intervallo chiuso a b con valori in r una funzione continua e quindi integrabile sull'intervallo abi e consideriamo f grande la sua funzione integrale definita come abbiamo visto prima come l'integrale da a dx di fdt indetti allora vale che la derivata della funzione integrale e proprio f dx e questo per ogni punto interno all'intervallo ab ovviamente negli estremi a e b dobbiamo andare a considerare la derivata destra e sinistra rispettivamente sostanzialmente stiamo dicendo che la derivata della funzione integrale e la funzione integrata f dx stessa ma vediamo la dimostrazione sappiamo che per definizione la derivata della funzione integrale f primo sarà il limite per h che tende a 0 di stx più h meno fbx tutto fratto h allora andiamo a calcolare il rapporto incrementale della funzione integrale f considerando inizialmente aka positivo svolgiamo quindi fbx più h meno sdx tutto fratto h per definizione di funzione integrale avremo l'integrale da a hicks più hdf di tnt meno l'integrale da xtf di tnt tutto fratto h ora ricordandola detti vita dell'integrale ritroviamo l'integrale da hicks a hicks più hdf di teen detti tutto fratto h quindi vedete che stiamo considerando l'integrale della funzione continua ft su questo intervallo xx più h ma allora possiamo applicare il teorema della media integrale che ci garantisce che nell'intervallo xx più h esiste un certo punto che ora indicheremo c con h tali che questo integrale è uguale a fdc con h x h infatti a cannes e proprio l'ampiezza dell'intervallo su cui sto svolgendo questo integrale a questo punto possiamo semplificare h ritroviamo semplicemente fdc con h ma quindi tornando al conto che stavamo svolgendo di osservando in particolare che stiamo calcolando la derivata destra perché avevamo inizialmente richiesto h positivo ritroviamo esattamente il limite per h che tende a 0 più di fdc con h ma cerchiamo di capire a cosa attenderci con h ricordiamoci che un punto contenuto nell'intervallo xxv h e quindi quando h tende a 0 c con h deve tendere anch'esso hicks perché vedete s il contenuto in cui l'intervallo di cui l'ampiezza tende a 0 abbiamo quindi che questo limite è proprio uguale af dx e questo grazie alla continuità della funzione f che assunta per ipotesi ora possiamo ripetere esattamente lo stesso ragionamento andando a considerare h negativa e andando quindi a calcolare la derivata a sinistra osservate che questa volta ci con h deve appartenere all'intervallo hicks più hx come vedete qui rappresentato osservate che scrivo hicks più h perché h è negativo a questo punto abbiamo ritrovato che sia la derivata destra se la derivata sinistra devono essere f dx e quindi ricordando che la funzione integrale f grande e continua abbiamo dimostrato che la derivata della funzione integrale f grande è proprio la funzione integrando f cioè la tesi del teorema riprendiamo il concetto di primitiva che come abbiamo visto è centrale nel teorema fondamentale del calcolo integrale in generale data una funzione f piccolo diciamo che f grande è una funzione primitiva di f se vale questa relazione cioè che la derivata df grande dx è uguale a f dx per prima cosa rendiamoci conto che esistono infinite funzioni primitive della funzione f piccolo data infatti due primitive possono differire per una costante consideriamo f grande bg grande 2 primitive di f allora sentiamo a svolgere la derivata df grande dx meno gdx otteniamo f primo meno ci primo che sarà esattamente f dx almeno fbx perché sia il più grande che c'è grande sono primitive di questa funzione f considerata otteniamo allora che la derivata df grande minuti grande e zero e questo significa che f dx meno gdx deve essere uguale a c a una costante reale qualsiasi ma questo significa che possiamo riscrivere una primitiva f grande come è grande più c è quindi vedete tutte le primitive vanno a differire tra loro di una costante c la funzione integrale che abbiamo introdotto cioè l'integrale da ics tft indetti è una di queste primitive spesso si usa il simbolo f grande dx per indicare una qualsiasi primitiva e non soltanto la funzione integrale in particolare come spesso si usa anche questo simbolo integrale df dx index per indicare la primitiva qualsiasi il teorema fondamentale ha inoltre un'importante conseguenza dal punto di vista del calcolo infatti consideriamo una funzione dall'intervallo abi in r una funzione continua allora considerata una funzione f grande una primitiva qualsiasi cioè come abbiamo detto una funzione tale che la sua derivata è uguale alla funzione f dx considerata allora vale che l'integrale da di tf tx index è uguale a f grande db meno f grande dia cioè è possibile riuscire a determinare il valore dell'area sottesa al grafico della funzione f dx nell'intervallo ab andando a valutare la funzione primitiva nei due estremi b e da e facendo nella differenza susa anche questo simbolo f grande dx calcolato tra a e b vediamo la dimostrazione di questo enunciato in particolare vogliamo dimostrare questa formula integrale tra a e b dfx index è uguale a f grande db meno f grande dia allora consideriamo come f grande la primitiva definita come l'integrale da hicks df di tinti che ci quindi vedete sto considerando la funzione integrale più una qualsiasi costante reale andiamo allora a valutare è se grande db meno f grande di a grazie a questa definizione abbiamo l'integrale da bdf di ting ting c meno l'integrale da aa ad aa di ft indetti meno c semplifichiamo le due costanti e osserviamo che questo integrale è uguale a zero perché vedete stiamo calcolando l'integrale da a ad a e quindi chiaramente questo deve essere nullo otteniamo quindi ciò che volevamo dimostrare cioè che f grande db meno f grande dia è uguale all'integrale da a a b della funzione integrata f piccolo vediamo come utilizzare questa formula in un facile esercizi e andiamo a considerare come esempio l'integrale da meno 1 a 2 d3x quadro index vogliamo quindi calcolare l'area sottesa al grafico della funzione da meno 1 a 2 come vedete qui rappresentato l'idea è quella di andare a calcolare hicks alla terza tra meno 1 e 2 questo perché facilmente osserviamo che la derivata di laterza e 3x alla seconda abbiamo quindi vedete determinato la funzione primitiva d3x quadro e siamo andati a calcolarla fra meno 1 e 2 questo significa andare a considerare due alla terza meno meno 1 la terza seguendo proprio la formula che abbiamo visto calcolo f di due meno f di meno uno quindi vedete la primitiva calcolata nei due estremi a questo punto ottengo 2 la terza 8 meno meno 1 la terza meno uno quindi 8 meno meno 1 c da nove che proprio il valore dell'area ricercata spero che questo video vi sia piaciuto e vi abbia aiutato a capire questo teorema così importante nel calcolo integrale e nell'analisi matematica in generale continuate a seguire video di questo canale e iscrivetevi se non lo avete ancora fatto a presto