Appunti sulla Matrice Esponenziale

Riepilogo della Lezione

• Argomento: Calcolo della matrice esponenziale
• Metodi:
  • Diagonalizzazione per similitudine
  • Metodo per matrici di semplice struttura (senza calcolo degli autovettori)

Teorema di Calai-Hamilton

• Enunciato: Una matrice quadrata A è uno zero del suo polinomio caratteristico.
• Polinomio caratteristico:
  • Determinante di (λI - A)
  • Polinomio di ordine n in λ.
• Implicazione: P(A) = 0, dove P è il polinomio caratteristico.

Dimostrazione del Teorema di Calai-Hamilton

1. Considerare un autovalore λ_i e il suo autovettore u_i.
2. Dimostrare che A^q * u_i = λ_i^q * u_i per ogni intero q.
   • Base: per q=1 è vero per definizione.
   • Induzione: se vale per q, deve valere anche per q+1.
3. Risultato: l'elevazione a potenza della matrice A non modifica gli autovettori e gli autovalori si elevano alla stessa potenza.

Matrice Esponenziale

• Definizione: e^(At) = sommatoria (A^k * t^k / k!) per k da 0 a infinito.
• Proprietà: A^k * u_i = λ_i^k * u_i.
  • Applicando alla matrice esponenziale, si ottiene e^(λ_i * t) * u_i.*

Procedura per il Calcolo della Matrice Esponenziale

1. Calcolare gli autovalori di A.
2. Verificare l'unicità degli autovalori (sono distinti?).
3. Costruire il sistema di equazioni usando la matrice di Vandermonde.
4. Risolvere il sistema per trovare i coefficienti alfa_i(t).
5. Calcolare la matrice esponenziale usando la formula: e^(At) = sommatoria (alfa_i(t) * A^i).*

Matrice di Vandermonde

• Usata per risolvere il sistema di equazioni.
• Specifica che gli autovalori siano distinti per garantire che la matrice non sia singolare.

Esempio Pratico

• Matrice: A = ( \begin{pmatrix} 0 & 1 \ -2 & -3 \end{pmatrix} )
• Calcolo:
  • Autovalori: λ_1 = -1, λ_2 = -2
  • Procedura per calcolare e^(At) con la tecnica del polinomio interpolante.

Considerazioni Finali

• Differenza tra matrici di semplice struttura e matrici non di semplice struttura.
• Discorso sui numeri complessi: si possono evitare usando matrici reali a blocchi.
• Introduzione ai modi naturali e alla matrice modale.

Prossima Lezione

• Calcolo dell'esponenziale della matrice diagonale a blocchi.