Oggi riprendiamo ancora il calcolo della matrice esponenziale, cosa che abbiamo già visto ieri nell'ultima lezione nel caso di matrice diagonalizzabile per similitudine. Abbiamo visto anche una procedura operativa per poter diagonalizzare la matrice, abbiamo fatto un esercizio. In questa procedura era previsto il calcolo degli autovalori degli autovettori della matrice di patente. Vogliamo ora vedere un altro metodo che si può applicare in un caso in realtà...
ben definito che è quello di A di semplice struttura, matrice di semplice struttura, quindi si può applicare solo nel caso di matrice di semplice struttura, che non richiede il calcolo degli autovettori. Quindi numericamente potrebbe essere un po' più semplice da trattare. Per fare questo però ho bisogno di qualche altro piccolo richiamo di algebra per poter introdurre questo metodo. Nulla di che, però fondamentalmente dobbiamo arrivare a riprendere il teorema di Calai-Hamilton, non so se ve lo ricordate dall'algebra, mai visto?
Allora ve lo faccio magari con un minimo di dimostrazione, ma è giusto un rigore, almeno lo faccio in un caso semplice, che è l'unico che interessa a noi. Allora facciamo quindi un passo indietro. Consideriamo una generica matrice. e supponiamo di considerare un autovalore lambda i di questa matrice e il suo corrispondente autovettore u con i vuol dire in effetti che questa coppia autovalore autovettore sappiamo per definizione rispetto all'equazione a per u con i uguale a lambda i per u con i ok, questo per definizione di autovalore di autovettore quindi di spazio invariante monodimensionale, l'abbiamo proprio rivisto durante l'ultima lezione.
Bene, vogliamo ora dimostrare che vale anche la seguente uguaglianza a elevato a q per u con i uguale a lambda con i elevato a q per u con i. Questo qualunque sia l'intero Q. In pratica stiamo dicendo che se λi è un autovalore della matrice A e u con i il suo autovettore, λi elevato a Q sarà un autovalore della matrice A elevato a Q.
E u con i continua a essere... autovettore associato all'autovalore λi elevato a q. Quindi l'elevazione a potenza di una matrice non modifica gli autovettori e gli autovalori sono semplicemente elevati alla stessa potenza. Questo è quello che stiamo fondamentalmente affermando con questa uguaglianza. La dimostrazione è abbastanza elementare, si può fare col metodo ad esempio di induzione.
Quindi se vogliamo fare appunto la dimostrazione per induzione sappiamo evidentemente che vale nel caso q uguale a 1 e questo lo sappiamo proprio dalla definizione di autovalore e autovettore perché se poniamo q uguale a 1 abbiamo esattamente la definizione di autovalore e autovettore, quindi ritorniamo a questo caso qui quindi nel caso q uguale a 1 vale Quindi col metodo induttivo cosa dobbiamo fare? Dobbiamo supporre che valga la relazione precedente nel caso ad esempio k-esimo o q-esimo, diciamo vale per q e allora questo dovrà implicare necessariamente che vale per q più 1. Se dimostriamo questo, allora per la dimostrazione per induzione, allora sarà provato l'uguaglianza allora quindi consideriamo a elevato a q più 1 per u con i quella che vogliamo dimostrare quella nel caso q più 1 questa la possiamo spezzare in due parti possiamo scrivere a elevato a q per a per u con i D'altra parte, questa seconda uguaglianza A per U con I è nient'altro che lambda I per U con I, essendo U con I un autovettore e lambda con I il suo autovalore. Lambda con i è uno scalare, lo posso portare avanti a tutto, quindi posso scrivere lambda con i a elevato a q per u con i.
Ma per l'ipotesi induttiva abbiamo detto che questa relazione vale proprio nel caso q per ipotesi induttiva. Quindi questa quantità per l'ipotesi induttiva, questa, sarà pari a lambda elevato a q per u con i. Quindi ancora sostituendo avremo λ i esim elevato a q più 1 per u con i, che è quello che volevamo dimostrare, come voleva si dimostrare.
La dimostrazione per induzione si conclude in questo modo. Quindi questa relazione che abbiamo qui, diciamo, che vi sto evidenziando, è stata provata e ci conferma che l'elevazione a potenza non modifica gli autovettori e modifica gli autovalori semplicemente con la medesima elevazione a potenza. Vediamo ora cosa succede invece nel caso di matrice esponenziale elevato ad A per T se la andiamo a moltiplicare per uno degli autovettori della matrice A.
Cioè proviamo a moltiplicarlo a destra per l'autovettore U con I ad esempio generico. Allora, al posto della matrice esponenziale scriviamo la sua definizione. Noi l'abbiamo definita come sommatoria per k che va da 0 a più infinito di a elevato a k, matrice potenza, t elevato a k, t è il tempo, diviso k fattoriale. Questa è la definizione che abbiamo dato.
Tutta questa quantità va moltiplicata per u con i. Ora, t elevato a k e il k fattoriale sono due scalari, sono trasparenti quindi nei prodotti tra matrici e vettori. Posso portare u con i all'interno quindi della sommatoria, tanto non dipende, moltiplica tutta la sommatoria.
Quindi potrei ancora riscrivere sommatoria per k che va da 0 a più infinito, di a elevato a k per u con i, ancora diviso k fattoriale, tutto ancora per t. k. Bene, se guardiamo ora questo prodotto a elevato a k per u con i e riguardiamo il risultato che abbiamo appena ottenuto in blu, quello individuato in blu, a elevato a q per u con i, al posto di questo potremo sostituire lambda con i elevato a k per u con i. Trovate? Quindi, magari se cercate di occupare i posti centrali vedete anche meglio, ora provo a scrivere un po' più grande per le prossime lezioni, perché forse di lato avete qualche difficoltà in più.
Allora, quindi continuando abbiamo questo lambda con i che è uno scalare, prelevato a k, quindi deve rimanere sotto la sommatoria, ma la u con i la posso riportare fuori. Quindi otterremo ancora sommatoria per k che va da 0 a più infinito. Quindi ci rimane sotto la sommatoria λ con i elevato a k per t elevato a k fratto k fattoriale il tutto per u con i. Si vede meglio?
Ok. Questa sommatoria è proprio la definizione di esponenziale scalare. Quindi posso sostituire e elevato a lambda i elevato a t per u con i.
Quindi se guardiamo ora l'equivalenza partendo dall'estrema sinistra all'estrema destra, è chiaro che elevato ad a per t è una matrice, una matrice quadrata. Questo è uno scalare. Quindi rientriamo di nuovo nella definizione di autovalore e autovettore.
Qui abbiamo una matrice quadrata, qui dobbiamo trovare il suo autovalore. Quindi se questa è la matrice quadrata, la potrei chiamare A' questa matrice, no? questo qui lo dovrei chiamare lambda primo, è il suo autovalore quindi vuol dire che l'elevazione a potenza di una matrice ancora una volta non cambia gli autovettori rispetto alla matrice A e gli autovalori saranno gli esponenziali scalari degli autovalori della matrice A ci siamo?
Quindi possiamo osservare che questo sarà un autovalore di e elevato ad a per t e u con i il suo corrispondente autovettore. Bene? Allora, detto questo... Cambio un attimo pagina così ho un po' più di spazio. Introduciamo il teorema, visto che non l'avete fatto, proviamo a farlo in modo un po' più formale, il teorema di Kalei-Hamilton.
Allora, il teorema di Kalei-Hamilton ci dice che data una matrice quadrata A in r alla n per n, questa matrice quadrata è sempre uno zero del suo polinomio caratteristico. Quindi è uno zero del suo polinomio caratteristico. Questo è, diciamo, si può enunciare in questo modo il teorema. Vediamo di capire che cosa vuol dire uno zero del suo polinomio caratteristico, perché il polinomio caratteristico, sappiamo che cos'è, è un polinomio in lambda, un polinomio scalare da cui vengono originati gli autovolumi. Sappiamoci che il polinomio caratteristico qui di lambda è il determinante della matrice lambda i meno a.
Questo è il polinomio caratteristico. Dire che la matrice A è uno zero del polinomio caratteristico, questo polinomio è che cosa è uguale? È un polinomio di ordine n, quindi lo posso scrivere in forma esplicita come lambda elevato ad n più alfa n-1 per lambda elevato ad n-1 più puntini puntini fino a la alfa zero per lambda alla zero, ovvero per uno.
Questo è il polinomio caratteristico dove i coefficienti d'alfa 0 a alfa n meno 1 dipendono dalla matrice A, vengono originati dalla matrice A. Bene, dire che il teorema di Kale Hamilton ci dice semplicemente che se considero il polinomio caratteristico P e al posto dello scalare lambda ci metto la matrice A con un leggero abuso di notazione, nel senso che sto sostituendo a uno scalare una matrice ma è comunque lecito farlo in questa definizione qui perché abbiamo una combinazione questa è una combinazione di potenze di lambda, posso fare la stessa combinazione lineare di potenze della matrice quindi questo P di A che cosa sarà uguale? Sarà uguale a A alla n potenza ennesima della matrice più alfa n-1 lo stesso coefficiente del polinomio caratteristico per A alla n meno 1 più puntini puntini fino ad alfa 0 per A alla 0. A alla 0, cioè elevare una matrice alla potenza 0 corrisponde a una matrice identità, quindi qui avremo matrice identità, non può essere 1 perché non posso sommare 1 a una matrice, devo sommare matrici di ugual dimensione. Ecco, stiamo dicendo il teorema di Kalei Hamilton. Quindi ci dice questo teorema che questo polinomio è nullo, perché A è uno zero di questo polinomio, cioè è uguale alla matrice nulla.
Non è zero, è una matrice fatta tutta da zero, una matrice n per n con tutti i zero. Questo è quello che ci dice il teorema di Kalei-Hamilton. La dimostrazione facciamola in un caso semplice così non ci complichiamo troppo la vita. Supponiamo che la matrice, quindi vediamo la dimostrazione, nel caso però... di matrice A semplice struttura in realtà vale vale sempre noi però la useremo solo in questo caso quindi è inutile che vi faccio una dimostrazione troppo complicata in questo caso riusciamo a farla rapidamente Allora, consideriamo proprio la matrice P di A.
P di A è una matrice, mi trovate? Perché se sostituisco nel polinomio caratteristico al posto di lambda la matrice A, ho una somma di n matrici e quindi sarà una matrice. Questo P di A è una matrice. Una matrice n per n con le stesse dimensioni della matrice di partenza. La moltiplico per uno degli n.
autovettori della matrice A, ce ne sono n e sono tutti distinti perché per ipotesi la matrice A è di semplice struttura, forse è meglio se rimani isolato all'estolo, quando sei guarito ritorni verso il seno, ci saranno un'ecatombe di influenza. Allora, uguale, esplicitiamo questa sommatoria, quindi avremo A elevato ad n per u con i più alfa n meno 1 a elevato ad n meno 1 per u con i e così via fino ad alfa 0 ancora qui avrei matrice d'entità per u con i. Ok? Fatto solo il prodotto per l'autovettore iesimo.
Bene ma questo primo termine ha la n per u con i per quello che abbiamo visto un attimo fa. Matrice potenza per un autovettore lo posso sostituire con λi alla n per u con i. Trovate?
Questo secondo termine alla n-1 per u con i lo posso sostituire con λi alla n-1 ancora per u con i. Facendo tutte queste sostituzioni... Quindi riscriviamo, facciamo un passaggio in più, quindi avremo lambda i esimo alla n per u con i più alfa di n meno 1 per lambda i esimo alla n meno 1 per u con i più puntini puntini fino a alfa 0, metto solo u con i, la matrice d'identità per il vettore è uguale al vettore, quindi la faccio sparire, ora può sparire, tanto sono... sono somme è chiaro che a destra ho un vettore qui perché questa è una matrice ma moltiplicata per un vettore questo prodotto è un vettore quindi a destra non abbiamo più una matrice perché il prodotto di una matrice è n per n per un vettore n per 1 è un vettore infatti qui mi trovo somma di vettori ognuno di questi termini è un vettore Posso mettere in evidenza u con i di nuovo e se metto in evidenza u con i cosa mi rimane?
Mi rimane il polinomio caratteristico calcolato in lambda con i per u con i. Trovate? Mi trovo proprio il polinomio caratteristico però calcolato per lambda uguale a lambda con i. Ma lambda con i è un autovalore. E quindi per definizione un autovalore è uno zero del polinomio caratteristico, cioè proprio la definizione di autovalore.
Quindi questa quantità è zero, lo trovate? Questa quantità è zero e quindi il prodotto per u con i sarà anch'esso zero e questo vale per ogni i che va da 1 ad n. Vale per tutti gli n auto vettori. Ci siete?
Ora, se ho n autovettori e sono tutti indipendenti tra di loro, lo sono per ipotesi, perché la matrice di semplice struttura costituiscono una base dello spazio vettoriale, trovate? Sto dicendo che questo polinomio caratteristico, moltiplicato per ciascuno, quindi il P di A, moltiplicato per ciascun elemento della base, di una possibile base di questo spazio vettoriale, da sempre... Vettore nullo. Visto che qualunque vettore, qualunque vettore x dello spazio vettoriale lo potete sempre scrivere come una combinazione lineare di questi autovettori cuponi, visto che quando andate poi a moltiare il piccolo a tutti quanti queste componenti si andranno ad azzerare anche il prodotto generico P di A per un qualunque x essendo x per forza esprimibile come una combinazione in area degli u con i per i che va da 1 a n anche questo sarà uguale a 0 e sarà uguale a 0 per ogni x se avete un prodotto di una matrice per un vettore e questo prodotto è 0 qualunque sia il vettore ciò è possibile se e soltanto se Il rango di questa matrice P di A è uguale a 0 e questo è possibile solamente se P di A è proprio la matrice nulla, che è l'unica matrice che ha il rango 0. Qualunque altra matrice, diciamo diversa matrice nulla, non ha il rango maggiore di 1, almeno 1. Quindi diciamo con questo possiamo ritenere che conclusa la dimostrazione, almeno nel caso di A di semplice struttura, del teorema di Kalei-Hamilton, che è un teorema a cui ricorreremo di tanto in tanto per dimostrare qualcosa. Quindi è un teorema che è bene presentare se non l'avete già visto con un minimo di attenzione.
Allora, dal teorema di Kalei-Hamilton, cambio un attimo pagina, Quindi dal teorema di Kala-Hamilton discende immediatamente che cosa? Che se considero la matrice A elevato potenza ennesima, questa la posso prendere proprio dal polinomio caratteristico in cui ho messo al posto di lambda ci ho messo A. I solo il primo termine che ha la n e porto tutto il resto a destra perché questo polinomio è uguale a 0 quindi avrei che cosa? Uguale a meno sommatoria per i che va da 0 ad n-1 degli alfa con i, i coefficienti del polinomio caratteristico per a alla i questo discende immediatamente dal teorema di Kale-Hamilton cioè stiamo dicendo, il teorema di Kale-Hamilton ci dice, se volete letto in un'altra forma che la matrice potenza ennesima della matrice A si può esprimere come una combinazione lineare delle prime n potenze, partendo dalla potenza 0, della stessa matrice A. Scusiamo?
Questo è un riscritto, invece di scrivere P di A uguale a 0 Ho preso il primo termine, ho portato tutto il resto dall'altro lato e questo è scritto la stessa cosa, è un altro modo di scrivere il teorema di Kale-Hemilton. Bene, da questa però discende immediatamente un'altra proprietà, che è l'ultima che dobbiamo vedere prima di poter introdurre il metodo di cui vi ho accennato all'inizio della lezione. Se considero una matrice potenza A più grande, diciamo con una potenza più grande di n, quindi scriviamolo come n più q, dove Q sarà un intero positivo, ok? Quindi considero una potenza più grande di quella ennesima.
Bene, si può dimostrare abbastanza facilmente che questa è uguale ancora a una combinazione lineare delle prime n-1 potenze della matrice A. Combinazione lineare che... però di cui cambiano i coefficienti rispetto a quelli di prima, in generale saranno dei coefficienti, chiamiamoli beta, per A alla I. Perché questo, se volete lo possiamo anche dimostrare sempre col metodo di induzione, è abbastanza semplice, potete farlo anche voi, è veramente elementare la dimostrazione. Stiamo dicendo che, arrivati alla potenza ennesima, qualunque altra potenza di ordine superiore si può sempre scrivere come una combinazione in area delle sole prime n potenze della matrice A.
Questo, diciamo, è quello che è scritto. Chiaramente, al variare di Q, cambieranno questi coefficienti. Provate voi a dimostrarlo col metodo di induzione.
è banale, diciamo, supponete che valga questa, quindi nel caso Q ad esempio uguale a 0, ipotizzate che valga per il generico Q e scrivete A alla n più Q più 1 e provate quindi a riottenere la dimostrazione sfruttando questa proprietà qui. È un'operazione abbastanza semplice, sono giusto due passaggi. Assunta quindi quest'altra proprietà, che pure sarà utile, ricordiamoci quindi in generale che le potenze della matrice A, oltre alle prime n potenze, tutte le altre possiamo sempre esprimere come combinazioni di quelle precedenti, introduciamo quella che chiameremo tecnica del polinomio interpolante, che è questa seconda metodologia di calcolo della matrice esponenziale che vedremo. Quindi chiamiamola tecnica...
del polinomio interpolante è una metodologia per calcolare la matrice esponenziale questa metodologia vedremo però richiederà come ipotesi non la introduco ancora, la introdurremo quando effettivamente vedremo che sarà necessaria richiede che la matrice A abbia tutti autovalori distinti e quindi sia di semplice struttura. Quindi se volete questo caso è meno generale, è leggermente meno generale di quello che abbiamo visto alla scorsa lezione, perché nella scorsa lezione noi abbiamo richiesto che la matrice A sia diagonalizzabile per similitudine, questa era l'ipotesi. Ora se la matrice A è di semplice struttura è sempre diagonalizzabile per similitudine.
Ma se anche non fosse di semplice struttura, ma gli autovalori eventualmente di molteplicità maggiore di 1 hanno, generano altrettanti autovettori indipendenti e quindi posso costruire una matrice modale, allora potrò sempre diagonalizzare. Su questo magari ci ritorno, abbiamo visto l'ascoltazione, immagino che ve lo ricordiate, magari dopo ci ripasso un'altra volta, diciamo giusto per... Fissare bene il concetto, va bene? Però ora in questo caso vedremo, in realtà richiediamo una ipotesi un po' più vincolante. Allora, cosa vogliamo fare?
Vogliamo calcolare la matrice elevato ad a per t, la matrice esponenziale. Ricordiamo un'altra volta la definizione. Questa è la sommatoria per k che va da 0 a più infinito di a elevato a k, t elevato a k fratto k.
fattoriale, ok? Allora, scriviamo ancora uguale. Abbiamo appena osservato, qui, che una generica potenza di ordine superiore alla n si può esprimere come una combinazione di una delle sole prime n. Ora, in questa sommatoria, questa sommatoria è una serie fatta da infinite termini, però, superati i primi n termini, Le potenze che poi compaiono, dopo, le potrei comunque esprimere sempre come combinazione delle prime n.
Quindi tutti i termini di questa sommatoria, seppur infinita, in realtà qui dentro non mi servirà più considerare un a di k con k maggiore di n, perché potrò sempre esprimerla come una combinazione delle precedenti. Quindi posso intuitivamente scrivere che questa sommatoria la potrei anche scrivere ... Invece di considerare una sommatoria di infiniti termini, una sommatoria per i che va da 0 ad n-1, quindi una sommatoria di un numero finito di matrici, pari ad alfa con i di t, funzione del tempo, per a elevato ad i. Che cosa abbiamo scritto? Abbiamo scritto fondamentalmente che in virtù di questa proprietà che abbiamo, diciamo, non ricavato, ma è facile ricavarla, abbiamo solo...
scritto, la matrice esponenziale può essere riscritta come una somma di sole n matrici pesate per dei coefficienti che non sappiamo quanto valgono ancora, non li conosciamo, però sicuramente saranno funzioni del tempo. Perché dico che sono funzioni del tempo? Perché qua dentro ci andranno a finire anche queste potenze. t elevato a k tutte queste quantità qui più questi altri coefficienti qua andranno a formare questi coefficienti alfa i, quindi sono delle funzioni del tempo qui abbiamo una funzione del tempo questa è una matrice che non è funzione del tempo ma dice potenza, quindi la dipendenza dal tempo rimane in questi coefficienti ok?
Chiaro? Ora, se riuscissi in qualche modo a calcolare, in qualche modo, diciamo, quanto meno semplice, altrimenti tutta questa tecnica non avrebbe tanto senso, se riuscissi in qualche modo abbastanza semplice a calcolare questi coefficienti, queste funzioni, sono n funzioni del tempo, potrei costruire la matrice esponenziale come somma di n matrici, potenza. Facciamo quindi un'osservazione.
Scriviamo la matrice E elevato ad A per T e moltiplichiamola per il... diciamo, supponiamo di considerare n autovettori distinti, quindi supponiamo, ora facciamo l'ipotesi di A di semplice struttura. Quindi facciamo ora l'ipotesi di A di semplice struttura, quindi vuol dire che avremo λ1, λn autovalori distinti, quindi il generico λi sarà sempre diverso da λj se i è diverso da j, a cui quindi corrisponderanno n autovettori distinti. Ne considero il primo. quindi scrivo u con 1 allora al posto della matrice esponenziale di questa vado a sostituire questa eguaglianza che abbiamo ipotizzato quindi scrivo al posto di questa elevato a per t la sommatoria quindi scrivo uguale alla sommatoria per i che va da 0 ad n-1 di alfa con i di t a con i e il tutto va moltiplicato per u con 1. D'altra parte abbiamo già osservato che la matrice esponenziale, se moltiplicata per u con 1, e u con 1 è un autovettore anche della matrice esponenziale, questa sarà pari a che cosa?
All'autovalore corrispondente a u con 1 della matrice esponenziale, che è elevato a lambda 1 per t, per u con 1, questo l'abbiamo già osservato prima questo è un autovalore di questo e quindi posso scrivere anche quest'uguaglianza questa operazione la posso rifare per tutti gli n autovettori quindi riscrivo elevato ad a per t per u con n lo faccio per tutti gli n autovettori quindi qui avrò ancora sommatoria per i che va da 1 da 0 ad n-1, alfa con i di t a elevato ad i per u con n, in questo caso, uguale a che cosa? Ora sarà uguale ad e elevato a lambda con n t per u con n. Questo che abbiamo scritto è un sistema di equazioni lineari nelle incognite alfa se guardiamo questa ultima uguaglianza a destra è tutto noto vedete questi vettori a destra sono noti perché questi sono gli autovettori Questi sono gli autovalori, quindi a destra è tutto noto. Di questa quantità qui, gli autovettori sono noti, la matrice A è nota, solo gli alfa sono incognite.
Abbiamo quindi costruito un sistema di n equazioni lineari in n incognite, seppur queste incognite sono funzioni del tempo, sono coefficienti scale, sono funzioni del tempo. Il sistema continua a valere perché vale per ogni t. Questo sistema di equazioni lo posso riscrivere in forma matriciale per poterlo risolvere in modo simbolico.
Allora, cosa faccio? Guardo questi termini, questi che ho qui. Allora, se guardo questa quantità qua, guardiamo, queste due uguaglianze posso far sparire, visto che u con i è un vettore, u con 1 è un vettore non nullo, Vuol dire che questi due coefficienti devono essere uguali. Scusate?
Essendo u con 1 non nullo, e non nullo perché è un autovettore, vuol dire che questo coefficiente qui... La sommatoria deve essere uguale a questa. Guardate che questo, diciamo, questo, diciamo, osserviamo pure se volete che qui abbiamo A con I per U con 1 e lo possiamo sostituire con lambda 1 pi esimo per u con 1 e quest'ultimo qui lo posso sostituire con lambda n esimo elevato a i per u con n questo per definizione di autovalore e autovettore e quindi fatte queste sostituzioni ho in pratica a sinistra dei coefficienti che devono essere uguali ai coefficienti a destra proviamo quindi a riscriverli in forma matriciale quindi avrò una matrice Quindi avrò una matrice che ora proveremo a riempire poi mettiamo da parte tutti questi n coefficienti alfa da alfa 0 di t fino ad alfa n-1 di t, sono n coefficienti uguale ai termini noti, quelli a destra che saranno e elevato a lambda 1 t fino a e elevato a lambda n t Cosa ci troveremo in questa matrice? Allora, guardiamo un attimo per capire com'è fatta questa matrice, guardiamo un attimo questo primo termine Allora, questa è una sommatoria in cui compaiono tutti questi alfa per i che vado a 0, n-1, compaiono tutti quanti alfa 0, quindi quando i è uguale a 0 è moltiplicato per lambda 1 elevato a 0 che è 1 quindi guardate, questa prima colonna cioè questa questa prima colonna qui moltiplicherà sempre alfa 0 che faccio righe per colonna questa prima riga moltiplicherà tutti questi coefficienti e questi coefficienti sono quelli che devo trovare sono diciamo quelli che trovo qui dentro in questa combinazione lineare quindi il primo termine sarà proprio 1 Qual è il secondo termine?
Il secondo termine devo vedere chi moltiplica alfa1. Vado qui dentro, per i uguali a 1 avrò alfa1. Alfa1 moltiplicherà lambda1 elevato a 1, quindi lambda1.
Quindi qui scriverò lambda1. Chi moltiplicherà alfa2? No.
Troverò ancora lambda1 al quadrato. Quindi qui troverò λ1 al quadrato e continuo così fino all'ultimo che sarà λ1 alla n-1. Trovate? Questo vale per tutte le altre righe fino all'ultimo.
Nell'ultimo troverò 1, λn, λn al quadrato fino a λn alla n-1. Ok? È fatta in questo modo questa matrice. Questa matrice in realtà è una matrice nota in algebra, non so se l'avete mai presentata, una matrice di questa... Questa matrice si chiama matrice di Van der Mond, Van der Mond, ok?
E' una matrice che si indica spesso con il simbolo V, matrice V appunto di Van der Mond e come elementi ai termini che la costruiscono, nel nostro caso da lambda 1 fino a lambda n. Ora la ricopio un attimo a fianco. Quindi, se volete, posso riscrivere questo sistema in questo modo.
Matrice di Van der Mond, lambda 1. lambda n per il vettore dei coefficienti alfa, funzione però del tempo, non sono in realtà dei coefficienti, sono delle funzioni del tempo, quindi alfa 0 di t fino ad alfa n di t, sono dei coefficienti tempo varianti, uguale ai termini noti e elevato a lambda 1 t elevato a lambda n t. Ora noi vogliamo trovare questi coefficienti qui. Li possiamo trovare in che modo?
Dobbiamo trovare solo se la matrice di Van der Mond è invertibile perché se fosse invertibile moltiplico a sinistra e a destra per l'inversa di questa matrice e ho trovato i miei coefficienti Sì? Sì? Giusto Infatti alfa è n-1 lo cancello se non si capisce bene, quindi abbiamo alfa n-1 di t, ok?
sono n coefficienti allora, la matrice di Van der Mond gode di alcune proprietà una di queste, che è quella che ci interessa, è questa si può dimostrare che il determinante della matrice di Van der Mond è uguale alla produttoria di lambda j meno lambda i produttoria con i minore di j questo maggiore uguale di 1 e minore uguale di n cioè considerate tutte le possibili coppie i j con i minore di j e ne fate i prodotti scusate, ne fate le differenze e quindi i prodotti ok, questo si può dimostrare che il determinante di questa matrice si può calcolare in questo modo Il simbolo che sembra pi greco significa produttoria ve lo riscrivo un po' più grande, forse non si legge allora abbiamo 1 minore uguale di i minore di j minore uguale di n I EJ sono i pedici che troviamo all'interno di questi fattori, di questa produttoria, che sono le differenze a coppie di tutti gli autovalori. Se c'è qualcosa che non vi è chiaro vi consiglio di chiedermelo ora, perché poi all'esame è un po' difficile, diciamo, non potete chiedere, quindi se avete dei dubbi... Sì?
Una differenza, sì. o meno essendo un prodotto di differenze questo si può annullare se soltanto, se almeno una di queste differenze è nulla sono prodotti di differenze se non se ne azzera nessuna di queste differenze questo prodotto sarà diverso da zero Quindi se ipotizziamo, come abbiamo fatto, che non ci sono autovalori coincidenti, quindi la matrice di semplice struttura, questo determinante, nell'ipotesi che abbiamo fatto qui, quindi da quest'ipotesi discende che questo prodotto è diverso da zero, quindi la matrice di Van der Mond è non singolare per le matrici di semplice struttura. Bene, se la matrice di Van der Mond è non singolare, basta invertirla e calcolare i coefficienti. Bene?
Allora, scriviamo una procedura operativa, come abbiamo fatto per le altre cose, diciamo, da seguire passo passo per calcolare, quindi per applicare questa tecnica del polinomio interpolante. Ok? E poi facciamo un esempio numerico. così placchiamo tutti questi cremiti che sento in giro in quest'aula procedura operativa quindi quali sono i passaggi che dobbiamo eseguire allora primo Passaggio, calcoliamo gli autovalori della matrice, quindi calcoliamo gli autovalori lambda con i. Notiamo rispetto all'altra procedura operativa, quella che abbiamo visto l'altra volta, dobbiamo calcolare gli autovalori e anche gli autovettori.
Ora gli autovettori, se vedete nell'espressione che ho scritto prima, non compaiono più perché li abbiamo semplificati prima di costruire la matrice di Van der Mond. quindi ci servono solo gli autovalori quindi dovete solo risolvere il polinomio caratteristico che è un'operazione diciamo abbastanza semplice primo passaggio secondo passaggio una volta che abbiamo trovato gli autovalori dobbiamo verificare che questi autovalori siano tutti distinti quindi verificare che i, lambda con i, sia diverso da lambda con j per ogni i diverso da j, ovvero tra parentesi a di semplice struttura cioè questo è così l'abbiamo definita notizia di semplice struttura se ciò è vero, allora possiamo procedere, se non è vero, questa metodologia non la possiamo applicare Diagonalizzabile è il metodo che abbiamo visto ieri, perché se è diagonalizzabile puoi costruire una base di autovettori, la matrice modale, e poi diagonalizzarla per similitudine. Dopo la riprendo, magari all'inizio, dopo la pausa riprendo un attimo tutti e due i concetti. In questo caso invece ci serve che A sia di semplice struttura.
Se è di semplice struttura è sempre diagonalizzabile, perché per definizione hai n autovettori distinti e quindi la matrice modale la costruisci sempre. Se non è di semplice struttura, vuol dire che alcuni autovalori sono coincidenti. Se sono coincidenti, la matrice di Van der Mond è singolare e non puoi usare questo metodo. Però non è detto che pur essendo non di semplice struttura, non sia comunque diagonalizzabile.
Se le molteplicità algebriche sono uguali a quelle geometriche per tutti gli autovalori, è ancora diagonalizzabile. Su questo ci ritorno magari dopo... Magari ve lo faccio in un modo un po' più generale, quindi cerchiamo un attimo di formalizzare meglio questa cosa, visto che è meglio evitare confusione.
Allora, quindi se ho verificato il punto 2, allora passo al terzo punto. Il terzo punto, fondamentalmente, dobbiamo costruire il sistema, diciamo, nella forma V di λ1 fino a λ2. per i coefficienti α0 di t fino ad αn-1 di t uguale a e elevato a λ1t fino a e elevato a λnt. Quindi costruiamo questo sistema.
Una volta che abbiamo costruito questo lo risolviamo, quindi calcoliamo la soluzione. La soluzione sarà α0 αn-1 uguale alla via meno 1 per i coefficienti e elevato a λ1t elevato a λnt. Lo calcolate in questo modo.
Notate che la matrice di Van der Mond è una matrice di coefficienti costanti, ma... Questi termini qui, il vettore a destra, invece funziona del tempo. Quindi quello che avremo è che questi alfa saranno delle combinazioni lineari di questi esponenziali.
Trovate? Perché qui abbiamo tutti i coefficienti, ogni riga saranno dei numeri perché sono potenze delle lambda, e lambda sono numeri, saranno dei numeri. Quindi fate riga per colonna, avrete delle combinazioni lineari di esponenziali.
Quindi questi alfa saranno combinazioni lineari di esponenziali. Una volta che avremo trovato queste funzioni, alfa, possiamo costruire la matrice esponenziale elevato ad a per t come? La costruiamo come la sommatoria per i che va da 0 ad n-1 di alfa i di t, quelli che abbiamo trovato al passo precedente, per a alla i, quindi somma di n potenze della matrice a. Questa è la procedura operativa. Vi ho preparato un esempio, quindi proviamo a svolgere questo esempio.
Credo sia proprio la stessa matrice che abbiamo già risolto la scorsa volta, in modo da poter confrontare anche la complessità di soluzioni. Usiamo la stessa matrice dell'altra volta. Direi di fare anche pausa. Riprendiamo quindi lo stesso esempio numerico che avevamo visto L'ultima lezione è quando abbiamo risolto il problema del calcolo della matrice esponenziale mediante diagonalizzazione per similitudine.
Quindi consideriamo come matrice questa matrice quadrata che era 0, 1, meno 2 e meno 3. provare ad applicare la tecnica del polinomio interpolante il primo passaggio quindi dobbiamo calcolare gli autovalori quindi scriviamo il polinomio cartesio, abbiamo già fatto uguale a quella dell'altra volta quindi se ne ricordo bene gli autovalori erano lambda1-1 e lambda2-2 quindi abbiamo calcolato i due autovalori Secondo passaggio, dobbiamo verificare fondamentalmente che λ1 sia diverso da λ2 ed è così quindi questo significa che la matrice A è di semplice struttura e quindi possiamo applicare i restanti punti della tecnica del polinomio interpolante A questo punto dobbiamo costruire, quindi al passo 3, il sistema di equazioni fatto in questo modo. Dobbiamo costruire la matrice di Vandermonde, che è una matrice quadrata n per n, nel nostro caso n è pari a 2, quindi è una matrice 2 per 2. Questa matrice moltiplica due coefficienti, alfa0 di t e alfa1 di t, che sono le nostre due incognite, uguale al termini noti che saranno elevato a lambda1t, ma lambda1 è meno 1, quindi è meno t, e poi abbiamo elevato a lambda2t, lambda2 è meno 2, e quindi meno 2t. La matrice di Van der Mond, prima riga, primo elemento è 1, secondo elemento è lambda1, lambda1 è meno 1, e basta. Seconda riga, ancora il primo elemento è 1, il secondo elemento è λ2, che è meno 2 nel nostro caso. Questa è la matrice di Van der Mond.
Quindi questa per noi è la matrice V di λ1, λ2. Bene, possiamo quindi... Invertire questo sistema e quindi calcolare alfa0 di t e alfa1 di t qui dovremmo scrivere uguale, qui ci va la matrice inversa della matrice di Van der Mond che ora calcoliamo, per il vettore dei termini noti, quindi elevato a meno t elevato a meno 2t L'inversa della matrice di Van der Mond è una matrice 2x2, quindi immediatamente invertiamo gli elementi sulla diagonale e cambiamo di segno gli altri due.
Poi il determinante è meno 2 più 1, quindi è meno 1. Quindi dobbiamo mettere un meno qua davanti, che moltiplica tutta la matrice. Possiamo quindi sviluppare questi prodotti e troveremo quindi il coefficiente alfa 0 di t. Alfa 0 di t chi sarà?
Alfa 0 sarà il prodotto di questa riga per questa colonna. Trovate? Non ci scordiamo però questo meno qua davanti.
Anzi facciamo così. Tanto io posso cancellare, quindi qua ci metto un più e qua ci metto un meno, ok? Sì, evitiamo di fare errori.
Quindi ancora abbiamo uguale, avremo 2 per elevato a meno t, meno elevato a meno 2t. Trovate? Il prodotto riga per colonna.
Il coefficiente alfa 1 di t sarà invece il prodotto della seconda riga per la colonna e quindi avremo elevato a meno t meno elevato a meno 2t. Ecco i nostri due coefficienti che come avevamo anticipato saranno combinazioni lineari degli esponenziali che poi sono quelli che abbiamo anche chiamato modi naturali del sistema quelli che compaiono nella matrice esponenziale modale. Allora, con questo abbiamo concluso il punto 3, quindi passiamo al punto 4. Il punto 4 dobbiamo calcolare, quindi la matrice esponenziale elevato a per t, come sommatoria, sommatoria per i che va da 0 ad n-1, se è n-2, da 0 a 1, quindi avremo solo due matrici da dover sommare, di alfa con i di t, per A alla I e quindi in pratica vuol dire che devo fare alfa 0 per A alla 0 più alfa 1 queste sono sempre funzioni del tempo per A alla 1 no? questo devo fare A alla 0 ovviamente la matrice identità Quindi avrò α0 di t per la matrice 1, 0, 0, 1, matrice d'entità, più α1 di t che moltiplica la matrice A, quindi 0, 1, meno 2, meno 3. Ci siete?
Quindi, ancora, continuando. La prima matrice devo fare alfa 0 per questa matrice, quindi alfa 0 abbiamo detto è 2 elevato a meno t meno elevato a meno 2t qui abbiamo 0, qui 0 e qui ancora 2 elevato a meno t meno elevato a meno 2t questa è la prima matrice di questa somma, più consideriamo la seconda matrice, quindi devo ora moltiplicare alfa 1 per la matrice A Il primo termine sarà 0 perché α1 è moltiplicato per 0 poi abbiamo proprio α1 quindi abbiamo elevato a meno t meno elevato a meno 2t seconda riga abbiamo meno 2α1 quindi meno 2 elevato a meno t più 2 elevato a meno 2t e l'ultimo termine sarà meno 3 per α1 quindi meno 3 elevato a meno t più 3 elevato a meno 2t. E non mi resta che sommare queste due matrici elemento a elemento per trovare la matrice esponenziale. Quindi primo elemento della matrice di sinistra col secondo e rimane il secondo è proprio zero, quindi abbiamo 2 elevato a meno t meno elevato a meno 2t. Poi abbiamo ancora elevato a meno t meno elevato a meno 2t.
Ancora, meno 2 elevato a meno t più 2 elevato a meno 2t. Qui dobbiamo sommare, quindi abbiamo qui il più 2 e lì il meno 3, quindi viene meno elevato a meno t e qui più 2 elevato a meno 2t, se non ho fatto errori. Quindi questa è la matrice esponenziale e che spero sia coincidente con quella che abbiamo calcolato ieri diciamo salvo qualche mio errore in questi passaggi se ne vedete qualcuno me lo segnalate e correggiamo però insomma la procedura è questa va bene? Matrice e reti meno male quindi abbiamo avuto la prova che è la stessa cosa ora giudicate voi se questo metodo che fondamentalmente si è sviluppato in questa pagina di conti è più semplice della diagonalizzazione quindi scegliete voi quale metodo volete usare perché nel caso di matrice di A di semplice struttura potete usare questo potete anche usare l'altro, la diagonalizzazione per similitudine potete scegliere voi, è indipendente, per me va uguale chiaramente se A non è di semplice struttura questo metodo qui invece non lo potete usare l'altro dovete verificare se lo potete usare, se non potete usare neanche la diagonalizzazione per similitudine allora ci sarà un altro metodo che invece è molto più lungo che comunque vedremo per completezza però diciamo è un caso più complicato rispetto a questo allora come vi avevo detto proviamo un attimo a ricapitolare alcune cose per fissare bene certe idee proprio su queste cose che abbiamo appena detto Per fissare un attimo le idee, supponiamo che la matrice A sia di semplice struttura. Matrice A di semplice struttura vuol dire che esistono n autovalori.
distinti e quindi n autovettori indipendenti. Possiamo quindi sempre costruire la matrice modale nella forma u uguale alle diciamo una matrice che ha per colonne questi n autovettori quindi avremo u con 1 fino ad u con n abbiamo una matrice che ha proprio per colonne questi autovettori abbiamo chiamato matrice modale E una volta che abbiamo costruito questa matrice modale, possiamo diagonalizzare la matrice A per similitudine. Cioè abbiamo già dimostrato che la matrice A la possiamo scrivere come uguale a la matrice modale U per la matrice diagonale degli autovalori λ per la matrice U a meno 1. Se chiamiamo questa seconda matrice qui, la chiamiamo V grande trasposto, quella matrice che ha per righe V1, V2, V3 tutti trasposto, allora l'abbiamo anche scritta in questa forma come sommatoria per i che va da 1 ad n dei lambda con i per u con i per v con i.
trasposto e abbiamo chiamata forma spettrale della matrice A qualche testo invece di forma spettrale viene chiamata forma diadica Allora, in Bolzen nella deconalizzazione trovate un'unica pagina in appendice quindi praticamente non viene trattato nel Bolzen ecco perché ci sto perdendo un po' di tempo io Bolzen, ve l'ho detto, è un libro che prende sia la parte di analisi ma anche la parte di controllo un libro che coprirà anche il vostro corso di controllo automatici quindi nel sintetizzare un po' la prima parte diciamo che l'analisi nel dominio del tempo che è quella che stiamo facendo noi, dei sistemi di tempo invarianti è un po' carente, speriamo che Bolzer non ascolti le mie lezioni, penso che di no però voglio dire, comunque la integro un po' io con queste lezioni qui allora, quindi questa l'abbiamo chiamata forma spettrale questo vi ricordo che, se non ve l'ho detto, ma mi pare di sì, questo prodotto U con I, V con I è una matrice. Questo prodotto, lo scrivo qui a fianco, la chiamiamo Ri uguale a U con I per V con I trasposto. Questa matrice ha anche un nome, in realtà, si chiama matrice dei residui polari. Questa si chiama matrice... dei residui polari mai incontrata nei corsi di algebra?
vabbè, tra le proprietà che ha questa matrice Non posso dire, vi ricordo, vi dico che il rango di questa matrice è unitario per costruzione, si potrebbe anche dimostrare, ma non sarebbe oggetto del mio corso, quindi lo do per scontato. Spero che almeno questi vi siano stati presentati. Quando vi sono stati presentati gli autovettori, penso che il docente vi abbia anche detto che gli autovettori, nella definizione che abbiamo dato, sono gli autovettori cosiddetti destri. Allora, la definizione di autovettore che vi è stata data è stata del tipo A per U con I uguale a lambda con I per U con I, no? Ora, questo vettore U con I moltiplica da destra la matrice A.
Per questo si dice autovettore destro, di solito non si dice perché si usa quasi sempre questo in quasi tutti gli esercizi diciamo, quindi di solito quando non si dice si usa autovettore destro. suppone che sia questo. In realtà noi potremmo moltiplicare anche da sinistra la matrice A e ottenere uno stesso risultato.
In effetti si dimostra che il V con I trasposto, quello proprio di questa espressione, se lo moltiplicate da sinistra per la matrice A, vi dà un'altra volta λ con I per V con I trasposto. questi viconi trasposto vettori righe si dicono autovalori sinistri della matrice A ecco quindi il significato di, se volete un ulteriore significato geometrico algebrico in realtà geometrico e algebrico, tutti e due si possono interpretare sia da un punto di vista geometrico che algebrico di questi vettori ok Torniamo alle nostre cose. Allora, abbiamo quindi considerato la matrice A, quindi di semplice struttura, quindi l'abbiamo scritta in forma spettrale e sfruttando questa proprietà abbiamo anche la possibilità di costruire la matrice esponenziale per diagonalizzazione di similitudine, quindi scrivere elevato ad a per t uguale ad u elevato a lambda t matrice esponenziale della matrice diagonale degli autovalori per u a meno 1 Anche questa l'abbiamo riscritta come sommatoria per i che va da 1 ad n di e elevato a lambda i t u con i b con i Trasposto ma lambda i è uno scalare puoi tenere a destra o a sinistra di solito per convenzione viene definito il prodotto di uno scalare per un vettore anche in realtà quando anche io a volte lo faccio è un piccolo abuso di notazione le matrici e i vettori non si possono mettere divisi qualcosa sotto al denominatore perché proprio l'operatore di frazione per un operatore matriciale non è proprio definito cioè anche io quando scrivo matrice esponenziale abuso un po' di questa notazione il k fattoriale non lo potrei mettere al denominatore, cioè volendo essere rigorosi dovrei scrivere 1 su k fattoriale per la matrice E perché i vettori e le matrici si possono solo moltiplicare per uno scalare però lo scalare lo puoi mettere a destra e a sinistra è indifferente quello commuta le matrici invece no non dovrebbero commutare salvo qualche sorpresa che ogni tanto mi fate Allora, quindi questo è il caso di matrice A di semplice struttura. Supponiamo ora invece che la matrice A sia diagonalizzabile ma non di semplice struttura.
Vediamo cosa cambia. Quindi supponiamo che la matrice A sia diagonalizzabile Che vuol dire per noi che è diagonalizzabile? Vuol dire che A mette una base di autovettori, questo vuol dire che è diagonalizzabile, che la diagonalizzazione è legata all'esistenza di una matrice modale.
Se la riuscite a costruire, allora potete diagonalizzare la matrice. Quindi se supponiamo che A sia diagonalizzabile, ma non di semplice struttura, scrivo non semplice, facciamo brevità allora questo che vuol dire? vuol dire che il numero di autovalori distinti è minore di n forza, se ne deve essere qualcuno coincidente perché se sono tutti distinti, torniamo al caso di semplice struttura vuol dire che il numero di autovalori cioè il numero di autovalori sarà m e sarà strettamente minore di n, siamo in questa ipotesi, quindi non ce n'ho più n di autovalori, ce n'ho m più p, ce n'ho un di meno, perché alcuni di questi avranno una molteplicità algebrica, cioè come soluzione del problema di catetismo, più grande di 1. Quindi...
Se consideriamo un autovalore lambda i e supponiamo che la sua molteplicità algebrica, chiamiamola m a i, molteplicità algebrica dell'autovalore i, questa per alcuni di questi autovalori sarà un numero più grande di 1. Ovviamente se li sommo tutte queste molteplicità algebriche, cioè se faccio la sommatoria per i che va da 1 ad m, perché sono m gli autovalori, di m a i, questa sarà pari ad n, ovviamente. è il grado del polinomio caratteristico che ha generato queste radici allora costruiamo un attimo il prodotto a meno lambda iesimo di i per l'autovettore u con i uguale a zero. Quindi costruiamo questo sistema di equazioni. Questo è il sistema di equazioni da cui calcoliamo gli autovettori corrispondenti all'autovalore lambda con i. Se dovete calcolare l'autovettore, costruite questo sistema, sostituite al posto di lambda con i l'autovalore in esame e trovate il o i suoi autovettori corrispondenti.
In realtà finora il l'abbiamo visto. Allora, quante soluzioni ammetterà questo sistema? Le soluzioni di questo sistema, abbiamo già visto, sono pari ad mg con i, dove mg con i è pari ad n meno il rango della matrice A meno λi, cioè è pari a quella che abbiamo chiamato molteplicità geometrica dell'autovalore.
è la cardinalità, la dimensione dello spazio delle soluzioni di questo sistema di equazioni quindi lo spazio vettoriale composto dalle basi con i soluzioni di questo sistema di equazioni bene, se A è diagonalizzabile per ipotesi vuol dire che questo sistema quante soluzioni ci dovrà dare per essere diagonalizzabile la matrice quindi per ammettere una base di autovettori deve essere uguale alla molteplicità algebrica questo deve essere così per ipotesi cioè è così per ipotesi se abbiamo ipotizzato che è diagonalizzabile perché se è diagonalizzabile devo poter trovare n autovettori distinti, se sono distinti sono chiaramente indipendenti E per poterlo fare l'unico modo è che ognuno degli autovalori, pur di molteplicità maggiore di 1, deve generare altrettanti autovettori quant'è la sua molteplicità algebrica, perché se non fosse così mi mancherebbe qualche autovettore da poter mettere nella matrice U e non la riesco più a costruire. Quindi per ipotesi, diciamo, questa uguaglianza deve essere verificata, ovvero se questa uguaglianza è verificata per ogni i, allora... La matrice A è diagonalizzabile, la potete anche leggere al contrario, è vero se e soltanto se.
Quindi se volete questa operazione, un'operazione potete fare per verificare se una matrice è diagonalizzabile. Vi calcolate le molteplicità algebriche, questo è banale perché lo fattorizzate direttamente nel polinomio caratteristico. Vi calcolate poi le molteplicità geometriche, e ve lo fate in questo modo, n- il rango di questa matrice, calcolate il rango di una matrice abbastanza semplice, vedete la dimensione del minore più grande che riuscite a trovare qua dentro, e quindi vi calcolate questo numero. Se questo numero è uguale a questo, per tutti gli i, questo deve essere vero per ogni i che vada a 1. ad m, che sono m gli autovalori distinti, allora la matrice A è diagonalizzabile. Bene, se la matrice A è diagonalizzabile, allora vuol dire che posso costruire una base di autovettori.
Come faccio a costruirla? Procedo in questo modo. Per ogni autovalore lambda con i, questo genererà un certo numero di autovettori.
Abbiamo detto che genera un autovettore u con i1, u con i2, fino a u con i m. con A i, nel genere m con A i di questi autovettori. Questi autovettori li vado a collezionare all'interno di una matrice, chiamiamola u con i, dove li vado a mettere per colonne.
Quindi ogni autovalore che mi ha generato un certo numero, li prendo tutti questi autovettori e li metto per colonne. in questa matrice U con I quindi qui avrò U con I 1 U con I 2 fino a U con I M a I quanti ne trovo di queste matrici U con I? di queste matrici U con I ne troverò sempre M da 1 ad M Se uno di questi autovalori avesse molteplicità 1, questa U con I diventa un solo vettore, chiaramente, cioè diventa solo una colonna.
Una volta che ho trovato tutti questi blocchi, li prendo e li vado a collezionare nella matrice U, matrice modale. Quindi la matrice U sarà una matrice a blocchi. in cui metto il primo blocco U1 che è il blocco di tutti gli autovettori generati dall'autovalore λ1 questi sono gli autovalori generati dall'autovalore λ1 poi piazzo il blocco U2 e saranno tutti gli autovettori generati dall'autovalore λ2 e così via fino ad Um dove troverò tutti gli autovettori generati dall'autovalore λ con m Questa matrice è per costruzione non singolare, perché è fatta da tutti, diciamo, blocchi di autovettori che sono tutti tra di loro indipendenti.
Quindi troverò qui dentro n vettori, n colonne indipendenti. È quindi una matrice modale a tutti gli effetti e la posso usare per diagonalizzare il mio sistema, cioè cosa vado a fare? vado a questo punto a scrivere A, matrice, che voglio diagonalizzare uguale ad U, matrice che ho appena costruito, matrice a blocchi per una matrice diagonale Qui dovrei mettere la lambda, la matrice diagonale degli autovalori, però questa deve essere una matrice n per n. Io di autovalori ne tengo m. Cosa faccio?
Replico lungo la diagonale gli autovalori che hanno una molteplicità più grande di 1. li replico m a i volte, è un autovalore a molteplicità 3, lo replico 3 volte, lo metto 3 volte di fila, quindi qui avrò in pratica λ1, λ1 che si ripete quante volte devo mettere lungo questa diagonale? Lo devo m a 1. Poi piazzo l'autovalore lambda2. Quante volte lo devo mettere? Dipende da quant'è la sua molteplicità. Quindi m a2 e vado avanti così.
Se qualcuno di questi ha una molteplicità di 1, lo metto una sola volta, chiaramente, sono autovalori semplici. Procedo così fino all'ultimo, quindi arrivo fino a lambda m, lo ripeto anche questo un certo numero di volte, che sarà pari ad m a m. e poi chiudo con u a meno 1, l'inversa della matrice A.
Questa matrice che abbiamo costruito qui, questa matrice diagonale, la chiameremo ancora lambda. È una matrice ancora diagonale degli auto... Valori. L'unica cosa è che sul lungo di questa diagonale alcuni di questi si ripetono.
A blocchi, troveremo dei blocchi diagonali di λ1, un blocco diagonale di λ2, un blocco diagonale di λ3 e così via. Però sono tutti blocchi diagonali messi assieme e fanno ancora una matrice diagonale. Ok? Notate bene che se mettete qui nella matrice modale U1 che è il blocco di autovettori generati da λ1 e qua poi ci dovete piazzare λ1 come prima striscia di autovalori. Devono avere una corrispondenza i blocchi che piazzate qua con quelli che mettete qua dentro.
Quindi l'ordine deve essere preservato. Allora, se scriviamo in questa forma, possiamo riscriverla come una sommatoria, sia la matrice A, in questo caso, e poi eventualmente la matrice esponenziale? Si può fare, la notazione diventa un pochino più lunga, ma nulla di particolare, dobbiamo aggiungere una sommatoria in realtà.
Perché? Perché se scriviamo ora la matrice A, questa abbiamo detto è la sommatoria per i che va da 1... Non posso scrivere più n, perché non ho più n autovalori, c'è m, quindi devo scrivere da 1 ad m.
Di chi? Di Lambert. ...perché ce n'ho m di questi qua. Questi autovalori vanno a moltiplicare che cosa?
Una sommatoria per j che va da 1 a m a i, il numero e la molteplicità dell'autovalore i, di u... IJ per VIJ trasposto, chi è UIJ? L'abbiamo visto prima, sono gli autovettori, gli MAI autovettori associati all'autovolto del lambda I.
Chi è VIJ? È quando andate a invertire la matrice U e la corrispondente riga. Quindi questa forma generalizza la forma spettrale che abbiamo visto prima, è ancora la forma spettrale o forma diatica della matrice A, nel caso più generale di matrice diagonalizzabile ma non di semplice struttura. Vi faccio notare una cosa, ora è chiaro che questa è una notazione un po' pesante perché è simbolica, poi nell'atto pratico numericamente gli esempi facciamo dell'ordine 2, 3, delle matrici che consideriamo diventa banale.
Se facessimo un piccolo abuso di notazione, abbiamo detto io, supponiamo che ho una matrice che ha tre autovalori coincidenti, cioè scusate, ha un solo autovalore ma di molteplicità 3, quindi ho ad esempio lambda 1, lambda 1, lambda 1 dovrei scrivere dentro la matrice diagonale, no? Se chiamassi... il primo lambda 1 lambda 1 primo il secondo lambda 1 lo chiamo lambda 2 primo il terzo lambda 3 primo cioè gli do un nome diverso li chiamo con dei nomi diversi pur essendo uguali mi ritrovo n autovalori di cui alcuni sono coincidenti diciamo tra di loro I corrispondenti autovettori generati saranno associati ai nuovi simboli che ho scelto per gli autovalori.
Potrei ritornare alla stessa notazione di prima, cioè senza questa seconda sommatoria. No, perché? Qual è la...
il concetto il concetto geometrico è questo pur essendo la matrice non di semplice struttura preserva n direzioni dello spazio che sono tutte invarianti ce n'ha comunque n quando voi scrivete la matrice i valori autovettori sono dei vettori nello spazio vettoriale e quindi lungo cui la matrice A non cambia queste direzioni, è invariante, se fate A per questo vettore non cambiate la direzione, e oltre a questa direzione vi dà anche un'ampiezza, che è l'autovalore corrispondente. Dire che A è di semplice struttura vuol dire che tutte le direzioni ce ne sono n e che tutte queste ampiezze sono tutte diverse, questo vuol dire che è di semplice struttura. Se A è diagonalizzabile vuol dire che rimangono comunque n le direzioni dello spazio.
spazio invarianti, nello spazio n dimensioni. Però alcuni di questi vettori hanno la stessa lunghezza, questo stiamo dicendo. Quindi in realtà è una piccola coincidenza, perché la cosa importante sono le direzioni che individuano la parte più importante, le direzioni invarianti, quelle sono n, n sono rimaste, solamente che alcuni di questi vettori, cioè gli autovalori corrispondenti, hanno la stessa dimensione.
La cosa invece grave, che pregiudica in realtà la diagonalizzazione o la diagonalizzabilità di una matrice è che potrebbero non esserci proprio n direzioni invarianti, ce ne potrebbe essere un numero più basso. Cioè, in un sottospazio n dimensioni, scelto una certa matrice A, se questa matrice A ha una certa forma, certe forme, un insieme di queste matrici A quadrate, non generano n direzioni invarianti, cioè sono invarianti solo lungo un certo numero inferiore di direzioni. E in questo caso non possiamo più costruire una base di autovettori.
E quindi di fatto non è diagonalizzabile la matrice, cioè non è che c'è un modo diverso per diagonalizzare, non è proprio strutturalmente non la potete diagonalizzare. C'è un escamotage nel senso che troveremo una forma che è vicina a una forma diagonale. È comunque semplice, ma non è proprio diagonale. Una forma che si avvicina un po' a una forma diagonale, ma proprio diagonale non la possiamo più ottenere, perché strutturalmente non lo consente quel tipo di trasformazione che stiamo considerando.
Ok? Chiaro? Allora. Se abbiamo una ventina di minuti possiamo introdurre qualche altra cosa.
Abbiamo in effetti finora visto, se volete, quando abbiamo pensato agli autovalori, abbiamo forse sottinteso che fossero reali, no? In realtà abbiamo detto proprio all'inizio che gli autovalori possono essere reali o complessi e coniugati. Proviamo a capire cosa succede se gli autovalori sono complessi e coniugati.
In realtà le cose che abbiamo detto finora valgono indipendentemente dal fatto che sia reale o complesso e coniugato. Non abbiamo mai fatto nessuna ipotesi particolare sugli autovalori. Cosa vuol dire? Se A è un autovalore, scusate, se λ è un autovalore complesso, esisterà un suo coniugato, l'autovettore associato all'autovalore che andremo a trovare sarà anche il suo complesso.
E quindi la matrice U modale sarà una matrice complessa. Questo è quello che succederà. In realtà non avrei niente da aggiungere a quella strada, nel senso se volete procedere con gli strumenti che abbiamo già visto, si applicano in modo indifferente se avete dei lambda scalari o complessi, ok?
Chiaramente la differenza qual è? È sostanziale nei conti che andrete a fare, perché una cosa è fare i conticini con i numeri reali, una cosa è fare i conticini con i numeri complessi, ok? Chiaramente sono più fastidiosi, cioè è inutile che...
diciamo ci vogliamo giocare, sono niente di complicato ma insomma sono un po' più lavorati da fare i conti a mano allora quello che voglio presentarvi è una variante a quello che abbiamo visto che ci consente di evitare di lavorare con numeri complessi immagino che la cosa vi possa far piacere se volete io la salto però insomma per completezza presentiamole, è un modo quindi alternativo che se volete potete usare per evitare di lavorare con i numeri complessi e preservare una forma reale della matrice modale perché la matrice modale altrimenti vi viene con dei numeri complessi se volete avere si può fare avere una matrice modale di numeri reali si dice in forma reale quello però che perdiamo per seguire questa strada è il fatto che la matrice diagonale degli autovalori non sarà proprio diagonale, ma sarà diagonale a blocchi. Questo è il prezzo che paghiamo per evitare di lavorare con numeri complessi. Allora, facciamolo con un pseudoesempio, nel senso che invece di mettere sempre queste sommatorie, supponiamo di considerare un caso in cui n è uguale a 3, Se faccio quelle sommatorie diventa molto complicato proprio spiegarvelo.
Faccio un caso in cui abbiamo un autovalore reale e due complessi e coniugati, quindi consideriamo tutti i casi contemporaneamente. Poi se ce ne sarà più di uno si aggiungeranno vari parti. Allora, quindi supponiamo di avere un autovalore lambda reale e una coppia di autovalori complessi e coniugati. Chiamiamoli alfa più j omega e alfa meno j omega. Questi sono i tre autovalori che troverete come radici del polinomio caratteristico.
La prima cosa che osserviamo in realtà è che la matrice A, che ha questi autovalori, è una matrice di semplice struttura. Voi dite, è meno semplice di prima? In realtà il fatto che alcuni autovalori siano complessi e coniugati...
comunque sono distinti tra di loro. E' meno semplice da adattare, ma è strutturalmente semplice, nel senso che ha autovalori distinti. Allora, ognuno di questi autovalori genererà un autovettore. Essendo tre, essendo distinti, ognuno di questi genera un solo autovettore, perché la molteplicità algebrica è uguale a quella geometrica e pari a uno, quindi ognuno di questi genera per forza un autovettore. Quindi il primo lambda genererà un autovettore, chiamiamolo u.
Alfa più j omega genererà anch'esso un autovettore, però sarà un autovettore complesso. Quindi sarà fatto, se volete, da un u con a più j u con b, dove u con a e u con b sono due vettori reali. Lo scriviamo in questa forma per sottolineare che è un autovettore complesso.
α-jω genera anche esso un autovettore e sarà il complesso coniugato dell'altro sarà, cioè u con a, meno j u con b Siamo? Quindi è questo il caso che proviamo a esaminare. Allora.
Come faccio a trovare questi autovettori complessi? Guardiamo solo il caso complesso, quello reale abbiamo ovviamente visto. Guardiamo un attimo quello complesso. Se questi sono gli autovettori, questi che abbiamo scritto, sono soluzioni di quale sistema? Di quale sistema?
Del sistema A meno lambda I. Ma lambda in questo caso chi è? Sarà alfa più j omega, questo è il nostro lambda, per I.
Questa matrice va moltiplicata per l'autovettore, che abbiamo detto nel nostro caso essere u con a più j u con b. Questo deve essere uguale a zero. Ma zero vettore, e in questo caso dovrei dire zero vettore complesso, quindi in realtà dovrei scrivere zero più j zero, dove zero sono due vettori complessi. Perché a sinistra ho un vettore complesso, quindi dire che è nullo vuol dire che nulla sia la parte...
reale ma anche la parte immaginare devono essere uno e tutti e due quindi per evidenziare questa cosa scrivo uguale a 0 più j0 per quanto abbia senso insomma. Ovviamente posso fare anche la stessa cosa per l'altro autovalore quindi scriverò a meno alfa meno j omega per i questo moltiplicherà u con a meno j u con b ancora uguale a 0 più j0 ci siamo? allora in realtà la prima equazione la prima o la seconda equazione sono in realtà equivalenti perché?
perché dalla prima equazione Questo? Perché questo è un vettore complesso, quindi è un vettore reale più G è un altro vettore reale, quindi diciamo lo scritto è... ...essendo incognitato.
Vabbè ma zero non ha segno, voi ci mette il meno ma... Tornando a questa prima espressione, o risolviamo la prima o risolviamo la seconda, è uguale perché dalla prima, essendo un'uguaglianza complessa, possiamo costruire comunque il fatto della prima nascosta. Sono due equazioni, una per l'uguaglianza della parte reale e una per l'uguaglianza della parte complessa. Quindi u con a e u con b le posso ricavare tutte e due solamente dalla prima equazione. Allora, consideriamo un attimo solo la prima.
Proviamo a sviluppare una equazione. fare questi prodotti, quindi abbiamo detto abbiamo la matrice A che moltiplica il vettore U con A e faccio il prodotto della matrice A per questo, quindi ho A per U con A più J A per U con B, quindi scrivo più J A per U con B e ho fatto il prodotto di A per l'autovettore. Poglio, mi... meno alfa u con a meno j alfa u con b e ho fatto il prodotto di alfa e poi ho meno j omega u con a poi avrei meno j per j quindi meno per meno u più omega per u con b e questo deve essere uguale a 0 più j0 ora vedete abbiamo alcuni termini reali e alcuni immaginari quindi da questa uguaglianza complessa generiamo due uguaglianze reali quindi la prima prendiamo tutti i termini reali quindi avremo a per u con a Lascio questo termine a sinistra e porto tutti gli altri a destra, facciamo tutti i passaggi, quindi a ugona, poi abbiamo meno alfa ugona, quindi ho preso questo, ho preso quest'altro, mi manca l'ultimo, più omega u con b è uguale a zero. 0 vettore, perché A è una matrice, U con A sono vettori, questa è un'uguaglianza vettoriale.
E poi abbiamo, prendiamo invece tutti i termini rimanenti, quindi avremo A per U con B. meno, j non serve, meno alfa u con b, quindi ho preso questo, ho preso questo, mi manca meno omega u con a, ok? Anche questo è uguale a zero, trovate?
Bene, questo sistema lo posso anche riscrivere in questa forma, lascio a sinistra solo il prodotto A per U con A e porto tutto il resto a destra, quindi avrò alfa U con A più omega U con B, meno omega U con B. Poi abbiamo A per U con B uguale ad alfa, anzi facciamo così. omega u con a più alfa u con b. Questo è un sistema di equazioni, possiamo anche scriverlo in forma matriciale. Per scrivere in forma matriciale che facciamo?
Mettiamo a sinistra la matrice A. e poi mettiamo in un'altra matrice per colonne i vettori u con a e u con b se facciamo il prodotto della matrice a per questa matrice avremo due colonne la prima colonna sarà a per u con a e la seconda colonna a per u con b che sono i due elementi che ho qui a sinistra dell'uguaglianza scrivo ancora uguale Andrò quindi a costruire ancora una matrice in cui metto i vettori u con a e u con b per colonne e poi qui avrò una matrice che devo capire com'è fatta per rispettare quest'uguaglianza. Vediamo un attimo di capire come costruirla. La dobbiamo guardare qui a destra. Allora, qui avremo un prodotto di una riga per una colonna, questa è una matrice A, quindi sarà una matrice n per n, questa matrice qui è una matrice che ha n righe e due colonne.
Questa matrice qui è una matrice di n righe e 2 colonne, quindi questa deve per forza avere 2 righe e 2 colonne per trovarsi con quella che abbiamo a sinistra. Quindi è una matrice 2x2. Cosa ci troviamo? Allora facciamo il prodotto.
U con A, il coefficiente che abbiamo nella prima equazione è alfa La u con a, vedete, u con a moltiplica questa prima riga e quindi sono questi due coefficienti, sono alfa e omega e quindi qui avremo omega La u con b, che è questa, moltiplica questa seconda riga e quindi sono questi due coefficienti qua quindi avremo meno omega alfa Quindi da questo, diciamo, o scriviamo questo sistema di uguaglianza o scriviamo questo in forma matriciale, in effetti è la stessa cosa. Siamo? Sì.
Sai che non ce la facciamo a finire. Vabbè, facciamo altri cinque minuti e vediamo dove arriviamo. Allora, assodata quest'uguaglianza, quindi mettiamola un attimo da parte, proviamo a costruire una matrice modale fatta in questo modo. Nella matrice modale cosa dovrei scrivere?
La matrice modale canonica dovrebbe avere per colonne u, l'autovalore di lambda, poi dovrei scrivere u con a più j u con b, che è l'autovalore del primo autovalore complesso, e poi u con a meno j u con b. Questa è la matrice modale che dovrei costruire, però è complessa, io vorrei evitare di lavorare con numeri complessi. Allora la vado a modificare in questo modo, chiamiamo U con R questa matrice modale perché è diversa dall'altra, la modifichiamo.
In questa matrice mettiamo per colonna. I vettori U, il vettore U con A e il vettore U con B, dove U con A e U con B sono la parte reale, la parte immaginaria del singolo autovettore che abbiamo trovato. Vedete, a differenza della precedente, è una matrice reale.
Ecco perché mettiamo la R... Allora, è una matrice reale, quindi per noi è più semplice da trattare. Vediamo però qual è il prezzo che paghiamo usando questa matrice e sperando però che riusciamo comunque a ottenere un qualcosa che sia diagonale o quantomeno simile alla matrice diagonale. Allora, costruiamo il prodotto della matrice A per questa matrice U con R che abbiamo costruito in questo modo. Questa sarà quindi uguale ad A, U, U con A, U con B.
Trovate? Questa, se volete, la posso anche riscrivere in questo modo. Scrivo U con A, U con A e U con B qui a sinistra, e qui poi dovrò costruire una matrice che rispetta quest'uguaglianza, cercando di capire com'è fatta.
Allora, questa matrice A se la moltiplichiamo per U abbiamo A per U, no? A per U, essendo U l'autovettore, è uguale anche a lambda per U, no? Qui a destra, questo vettore U, facendo righe per colonne, questo vettore U moltiplicherà questa prima riga.
quindi vuol dire che se qua ci metto lambda 0,0 e qua 0,0 o meglio, in realtà i due 0 li posso mettere solamente qui sotto per quello che ho detto se faccio questa riga per questa colonna ottengo il prodotto lambda peru che è proprio uguale ad aperu primo elemento che dovrei trovare in questo prodotto facendo questi prodotti qui no e quindi va bene come primo elemento poi cosa dovrei trovare qui a fianco Dobbiamo guardare la matrice che abbiamo appena ottenuta, perché se guardiamo un attimo, se facciamo il prodotto A per questa coppia, abbiamo A per U con A, U con B. L'abbiamo appena visto prima, un attimo fa. Qui abbiamo U con B, U con A e U con B, quindi qui dentro dovrà comparire quella matrice nella forma alfa, omega, meno, omega, alfa.
Devo però evitare di moltiplicare anche la U, quindi ci metto due zeri qua sopra, in modo che la U venga moltiplicata per zero. e ritrovo quel sottorisultato precedente in questa parte a blocchi della matrice. Se volete posso partizionare a blocchi nel fare il prodotto e ottengo quindi la matrice in questa forma.
Questo è il prodotto A per U con R. Cosa succede se faccio il prodotto ... Cioè se scrivo la matrice A in questa forma, chiamo prima di tutto questa matrice che ho così costruito, questa, la chiamo lambda con R. Perché la chiamo lambda con R?
È una matrice che contiene gli autovalori, perché abbiamo lambda, che è l'autovalore sulla diagonale, vedete è una matrice diagonale a blocchi, questo è un blocco, questo è un altro blocco, è una matrice diagonale a blocchi. In questo blocco abbiamo l'autovalore reale, in questo blocco abbiamo i coefficienti degli autovalori complessi e coniugati sono due gli autovalori complessi e coniugati, no? e quindi, diciamo, se fossero stati altri due reali avrei avuto solo qualcosa su un coquesta diagonale avendo usato questa forma alterata della matrice modale mi ritrovo un blocco 2x2 invece di un elemento puramente diagonale Quindi rimane una struttura diagonale della matrice degli autovalori, però è una matrice diagonale a blocchi. Il vantaggio qual è? È che sia la matrice modale, sia la matrice, quindi la U con R, sia la lambda con R, sono matrici reali, non ci sono numeri complessi.
Quindi se costruiamo la matrice modale in questa forma qui, Avremo che la U e anche la λ saranno complesse perché qui cosa troverei poi sulla diagonale? Lambda, alfa più j omega, alfa meno j omega, questa sarebbe la lambda canonica, da questa qui genererei una lambda fatta, lambda grande, da lambda, alfa più j omega, alfa meno j omega e poi tutti zero questa è la lambda che avrei ottenuto, però in entrambi i casi e dovrei lavorare con i numeri complessi se voglio evitarlo posso farlo il prezzo che pago è quello di avere questa matrice diagonale a blocchi non più diagonale che vuol dire pago perché finora in realtà non è che sto pagando ancora molto il problema qual è? che quando vado ora a fare la matrice A questa quindi la scriverò come U con R matrice lambda con R U con R a meno 1 quando vado a fare la matrice esponenziale La matrice esponenziale sarà u con r elevato a lambda r u con r a meno 1. Devo fare l'esponenziale di questa matrice. Ora l'esponenziale di una matrice diagonale è banale, perché è uguale alla diagonale degli esponenziali lungo la diagonale.
Ma ora è diagonale a blocchi. Quello che so è che una matrice diagonale a blocchi, se ne faccio l'esponenziale, ottengo ancora una matrice diagonale a blocchi in cui sui blocchi ho gli esponenziali dei blocchi che trovo sulla diagonale, quindi in pratica questa la scriverei così, u con r E elevato a lambda t, che è il primo blocco, e qua dovrei scrivere e elevato alfa omega meno omega alfa t per u con r a meno 1. Mi ritrovo questa matrice, questa qui non la so ancora calcolare, questa e elevato a questo blocco 2 per 2, non la so calcolare ancora. E questo è il prezzo che pago, tra virgolette, anche se in realtà lo calcoliamo una volta, ora, e poi usiamo direttamente i risultati. Ora, intendiamoci alla prossima lezione.
Quindi alla prossima lezione ripartiamo con il calcolo di questo blocco diagonale 2x2.