Assalamualaikum Wr Wb Ketemu lagi dengan saya, Denny Hendayani di channel Medlab Ini adalah video pembelajaran untuk materi limit fungsi aljabar Pada video ini saya akan membahas konsep dasar limit Bagaimana cara menentukan limit dari grafik fungsi Serta bagaimana syarat suatu fungsi memiliki limit Dan saya juga akan membahas beberapa metode cara menyelesaikan permasalahan limit fungsi aljabar Oke langsung aja kita bahas materinya Oke, pada video ini kita akan belajar materi limit fungsi aljabar. Pertama, kita pahami dulu konsep dasar limit. Nah, ini adalah notasi limit dibaca limit fungsi fx untuk x mendekati a sama dengan l. Artinya, jika x mendekati a tetapi x-nya tidak sama dengan a, maka fx-nya mendekati nilai l. Nah, perlu teman-teman ketahui, tidak setiap fungsi itu memiliki limit.
Saratnya suatu fungsi memiliki limit jika limit kiri sama dengan limit kanan atau dapat ditulis seperti ini. Limit fungsi fx untuk x mendekati a, nah ini pangkat negatif ini artinya mendekati a dari kiri. Sama dengan limit fungsi fx untuk x mendekati a, ini pangkat positif artinya mendekati a dari kanan.
Jadi syarat suatu fungsi memiliki limit, syaratnya limit kiri harus sama dengan limit kanan. Biar lebih jelas, perhatikan contoh berikut ini. Contoh, misalnya kita akan mencari limit fungsi x kuadrat min 1 per x min 1 untuk x mendekati 1. Fungsi fx sama dengan x kuadrat min 1 per x min 1 ini nilainya terdefinisi untuk semua x bilangan real kecuali x sama dengan 1. Artinya, jika x-nya kita ganti dengan berapapun bilangan real, ini nilainya ada kecuali...
X nya sama dengan 1 Sekarang kita coba X sama dengan 1 Kita substitusi ke sini Kita ganti X nya dengan 1 ya Jadi F1 sama dengan 1 kuadrat Ini kan X kuadrat, X nya kita ganti dengan 1 Jadi 1 kuadrat Dikurangi 1 per x-1 Kita ganti jadi 1 Dikurangi 1 Dan ternyata hasilnya adalah 0 per 0 Ini adalah bentuk tak tentu Jadi terbukti bahwa fx ini Tidak terdefinisi untuk x sama dengan 1 Nah meskipun fungsi ini Tidak terdefinisi untuk x sama dengan 1 Tapi ketika x-nya mendekati 1 Maka fx ini akan mendekati suatu nilai Kita cari dengan menggunakan limit Nah kita cari secara manual teman-teman. Di sini saya buat tabel dan kita akan memasukkan sembarang X yang mendekati 1. Untuk X sama dengan 1 tadi sudah jelas dia tidak terdefinisi maka FXnya tidak ada nilainya, tidak memiliki nilai. Nah untuk X mendekati 1 dari kiri saya mulai dari 0,8 kemudian 0,9 kemudian 0,99. Nah ini kan makin mendekati 1 kan dan seterusnya. Kemudian untuk dari kanannya...
Dari kanan saya ambil dari 1,2 kemudian 1,1 kemudian 1,01 dan seterusnya. Ini makin ke sini, ini makin mendekati 1. Dan ini juga sama, makin ke kanan, ini makin mendekati 1. Nah nilai X ini sekarang kita substitusi ke FX. 0,8 kita substitusi ke FX.
Jadi setiap X ini kita ganti dengan 0,8. Dan ternyata hasilnya adalah 1,8. Sekarang kalau X-nya 0,9 kita substitusi ke sini, ternyata hasilnya adalah 1,9.
Sekarang jika X-nya 0,99 kita substitusi ke FX ini, ternyata hasilnya adalah 1,9. Hasilnya adalah 1,99 Dan seterusnya Kemudian pendekatan X dari kanan Untuk X 1,2 kita Substitusi juga Ternyata hasilnya adalah 2,2 Untuk X 1,1 kita Substitusi hasilnya adalah 2,1 dan untuk X 1,01 Kita substitusi ke sini Hasilnya adalah 2,01 dan seterusnya Nah sekarang teman-teman lihat Untuk pendekatan dari kiri, nilai fx-nya ini mendekati berapa? 1,8, 1,9, 1,99.
Ternyata ini kan mendekati 2 kan? Artinya limit x kuadrat min 1 per x min 1 untuk x mendekati 1 dari kiri nilainya adalah 2. Ini semakin mendekati nilai 2 fx-nya. Kemudian pendekatan dari kanan. Dari kanan menuju 1, ini fx-nya mendekati angka berapa?
2,2, 2,1, 2,01, ternyata ini juga mendekati. Jadi pendekatan dari kanan, limit fungsi x y dat min 1 per x min 1 untuk x mendekati 1 dari kanan ternyata nilainya adalah 2. Karena limit kiri sama dengan limit kanan, maka limit fungsi ini untuk x sama dengan x min 1, dengan 1, jelas hasilnya adalah 2 nah sekarang kita akan coba bandingkan hasilnya, hasil perhitungan kita ini dengan melihat grafik fungsi fx ini oke perhatikan grafik Grafik fungsi fx sama dengan x kuadrat minus 1 per x minus 1 berikut. Nah ini grafik fungsi yang barusan. Ternyata grafiknya itu seperti ini teman-teman.
Nah bisa kalian lihat untuk x sama dengan 1 ternyata grafik ini dia tidak terdefinisi. Di sini grafiknya itu berlubang artinya tidak terdefinisi untuk x sama dengan 1. Tapi untuk x sama dengan 1 nilainya itu mendekati 2. Iya nggak? Maka jelas limit fungsi x kuadrat minus 1 per x minus 1 untuk x mendekati 1 hasilnya adalah 2. Bisa kita lihat.
Kita lihat dari sini. Nah, biar lebih paham bagaimana melihat limit suatu fungsi dari grafiknya, kita coba perhatikan grafik fungsi gx berikut ini. Misalnya ini adalah grafik fungsi gx seperti ini.
Kita akan mencari limit fungsi gx untuk x mendekati negatif 2. x mendekati negatif 2 berarti kan x-nya ini. Kita lihat limitnya mendekati berapa. Ternyata mendekati 1, meskipun di sini tidak terdefinisi. Tapi nilainya mendekati 1 Jadi limit fungsi GX untuk X mendekati negatif 2 adalah positif 1 Sekarang bagaimana kalau kita mau mencari limit fungsi GX untuk X mendekati 1 Untuk X mendekati 1 Nah ini artinya dari kiri ya Ini artinya dari kiri Mendekati 1 dari kiri Ternyata hasilnya adalah positif 1 Dan limit fungsi GX pendekatan dari kanan Ini hasilnya adalah 2 Ternyata limit kiri Tidak sama dengan limit kanan Maka fungsi GX Dia tidak memiliki limit Untuk X mendekati 1 Artinya limitnya tidak ada Oke sekarang kita lanjut Bagaimana cara menentukan nilai limit suatu fungsi Untuk menentukan nilai Limit fungsi FX Untuk X mendekati A Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut Langkah pertama Substitusikan nilai A Jika FA terdefinisi Maka limit fungsi FX X mendekati A Hasilnya akan sama dengan FA.
Contoh, misalnya kita akan mencari limit fungsi 2X tambah 4 per 2X untuk X mendekati 2. Ingat langkah pertama, teman-teman substitusikan hasilnya terdefinisi atau enggak. Seperti itu. Kita ganti aja X-nya dengan 2. 2 Jadi 2 kali 2 ditambah 4 Per 2 kali X Berarti 2 kali 2 2 kali 2 kan 4 4 tambah 4 itu 8 Dan 2 kali 2 4 Jadi 8 per 4 Hasilnya adalah 2 Nah Nah, jika hasilnya terdefinisi seperti ini, hasilnya ada, maka nilai limit tersebut adalah 2. Jadi, limit 2x tambah 4 per 2x untuk x mendekati 2 hasilnya adalah 2. Gampang kan? Sekarang langkah kedua, jika fA tidak terdefinisi, maka limit fx untuk x mendekati A itu limitnya tidak ada. Contohnya, limit 3x tambah 4 per 2x-2 untuk x mendekati 1. Kita substitusi lagi.
X nya ganti dengan 1 Ternyata hasilnya adalah 7 per 0 Ingat kalau 0 sebagai pembagi Maka hasilnya itu tidak terdefinisi Nilainya tidak ada Maka fungsi ini tidak memiliki limit untuk X mendekati 1 Atau nilai limitnya tidak ada Sekarang kita lanjut ke langkah ketiga Jika FA ternyata hasilnya adalah 0 per 0 0 per 0 ini bentuk tak tentu Maka kita memerlukan strategi penyelesaian lain Di antaranya Pertama kita bisa memfaktorkan Atau yang kedua kita bisa mengalihkan dengan bentuk sekawan Nah ini tergantung jenis soalnya ya Contoh misalnya Limit fungsi x kuadrat min 5x tambah 6 per x kuadrat min x dikurangi 2 Untuk x mendekati 2 Kalau kita substitusi atau kita ganti X-nya dengan 2, ternyata hasilnya adalah 0 per 0. Ini bentuk tak tentu dan tidak mungkin jawabannya ini. Maka kita lanjut memilih strategi memfaktorkan atau mengalihkan dengan bentuk sekawang. Nah untuk bentuk berpangkat seperti ini Ini kita selesaikan dengan cara memfaktorkan pembilang dan penyebut Ini kita faktorkan bagian atas dan bagian bawahnya Atau pembilang dan penyebutnya Bagi teman-teman yang belum bisa memfaktorkan bentuk kuadrat Silahkan pelajari video linknya akan saya sertakan di kolom deskripsi Oke X kuadrat min 5X tambah 6 ini Kita faktorkan jadi X-3 kali X-2. Dan X kuadrat min X-2 ini kita faktorkan menjadi X-2 kali X plus 1. Nah, di sini ada faktor persekutuan atau faktor yang sama. Faktor yang samanya adalah X-2 dan X-2.
Ini kan sama. Atas dan bawahnya ada. Ini kita coret aja, teman-teman. Kita coret artinya X-2 dibagi X-2 itu nilainya 1, jadi tidak akan ngaruh.
Ini kita coret saja. Maka limitnya ini akan lebih sederhana. Limitnya menjadi limit X-3 per X plus 1. X-3 per X plus 1, seperti ini.
Untuk X mendekati 2, berikutnya ini kita substitusi saja. Kita ganti X-nya dengan 2. X-nya kita ganti dengan 2 ketika substitusi limitnya jangan ditulis lagi. Langsung saja X-nya kita ganti dengan 2, jadi 2 dikurangi 3. per 2 tambah 1 2 dikurangi 3 kan negatif 1 2 ditambah 1 itu 3 maka hasilnya adalah negatif 1 per 3 jadi limit ini nilainya adalah negatif 1 per 3 nah bagaimana dengan cara kedua mengalihkan dengan bentuk sekawan Sekarang kita coba contoh berikutnya Oke kita lanjut ke contoh keempat Kita akan mencari nilai limit 2 min akar X tambah 1 per X min 3 untuk X mendekati 3 Ingat langkah pertama ini kita substitusi dulu Kita ganti X nya dengan 3 Kita pastikan ini hasilnya itu terdefinisi atau enggak Kita ganti X nya dengan 3 Jadi kita peroleh 2 min akar X tambah 1 berarti 3 tambah 1 Dan penyebutnya X min 3 berarti 3 dikurangkan 3 tambah 1 kan 4. Akar 4 itu 2. Jadi 2 dikurangi 2 itu 0. 3 dikurangi 3 juga 0. Jadi hasilnya adalah 0 per 0. Bentuk tak tentu.
Nah, karena hasilnya tak tentu, maka kita lanjut ke strategi berikutnya. Untuk bentuk akar seperti ini, ini kita kalikan dengan bentuk sekawannya. Kalau bentuk wadat atau berpangkat seperti tadi, itu kita faktorkan. Kalau bentuknya akar seperti ini, ini kita kalikan dengan bentuk sekawannya.
Limit 2 min akar X tambah 1 per X min 3 untuk X mendekati 3 ini kita kalikan dengan bentuk sekawannya. Untuk sekawannya, teman-teman lihat bentuk berpangkat seperti ini. Ini kita ganti aja tandanya. Kalau di sini pengurangan, maka bentuk sekawannya adalah penjumlahan.
Sebaliknya, kalau di sini penjumlahan, bentuk sekawannya adalah pengurangan. Oke, 2 min akar X tambah 1. Maka bentuk sekawannya adalah 2 plus akar X tambah 1 per 2 plus akar X. X tambah 1, nah ini kita Kalikan aja, ingat bentuk Algebra, A min B Kali A plus B itu akan sama dengan A kuadrat min B kuadrat Ini kita gunakan Misalnya ini 2 ini sebagai A nya Akar X tambah 1 ini sebagai B nya Maka ini pun sama Akan menjadi A plus B Yang sebelah sini A min B Jadi bisa kita gunakan bentuk ini Polanya seperti ini Sama dengan limit A min B kali A plus B Itu kan A kuadrat min B kuadrat Di sini A nya itu 2 Berarti 2 kuadrat min B nya itu akar X tambah 1 Akar X tambah 1 kita kuadratkan A kuadrat min B kuadrat Yang bawahnya ini kalikan aja X min 3 kita kalikan dengan 2 plus akar X tambah 1 X min 3 kali 2 plus akar X tambah 1 Seperti ini 2 dikuadratkan 4 Akar X tambah 1 dikuadratkan. Akar dikuadratkan. Kita coret aja akarnya.
Jangan lupa ini masih tanda kurung ya. Kurung. Berarti ini akarnya hilang. Jadi X tambah 1. Bawahnya masih sama. Sekarang kita buka kurungnya Negatif kali positif itu negatif X Negatif kali positif 1 itu negatif 1 Kemudian ini bawahnya masih sama Kemudian 4 dikurangi 1 kan 3 Jadi 3 min X per X min 3 kali 2 tambah akar X tambah 1 Bawahnya masih sama Nah sekarang kita akan berusaha agar bentuk bagian atas ini sama dengan yang bawah Caranya kita keluarkan negatif 3 min X kita keluarkan negatifnya Ini akan sama dengan negatif X min 3 Coba kalau kita kalikan Negatif kali X itu kan negatif X Kemudian negatif kali negatif 3 itu adalah positif 3 Kita keluarkan negatifnya Nah sekarang teman-teman lihat Ada persekutuan Ada yang sama antara pembilang dan penyebut Nah ini adalah yang menyebabkan hasilnya 0 per 0 Kita coret aja Berarti disini 1 ya Limit X mendekati 3 Ini negatif 1 per Bawahnya tinggal 2 plus akar X tambah 1 Selanjutnya Kita substitusi, kita ganti X nya dengan 3 Negatif 1 per 2 Ditambah X nya kita ganti Dengan 3, jadi akar 3 tambah 1 Akar 3 tambah 1, berarti kan akar 4 Akar 4 itu 2 Jadi 2 tambah 2, 4 Negatif 1 dibagi 4, itu negatif 1 per 4 Jadi limit Fungsi ini Limit 2 min akar X tambah 1 per X min 3 untuk X mendekati 3 hasilnya adalah negatif 1 per 4. Oke?
Oke, sebagai bahan latihan silahkan teman-teman coba soal-soal berikut ini. Insya Allah akan saya bahas di video berikutnya. Sampai sini dulu video kita kali ini, sampai ketemu di video berikutnya Assalamualaikum Wr Wb