Sistem Bilangan Real

Pendahuluan

• Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh
• Topik bahasan kali ini: Sistem Bilangan Real

Bilangan Rasional

• Definisi:
  • Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan m/n
  • m dan n adalah bilangan bulat, dengan n ≠ 0
• Subhimpunan bilangan rasional
  • Bilangan asli (N): awal mula manusia mengenal jumlah
  • Bilangan bulat: menambahkan bilangan negatif ke bilangan asli

Keterbatasan Bilangan Bulat

• Bilangan bulat tidak mencakup semua jenis perhitungan
• Contoh:
  • Pembagian kue tidak selalu dalam bentuk utuh
  • Pengukuran panjang bisa berbentuk pecahan

Bilangan Irasional

• Definisi: bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai pecahan
• Contoh:
  • Akar 2 dan akar 3 dari 5
  • Pi (π) yang didekati dengan 22/7

Himpunan Bilangan Real

• Gabungan antara bilangan rasional dan bilangan irasional

Representasi Desimal

• Semua bilangan real bisa direpresentasikan dalam bentuk desimal
• Contoh bilangan rasional dan desimal:
  • 1/2 = 0,5
  • 3/8 = 0,375
  • 3/7 = 0,428571... (berulang)

Menentukan Bilangan Rasional dan Irasional

• Desimal berulang menunjukkan bilangan rasional
• Desimal tidak berulang menunjukkan bilangan irasional
• Contoh:
  • 0,136136... dapat dinyatakan sebagai pecahan

Sifat Aljabar pada Bilangan Real

Penjumlahan

• Komutatif: A + B = B + A
• Asosiatif: (A + B) + C = A + (B + C)
• Identitas penjumlahan: 0
• Invers: setiap bilangan memiliki inversnya masing-masing

Perkalian

• Komutatif: A × B = B × A
• Asosiatif: (A × B) × C = A × (B × C)
• Identitas perkalian: 1
• Invers: 1/A

Sifat Distributif

• A + B × C = A × C + B × C

Sifat Urutan dalam Bilangan Real

Bilangan Positif

• Didefinisikan sebagai subhimpunan terbesar yang tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian

Trichotomy

• Setiap bilangan dalam himpunan bilangan real adalah
  • Positif
  • Negatif
  • Nol

Kesimpulan

• Bilangan real mencakup bilangan rasional dan irasional
• Memahami sifat aljabar dan urutan penting untuk studi lebih lanjut
• Konsep bilangan positif dan sifat trichotomy memberikan dasar pada pemahaman bilangan real.