Intro Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh Pada kesempatan kali ini saya akan membahas mengenai sistem bilangan real Sebelum kita mulai membahas mengenai bilangan real Saya akan memperkenalkan terlebih dahulu bilangan rasional Nah mungkin anda sudah tahu ya salah satu subhimpunan dari bilangan rasional Yang paling sederhana itu adalah kita mengenal bilangan asli Bilangan asli tersebut biasanya dinotasikan dengan N Nah bilangan asli ini Awalnya dipahami oleh manusia sebagai bentuk untuk menyatakan banyaknya suatu objek. Manusia hanya mengenal bilangan satu, dua, satu benda, dua benda gitu ya. Misalnya satu buku, dua buku.
Nah manusia belum pahami bahwa adanya bilangan yang negatif. Nah kemudian ya diperkenalkanlah bilangan negatif. Sehingga dibentuklah suatu kelompok bilangan yang baru yang kita sebut sebagai bilangan bulat.
Bilangan bulat itu sendiri ternyata masih belum cukup untuk... mewadahi perhitungan yang ada karena tidak berarti segala satu itu selalu dalam bentuk yang bulat bagi contoh misalnya ketika seseorang membagikan kue tidak selalu kue yang dibagikan itu diberikan dalam bentuk utuh misalnya ketika melakukan pengukuran terhadap panjang, panjang tersebut juga tidak akan selalu dalam artian berupa panjang dalam bilangan bulat hanya panjangnya 1,23 meter untuk mewadahi bentuk tersebut makanya dikenalah yang kita kenal sampai saat ini yaitu bilangan rasional. Bagaimana kita mendefinisikan bilangan rasional?
Bilangan rasional itu sendiri adalah bilangan yang selalu bisa dinyatakan sebagai bentuk pecahan yang di sini dinarasikan dengan m per n. Nah, gimana? m dan n-nya haruslah merupakan bilangan bulat.
Jadi, karena kita sudah mendefinisikan bilangan bulat, selanjutnya kita definisikan bilangan rasional berdasarkan definisi bilangan bulat tadi. Jadi, kita bisa mengambil dua buah bilangan bulat, kemudian nyatakan dalam bentuk... pecahan, maka itu adalah bilangan rasional selama n-nya tidak sama dengan 0. Artinya, setiap bilangan yang bisa kita buat sebagai bentuk pecahan itu kita sebut sebagai bilangan rasional. Nah, menjadi suatu pertanyaan, apakah semua bilangan itu bisa dibuat dalam bentuk pecahan?
Atau dalam kata lain, apakah semua bilangan itu mengupakan bilangan rasional? Kita akan meninjau cara mengukur panjang yang berbeda. Misalkan kita punya sebuah segitiga siku-siku. Segitiga siku-siku memiliki sisi 1. dan juga sisi lainnya juga dengan panjang 1-1.
Nah, kita bisa mengetahui bahwa kedua sisi segitiga siku-siku ini adalah bilangan rasional, karena 1 itu sendiri adalah 1 per 1. Tentu Anda sudah mempelajari mengenai umus Pitagoras. Nah, untuk mencari sisi miring dari segitiga siku-siku ini, kita tahu bahwa sisi miringnya adalah akar 2. Kemudian kita bertanya-tanya, apakah akar 2 ini merupakan bilangan rasional? Nah, bagaimana kita mengetahui apakah akar 2 bilangan rasional ya? Kita harus bisa menyatakan akar 2 dalam bentuk pecahan. Yang mana pembilang dan juga penyebutnya itu bukanlah bilangan belas.
Dan tentu saja itu tidak bisa dilakukan. Ya, Anda bisa menggunakan kalkulator, Anda akan mendapatkan akutua itu sebagai bentuk desimal yang tidak berhingga, yang mana Anda tidak akan bisa mengubahnya menjadi bentuk pecahan. Sebagai gambaran lainnya, misalkan kita memiliki bilangan akar pangkat 3 dari 5. Akar pangkat 3 dari 5 itu sendiri juga tidak bisa dinyatakan sebagai bentuk pecahan. Selanjutnya bagaimana dengan V?
V itu... Ketika Anda berada di tingkat sekolah, biasanya diperkenalkan V itu didekati dengan 22 per 7. Nah, perlu Anda pahami bahwa nilai 22 per 7 itu hanyalah suatu pendekatan dalam bentuk rasional. Karena pershitungan dalam bentuk irasional itu sulit bagi siswa tingkat sekolah. Tapi tentu saja untuk Anda ketahui bahwa sebenarnya V itu bukanlah 22 per 7. Selanjutnya, bilangan-bilangan ini yang merupakan akar 2, akar 3 dari 5, dan juga... dan juga bilangan-bilangan lainnya tidak bisa dinyatakan sebagai bantu pecahan itu dikenal sebagai bilangan irasional.
Kemudian kita menghimpun semua bilangan rasional dan juga bilangan irasional. Nah, himpunan tersebut kita kenal sebagai himpunan bilangan real. Selanjutnya, saya akan perkenalkan notasi penulisan bilangan real.
Di dalam semua bilangan real selalu dapat direpresentasikan sebagai desimal. Jadi kalau bilangan irasional tidak bisa kita buat sebagai pecahan. yang mana penyebutan pembilangnya bulat, kita selalu bisa tetap menyatakannya sebagai desimal. Ya, hanya saja sebagai contoh, misalkan kita punya bilangan rasional. 1 per 2 itu bisa dinyatakan sebagai bentuk desimal 0,5.
3 per 8 itu bisa 0,375. 3 per 7 itu bisa dinyatakan sebagai 0,428571, 428571, dan diulang-ulang seterusnya. Selanjutnya, bagaimana dengan bilangan inversional?
Contoh, misalnya akar 2. Pasar dua itu bisa dinyatakan sebagai 1,4142135623 dan seterusnya. Kemudian V bisa dinyatakan 3,1415926535 dan seterusnya. Nah penulisan ini dikenal sebagai penulisan dalam bentuk desimal. Selanjutnya yang jadi permasalahan adalah bagaimana kita mengetahui apakah suatu bilangan yang telah dinyatakan dalam bentuk desimal itu merupakan bilangan rasional atau irasional.
Itu menjadi suatu permasalahan yang dapat kita pahami bersama. Nah untuk mengetahui apakah suatu bilangan real merupakan bilangan rasional atau irasional, kita bisa melihat bentuk desimal berulang. Ketika Anda memiliki bilangan real dengan desimal berulang, maka bisa dipastikan bilangan tersebut adalah bilangan.
Rasional. Sebagai contoh, misalkan Anda memiliki bentuk 3 per 8. 3 per 8 itu bisa dinyatakan sebagai 0,375. Setelah 3,75 itu bisa ditulis 0,000 dan seterusnya. Nah, 0,000 ini kita kenal sebagai desimal berulang. Kemudian bagaimana 13 per 11?
13 per 11 bisa dinyatakan 1,18,18,18, dan seterusnya. Nah, artinya ini merupakan desimal berulang juga. Hal ini juga berlaku sebaliknya.
Artinya jika kita memiliki bentuk desimal yang tidak bisa kita buat dalam bentuk berulang, sebagai contoh tadi bilangan V. Bilangan V tadi, kalau Anda perhatikan bentuk desimalnya itu tidaklah berulang. Agar bisa dikatakan cak. Kemudian juga dengan akar 2, bentuk desimalnya tidaklah berulang-ulang. Berbeda dengan 3 posisi tadi.
Kita punya 428571, 428571, 428571. Dan terulang-ulang seterusnya. Nah selanjutnya. Pertanyaannya, jika semua bilangan yang dinyatakan desimal dan berulang bisa dikatakan rasional, bagaimana kita mengatakan 0,136 itu bilangan rasional? Tentu kita harus bisa membuatnya menjadi bentuk pecahan, tapi tidak sembarang bentuk pecahan. Bentuk pecahan yang mana pembilang dan penyebutnya itu adalah bilangan bulat.
Nah, sekarang menyatakan bilangan 0,136,136, dan seterusnya menjadi bentuk pecahan. Itu bisa dilakukan dengan cara mengalihkan bilangan tersebut dengan 1000. Kenapa? Karena di sini terulangnya setiap 3 angka. Karena terulang 3 angka, kita kalikan dengan 10 pangkat 3, yaitu 1000. Kita punya 136,136 dan seterusnya.
Nah, bilangan 1000x dengan bilangan x tadi bisa kita kurangi, sehingga mempunyai 799x, itu adalah 136, yang mana itu merupakan bilangan bulan. Sehingga kita bisa mengatakan x sama dengan 136 per 900. dengan kata lain kita bisa mengubah bilangan V dalam bentuk sesimal yaitu 0,136136 dan seterusnya menjadi bentuk pecahan dengan cara yang saya sajikan misalnya kita akan mengenal sempat aljabar pada bilangan V pada bilangan real kita mengetahui bahwa ketika kita punya bentuk penjumlahan yaitu A ditambah B pada bilangan real A ditambah B akan mengalurkan hasil yang sama dengan B ditambah A Kemudian kita juga punya sifat asosiatif yang mana A ditambah B dikerjakan terlebih dahulu, kemudian ditambah dengan C itu akan sama saja dengan A ditambah B ditambah C yang dikerjakan terlebih dahulu. Kemudian kita juga tahu bahwa dalam bilangan R itu terdapat identitas penyumbuhan. Identitas penyumbuhan itu kita kenal dengan bilangan 0 atau dengan elemen 0. Elemen 0 itu sendiri akan mengakibatkan bahwa semua bilangan jika ditambahkan dengan 0 akan menghasilkan bilangan yang sama.
Begitu pula sebaliknya. Kemudian setelah itu kita juga memiliki bilangan yang disebut sebagai inverse. Inverse ini sendiri tidak berlaku secara umum, tapi berlaku pada masing-masing bilangan real yang kita miliki.
Yang artinya tadi kalau 0 itu berlaku untuk berapapun bilangan, sedangkan inverse itu adalah masing-masing bilangan. Kita punya 5, maka inverse-nya adalah negatif 5. Dan negatif 5 itu hanyalah inverse dari bilangan 5. Jadi negatif 5 bukanlah inverse dari bilangan yang lainnya. Kemudian begitu pula misalnya kita punya bilangan 6, yang merupakan inverse dari negatif 6. 6 itu hanyalah inverse dari negatif 6, tidak bisa menjadi inverse dari bilangan lain.
Kan berbeda dengan elemen 0 tadi. Kalau elemen 0 tadi adalah identitas untuk semua bilangan yang ada dalam nipulan bilangan T. Kemudian selain pada operasi penjumlahan, bilangan ini juga memiliki sifat aljabah pada operasi persalian. Ya, sama tadi ya, komutatif, dikalikan, arah sama saja dengan dikalikan, lewat kebalik.
Kemudian asosiatif, kita bisa mengalihkan 3 bilangan real. Kita boleh mengalihkan 2 bilangan yang pertama terlebih dahulu atau 2 bilangan terakhir terlebih dahulu. Kemudian kita juga punya sifat identitas.
Hanya saja identitas pada perkalian untuk bilangan real itu adalah elemen 1. Elemen 1 akan mengasibatkan semua bilangan ketika dikalikan dengan 1. Ataupun 1 ketika dikalikan dengan semua bilangan, itu akan mengasihkan bilangan yang tidak berubah. Kemudian investasi pada operasi perkalian itu disenal dengan... elemen 1 per A. Elemen 1 per A ini maksudnya ketika kita punya bilangan 2, maka kita punya infosnya adalah 1 per 2. Pada perkalian maksudnya.
Sama, pada perkalian ini juga tidak berlaku umum, tapi berlaku pada masing-masing anggota. Nah, selain sifat aljabar yang melibatkan operasi penyumbelahan atau operasi perkalian saja, kita juga punya sifat aljabar yang melibatkan kedua operasi tersebut secara bersamaan. Kita kenal dengan sifat distributif. Sifat distributif ini memberikan ketika kita punya A ditambah B dikali C, itu akan melibatkan A dikali C ditambah dengan B dikali C. Begitulah sebaliknya.
Selanjutnya kita juga... Mengetahui bahwa dalam bilangan real kita punya teorema yaitu kesunggalan identitas. Yang artinya pada suatu impunan bilangan real, kita hanya memiliki satu identitas untuk penjumlahan dan satu identitas untuk perkalian. Berbeda dengan inverse tadi ya.
Kalau pada inverse tadi kan misalnya 2, ini negatif 2. 5, ini negatif 5. Sebenarnya kita memiliki lebih dari satu inverse jika kita punya lebih dari satu bilangan. Tapi ketika kita... punya himpunan bilangan real, identitas itu senang-senang hanya tunggal.
Itu senang-senang hanya satu. Jika 0 adalah identitas, maka kita tidak punya identitas lain terhadap operasi penyumbuhan. Jika 1 adalah identitas sekalian, maka kita tidak punya identitas lain selain 1 dalam operasi sekalian.
Kemudian selain sifat aljabat, kita juga memiliki sifat urutan pada bilangan real. Yang pertama, kita mengenal himpunan dari bilangan real tersebut, kita menyebutnya sebagai bilangan positif. Apa itu bilangan positif? makanya Anda akan langsung mendefinisikan bilangan positif lebih dari 0. Padahal Anda tidak tahu lebih dari 0 itu seperti apa.
Bagaimana kita tahu bilangan itu lebih dari 0? Sebelum ke sana, kita akan mengenal terlebih dahulu sifat subkimpunan dari bilangan 0 dan kita sebagai bilangan positif. Jadi kita mendefinisikan bilangan positif bukan sebagai bilangan yang lebih dari 0. Tetapi kita mendefinisikan bilangan positif, itu adalah subkimpunan terbesar yang kita bisa buat dan berlaku sifat ketuk-tuk terhadap operasi penjumlahan dan operasi persalian.
Makanya tadi kita sudah membahas dengan operasi. Jadi ketika kita punya dua bilangan yang dijumlahkan dan dikalikan menghasilkan bilangan pada himpunan yang terkutuk, maka itulah disebut sebagai himpunan bilangan positif. Jadi kita mengkarakteristik semua bilangan pada bilangan real, kemudian kita ambil subhimpunannya terbesar, tetapi bukan bilangan real itu sendiri.
Nah subhimpunan tadi. memiliki sifat utuh terhadap operasi penjumlahan dan juga terhadap operasi pekalian. Nah, subhimpunan itulah yang kita kenal dengan sebagai subhimpunan bilangan positif. Kita tidak mendefinisikan subhimpunan bilangan negatif untuk saat ini. Kenapa?
Karena bilangan negatif tidak tertutup terhadap operasi pekalian. Sebagai akibatnya, kita tidak bisa mendefinisikan bilangan negatif, subhimpunan bilangan negatif. Kenapa?
Karena Selain bilangan negatif, kita bisa membentuk sebarang sepimpunan yang lebih besar ataupun lebih kecil, yang mana tidak berlaku sifat ketutupan terhadap operasi perkalian. Nah, ini berbeda pada bilangan positif. Bilangan bulat positif itu sendiri adalah sepimpunan terbesar yang bisa kita buat. Kita tidak bisa membuat sepimpunan yang lebih besar pada bilangan real, tetapi tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.
Selain bilangan bulat positif plus 0, saya pilih sini kita. meniadakan nolnya. Selanjutnya kita mengenal sifat trichotomy.
Sifat trichotomy ini mengakibatkan ketika kita mempunyai sebuah bilangan di dalam bilangan real maka kita akan memiliki artretik dari bilangan tersebut akan merupakan anggota dari bilangan positif atau bilangan tersebut adalah nol atau negatif dari bilangan tersebut adalah bilangan positif. Kali lagi kita di sini tidak mendefinisikan bilangan negatif. Nah, yang kita tidak mendefinisikan bilangan negatif, kita hanya mendefinisikan bilangan positif.
Selanjutnya ketika kita menotasikan, tadi kan kita sudah punya ya bilangan positif. Nah, selanjutnya kita menotasikan. Ternyata ketika kita punya bilangan yang merupakan anggota bilangan positif, barulah dinotasikan dalam bentuk urutan. Ketika bilangan tersebut merupakan bilangan positif, kita mengatakan bilangan tersebut lebih dari.
Ketika bilangan tersebut negatifnya adalah bilangan positif, maka kita mengatakan bilangan tersebut kurang dari 0. Ketika bilangan tersebut adalah anggota dari bilangan positif digabungkan dengan kurang dari 0, maka kita mengatakan bilangan tersebut lebih dari 0. Dan begitu juga dengan pengarahan kurang dari 0. Ibatnya, bentuk tadi bisa kita ubah. Ketika kita dibentuk dari kutomi tadi, menyatakan bahwa A itu mengenai 1 dari segi halus. Sehingga itu A anggota P.
Nah, karena kita sudah tahu A anggota P bisa dihidratasikan dengan A lebih dan final, barulah kita menyatakan. A itu lebih dari 0 atau A sama dengan 0 atau A itu kurang dari 0. Terakhir, kita punya sifat trichotomy untuk dua bilangan real. Misalkan kita mempunyai dua bilangan real A dan B. Nah, jika A dikurang B anggota bilangan positif atau kita mengatakan A dikurang B itu lebih dari 0, maka kita bisa mengatakan A lebih dari B.
Bagaimana kita tahu suatu bilangan lebih dari bilangan lain? Itu adalah caranya gampang. Jika Anda kurangi, apakah ternyata?
ternyata hasilnya itu adalah anggota bilangan positif ataukah bukan. Begitu pula ketika apakah kita ingin tahu apakah bilangan tersebut lebih dari atau sama dengan bilangan yang lain. Sebagai hasil dari dua bilangan tadi, kita juga bisa menyatakan dalam bentuk seikutu. Yaitu ketika kita punya dua bilangan real, dua bilangan ini pasti berlaku cepat salah satu di antara bilangan A lebih dari B, ataukah A sama dengan B, ataukah A kurang dari B.