लाप्लास ट्रांसफॉर्म पर लेक्चर नोट्स

परिचय

• लाप्लास ट्रांसफॉर्म एक महत्वपूर्ण टॉपिक है जो अक्सर 12वीं कक्षा में पढ़ाए गए फॉर्मूले के आधार पर होता है।
• यह लेक्चर बेसिक से शुरू होकर एडवांस तक जाएगा।
• मुख्य रूप से एग्जाम्स में अच्छे परफॉर्मेंस के लिए यह टॉपिक उपयोगी है।

लाप्लास ट्रांसफॉर्म की परिभाषा

• लाप्लास ट्रांसफॉर्म की परिभाषा: (L{f(t)} = \int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t) \ dt)
• याद करने के लिए फॉर्मूला: (L{1} = \frac{1}{s})_

मुख्य फॉर्मूले और डेरिवेशन

• लाप्लास ऑफ कॉन्स्टेंट (k): (L{k} = \frac{k}{s})
• जब (f(t) = t^n), तो (L{t^n} = \frac{n!}{s^{n+1}})
  • पॉजिटिव इंटीगर्स के लिए सामान्य फॉर्मूला का उपयोग करें।
• हाइपरबोलिक फंक्शन के लिए: (L{sinh(at)} = \frac{a}{s^2 - a^2})

विशेष फॉर्मूले

• साइन और कोसाइन के फॉर्मूले:
  • (L{sin(at)} = \frac{a}{s^2 + a^2})
  • (L{cos(at)} = \frac{s}{s^2 + a^2})
• हाइपरबोलिक के लिए:
  • (L{sinh(at)}, L{cosh(at)}) के लिए माइंस का ध्यान रखें

बेसिक इक्वेशंस

• (L{e^{at}} = \frac{1}{s-a})
• (L{e^{-at}} = \frac{1}{s+a})

स्क्वायर एंड हाइपरबॉलिक फॉर्मूले

• (1 - cos(2\theta) = 2sin^2(\theta))
• (L{sin^2(at)} = \frac{1}{2}(\frac{1}{s^2 - (2a)^2}))

महत्वपूर्ण टिप्स

• जब फ्रैक्शन फॉर्म में हो, तो विशेष फॉर्मूला का उपयोग करें।
• हाइपरबॉलिक फंक्शन में माइंस का उपयोग करें।
• क्वेश्चन सॉल्व करते समय दिये गए फॉर्मूले का उपयोग करें।

अभ्यास

• उदाहरण के लिए (L{t^2}) का आंसर: (\frac{2!}{s^{2 + 1}} = \frac{2}{s^3})
• (L{4e^{3t}}) के लिए (4 \times \frac{1}{s-3})

निष्कर्ष

• इस लेक्चर में बताए गए सभी फॉर्मूले और ट्रिक्स का अभ्यास करें ताकि आगे के लेक्चर समझ में आएं।
• लेक्चर को शेयर करें और कमेंट करें जिससे मोटिवेशन मिले।

अगले कदम

• अगले लेक्चर में एक-एक करके क्वेश्चन सॉल्व करेंगे।
• सभी बेसिक और एडवांस कंसेप्ट्स को कवर करेंगे।