वर्क और ऊर्जा की विधियाँ

हेलो बच्चो आज हम जो वीडियो लाए है वो है वर्क एनेरजी पार का वीडियो नंबर वन और आज की वीडियो में हम डिस्कस करेंगे कि वर्क क्या होता है वर्क का जेनरल फॉर्मुला क्या होता है वर्क से रिलेटेट छोटे मोटे निमेरकल आपको देखते हैं किस-किस तरह से आप work done calculate कर सकते हो formulae से, graph से, ये सारी बातें आज हम करेंगे जब हमारी force constant हो, जब हमारी force variable हो तब कैसे-कैसे work निकालेट होगा निकाले तो शुरू करते हैं आज का टॉपिक वर्क एनेरजी पार मेरा नाम अलग पांडे और चैनल है फिजिक्स वाला और आज का जो हमारा सबसे पहला जो डिस्क्रेशन होगा वह होगा कि वर्क क्या होता है ठीक है अरे बच्चों वर्क क्या चीज होती है तो डेटूडे लाइफ में और वर्क का मतलब होता है कि हमने कोई काम किया जैसे आपसे कहते हैं कि पर फिजिक्स में वर्क की डेफिनेशन इतनी सिंपल नहीं है ठीक है फिजिक्स में वर्क की डेफिनेशन थोड़ी values से defined है, थोड़ी formulas से defined है, एक तरीके से defined है, यह नहीं कि कोई भी काम work है, जैसे मैं अब इस my board पर लिख रहा हूँ, तो यह चीज work है कि नहीं, यह चीज physics में दूसरे तरह से defined है, कैसे defined है, physics में हम कहते हैं कि work is a scalar product, देखो exact बता रहा हूँ, work is a scalar product, मतलब work कैसी quantity होती है, scalar quantity the scalar product of force and displacement यही definition सबसे accurate है physics में और कुछ भी लिखूंगा तो इतनी सही नहीं होगी जो सबसे exactly correct definition है वो यह है work is the scalar product of force and displacement vector फिर आपको पता है dot product में जब हम dot हटाते हैं तो क्या होता है हम दिख सकते है mod f mod s and cos theta where theta is the angle between vector f and vector s body है mass m की उसको हम ऐसे force से खीच रहे हैं ठीक, और ये body चलते हुए थोड़ा आगे यहां तक पहुँच गई, इस जखे पे, ठीक है, माल में इसने displacement कवर किया S, तो ये displacement और ये force, इनके बीच में angle theta, तो हम बोलेंगे what then is mod F, mod S, cos theta, इसको आप समझने को समझ भी सकते हो, हमने किया क्या, हमने force का वो component लिया, जो displacement के direction आएगा F cos theta और उसको displacement से multiply कर दिया मतलब work is equal to F cos theta force का component in the direction of displacement multiplied by displacement तो ऐसे भी बोल सकते हो कि work is force in the direction of displacement ठीक है? multiplied by displacement सिदा multiply कर दो तब आप dot मत लगाओ अगर आप powers का वो component लो जो displacement के direction में है तब सीधा लिख सकते हो, force into displacement. इसलिए आप किताब में देखते हो, कई बार लिखा रहता है, work is equal to force into displacement. तो ये भी सही है. पर ये तब सही है, जब force का वो component लो, force का वो component, जो किसके direction में हो, displacement के direction में हो. Otherwise बोलो, f.s, formula हो गया, mod f, mod s, cos theta. force की unit, Newton, displacement की unit, meter, तो work की unit, Newton, meter, जिसको हम बोलते हैं जूल ठीक है, Newton meter, जूल फिर बात आती है, work का dimension क्या हो जाएगा तो बच्चों, मैं आपसे बोलता हूँ force का dimension हमेशा याद रखो force का dimension, ML1T की पार minus 2, यह force का dimension होता है ML1T की पार minus 2 work का formula देखो, F, S cos theta, तो force का dimension हो गया displacement का direction क्या होगा length dimension क्या होगा, length, तो एक L और आएगा, तो यह हो जाएगा, L की power 2, cos theta का कोई dimension नहीं होगा, तो यह हो गया work का dimension, यह हो गया unit, यह हो गया formula, या आप understanding के लिए समझ सकते हो, force का वो component, जो displacement के direction है, चलिए आगे बढ़ते हैं, अभी तो बहुत ही basic बाते कर रहे हैं आज के lecture में आ यहाँ से कुछ हम बाते कर लें आपसे, मान लीजिए जो एंग्ल है वो 0 डिग्री है, यानि फोर्स भी ऐसे ही लग रही और डिस्प्लेस्मेंट भी ऐसे ही हो रहा, तब वर्क का फार्मला क्या बन जाएगा, F, S, COS 0, और COS 0 की वैलू 1, तो फोर्स इंटू डिस्प्लेस्म ये case मिलेगा बहुत, ऐसा मत सचो ये कम मिलेगा, बहुत मिलेगा, जब force और displacement same direction में हो, तो सीधा लगा देना FS, खेल करता हूँ, अच्छा, मान लो theta की value हो गई हमारी 180 degree, ये भी important है, मतलब force इधर और displacement इसके लिए, इसके opposite direction है तब हम बोलेंगे work done is equals to Fs cos 180 cos 180 की value minus 1 तो यह हो जाएगा minus Fs अब कई लोग इसमें सोचने लग गया है कि जब force ऐसे लग रही तो displacement पीछे क्यों हो रहा? एक general सवाल दिमाग में आया कि जब force इस तरफ जा रही है तो displacement कैसे पीछे हो सकता है? displacement तो force के साथ होगा है न? दिमाग में चल रहा है चलो इसके लिए अभी एक numerical लेंगे खटक से clear लेले एक numerical चल यहीं पे बिना numerical के अपन को मज़ा करता है अभी तुमको समझाता हूँ कि meaning क्या थी इस बात माल ले यहाँ एक block है ठीक है? और माल ले इसका mass है मेरे पास 10 kg इसको मैंने कीचा with a force of 10 newton ठीक है और यहाँ कोफीशन टॉप फ्रिक्शन हम ले लेते हैं मान लो को मान लो कोफीशन टॉप मैंने खींचा विद फोर्स ऑफ 15 न्यूटन और कोफीशन फ्रिक्शन मैंने लिया पॉइंट वन अब हमसे क्वेश्चन पूछा फाइंड द वर्क डन बाई एक्सटेरियल फोर्स एफ एंड फ्रिक्शनल फोर्स आउन मास 10 केजी तो देखो question कैसे form होता है ये भी याद रखो work के question में हमेशा बताएगा किस force का work पूच रहा जैसे find the work done by external force इस force का पूचा and frictional force फिर frictional force का पूचा आप ये नहीं बोल सकते कि work done बताओ अलग forces का work done अलग होता है तो work done by external force बताएंगे and work done by frictional force बताएंगे पे work कर रहे हैं on the mass of 10 kg यह भी important है किस चीज़ पे work यह force कहा पे work कर रही है on the mass of 10 kg ठीक है when displaced ठीक है by let's say 5 meter when displaced by 5 meter यहां से 5 meter चला आगे यहां पहुँच गया ठीक है 10 kg का block यहां से यहां चला 5 meter रे अब हमसे पूछा work done बताना है by external force and by frictional force ठीक है तो external force का बड़ा simple है force भी इदर displacement भी इदर तो work done by external force is equals to क्या लगा दो force into displacement direction same force कितना है 50 displacement कितना है? 5, कितना हो गया? 250 joules, अब आएगा work done by friction force, work done by friction force, तो बच्चों, क्योंकि ये body motion में आएगी, क्यों आएगी आओ चेक करें, friction कितना लगेगा? F, limiting चेक कर लेते हैं, कितना होगा? mu times of normal reaction, limiting friction चेक करो, अगर ये force limiting से ज़्यादा है, तभी तो motion होगा, तो हमने दिखा mu times of normal reaction, इसका normal reaction कितना होगा? नीचे 10G, उपर normal reaction, तो normal reaction किसके equal हो जाएगा? 10G के clear है, मीचे की तरफ force कितनी आएगी, 10G, ऊपर की तरफ normal reaction 10G के equal, तो mu है मेरा 0.1 into 10 into normal reaction is G, sorry, mu into n, n कितना है, 10G, तो mu 0.1 into 10 into G की value 10, यह cancel कितना आया, 10, तो friction force मेरी कितनी है पीछे की तरफ, 10, maximum friction, अब body motion में है, तो maximum friction लग रहा है, so work done by friction क्या हो जाएगा, friction की force इधर, displacement इधर तो यानि minus fs यानि minus 10 into 5 is equals to minus 50 जूब क्या clear हुई बात दिमाग में बात गई, समझ में आया, नहीं आया, इसलिए मैं बोल रहा हूँ, ऐसा भी हो सकता है, कि force तो इधर लग रही थी, तो इस वाली force का work done कैसा है, negative, यह बचा नहीं पाई, negative, इसके opposite direction वाड़ी चली गई, और यह वाली force का work done कैसा है, positive, तो work में यह चीज लिखना ब negative आ रहा, ठीक, अच्छा, और समझते हैं, तो हमने बात की theta 0 हो, theta 180 हो, ठीक है, और एक बड़ा special case होता है बच्चो, जो आप से बहुत discuss किया होगा, if theta is 90 degree, फोर्स is perpendicular to displacement, तो बच्चों work done कितना हो जाएगा, और if s cos 90, which is 0, so work done will be 0, जैसे मालो, पिछले question में ही, same, पिछला question है, कहानी वही है, 10 kg का mass है, यहाँ से एक force लग रही है, 50, की coefficient of friction मेरा वही 0.1 और यह उतना ही displace हुआ 5 meter कितना displace हुआ वही 5 meter हमसे जबाल पूछा find the work done by find work done by gravitational force and normal reaction किस force का work पूछ रहा है ये important है ये नहीं कि तुमसे work पूछा सीधा 15 to 5 किस force का? gravitational force and normal reaction चलो भाई तो इस पे gravitational force एधे लगेगी नीचे की तरफ 10 G और displacement इसका इधर हुआ है 5 एंग्ल कितना है बीच में 90 डिग्री तो work done by gravitational force force कितना है नीचे multiplied by displacement multiplied by angle कितना है cos 90, 0 यानि gravitational force यहां से यहां तक तक आने में कोई work नहीं की पर ये मत कहना कि यहां से यहां आने में कोई work नहीं हुआ gravitational force ने कोई work नहीं किया जैसे वो class 10th में एक example हमको मिलता था कि एक कुली अपने सर पे load लेके चल रहा एक कुली अपने सर पे load लेके चल रहा तो उसने कितना काम किया तो आप ये बोलोगे gravity ने zero work किया जब कुली load लेके बढ़ेगा तो gravity की force vertically downwards और उसका displacement horizontal so work then by gravity zero था work done by friction zero नहीं था वहाँ पे friction था और displacement भी था और उनके बीच में angle 90 नहीं था तो हमेशा यह नहीं कहना कि जब कुली load लेके चल रहा तो work done zero that is wrong when a kuli is carrying load on his head then work done is zero that statement is wrong अकुली carrying load on his head is walking on a platform नहीं बोलते हैं ना then work done is zero यह गलत है work done by gravitational force is zero किस force की बात हो रही है जैसे normal reaction तो बच्चो normal reaction ऐसे लगेगा आप देखो normal reaction और displacement में भी कितनी 90 degree तो work done by normal reaction भी कितना आएगा? 0 जब भी force और displacement के बीच में 90 degree का angle हो तो work done 0 क्यों? if theta is 90 work done is F Fs cos theta cos 90 और cos 90 की value होती है 0 तो कभी भी force और displacement perpendicular दिख जाएं तो work done कितना हो जाएगा 0 चल एक सवाल और कराता हूँ आपको इसी पे करते हैं सवाल कि किस force का work done पूछा important होता है जैसे मालो यह incline plane है ठीक है यह incline plane में यहाँ एक mass m रखा है यह यहाँ से मालो length है तुमारी L यह angle है theta अब ये मास स्लिप करता हुआ धीमे धीमे, यहाँ पे तो आही जाएगा, है न, at last, स्लिप करता हुआ, ओके, तो यहें डॉटर बना देते हैं कि आ रहा है थरू, ठीक, fine, work done by gravitational force and normal reaction, ठीक है? When the block M moves from this position to this position. ठीक है? किसका work done? Gravitational force का और normal reaction का जब block M यहां से यहां तक आया. चले शुरू करते हैं पहले normal reaction देख लो. Easy है. यहां से normal reaction किधर लगता है? ऐसे. Surface के perpendicular. और displacement कैसे हो रहा? ऐसे. मतलब normal reaction और displacement में कितना angle है? 90. यह displacement का direction? Normal reaction. 90 degree. Force and displacement. displacement are perpendicular मतलब normal reaction इस रास्ते में कोई काम नहीं कर रहा है normal reaction हमेशा displacement के perpendicular so work done by normal reaction is equal to कितना हो जाएगा 0 since angle is 90 degree cos 90 is 0 खतम अब आते हैं gravitational force पे ठीक है now let us talk about this gravitational force thing आईए ठीक है, यहाँ से gravitational force लगेगी vertically downward mg, और displacement इसका हो रहा है इस तरफ, अच्छा, तो मैंने आपको work done का अभी एक formula बताया था, कि force का वो component लो, जो displacement के direction में हो, force का वो component, जो displacement के direction में हो, multiplied by displacement यह बताया था कि नहीं force का वो component उठाओ जो displacement के direction में हो जैसे यहाँ mg नीचे लग रहा है बहुत बढ़िया यह theta यह 90 यह angle कितना होगा 90 minus theta तो इधर mg का कौन सा component आएगा आएगा mg cos 90 minus theta समझ में आ रहा है? यह angle theta, यह 90, यह angle 90 minus theta तो यहाँ से यहाँ mg का कौन सा component आएगा? mg cos 90 minus theta यह simply आप बोल सकते हो mg sin theta कई बार incline plane में मैंने पढ़ाया है नीचे mg तो इस तरफ mg sin theta आता है अब ये force का वो component हो गया जो displacement के along है अब work done का formula force का वो component जो displacement के along है mg sin theta multiplied by displacement कितना है l so work done is mg sin theta into l कतन clear, चाहो तो ऐसे कर लो, ये mg है, displacement कितना है, l है, इनके बीच में angle कितना है, 90 minus theta, so work done का formula, f, s, cos theta, f कितना है, mg, displacement कितना है, l, angle कितना है, 90, minus theta, तो अभी भी आएगा mgl sin theta यहाँ भी वही है, mgl sin theta into l, तो इस तरह से work done आप निकाल सकते हो, आइए इसी भी देखते हैं एक और question, question करते जाओ, concept strong होता जाएगा तो चलिए अब हम देखते हैं अगला question अगले question में आपको दिमाग लगाना है आप pause करके खुद से solve करना है यह मालो एक hemispherical shell है यहाँ पे इकदम बॉटम पे एक मास M रखा है और shell का radius है R इस मास एम पे हमने ऐसे एक force लगाई और force का direction change नहीं हुआ, यह force लगाते रहेंगे तो मास एम उपर उठता यहाँ पे पहुँच गया, इस जगह पे मास एम आ गया, ठीक है, अच्छा, force का direction अभी भी यही है, force का direction change नहीं हुआ, यहाँ से यहाँ मान बाई फोर्स एफ ने कितना वर्क किया यहां से यहां इसको उठाने में अब इसको आपको पॉज करके खुद से करना है सोचिए कैसे करेंगे तीन वेरिबल है हमारे पास एफ आर और थीटा ठीक अगर पॉज कर लिया है 12345 में स्टार्ट कर रहा हूं चलो अब देखो ट्राइड कर लिया अगर मैं डिस्प्लेसमेंट की बात करूं तो डिस्प्लेसमेंट यह है यह डिस्प्लेसमेंट है यहां पर अ तो हमारे पास work का formula क्या है? F S cos theta force और displacement के बीच का जो angle है उसको ले लो cos theta ले लो force को displacement से multiply कर लो problem क्या है? यहाँ पर यह S भी तो variable है इसको नहीं पता और फोर्स का कंपोनेंट लेने के लिए यह एंग्ल भी पता करना पड़ेगा यह इस प्रेसिडेंट पता है क्या इस नहीं पता हमें तो आर और थीता दे रखा है अब हम आपको एक वेरी इंपोर्टेंट कंसेंट बताने जा रहे हैं बच्चों इसको जर concept पता है तुमको शायद पर तुम उसको use नहीं कर पा रहे हैं work का formula क्या है fs cos theta इसको लिखने का दो तरीका work is equals to f cos theta multiplied by s या work is equals to s cos theta multiplied by f क्या इन दोनों में कोई difference है और अगर है तो क्या आओ समझते हैं क्या difference है मान लो ये mass n था और इस पे force f ये लग रही थी जो शुरू में displacement ऐसे हो रहा angle theta है अगर हम आपसे पूछे work done क्या है तो आप बोलोगे force का component ले displacement के along तो force of component displacement के along f cos theta force of component लिया displacement के along और उसको displacement से multiply कर दिया that is work पहला concept component of force in the direction of displacement multiplied by displacement दूसरा तरीका अगर मैं displacement का component ले लूँ force के direction में displacement का component ले लूँ force के direction में कितना होगा S cos theta और उसको multiply कर दूँ force से तो भी तो work आ सकता है तो हम ये भी बोल सकते हैं work is component of displacement in the direction of force multiplied by force, दो तरह से सही है, या तो force का component ले लो displacement के direction में, और displacement से multiply करो, या तो displacement का component ले लो force के direction में, और force से multiply करो, अब हम ये वाला concept इस question में use करने जा रहे हैं, जड़ा देखो कैसे करेंगे हम, यहाँ बच्चों displacement कहा है यह रहा displacement force कैसे है force ऐसे है इस mass m का displacement ऐसे हुआ है force के along कौन सा displacement है यह यानि कि यह वाला displacement यह देखो force के along हुआ है यहां से यहां तक force के along यह वाला displacement है यानि हम अगर इस इसकी value मिल जाये तो काम बन जाएगा, work is equals to displacement in direction of force यहाँ बोल लो component of displacement in direction of force multiplied by force अगर हम यह displacement पता चल जाए और इससे हम force को multiply कर दें तो work done आ जाएगा यह क्या है displacement ऐसे हुआ है displacement के दो component एक तो mass उपर जा रहा एक तो horizontal यह mass देखो उपर भी जा रहा और आगे भी force किस direction में है? आगे direction में है, तो हमें displacement का वो component चाहिए, जो force के direction में हो, मतलब ये वाला, क्या आप ये value निकाल सकते हो? बिल्कुल, देखो, ये भी किसके बराबर होगा? radius, ये पूरा किसके बराबर है? ये पूरा, radius, और ये भी radius के बराबर है? hemisphere, अब आप क्या ये, ये length नि और r का ये component कितना होगा r sine theta r sine theta वो displacement है जो force के direction में है देखो displacement असल में तो ये है पर इस displacement के दो component है एक तो ये वाला थोड़ा उपर गया ये वाला और एक ये वाला थोड़ा आगे गया तो हमें ये वाला displacement चाहिए था so component of displacement in direction of force r sine theta multiplied by force force, so this is the work done, यहाँ पे work done का formula, fr sin theta आ रहा, cos theta नहीं आया, concept समझ में आया, मैं displacement का वो component यूज़ कर रहा, जो force के direction में है, और उसको force से multiply किया, इस displacement के दो component है, एक तो ये mass उपर आया, और दूसरा ये mass आगे बढ़ा, मुझे displacement का वो component चाहिए, जो force के direction में है, वो ये वाला है, आर्काइदर component cost, theta, sine theta, r sine theta multiplied, this is the component of displacement in direction of force याद रखेंगे ये concept, बढ़िया सवाल था समझ में आया, बहुत बढ़िया जैसे हमको यह उन्होंने एक पुली दी, यहाँ मास लगा है 1 Kg का, और यहाँ मास लगा है 2 Kg का, और यहाँ से बान दिया, इस question को आप पुछ से try करेंगे, forces बताओ कौन सी, यहाँ पे gravity की force MG, यहाँ tension force T, हमसे पूछा है, find, work done, moves up, sorry, moves, when 2 kg moves down by 3 meters. चलो भाई, अब यहाँ पॉस्ट करके खुछ से ट्राइ करो, 2 kg वाला 3 meter नीचे जाएगा, तो definitely 1 kg वाला 3 meter उपर जाएगा, ऐसे में, work done by gravitational force, on 1 kg, work done by gravitational force on 2 kg and work done by tension force on 1 kg work done by tension force on 2 kg, यह आपको solve करना है चलिए भाई, कैसे करेंगे मैं गिनता हूँ, बंड पास करके try कर लो, 1, 2, 3, 4, 5, मेरे ख्याल से आपने try कर लिया होगा pause करके, चली देखते हैं, पहले बात करते हैं, work done by gravitational force on 1 kg की, अब, 2 kg हमारा किदर जा रहा, नीचे, 3 meters, तो ये किदर जाएगा, उपर, कितना, 3 meters, ठीक है, 1 kg पे gravitational force कितना work करेगी, force किदर लग रही, नीचे, displacement किदर है, minus fs, force है, minus 1 g, displacement, है 3 meters, g की value 10, तो minus 30 joules, किसने किया gravitational force ने, किस पे किया 1 kg पे, अभी समझाएंगे कि ये negative work होता क्या है, positive work होता क्या है, ये भी आएगा थोड़ी दिल में work done by gravitational force on 2 kg mass 2 kg किदर जा रहा, नीचे, force नीचे है, और displacement भी नीचे, जा किदर रहा, नीचे, force भी किदर है, नीचे, दोनों same direction में, तो fs 2g multiplied by 3, यह g की value 10, 23, इस दिजा 60 जूल कैसा? पॉजिटिव तो work done on 1 kg भी निकलाया, minus 30 work done on 2 kg, plus 60 कोई misconception नहीं बनाना कि दोनों को जोड़ने पर 0 आएगा, ऐसा कुछ नहीं अब बात आई, work done by tension force work done by tension force on 1 kg और वर्क दिन बाई टेंशन फोर्स ओन 2 केजी क्या हमें टेंशन की फोर्स पता है नहीं हमें टेंशन की फोर्स यहाँ पे नहीं पता तो हम क्या करें ग्राविडेशनल आल काम हो गया हम पहले टेंशन की फोर्स निकालें नीचे जा रहा है, तो आप लिखेंगे 2G minus T is equals to mass into acceleration. 1 kg किदर जा रहा है? उपर जा रहा है, तो equation लिखेंगे T minus 1G, net force किदर है? उपर की तरफ, तब ही तो उपर जा रहा है, तो T minus 1G is equals to mass into acceleration. दोनों को add कर देंगे, T से T मर गया, 2G minus GG, कितना आया? 3A, एक E value कितनी आई? G by 3. एक ही यह value उठाके, यहाँ पे रख दो, टी की value मिल जाएगी, T minus 1G is equals to 1A, T is equals to, एक ही value G by 3, plus यह इधर आके, plus G, 3G plus G, कितना हुआ, 4G by 3, that is tension, clear हुआ, clear हुआ, हमने tension निकाल लिया, नहीं आया, आप चाहो तो shortcut से भी निकाल सकते थे tension, shortcut क्या लगाओगे, 2 m1 m2 upon m1 plus m2 multiplied by g, ऐसे भी tension की force निकाल सकते थे आप, ठीक, better होगा method जिसी को नहीं है तो चलो shortcut लगा लो last में 2 m1 m2 upon m1 plus m2 into g रखके देखो 2 m1 1 m2 2 1 into 2, 2 2's are 4 m1 plus m2, 2 plus 1 3, तो 4 4 by 3G, ऐसे भी निकाल सकते थे, और चाहो तो पूरे method से, तो tension की force निकालना हमें आ गया, यह याद रखना 2M1M2 upon M1 plus M2 into G, सीधा tension निकल गई, अच्छा, अब work done by tension की बात करें, work done by tension, work done by tension on 1KG की बात करते हैं, 1KG किदर जा रहा, उपर, tension की force भी किदर, उपर तो FS, tension कितना था, 4G by 3, displacement कितना, इतना है 3, 3 से 3 मर गया, G की value 10, 40 joules, और कैसा आएगा, positive. Work done by tension on 2 kg की बात करें. 2 kg पे tension उपर है, displacement नीचे है, तो formula हो जाएगा minus fs, यानि minus 4 g by 3 multiplied by 3 से 3 मर गया, कितना आया, minus 40 joules. एक खास चीज ओब्जर्व हुई आपको, कि network done by tension force is 0, धियांसे देखो, network done by, tension force is 0 and net work done by gravitational force what not 0 gravitational force का net work done 0 नहीं था पर tension का ऐसे question नहीं है work done कितना आएगा total 0 इधर देखो tension ने कैसा work किया positive, इधर कैसा work किया, negative, net work done by tension becomes zero, clear है ये, समझ में आया, tension निकालने का shortcut समझ में आया, 2M1M2 upon M1 plus M2 into G, और अलग-अलग तरह की forces का अलग-अलग work done मैंने आपको बताओ, बता दिया अब जरा समझते हैं कि यह कंसेप्ट क्या है पॉजिटिव वर्क निगेटिव वर्क इन सब की मीनिंग क्या है ठीक है आइए समझाते हैं मान लो फोर्स और डिस्प्लेसमेंट के बीच का जो एंगल थीटा है वो तुम्हारा 90 से कम है मतलब एक्यूट एंगल है तो यहाँ पे तमारा cos theta की value जो होगी वो positive होगी और जो work done आने वाला है वो positive आएगा positive work अगर हम किसी पे करते हैं मतलब हम उसे energy देते हैं positive work अगर हम किसी पे करते हैं तो उसको हम एनर्जी देते हैं मतलब किसी भी चीज़ पे अगर positive work करोगे तो उसकी energy बढ़ेगी ठीक है जैसे मालो यहाँ पे कोई mass रखा है और उस पे तुमने work किया तुमने उस पे force लगाई और जिस direction में force लगाई उसी direction में displacement हुआ work done positive हुआ अब जब ऐसा करोगे तो उस block के पास कुछ speed आ जाएगी वानेटिक एनर्जी आ गई, कहां से आई? वर्क डन से पॉजिटिव वर्क किसी पे भी अगर करोगे, तो उसे क्या दे दोगे? एनर्जी दे दोगे नेक्स्ट, इफ थीटा इस ग्रेटर देन 90 डिगरी, लेस देन 180 डिगरी यानि cos theta आप कैसा हो जाएगा, negative, जैसे मालो force ऐसे लग रही, displacement ऐसे हो रहा, theta आपका कैसा हो गया, obtuse angle, अब definitely जो work done आएगा, वो कैसा आएगा, negative. आप खीच रहे हो बॉडी आगे बढ़ रही है तो बॉडी की स्पीड कम हो जाएगी एनर्जी कम हो जाएगी मतलब आपने बॉडी की एनर्जी ले ली तो नेगेटिव वर्क का मतलब है एनर्जी ले लेना और पॉजिटिव वर्क का मतलब है एनर्जी दे देना वर्क करोगे तो उसकी एनर्जी घट जाएगी जैसे मालो यह ऐसे जा रहा था तुमने पीछे से खीचा तो धीमे इसकी स्पीड कम होने लगेगी तुम्हारा वर्क डन कैसा है नेगेटिव क्योंकि तुमने उसकी एनर्जी ले ली किसी से एनर्जी ले ली नेगेटि� लो अ फोर्स f is equals to 2i plus 3j minus 4k acts on a body and displaces it from 2,1 to 3,4 2,1,0 to 3,4,2 find the work done तो बच्चों work done का formula क्या है हमारा f.s अब मैं s लिखूं चाहे vector r लिख लूँ मैं ऐसे भी लिख सकता हूँ f.r displacement vector r body कहा से कहा बाहर प्लस 2k तो मैं पूछूं body का displacement कितना हुआ तो आप बोलोगे final minus initial ये हो गया displacement vector final minus initial तो 2i, sorry 3i minus 2i that is i 4j minus j that is 3j 2k minus 0k that is 2k this is the displacement vector और force vector दे रखा है अब dot product लगाना है work is equal to f dot r f कितना है 2i plus 3j minus 4k dot i plus 3 j plus 2k तो dot लेना हमने आपको सिखाया है i वाले को i से multiply करो j वाले को j से multiply करो k वाले को k से तो i के आगे 2, i के आगे 1 कितना हुआ? 2 plus j के आगे 3, j के आगे 3 3, 3's are 9 k के आगे minus 4, k के आगे 2 minus 4, 2's are 8 9 minus 8, 1 or 2, 3 3, j's are तो ये simple vector form में निकाल सकते हैं चलिए देखते हैं अगला question यह आ गई कि अगर vector form में हमें force दी है displacement दिया है तो कैसे काम करना है चलिए एक आप कुछ से करके दिखाईए if two forces अगर दो फोर्सेस, F इस एक्वल्स टू 2i प्लस 4k और F2 इस एक्वल्स टू 3j प्लस 2k आपको एक बॉडी आपको आ find the net work done by both forces ठीक है दोनों forces का work done निकालना है अब क्या करें आप पहले resultant force निकाल लो तो resultant force क्या होगी force value 1, force 2 दोनों को जोड़ लो 2i यहाँ i का factor ही नहीं है 3j जे का factor एक ही है, और k, 4k, 2k, कितना हुआ? 6k, displacement कहा से कहा हुआ? 100 से 211, तो r1 कहा से? i plus 0 plus 0, जे और k, ठीक है? r2 कहा तक गए हम? 2i plus 1j plus 1k अब displacement vector क्या हो जाएगा vector r2 minus vector r1 इसमें इसको minus करोगे 2i minus i j minus 0 sorry j minus 0 k minus 0 is k तो ये आ गया हमारा displacement vector और net force रही यह क्योंकि हमसे net work done पूछा है तो हमने क्या निकाल ली net force निकाल ली बस अब यहाँ से work done का formula लगाएंगे काम हो जाएगा dot product लिना आपको आता है work done is equals to f.s या f.r vector दोनों एक ही चीज है displacement vector यहाँ पे f कितना है 2i plus 3j plus 6k dot और कितना है i plus j plus k अब i वाले को i से multiply करो यहाँ पे 1 है यहाँ पे 2 तो 2 plus j वाले को j से यहाँ पे 3 यहाँ पे 1 3 plus k वाले को k से 6 और 1 तो 6 2 8 3 11 joules of work is done by all the forces total work done इतना है ठीक है? आचा, तो ये सब बातें हो गई सिंपल, अगर vector form में दिया हो तो कैसे करें? scalar form में दिया हो तो कैसे करें? scalar form में आप देख रहे थे ती देर से, gravitational work done, tension का work done, normal force का work done, अलग-अलग forces का, friction force का work done, और फिर मैंने vector में बताया है कि dot root लेके भी आप, वर्क डन बता सकते थे अब बात करते हैं मान लो हमें कभी कोई variable force मिल जाए हमें क्या मिल जाए variable force मिल जाए और उसका work done हमसे पूछे variable force का work done कितना है जैसे मान लो हमें कोई force दे f is equal to 2x अब हमसे पूछे what is the work done when body displaces यहां से यहां body गई, 1 से 3, तब work done by this force on the body कितना है? तब ऐसे question कैसे solve करें? प्रॉब्लम क्या है यहाँ पे force constant नहीं है force भी x पे depend कर रही जब x की value 1 है तो force की value 2 है जब x की value 2 होगी force की value 4 होगी जब x की value 3 होगी force की value 6 होगी लगातार force change हो रही है अब यहाँ आप यह formula नहीं लगा सकते work is equals to force into displacement गलत हो जाएगा क्यों गलत हो जाएगा क्योंकि force constant नहीं है यह वाला formula जो है न work is equals to fs cos theta यह तभी use करो जब force क्या हो तुम्हारी constant होगी work done by constant force का यह formula है यहाँ पे यह formula use करना सही नहीं है क्योंकि force change हो रही है x is equal एक बार करेंगे फिर टू रखें क्यों भाई एक्स इक्वल्स टू वन पॉइंट वन रखो तो फोर्स चेंज हो जाएगी वन पॉइंट टू रखो फोर्स चेंज हो जाएगी छोटे डिस्प्लेसमेंट में फोर्स चेंज हो रही है एक्स इक्वल्स टू वन पॉइं तो बच्चो ऐसे केस में हम क्या करेंगे ऐसे केस में जब force variable हो x पे depend करें y पे depend करें तब हम क्या करेंगे तब हम use करेंगे integration method का ठीक है किसका use करेंगे integration method का कैसे use करेंगे आए देखिए एक graph आपको दिखाते हैं माल लीजिए हमारे पास graph है force versus displacement का किसका graph है force versus displacement प्रश्न प्रश् इतनी पतली स्ट्रिप काटी कि जो इसकी breath है वो dx के बराबर है बहुत छोटी breath है dx के बराबर और माल लेते हैं यहाँ पे force इस time f है तो ये length इसकी किस के बराबर हो गई f के force की value तो change हो रही है, तो मैंने एक strip का t, इसको बोला dx, और इस length को बोला f, अच्छा, मैं दो बाते पूछूंगा, अगर मैं पूछूंगा, इस strip का area कितना है, if you tell me area of strip, तो बच्चों strip दिख रही है, rectangle shape में है, क्या होगा, length into breadth, तो हम बोल देंगे fdx, यह है area of strip, है की नहीं अच्छा ध्यान से देखो, Dx है क्या? X क्या था? Displacement. F क्या था? Force. तो Dx क्या है? चोटा सा Displacement. यानि यह जो Area of Strip है, यह represent कर रहा है, Very small work done. Very small work done. चोटा सा work done जिसको हम बोल सकते हैं DW यह चोटा सा work done भी है area of strip force into चोटा सा displacement यानि यह जो area of strip है यह represent करता है चोटा सा work done मैं एक काम करूँ यहाँ पर एक strip और काटूँ यहाँ पे एक स्ट्रिप और काटूँ, और धीमे सारी स्ट्रिप को जोड़ दू, तो टोटल एरिया मुझे मिल जाएगा, मैं पतली स्ट्रिप को काटता जाओं, और सारी स्ट्रिप के एरिया को जोड़ दू, तो क्या म� तो अगर मुझे total area निकालना हो, तो मैं क्या करूँ, F1 DX को जोड़ दूं, plus F2 DX, इसका area क्या होगा, F1 into DX, इसका F2 into DX, इसका F into DX, and so on and so forth, and so on and so on, सबको जोड दिया जाए छोटी चीजों को जोडने का तरीका हमारे पास बच्चों क्या होता है वो होता है integration तो हम बोलेंगे अगर हमें total area चाहिए तो हम क्या करें integration कर दे छोटे area का fdx का छोटी चीजों integration तो हमने integrate कर दिया fdx को कमाल की बात यह थी कि जो total area था यह total work done भी बनेगा क्यों बनेगा क्यों बनेगा क्योंकि छोटा सा area क्या बन रहा है छोटा सा work done तो total area क्या बनेगा मतलब अगर हम fx ग्राफ का total area निकाल ले that will be the total work done कई बातें यहां से clear हो रही है पहली तो यह बात समझ में आई कि अगर मेरे पास कोई variable force है तो उसका work done निकालने के लिए हमें क्या करना पड़ेगा integration of fdx तो भाई जैसे हमसे बोल दिया इस जगे से इस जगे तक जाना है तो x1 से x2 तक integrate कर दो टोटल work done मिल जाएगा variable force का work done जैसे हमसे कोई पूछता है तो हम बोलेंगे variable force का work done integration fdx करना पड़ेगा कहां से कहा x1 से x2 तक एक बात तो यह समझ में आ गई क्या समझ में आ गई कि अगर variable force है तो उसका ग्राफ ऐसा होगा चेंज होता हुआ मैंने कहा इस इसमें एक पतली सी strip काटो इधर मैंने displacement लीता है इधर force तो इसको मैंने बोला चोटा सा displacement फिर मैंने का इस strip का area इस strip का area क्या होगा ये f ये dx force into चोटा सा displacement तो मैंने का इस चोटा सा work done फिर मैंने का पूरे का area क्या होगा तो पतली strips काटी f1, f2 पे dx, dx सबको जोड़ा जोड़ने का तरीका integration तो यहाँ से कई बातें क्लियर हुई, पहली चीज़, अब फिर से पहली चीज़, कि variable force का work done होता है, integration FDX, X1 से X2, दूसरी बात, FX graph का जो area होता है, वो work done को represent करता है, क्या यह बात समझ में आई? FX graph का जो area होता है, वो work done को represent करता है, there is this very important concept. कि fx का जो area है इसके अंदर, इसके अंदर जो area है, वो किस को represent कर रहा, work done को, तो दो बाते important यहां से निकल के आई हैं, दोनों को हम लिखेंगे, क्या बात आई हमारे पास? पहली, कि अगर variable force है, तो work done, integration F dx x1 से x2 यहाँ पे dot लगा लो क्या पता displacement of force same direction में ला हो? कब लगाना है? जब आपके पास variable force हो यह आप बोल सकते हो work done is equals to area under fx curve यह भी बोल सकते हो जब area दे रखा हो जब diagram दे रखा हो work done पूछे यह आप बोल सकते हो work done is equals to f.s कब? जब force हमारी constant हो, तो ये तीन formula हमको मिले, constant force है तो सीधा fs लगा दो, f.s fs cos theta variable force है तो f.dx लगा के integrate करो, और अगर area बना के देता है तो area under fx curve use करो, note करेंगे इसको note करेंगे बाई, note करेंगे, note कर लिया integration f.dx x1 से x2, area under fx curve, f.s इस फोर्स इस कॉंस्टेंट इफ वेरिबल देन देश क्लियर आई जैसे मान लीजिए हमें क्वेश्चन प्लीयर इधर force, यहाँ displacement, यहाँ force Newton में, यहाँ displacement meters में, चलो, यहाँ पर force हमारी Newton में दे रखी है, और यहाँ पर displacement हमारा meters में दे रखा है, हमसे बुचा, find the work done, अब आप पास force versus displacement का graph है तो work done निकालने का safe तरीका क्या है हम area निकाल लें तो इस rectangle का area निकाल लो इस rectangle का area निकाल लो हो जाएगा असान है इस rectangle का area कितना होगा 10 multiplied by 5 कितना हुआ 50 plus rectangle का area half into base कितना है 5 into height कितनी है 10 2 5s are 10, 525 कितना आया? 75 joules. तो different हो सकते हैं, एक example बस लिया, कि मान लो, गलती से बहुत असान सवाल मिल गया, force displacement का curve, और हमसे कहा work done, तो हम area निकाल देंगे, work done आ जाएगा. Clear है? बड़ा simple था rectangle और triangle का कैसा भी shape हो कैसा भी shape हो ये कामा कर लोगे अच्छा अब बात करते हैं मालो वही question जो था कि जो force है किसी body पे वो 2x है आपको find करना है work done जब displacement कहा से कहा हो 1 meter से लेके कहा तक गया हो displacement 3 meters तक अब आपको work done निकालना है ये force कैसी है constant की variable देख रहे हो force x पर depend कर रही, x की value 1 रखोगे, force 2 आएगी, 2 रखोगे तो force 4 आएगी, मतलब ये एक variable force है, अब variable force के लिए work done का हम क्या formula लगाएंगे, integration f.dx कहां से कहा, x1 से x2, integration f कितना है, 2x.dx, x1 से x2, ठीक, तो हम लिख सकते हैं, work done is equals to, कितना हो जाएगा, 2x.dx कितना हो जाएगा? 2 बाहर आ जाएगा, x का integration x square by 2 अब यहाँ चुछ रहोगे dot कैसे हटा? देखो 2x मतलब force x direction में है और displacement भी x के along हो रहा मतलब force और displacement का direction same है, थोड़ा सा assumption है कि force x direction में है ऐसा मान लिया, और displacement भी x में, लिखा नहीं था न, इसके आगे हो सकता है इसके आगे i, j, k लिख दे आएगा भी वो भी, तहले भी इतना समझो force 2x लिखी थी, displacement यहां से हमने सीधा integrate एक्स का integration x square by 2 कहां से कहां जाना है 1 से 3 तक जाना है ठीक तो 2 से 2 मर जाएगा अब x square कहां से कहां 1 से 3 तो आपको limit रखने आती है पहले उपर वाली value रखो x की जगह 3 square minus फिर x की जगह नीचे वाली रखो square x की जगह पहले उपर वाली value minus 3 square 9 1 square 1 8 joule is the work वर्क डन ठीक है बड़ा आसान लगा होगा आसान लगा अच्छा बहुत बढ़िया आसान लगा तो एक क्वेश्चन आप अपने आप कर लो फिर मैं आपको एक अच्छा सवाल दू इसका जैसे मालो हमसे बोला फोर्स है कहीं पे 0.5 x प्लस 10 और हमसे पूछा वर्क डन फाइ dx कहां से कहा 2 से लेके 5 integration करेंगे 0.5 x plus 10 का integration कहां से कहा 2 से 5 किसके respect में dx के respect में तो 0.5 बाहर आ जाएगा x का integration x square by 2 कहां से कहा 2 से 5 plus 10 बाहर आएगा और 10 के साथ कुछ नहीं है तो क्या आ जाएगा x integration कहां से कहा 2 से 5 नहीं आया इसको आप break करके लिख सकते हो ना आगे क्या लिख सकते हो 0.5 0.5x dx plus 10 dx ऐसे लिख सकते हो 2 से 5, 2 से 5 अब 10 dx में 10 बाहर आएगा dx का integration होता है x यहाँ 0.5 बाहर आया x dx का x square by 2 अब जो भी value है उसको put कर दो पहले उपर वाली value फिर minus लगा के नीचे वाली value put करो पहले x की जगे 5 रखो फिर minus लगा के x जगे 2 रखो ठीक है पॉस करके करेंगे ठीक है next question is very important if f is equals to x square i cap plus 2y j cap and body displaces from 1,2 to 3,4 find the work done चलो अब देखते हैं ये कौन कर पाता है ये सवाल कौन करेगा अब क्या करें x square i cap 2y j cap कैसी force है constant की variable पहले तो ये decide करो variable है क्योंकि x पे भी depend कर रही y पे भी शुरू में x की value 1 रखोगे तो force आएगी i plus y की value 2 रखोगे तो 4 i plus 4j y भी बदलता जा रहा है अब क्या करें अब बताओ क्या करें इंटिग्रेट तो करेंगे बताओ कैसे करेंगे इंटिग्रेट पस गए बताओ भाई कैसे करेंगे integrate होई तो work is equals to integration f.dx मुझे नहीं लगता आप dx लिखना चाहिए क्योंकि आप x के साथ y का term भी है क्या पता z का term भी आजाए तो f.dx लिखना आप सही नहीं है अब displacement x direction में नहीं हो रही displacement vector में चल रही है तो हम dx की जगा dr vector लिख सकते हैं f.dr नोट करें इसको, जब force आपको variable और vector form में मिल जाए, तो याद रखें f.dr, इस simple है याद भी नहीं रखा,.dx नहीं लगा सकते हैं,.dx लगाओगे सिर्फ x की बात हो पाएगी, यहाँ y, में भी displacement है तो मैंने कहा F dot DR लगा दो अच्छा अब DR vector क्या है चलो समझते हैं R vector क्या होता है R vector होता है X i cap plus Y j cap plus Z k cap यह होता है R vector यहाँ से DR vector क्या हो जाएगा differentiate करेंगे DX i cap DY j cap plus DZ k cap यह होता है DR vector बहुत इंपोर्टेंट, इसी क्वेश्चन में आकर सब बच्चे फसते हैं, नहीं समझ में आया, यह मैंने एक R वेक्टर बनाया, यह उसका DR वेक्टर, अब आपको force क्योंकि एक तो variable x, y की term है, और vector form में भी है, तो एक तो आपको integrate करना ही करना पड़ेगा, क्योंकि variable है, और dot word का use करना पड़ेगा, क्योंकि vector form भी चल रहा है, चलो भाई, बहुत बढ़िया, इसको हम use करते हैं, आई अब इसको integrate करने की कोशिश करते हैं, so work is equals to integral f dot dr, ठीक है, आई तो f की जगह x square, प्लस 2 y j cap dot dr vector हमेशा इही रहेगा क्या dx i cap प्लस dy j cap प्लस dz k cap अब क्या करें अब क्या करें x वाले को x से multiply y वाले को y से z वाले को z से तो x sorry i वाले को i से very sorry देखो अगर पिछली बात मेरी follow को रखें सब गुलत होगा मत करना i वाले को i से j वाले को j से k वाले को k से तो i वाले को i से multiply करो तो x square के साथ क्या आएगा dx plus j वाले को j से 2y dy plus इसमें k का कोई term नहीं है 0 कहां से कहां integrate करना है अभी रुख जो अभी देखते हैं कहां से कहां r1 से r2 बोल दो यह अपना vector हो गया r1 यह अपना vector हो गया r2 r1 हो जाएगा मेरा i plus 2j r2 हो जाएगा 3i plus 4j अब हम क्या कर सकते हैं integration का sign दोनों में लगा सकते हैं integral x square dx plus integral 2y dy बस अब हो गया हो गया अब यहाँ पे x की limit रखो x कहा से कहा जा रहा 1 से 3 यहाँ y की limit रखो 2 से 4 और integrate कर दो इंटेग्रेट करना आता है इसका integration x cube by पहले x की जगह 3 रखोगे, 3 cube, minus, x की जगह 1 रखोगे, 1 cube, divide by 3, यहाँ 2 बाहर आएगा, y square by 2, 2 कट जाएगा, y square, y की जगह पहले 4, 4 का square, minus, y की जगह 2, 2 का square, और दोनों को जोड़ दोगे, क्योंकि work एक scalar quantity है, तो जो तुम्हारा x direction का work done है, जो तुम्हारा y direction का work done है, द नहीं समझ में आया। क्या हुआ सर ये? एकदमी नहीं समझ में आया क्या हुआ। मैंने कहा ये force है, variable है और vector form में है। वेरिबिल भी है और वेक्टर फॉर्म में भी है बॉडी दो डामेंशन में चल रही है वेरिबिल फॉर्स के साथ दो डामेंशन में चल रही है वेरिबिल फॉर्स के साथ कहां से कहा गई? 1, 2 से 3, 4 तक गई तो मैंने कहा कि F.DX नहीं लिख सकते हैं फिर बात आई ये DR वेक्टर क्या है? DX तो समझ में आता है इसको एक वेक्टर होना चाहिए ता तो मैंने कहा R, XY, YJ, ZK है इस तरह से DR वेक्टर होगा DX, I, DYJ, DZK यह तो बहुत यूज़ होगा आपका अब ठीक है जब हम ग्राविटेशन पढ़ेंगे वहाँ पर यूज़ करेंगे जब हम एलेक्ट्रोस्टाटिक पढ़ेंगे तो वहाँ पर यूज़ करेंगे तो डी आर वेक्टर याद करेंगे डी एक्स आई कैप डी वाई जे कैप प्लस डी जेड के कैप फिर हमने यहाँ फोर्स की वैलू रखी यहाँ डी आर वेक्टर रखा आई वाले को आई से मिल्टिप्लाई किया जे वाले को जे आई वाले को आई से करना है, फिर ये values आई, फिर हमने integration का sign अंदर डाल दिया, x square dx का integration, फिर इसके बाद तो integration है, x cube by 3, फिर value रखी, यहाँ पे इसका integration, और दोनों को जोड़ दो, answer will be in joules, and the answer will be very simple, ऐसा कुछ difference answer नहीं आएगा, चलो इसी में एक और सवाल दिखा देता हूँ, last में, Let's see one more question in this kind, in this category. One more question. If f is equals to minus x cube i cap plus y square j cap, find work done. By this force, if body displaces from, find work done by this force, if body displaces from 2,3 to 6,5. अब क्या करेंगे आप? ये हमारा vector r1 हो गया, ये vector r2, variable force दो dimension की, तो work done का formula क्या लगाएंगे? integral f.dr, dot dx नहीं, f.dr, what is this dr vector याद रखेंगे आप? से, dr vector क्या होता है dx i cap, dy j cap, dz k cap ऐसा क्यों कर रहे हैं बच्चों क्योंकि motion एक dimension नहीं है, दो dimension तो हम यहाँ पर dx रख देंगे तो force को सिफ एक dimension की वर्क आएगा, मतलब सिर्फ इस वाली force का work done calculate करेंगे, इस वाली force की वाली work done calculate नहीं हो पाएगा, बस अब आगे बढ़ेंगे, integration minus x cube i cap plus y square j cap dot dx i cap plus dy j cap plus dz k cap, आगे बढ़ोगे, तो क्या आएगा, integration minus i cap को i cap से multiply करोगे, minus i cap, x cube dx j cap को j से multiply करोगे plus y square dy और k का कोई term यहाँ पे भी नहीं है खेल खतम कहां से कहां जाओगे r1 से r2 तक फिर यह integration का symbol अंदर चला आएगा दोनों में यहाँ पे x की limit रख दो 2 से 6 यहाँ y की limit रख दो 3 से 5 और integrate कर लो खेल खतम बोले समझ में आ रहा है ओ सर इसका कोई shortcut हाँ एक छोटा दा shortcut मार सकते थे क्या work scalar quantity होता है work कैसी quantity होता है scalar सुनोने हमसे तो total work हो सकता है work in x direction plus work in y direction वर्क स्केलर है, टोटल वर्क, वर्क in x direction plus वर्क in y direction, ठीक है, कर सकते हैं यह चीज, अच्छा, बहुत बढ़िया, so work is equals to x direction का work, x direction की force, dot dx, और यहाँ x x की limit x1 से x2, यहाँ पे y direction की force dot dy, और y की limit y1 से y2, क्या बोला मैंने, मैंने बोला work is a scalar quantity, तो work x में, और y में निकाल के direct जोड़ दो vector addition करने की तो ज़रूरत है नहीं कि यह x है यह y है तो under root a square plus b square नहीं work तो scalar है तो x का work निकालो y का work निकालो जोड़ दो अब x का work क्या होगा force in x direction dot dx force in x direction dot dx force in x direction dot dx y का work क्या होगा force in y direction dot dy आ गया सीधा डियार वेक्टर की जरुबात नहीं पड़ेगी कर सकते थे ऐसे भी पर जो प्रोसीजर है जो तरीका है वो बताना भी जरूरी है लास्ट में तो मैंने तुम्हों को खटाक से बता दिया तरीका क्या है एक्स की फोर्स डॉट डी एक्स आई कैप का मतलब ये फोर्स किस तरफ है एक्स में तो एक्स की फोर्स डॉट डी एक्स प्लस वाई की फोर्स डॉट डी वाई यहां एक्स की लिमिट रखो तू सी सिक्स यहां वाई की तू सी सिक्स यहां वाई की एक सेकेंड में मतलब, short में भी कर सकते हैं इसको खटाक से, अब मैं बोलूं work done कितना है, तो आप बोलो work done in x, plus work done in y, plus work done in z, giving reason work is a scalar quantity, यहां vector addition की जरूरत नहीं है, x का work done क्या होगा, fx.dx, x1 से x2, y का work done क्या होगा, fy.dy, y1 से 1,2, और similarly z में भी हुआ तो, integration of fz.dz, z1 से z2, x direction की force की फोर्स की होती है जो i के साथ है so minus x cube dx और x की limit क्या थी 1 से 6 तक y की force कौन सी है y square dy और y की limit हमारी क्या थी 2 से लेके 5 तक खतम, Z का कोई यहाँ पे था यहीं, तो बच्चों यह हमारा work का first lecture था, जिसमें हमने आपको different तरह से work निकालना सिखाया, work का basic formula F.S, दूसरा तरह का बताया कि force का component displacement direction में, और displacement को multiply कर दो काम बन जाएगा, या displacement का component force के direction में, और force एमिल डिप्लाई कर दो तो काम बन जाएगा, कब work positive होता है, कब negative, positive मतलब energy दी हमने body को, negative मतलब energy ले ली हमने, फिर हमने बताया, define करना ज़रूरी है कि, कौन सी force का work done निकाल रहे हैं, अलग-अलग forces का work done, वर्कडन अलग-अलग होता है ठीक है फिर मैं बताया जीरो पर क्या होगा वर्कडन थीटा इक्वल्स 90 पर क्या होगा 180 पर क्या होगा फिर हमने आपसे बात की कि फोर्स अगर वेरिबिल हो जाए तो वर्कडन कैसे निकालना है तो इंटीग्रेशन F.DX या F.DR अगर वेक्टर फॉर्म दिखता है तो DR में आ जो ठीक फिर हमने बताया एरिया अंडर FX कर्व या डिस्प्लेसमेंट फोर्स कर्व भी क्या देता है वर्कडन तो आज की लेक्चर में सारी बेसिक्स बाते की हमने अगला लेक्चर बड़ा इंपोर्टेंट होने व non conservative force और work energy theorem discuss करने वाला हूँ so देखते रहें all the very best

तो ये भी सही है. पर ये तब सही है, जब force का वो component लो, force का वो component, जो किसके direction में हो, displacement के direction में हो. Otherwise बोलो, f.s, formula हो गया, mod f, mod s, cos theta.

force की unit, Newton, displacement की unit, meter, तो work की unit, Newton, meter, जिसको हम बोलते हैं जूल ठीक है, Newton meter, जूल फिर बात आती है, work का dimension क्या हो जाएगा तो बच्चों, मैं आपसे बोलता हूँ force का dimension हमेशा याद रखो force का dimension, ML1T की पार minus 2, यह force का dimension होता है ML1T की पार minus 2 work का formula देखो, F, S cos theta, तो force का dimension हो गया displacement का direction क्या होगा length dimension क्या होगा, length, तो एक L और आएगा, तो यह हो जाएगा, L की power 2, cos theta का कोई dimension नहीं होगा, तो यह हो गया work का dimension, यह हो गया unit, यह हो गया formula, या आप understanding के लिए समझ सकते हो, force का वो component, जो displacement के direction है, चलिए आगे बढ़ते हैं, अभी तो बहुत ही basic बाते कर रहे हैं आज के lecture में आ यहाँ से कुछ हम बाते कर लें आपसे, मान लीजिए जो एंग्ल है वो 0 डिग्री है, यानि फोर्स भी ऐसे ही लग रही और डिस्प्लेस्मेंट भी ऐसे ही हो रहा, तब वर्क का फार्मला क्या बन जाएगा, F, S, COS 0, और COS 0 की वैलू 1, तो फोर्स इंटू डिस्प्लेस्म ये case मिलेगा बहुत, ऐसा मत सचो ये कम मिलेगा, बहुत मिलेगा, जब force और displacement same direction में हो, तो सीधा लगा देना FS, खेल करता हूँ, अच्छा, मान लो theta की value हो गई हमारी 180 degree, ये भी important है, मतलब force इधर और displacement इसके लिए, इसके opposite direction है तब हम बोलेंगे work done is equals to Fs cos 180 cos 180 की value minus 1 तो यह हो जाएगा minus Fs अब कई लोग इसमें सोचने लग गया है कि जब force ऐसे लग रही तो displacement पीछे क्यों हो रहा? एक general सवाल दिमाग में आया कि जब force इस तरफ जा रही है तो displacement कैसे पीछे हो सकता है? displacement तो force के साथ होगा है न?

दिमाग में चल रहा है चलो इसके लिए अभी एक numerical लेंगे खटक से clear लेले एक numerical चल यहीं पे बिना numerical के अपन को मज़ा करता है अभी तुमको समझाता हूँ कि meaning क्या थी इस बात माल ले यहाँ एक block है ठीक है? और माल ले इसका mass है मेरे पास 10 kg इसको मैंने कीचा with a force of 10 newton ठीक है और यहाँ कोफीशन टॉप फ्रिक्शन हम ले लेते हैं मान लो को मान लो कोफीशन टॉप मैंने खींचा विद फोर्स ऑफ 15 न्यूटन और कोफीशन फ्रिक्शन मैंने लिया पॉइंट वन अब हमसे क्वेश्चन पूछा फाइंड द वर्क डन बाई एक्सटेरियल फोर्स एफ एंड फ्रिक्शनल फोर्स आउन मास 10 केजी तो देखो question कैसे form होता है ये भी याद रखो work के question में हमेशा बताएगा किस force का work पूच रहा जैसे find the work done by external force इस force का पूचा and frictional force फिर frictional force का पूचा आप ये नहीं बोल सकते कि work done बताओ अलग forces का work done अलग होता है तो work done by external force बताएंगे and work done by frictional force बताएंगे पे work कर रहे हैं on the mass of 10 kg यह भी important है किस चीज़ पे work यह force कहा पे work कर रही है on the mass of 10 kg ठीक है when displaced ठीक है by let's say 5 meter when displaced by 5 meter यहां से 5 meter चला आगे यहां पहुँच गया ठीक है 10 kg का block यहां से यहां चला 5 meter रे अब हमसे पूछा work done बताना है by external force and by frictional force ठीक है तो external force का बड़ा simple है force भी इदर displacement भी इदर तो work done by external force is equals to क्या लगा दो force into displacement direction same force कितना है 50 displacement कितना है? 5, कितना हो गया?

250 joules, अब आएगा work done by friction force, work done by friction force, तो बच्चों, क्योंकि ये body motion में आएगी, क्यों आएगी आओ चेक करें, friction कितना लगेगा? F, limiting चेक कर लेते हैं, कितना होगा? mu times of normal reaction, limiting friction चेक करो, अगर ये force limiting से ज़्यादा है, तभी तो motion होगा, तो हमने दिखा mu times of normal reaction, इसका normal reaction कितना होगा?

नीचे 10G, उपर normal reaction, तो normal reaction किसके equal हो जाएगा? 10G के clear है, मीचे की तरफ force कितनी आएगी, 10G, ऊपर की तरफ normal reaction 10G के equal, तो mu है मेरा 0.1 into 10 into normal reaction is G, sorry, mu into n, n कितना है, 10G, तो mu 0.1 into 10 into G की value 10, यह cancel कितना आया, 10, तो friction force मेरी कितनी है पीछे की तरफ, 10, maximum friction, अब body motion में है, तो maximum friction लग रहा है, so work done by friction क्या हो जाएगा, friction की force इधर, displacement इधर तो यानि minus fs यानि minus 10 into 5 is equals to minus 50 जूब क्या clear हुई बात दिमाग में बात गई, समझ में आया, नहीं आया, इसलिए मैं बोल रहा हूँ, ऐसा भी हो सकता है, कि force तो इधर लग रही थी, तो इस वाली force का work done कैसा है, negative, यह बचा नहीं पाई, negative, इसके opposite direction वाड़ी चली गई, और यह वाली force का work done कैसा है, positive, तो work में यह चीज लिखना ब negative आ रहा, ठीक, अच्छा, और समझते हैं, तो हमने बात की theta 0 हो, theta 180 हो, ठीक है, और एक बड़ा special case होता है बच्चो, जो आप से बहुत discuss किया होगा, if theta is 90 degree, फोर्स is perpendicular to displacement, तो बच्चों work done कितना हो जाएगा, और if s cos 90, which is 0, so work done will be 0, जैसे मालो, पिछले question में ही, same, पिछला question है, कहानी वही है, 10 kg का mass है, यहाँ से एक force लग रही है, 50, की coefficient of friction मेरा वही 0.1 और यह उतना ही displace हुआ 5 meter कितना displace हुआ वही 5 meter हमसे जबाल पूछा find the work done by find work done by gravitational force and normal reaction किस force का work पूछ रहा है ये important है ये नहीं कि तुमसे work पूछा सीधा 15 to 5 किस force का? gravitational force and normal reaction चलो भाई तो इस पे gravitational force एधे लगेगी नीचे की तरफ 10 G और displacement इसका इधर हुआ है 5 एंग्ल कितना है बीच में 90 डिग्री तो work done by gravitational force force कितना है नीचे multiplied by displacement multiplied by angle कितना है cos 90, 0 यानि gravitational force यहां से यहां तक तक आने में कोई work नहीं की पर ये मत कहना कि यहां से यहां आने में कोई work नहीं हुआ gravitational force ने कोई work नहीं किया जैसे वो class 10th में एक example हमको मिलता था कि एक कुली अपने सर पे load लेके चल रहा एक कुली अपने सर पे load लेके चल रहा तो उसने कितना काम किया तो आप ये बोलोगे gravity ने zero work किया जब कुली load लेके बढ़ेगा तो gravity की force vertically downwards और उसका displacement horizontal so work then by gravity zero था work done by friction zero नहीं था वहाँ पे friction था और displacement भी था और उनके बीच में angle 90 नहीं था तो हमेशा यह नहीं कहना कि जब कुली load लेके चल रहा तो work done zero that is wrong when a kuli is carrying load on his head then work done is zero that statement is wrong अकुली carrying load on his head is walking on a platform नहीं बोलते हैं ना then work done is zero यह गलत है work done by gravitational force is zero किस force की बात हो रही है जैसे normal reaction तो बच्चो normal reaction ऐसे लगेगा आप देखो normal reaction और displacement में भी कितनी 90 degree तो work done by normal reaction भी कितना आएगा?

0 जब भी force और displacement के बीच में 90 degree का angle हो तो work done 0 क्यों? if theta is 90 work done is F Fs cos theta cos 90 और cos 90 की value होती है 0 तो कभी भी force और displacement perpendicular दिख जाएं तो work done कितना हो जाएगा 0 चल एक सवाल और कराता हूँ आपको इसी पे करते हैं सवाल कि किस force का work done पूछा important होता है जैसे मालो यह incline plane है ठीक है यह incline plane में यहाँ एक mass m रखा है यह यहाँ से मालो length है तुमारी L यह angle है theta अब ये मास स्लिप करता हुआ धीमे धीमे, यहाँ पे तो आही जाएगा, है न, at last, स्लिप करता हुआ, ओके, तो यहें डॉटर बना देते हैं कि आ रहा है थरू, ठीक, fine, work done by gravitational force and normal reaction, ठीक है? When the block M moves from this position to this position. ठीक है?

किसका work done? Gravitational force का और normal reaction का जब block M यहां से यहां तक आया. चले शुरू करते हैं पहले normal reaction देख लो. Easy है.

यहां से normal reaction किधर लगता है? ऐसे. Surface के perpendicular.

और displacement कैसे हो रहा? ऐसे. मतलब normal reaction और displacement में कितना angle है? 90. यह displacement का direction? Normal reaction.

90 degree. Force and displacement. displacement are perpendicular मतलब normal reaction इस रास्ते में कोई काम नहीं कर रहा है normal reaction हमेशा displacement के perpendicular so work done by normal reaction is equal to कितना हो जाएगा 0 since angle is 90 degree cos 90 is 0 खतम अब आते हैं gravitational force पे ठीक है now let us talk about this gravitational force thing आईए ठीक है, यहाँ से gravitational force लगेगी vertically downward mg, और displacement इसका हो रहा है इस तरफ, अच्छा, तो मैंने आपको work done का अभी एक formula बताया था, कि force का वो component लो, जो displacement के direction में हो, force का वो component, जो displacement के direction में हो, multiplied by displacement यह बताया था कि नहीं force का वो component उठाओ जो displacement के direction में हो जैसे यहाँ mg नीचे लग रहा है बहुत बढ़िया यह theta यह 90 यह angle कितना होगा 90 minus theta तो इधर mg का कौन सा component आएगा आएगा mg cos 90 minus theta समझ में आ रहा है? यह angle theta, यह 90, यह angle 90 minus theta तो यहाँ से यहाँ mg का कौन सा component आएगा? mg cos 90 minus theta यह simply आप बोल सकते हो mg sin theta कई बार incline plane में मैंने पढ़ाया है नीचे mg तो इस तरफ mg sin theta आता है अब ये force का वो component हो गया जो displacement के along है अब work done का formula force का वो component जो displacement के along है mg sin theta multiplied by displacement कितना है l so work done is mg sin theta into l कतन clear, चाहो तो ऐसे कर लो, ये mg है, displacement कितना है, l है, इनके बीच में angle कितना है, 90 minus theta, so work done का formula, f, s, cos theta, f कितना है, mg, displacement कितना है, l, angle कितना है, 90, minus theta, तो अभी भी आएगा mgl sin theta यहाँ भी वही है, mgl sin theta into l, तो इस तरह से work done आप निकाल सकते हो, आइए इसी भी देखते हैं एक और question, question करते जाओ, concept strong होता जाएगा तो चलिए अब हम देखते हैं अगला question अगले question में आपको दिमाग लगाना है आप pause करके खुद से solve करना है यह मालो एक hemispherical shell है यहाँ पे इकदम बॉटम पे एक मास M रखा है और shell का radius है R इस मास एम पे हमने ऐसे एक force लगाई और force का direction change नहीं हुआ, यह force लगाते रहेंगे तो मास एम उपर उठता यहाँ पे पहुँच गया, इस जगह पे मास एम आ गया, ठीक है, अच्छा, force का direction अभी भी यही है, force का direction change नहीं हुआ, यहाँ से यहाँ मान बाई फोर्स एफ ने कितना वर्क किया यहां से यहां इसको उठाने में अब इसको आपको पॉज करके खुद से करना है सोचिए कैसे करेंगे तीन वेरिबल है हमारे पास एफ आर और थीटा ठीक अगर पॉज कर लिया है 12345 में स्टार्ट कर रहा हूं चलो अब देखो ट्राइड कर लिया अगर मैं डिस्प्लेसमेंट की बात करूं तो डिस्प्लेसमेंट यह है यह डिस्प्लेसमेंट है यहां पर अ तो हमारे पास work का formula क्या है?

F S cos theta force और displacement के बीच का जो angle है उसको ले लो cos theta ले लो force को displacement से multiply कर लो problem क्या है? यहाँ पर यह S भी तो variable है इसको नहीं पता और फोर्स का कंपोनेंट लेने के लिए यह एंग्ल भी पता करना पड़ेगा यह इस प्रेसिडेंट पता है क्या इस नहीं पता हमें तो आर और थीता दे रखा है अब हम आपको एक वेरी इंपोर्टेंट कंसेंट बताने जा रहे हैं बच्चों इसको जर concept पता है तुमको शायद पर तुम उसको use नहीं कर पा रहे हैं work का formula क्या है fs cos theta इसको लिखने का दो तरीका work is equals to f cos theta multiplied by s या work is equals to s cos theta multiplied by f क्या इन दोनों में कोई difference है और अगर है तो क्या आओ समझते हैं क्या difference है मान लो ये mass n था और इस पे force f ये लग रही थी जो शुरू में displacement ऐसे हो रहा angle theta है अगर हम आपसे पूछे work done क्या है तो आप बोलोगे force का component ले displacement के along तो force of component displacement के along f cos theta force of component लिया displacement के along और उसको displacement से multiply कर दिया that is work पहला concept component of force in the direction of displacement multiplied by displacement दूसरा तरीका अगर मैं displacement का component ले लूँ force के direction में displacement का component ले लूँ force के direction में कितना होगा S cos theta और उसको multiply कर दूँ force से तो भी तो work आ सकता है तो हम ये भी बोल सकते हैं work is component of displacement in the direction of force multiplied by force, दो तरह से सही है, या तो force का component ले लो displacement के direction में, और displacement से multiply करो, या तो displacement का component ले लो force के direction में, और force से multiply करो, अब हम ये वाला concept इस question में use करने जा रहे हैं, जड़ा देखो कैसे करेंगे हम, यहाँ बच्चों displacement कहा है यह रहा displacement force कैसे है force ऐसे है इस mass m का displacement ऐसे हुआ है force के along कौन सा displacement है यह यानि कि यह वाला displacement यह देखो force के along हुआ है यहां से यहां तक force के along यह वाला displacement है यानि हम अगर इस इसकी value मिल जाये तो काम बन जाएगा, work is equals to displacement in direction of force यहाँ बोल लो component of displacement in direction of force multiplied by force अगर हम यह displacement पता चल जाए और इससे हम force को multiply कर दें तो work done आ जाएगा यह क्या है displacement ऐसे हुआ है displacement के दो component एक तो mass उपर जा रहा एक तो horizontal यह mass देखो उपर भी जा रहा और आगे भी force किस direction में है? आगे direction में है, तो हमें displacement का वो component चाहिए, जो force के direction में हो, मतलब ये वाला, क्या आप ये value निकाल सकते हो?

बिल्कुल, देखो, ये भी किसके बराबर होगा? radius, ये पूरा किसके बराबर है? ये पूरा, radius, और ये भी radius के बराबर है? hemisphere, अब आप क्या ये, ये length नि और r का ये component कितना होगा r sine theta r sine theta वो displacement है जो force के direction में है देखो displacement असल में तो ये है पर इस displacement के दो component है एक तो ये वाला थोड़ा उपर गया ये वाला और एक ये वाला थोड़ा आगे गया तो हमें ये वाला displacement चाहिए था so component of displacement in direction of force r sine theta multiplied by force force, so this is the work done, यहाँ पे work done का formula, fr sin theta आ रहा, cos theta नहीं आया, concept समझ में आया, मैं displacement का वो component यूज़ कर रहा, जो force के direction में है, और उसको force से multiply किया, इस displacement के दो component है, एक तो ये mass उपर आया, और दूसरा ये mass आगे बढ़ा, मुझे displacement का वो component चाहिए, जो force के direction में है, वो ये वाला है, आर्काइदर component cost, theta, sine theta, r sine theta multiplied, this is the component of displacement in direction of force याद रखेंगे ये concept, बढ़िया सवाल था समझ में आया, बहुत बढ़िया जैसे हमको यह उन्होंने एक पुली दी, यहाँ मास लगा है 1 Kg का, और यहाँ मास लगा है 2 Kg का, और यहाँ से बान दिया, इस question को आप पुछ से try करेंगे, forces बताओ कौन सी, यहाँ पे gravity की force MG, यहाँ tension force T, हमसे पूछा है, find, work done, moves up, sorry, moves, when 2 kg moves down by 3 meters. चलो भाई, अब यहाँ पॉस्ट करके खुछ से ट्राइ करो, 2 kg वाला 3 meter नीचे जाएगा, तो definitely 1 kg वाला 3 meter उपर जाएगा, ऐसे में, work done by gravitational force, on 1 kg, work done by gravitational force on 2 kg and work done by tension force on 1 kg work done by tension force on 2 kg, यह आपको solve करना है चलिए भाई, कैसे करेंगे मैं गिनता हूँ, बंड पास करके try कर लो, 1, 2, 3, 4, 5, मेरे ख्याल से आपने try कर लिया होगा pause करके, चली देखते हैं, पहले बात करते हैं, work done by gravitational force on 1 kg की, अब, 2 kg हमारा किदर जा रहा, नीचे, 3 meters, तो ये किदर जाएगा, उपर, कितना, 3 meters, ठीक है, 1 kg पे gravitational force कितना work करेगी, force किदर लग रही, नीचे, displacement किदर है, minus fs, force है, minus 1 g, displacement, है 3 meters, g की value 10, तो minus 30 joules, किसने किया gravitational force ने, किस पे किया 1 kg पे, अभी समझाएंगे कि ये negative work होता क्या है, positive work होता क्या है, ये भी आएगा थोड़ी दिल में work done by gravitational force on 2 kg mass 2 kg किदर जा रहा, नीचे, force नीचे है, और displacement भी नीचे, जा किदर रहा, नीचे, force भी किदर है, नीचे, दोनों same direction में, तो fs 2g multiplied by 3, यह g की value 10, 23, इस दिजा 60 जूल कैसा?

पॉजिटिव तो work done on 1 kg भी निकलाया, minus 30 work done on 2 kg, plus 60 कोई misconception नहीं बनाना कि दोनों को जोड़ने पर 0 आएगा, ऐसा कुछ नहीं अब बात आई, work done by tension force work done by tension force on 1 kg और वर्क दिन बाई टेंशन फोर्स ओन 2 केजी क्या हमें टेंशन की फोर्स पता है नहीं हमें टेंशन की फोर्स यहाँ पे नहीं पता तो हम क्या करें ग्राविडेशनल आल काम हो गया हम पहले टेंशन की फोर्स निकालें नीचे जा रहा है, तो आप लिखेंगे 2G minus T is equals to mass into acceleration. 1 kg किदर जा रहा है? उपर जा रहा है, तो equation लिखेंगे T minus 1G, net force किदर है?

उपर की तरफ, तब ही तो उपर जा रहा है, तो T minus 1G is equals to mass into acceleration. दोनों को add कर देंगे, T से T मर गया, 2G minus GG, कितना आया? 3A, एक E value कितनी आई? G by 3. एक ही यह value उठाके, यहाँ पे रख दो, टी की value मिल जाएगी, T minus 1G is equals to 1A, T is equals to, एक ही value G by 3, plus यह इधर आके, plus G, 3G plus G, कितना हुआ, 4G by 3, that is tension, clear हुआ, clear हुआ, हमने tension निकाल लिया, नहीं आया, आप चाहो तो shortcut से भी निकाल सकते थे tension, shortcut क्या लगाओगे, 2 m1 m2 upon m1 plus m2 multiplied by g, ऐसे भी tension की force निकाल सकते थे आप, ठीक, better होगा method जिसी को नहीं है तो चलो shortcut लगा लो last में 2 m1 m2 upon m1 plus m2 into g रखके देखो 2 m1 1 m2 2 1 into 2, 2 2's are 4 m1 plus m2, 2 plus 1 3, तो 4 4 by 3G, ऐसे भी निकाल सकते थे, और चाहो तो पूरे method से, तो tension की force निकालना हमें आ गया, यह याद रखना 2M1M2 upon M1 plus M2 into G, सीधा tension निकल गई, अच्छा, अब work done by tension की बात करें, work done by tension, work done by tension on 1KG की बात करते हैं, 1KG किदर जा रहा, उपर, tension की force भी किदर, उपर तो FS, tension कितना था, 4G by 3, displacement कितना, इतना है 3, 3 से 3 मर गया, G की value 10, 40 joules, और कैसा आएगा, positive.

Work done by tension on 2 kg की बात करें. 2 kg पे tension उपर है, displacement नीचे है, तो formula हो जाएगा minus fs, यानि minus 4 g by 3 multiplied by 3 से 3 मर गया, कितना आया, minus 40 joules. एक खास चीज ओब्जर्व हुई आपको, कि network done by tension force is 0, धियांसे देखो, network done by, tension force is 0 and net work done by gravitational force what not 0 gravitational force का net work done 0 नहीं था पर tension का ऐसे question नहीं है work done कितना आएगा total 0 इधर देखो tension ने कैसा work किया positive, इधर कैसा work किया, negative, net work done by tension becomes zero, clear है ये, समझ में आया, tension निकालने का shortcut समझ में आया, 2M1M2 upon M1 plus M2 into G, और अलग-अलग तरह की forces का अलग-अलग work done मैंने आपको बताओ, बता दिया अब जरा समझते हैं कि यह कंसेप्ट क्या है पॉजिटिव वर्क निगेटिव वर्क इन सब की मीनिंग क्या है ठीक है आइए समझाते हैं मान लो फोर्स और डिस्प्लेसमेंट के बीच का जो एंगल थीटा है वो तुम्हारा 90 से कम है मतलब एक्यूट एंगल है तो यहाँ पे तमारा cos theta की value जो होगी वो positive होगी और जो work done आने वाला है वो positive आएगा positive work अगर हम किसी पे करते हैं मतलब हम उसे energy देते हैं positive work अगर हम किसी पे करते हैं तो उसको हम एनर्जी देते हैं मतलब किसी भी चीज़ पे अगर positive work करोगे तो उसकी energy बढ़ेगी ठीक है जैसे मालो यहाँ पे कोई mass रखा है और उस पे तुमने work किया तुमने उस पे force लगाई और जिस direction में force लगाई उसी direction में displacement हुआ work done positive हुआ अब जब ऐसा करोगे तो उस block के पास कुछ speed आ जाएगी वानेटिक एनर्जी आ गई, कहां से आई?

वर्क डन से पॉजिटिव वर्क किसी पे भी अगर करोगे, तो उसे क्या दे दोगे? एनर्जी दे दोगे नेक्स्ट, इफ थीटा इस ग्रेटर देन 90 डिगरी, लेस देन 180 डिगरी यानि cos theta आप कैसा हो जाएगा, negative, जैसे मालो force ऐसे लग रही, displacement ऐसे हो रहा, theta आपका कैसा हो गया, obtuse angle, अब definitely जो work done आएगा, वो कैसा आएगा, negative. आप खीच रहे हो बॉडी आगे बढ़ रही है तो बॉडी की स्पीड कम हो जाएगी एनर्जी कम हो जाएगी मतलब आपने बॉडी की एनर्जी ले ली तो नेगेटिव वर्क का मतलब है एनर्जी ले लेना और पॉजिटिव वर्क का मतलब है एनर्जी दे देना वर्क करोगे तो उसकी एनर्जी घट जाएगी जैसे मालो यह ऐसे जा रहा था तुमने पीछे से खीचा तो धीमे इसकी स्पीड कम होने लगेगी तुम्हारा वर्क डन कैसा है नेगेटिव क्योंकि तुमने उसकी एनर्जी ले ली किसी से एनर्जी ले ली नेगेटि� लो अ फोर्स f is equals to 2i plus 3j minus 4k acts on a body and displaces it from 2,1 to 3,4 2,1,0 to 3,4,2 find the work done तो बच्चों work done का formula क्या है हमारा f.s अब मैं s लिखूं चाहे vector r लिख लूँ मैं ऐसे भी लिख सकता हूँ f.r displacement vector r body कहा से कहा बाहर प्लस 2k तो मैं पूछूं body का displacement कितना हुआ तो आप बोलोगे final minus initial ये हो गया displacement vector final minus initial तो 2i, sorry 3i minus 2i that is i 4j minus j that is 3j 2k minus 0k that is 2k this is the displacement vector और force vector दे रखा है अब dot product लगाना है work is equal to f dot r f कितना है 2i plus 3j minus 4k dot i plus 3 j plus 2k तो dot लेना हमने आपको सिखाया है i वाले को i से multiply करो j वाले को j से multiply करो k वाले को k से तो i के आगे 2, i के आगे 1 कितना हुआ? 2 plus j के आगे 3, j के आगे 3 3, 3's are 9 k के आगे minus 4, k के आगे 2 minus 4, 2's are 8 9 minus 8, 1 or 2, 3 3, j's are तो ये simple vector form में निकाल सकते हैं चलिए देखते हैं अगला question यह आ गई कि अगर vector form में हमें force दी है displacement दिया है तो कैसे काम करना है चलिए एक आप कुछ से करके दिखाईए if two forces अगर दो फोर्सेस, F इस एक्वल्स टू 2i प्लस 4k और F2 इस एक्वल्स टू 3j प्लस 2k आपको एक बॉडी आपको आ find the net work done by both forces ठीक है दोनों forces का work done निकालना है अब क्या करें आप पहले resultant force निकाल लो तो resultant force क्या होगी force value 1, force 2 दोनों को जोड़ लो 2i यहाँ i का factor ही नहीं है 3j जे का factor एक ही है, और k, 4k, 2k, कितना हुआ? 6k, displacement कहा से कहा हुआ?

100 से 211, तो r1 कहा से? i plus 0 plus 0, जे और k, ठीक है? r2 कहा तक गए हम?

2i plus 1j plus 1k अब displacement vector क्या हो जाएगा vector r2 minus vector r1 इसमें इसको minus करोगे 2i minus i j minus 0 sorry j minus 0 k minus 0 is k तो ये आ गया हमारा displacement vector और net force रही यह क्योंकि हमसे net work done पूछा है तो हमने क्या निकाल ली net force निकाल ली बस अब यहाँ से work done का formula लगाएंगे काम हो जाएगा dot product लिना आपको आता है work done is equals to f.s या f.r vector दोनों एक ही चीज है displacement vector यहाँ पे f कितना है 2i plus 3j plus 6k dot और कितना है i plus j plus k अब i वाले को i से multiply करो यहाँ पे 1 है यहाँ पे 2 तो 2 plus j वाले को j से यहाँ पे 3 यहाँ पे 1 3 plus k वाले को k से 6 और 1 तो 6 2 8 3 11 joules of work is done by all the forces total work done इतना है ठीक है? आचा, तो ये सब बातें हो गई सिंपल, अगर vector form में दिया हो तो कैसे करें? scalar form में दिया हो तो कैसे करें? scalar form में आप देख रहे थे ती देर से, gravitational work done, tension का work done, normal force का work done, अलग-अलग forces का, friction force का work done, और फिर मैंने vector में बताया है कि dot root लेके भी आप, वर्क डन बता सकते थे अब बात करते हैं मान लो हमें कभी कोई variable force मिल जाए हमें क्या मिल जाए variable force मिल जाए और उसका work done हमसे पूछे variable force का work done कितना है जैसे मान लो हमें कोई force दे f is equal to 2x अब हमसे पूछे what is the work done when body displaces यहां से यहां body गई, 1 से 3, तब work done by this force on the body कितना है?

तब ऐसे question कैसे solve करें? प्रॉब्लम क्या है यहाँ पे force constant नहीं है force भी x पे depend कर रही जब x की value 1 है तो force की value 2 है जब x की value 2 होगी force की value 4 होगी जब x की value 3 होगी force की value 6 होगी लगातार force change हो रही है अब यहाँ आप यह formula नहीं लगा सकते work is equals to force into displacement गलत हो जाएगा क्यों गलत हो जाएगा क्योंकि force constant नहीं है यह वाला formula जो है न work is equals to fs cos theta यह तभी use करो जब force क्या हो तुम्हारी constant होगी work done by constant force का यह formula है यहाँ पे यह formula use करना सही नहीं है क्योंकि force change हो रही है x is equal एक बार करेंगे फिर टू रखें क्यों भाई एक्स इक्वल्स टू वन पॉइंट वन रखो तो फोर्स चेंज हो जाएगी वन पॉइंट टू रखो फोर्स चेंज हो जाएगी छोटे डिस्प्लेसमेंट में फोर्स चेंज हो रही है एक्स इक्वल्स टू वन पॉइं तो बच्चो ऐसे केस में हम क्या करेंगे ऐसे केस में जब force variable हो x पे depend करें y पे depend करें तब हम क्या करेंगे तब हम use करेंगे integration method का ठीक है किसका use करेंगे integration method का कैसे use करेंगे आए देखिए एक graph आपको दिखाते हैं माल लीजिए हमारे पास graph है force versus displacement का किसका graph है force versus displacement प्रश्न प्रश् इतनी पतली स्ट्रिप काटी कि जो इसकी breath है वो dx के बराबर है बहुत छोटी breath है dx के बराबर और माल लेते हैं यहाँ पे force इस time f है तो ये length इसकी किस के बराबर हो गई f के force की value तो change हो रही है, तो मैंने एक strip का t, इसको बोला dx, और इस length को बोला f, अच्छा, मैं दो बाते पूछूंगा, अगर मैं पूछूंगा, इस strip का area कितना है, if you tell me area of strip, तो बच्चों strip दिख रही है, rectangle shape में है, क्या होगा, length into breadth, तो हम बोल देंगे fdx, यह है area of strip, है की नहीं अच्छा ध्यान से देखो, Dx है क्या? X क्या था?

Displacement. F क्या था? Force.

तो Dx क्या है? चोटा सा Displacement. यानि यह जो Area of Strip है, यह represent कर रहा है, Very small work done.

Very small work done. चोटा सा work done जिसको हम बोल सकते हैं DW यह चोटा सा work done भी है area of strip force into चोटा सा displacement यानि यह जो area of strip है यह represent करता है चोटा सा work done मैं एक काम करूँ यहाँ पर एक strip और काटूँ यहाँ पे एक स्ट्रिप और काटूँ, और धीमे सारी स्ट्रिप को जोड़ दू, तो टोटल एरिया मुझे मिल जाएगा, मैं पतली स्ट्रिप को काटता जाओं, और सारी स्ट्रिप के एरिया को जोड़ दू, तो क्या म� तो अगर मुझे total area निकालना हो, तो मैं क्या करूँ, F1 DX को जोड़ दूं, plus F2 DX, इसका area क्या होगा, F1 into DX, इसका F2 into DX, इसका F into DX, and so on and so forth, and so on and so on, सबको जोड दिया जाए छोटी चीजों को जोडने का तरीका हमारे पास बच्चों क्या होता है वो होता है integration तो हम बोलेंगे अगर हमें total area चाहिए तो हम क्या करें integration कर दे छोटे area का fdx का छोटी चीजों integration तो हमने integrate कर दिया fdx को कमाल की बात यह थी कि जो total area था यह total work done भी बनेगा क्यों बनेगा क्यों बनेगा क्योंकि छोटा सा area क्या बन रहा है छोटा सा work done तो total area क्या बनेगा मतलब अगर हम fx ग्राफ का total area निकाल ले that will be the total work done कई बातें यहां से clear हो रही है पहली तो यह बात समझ में आई कि अगर मेरे पास कोई variable force है तो उसका work done निकालने के लिए हमें क्या करना पड़ेगा integration of fdx तो भाई जैसे हमसे बोल दिया इस जगे से इस जगे तक जाना है तो x1 से x2 तक integrate कर दो टोटल work done मिल जाएगा variable force का work done जैसे हमसे कोई पूछता है तो हम बोलेंगे variable force का work done integration fdx करना पड़ेगा कहां से कहा x1 से x2 तक एक बात तो यह समझ में आ गई क्या समझ में आ गई कि अगर variable force है तो उसका ग्राफ ऐसा होगा चेंज होता हुआ मैंने कहा इस इसमें एक पतली सी strip काटो इधर मैंने displacement लीता है इधर force तो इसको मैंने बोला चोटा सा displacement फिर मैंने का इस strip का area इस strip का area क्या होगा ये f ये dx force into चोटा सा displacement तो मैंने का इस चोटा सा work done फिर मैंने का पूरे का area क्या होगा तो पतली strips काटी f1, f2 पे dx, dx सबको जोड़ा जोड़ने का तरीका integration तो यहाँ से कई बातें क्लियर हुई, पहली चीज़, अब फिर से पहली चीज़, कि variable force का work done होता है, integration FDX, X1 से X2, दूसरी बात, FX graph का जो area होता है, वो work done को represent करता है, क्या यह बात समझ में आई? FX graph का जो area होता है, वो work done को represent करता है, there is this very important concept.

कि fx का जो area है इसके अंदर, इसके अंदर जो area है, वो किस को represent कर रहा, work done को, तो दो बाते important यहां से निकल के आई हैं, दोनों को हम लिखेंगे, क्या बात आई हमारे पास? पहली, कि अगर variable force है, तो work done, integration F dx x1 से x2 यहाँ पे dot लगा लो क्या पता displacement of force same direction में ला हो? कब लगाना है?

जब आपके पास variable force हो यह आप बोल सकते हो work done is equals to area under fx curve यह भी बोल सकते हो जब area दे रखा हो जब diagram दे रखा हो work done पूछे यह आप बोल सकते हो work done is equals to f.s कब? जब force हमारी constant हो, तो ये तीन formula हमको मिले, constant force है तो सीधा fs लगा दो, f.s fs cos theta variable force है तो f.dx लगा के integrate करो, और अगर area बना के देता है तो area under fx curve use करो, note करेंगे इसको note करेंगे बाई, note करेंगे, note कर लिया integration f.dx x1 से x2, area under fx curve, f.s इस फोर्स इस कॉंस्टेंट इफ वेरिबल देन देश क्लियर आई जैसे मान लीजिए हमें क्वेश्चन प्लीयर इधर force, यहाँ displacement, यहाँ force Newton में, यहाँ displacement meters में, चलो, यहाँ पर force हमारी Newton में दे रखी है, और यहाँ पर displacement हमारा meters में दे रखा है, हमसे बुचा, find the work done, अब आप पास force versus displacement का graph है तो work done निकालने का safe तरीका क्या है हम area निकाल लें तो इस rectangle का area निकाल लो इस rectangle का area निकाल लो हो जाएगा असान है इस rectangle का area कितना होगा 10 multiplied by 5 कितना हुआ 50 plus rectangle का area half into base कितना है 5 into height कितनी है 10 2 5s are 10, 525 कितना आया? 75 joules.

तो different हो सकते हैं, एक example बस लिया, कि मान लो, गलती से बहुत असान सवाल मिल गया, force displacement का curve, और हमसे कहा work done, तो हम area निकाल देंगे, work done आ जाएगा. Clear है? बड़ा simple था rectangle और triangle का कैसा भी shape हो कैसा भी shape हो ये कामा कर लोगे अच्छा अब बात करते हैं मालो वही question जो था कि जो force है किसी body पे वो 2x है आपको find करना है work done जब displacement कहा से कहा हो 1 meter से लेके कहा तक गया हो displacement 3 meters तक अब आपको work done निकालना है ये force कैसी है constant की variable देख रहे हो force x पर depend कर रही, x की value 1 रखोगे, force 2 आएगी, 2 रखोगे तो force 4 आएगी, मतलब ये एक variable force है, अब variable force के लिए work done का हम क्या formula लगाएंगे, integration f.dx कहां से कहा, x1 से x2, integration f कितना है, 2x.dx, x1 से x2, ठीक, तो हम लिख सकते हैं, work done is equals to, कितना हो जाएगा, 2x.dx कितना हो जाएगा?

2 बाहर आ जाएगा, x का integration x square by 2 अब यहाँ चुछ रहोगे dot कैसे हटा? देखो 2x मतलब force x direction में है और displacement भी x के along हो रहा मतलब force और displacement का direction same है, थोड़ा सा assumption है कि force x direction में है ऐसा मान लिया, और displacement भी x में, लिखा नहीं था न, इसके आगे हो सकता है इसके आगे i, j, k लिख दे आएगा भी वो भी, तहले भी इतना समझो force 2x लिखी थी, displacement यहां से हमने सीधा integrate एक्स का integration x square by 2 कहां से कहां जाना है 1 से 3 तक जाना है ठीक तो 2 से 2 मर जाएगा अब x square कहां से कहां 1 से 3 तो आपको limit रखने आती है पहले उपर वाली value रखो x की जगह 3 square minus फिर x की जगह नीचे वाली रखो square x की जगह पहले उपर वाली value minus 3 square 9 1 square 1 8 joule is the work वर्क डन ठीक है बड़ा आसान लगा होगा आसान लगा अच्छा बहुत बढ़िया आसान लगा तो एक क्वेश्चन आप अपने आप कर लो फिर मैं आपको एक अच्छा सवाल दू इसका जैसे मालो हमसे बोला फोर्स है कहीं पे 0.5 x प्लस 10 और हमसे पूछा वर्क डन फाइ dx कहां से कहा 2 से लेके 5 integration करेंगे 0.5 x plus 10 का integration कहां से कहा 2 से 5 किसके respect में dx के respect में तो 0.5 बाहर आ जाएगा x का integration x square by 2 कहां से कहा 2 से 5 plus 10 बाहर आएगा और 10 के साथ कुछ नहीं है तो क्या आ जाएगा x integration कहां से कहा 2 से 5 नहीं आया इसको आप break करके लिख सकते हो ना आगे क्या लिख सकते हो 0.5 0.5x dx plus 10 dx ऐसे लिख सकते हो 2 से 5, 2 से 5 अब 10 dx में 10 बाहर आएगा dx का integration होता है x यहाँ 0.5 बाहर आया x dx का x square by 2 अब जो भी value है उसको put कर दो पहले उपर वाली value फिर minus लगा के नीचे वाली value put करो पहले x की जगे 5 रखो फिर minus लगा के x जगे 2 रखो ठीक है पॉस करके करेंगे ठीक है next question is very important if f is equals to x square i cap plus 2y j cap and body displaces from 1,2 to 3,4 find the work done चलो अब देखते हैं ये कौन कर पाता है ये सवाल कौन करेगा अब क्या करें x square i cap 2y j cap कैसी force है constant की variable पहले तो ये decide करो variable है क्योंकि x पे भी depend कर रही y पे भी शुरू में x की value 1 रखोगे तो force आएगी i plus y की value 2 रखोगे तो 4 i plus 4j y भी बदलता जा रहा है अब क्या करें अब बताओ क्या करें इंटिग्रेट तो करेंगे बताओ कैसे करेंगे इंटिग्रेट पस गए बताओ भाई कैसे करेंगे integrate होई तो work is equals to integration f.dx मुझे नहीं लगता आप dx लिखना चाहिए क्योंकि आप x के साथ y का term भी है क्या पता z का term भी आजाए तो f.dx लिखना आप सही नहीं है अब displacement x direction में नहीं हो रही displacement vector में चल रही है तो हम dx की जगा dr vector लिख सकते हैं f.dr नोट करें इसको, जब force आपको variable और vector form में मिल जाए, तो याद रखें f.dr, इस simple है याद भी नहीं रखा,.dx नहीं लगा सकते हैं,.dx लगाओगे सिर्फ x की बात हो पाएगी, यहाँ y, में भी displacement है तो मैंने कहा F dot DR लगा दो अच्छा अब DR vector क्या है चलो समझते हैं R vector क्या होता है R vector होता है X i cap plus Y j cap plus Z k cap यह होता है R vector यहाँ से DR vector क्या हो जाएगा differentiate करेंगे DX i cap DY j cap plus DZ k cap यह होता है DR vector बहुत इंपोर्टेंट, इसी क्वेश्चन में आकर सब बच्चे फसते हैं, नहीं समझ में आया, यह मैंने एक R वेक्टर बनाया, यह उसका DR वेक्टर, अब आपको force क्योंकि एक तो variable x, y की term है, और vector form में भी है, तो एक तो आपको integrate करना ही करना पड़ेगा, क्योंकि variable है, और dot word का use करना पड़ेगा, क्योंकि vector form भी चल रहा है, चलो भाई, बहुत बढ़िया, इसको हम use करते हैं, आई अब इसको integrate करने की कोशिश करते हैं, so work is equals to integral f dot dr, ठीक है, आई तो f की जगह x square, प्लस 2 y j cap dot dr vector हमेशा इही रहेगा क्या dx i cap प्लस dy j cap प्लस dz k cap अब क्या करें अब क्या करें x वाले को x से multiply y वाले को y से z वाले को z से तो x sorry i वाले को i से very sorry देखो अगर पिछली बात मेरी follow को रखें सब गुलत होगा मत करना i वाले को i से j वाले को j से k वाले को k से तो i वाले को i से multiply करो तो x square के साथ क्या आएगा dx plus j वाले को j से 2y dy plus इसमें k का कोई term नहीं है 0 कहां से कहां integrate करना है अभी रुख जो अभी देखते हैं कहां से कहां r1 से r2 बोल दो यह अपना vector हो गया r1 यह अपना vector हो गया r2 r1 हो जाएगा मेरा i plus 2j r2 हो जाएगा 3i plus 4j अब हम क्या कर सकते हैं integration का sign दोनों में लगा सकते हैं integral x square dx plus integral 2y dy बस अब हो गया हो गया अब यहाँ पे x की limit रखो x कहा से कहा जा रहा 1 से 3 यहाँ y की limit रखो 2 से 4 और integrate कर दो इंटेग्रेट करना आता है इसका integration x cube by पहले x की जगह 3 रखोगे, 3 cube, minus, x की जगह 1 रखोगे, 1 cube, divide by 3, यहाँ 2 बाहर आएगा, y square by 2, 2 कट जाएगा, y square, y की जगह पहले 4, 4 का square, minus, y की जगह 2, 2 का square, और दोनों को जोड़ दोगे, क्योंकि work एक scalar quantity है, तो जो तुम्हारा x direction का work done है, जो तुम्हारा y direction का work done है, द नहीं समझ में आया। क्या हुआ सर ये? एकदमी नहीं समझ में आया क्या हुआ। मैंने कहा ये force है, variable है और vector form में है। वेरिबिल भी है और वेक्टर फॉर्म में भी है बॉडी दो डामेंशन में चल रही है वेरिबिल फॉर्स के साथ दो डामेंशन में चल रही है वेरिबिल फॉर्स के साथ कहां से कहा गई? 1, 2 से 3, 4 तक गई तो मैंने कहा कि F.DX नहीं लिख सकते हैं फिर बात आई ये DR वेक्टर क्या है?

DX तो समझ में आता है इसको एक वेक्टर होना चाहिए ता तो मैंने कहा R, XY, YJ, ZK है इस तरह से DR वेक्टर होगा DX, I, DYJ, DZK यह तो बहुत यूज़ होगा आपका अब ठीक है जब हम ग्राविटेशन पढ़ेंगे वहाँ पर यूज़ करेंगे जब हम एलेक्ट्रोस्टाटिक पढ़ेंगे तो वहाँ पर यूज़ करेंगे तो डी आर वेक्टर याद करेंगे डी एक्स आई कैप डी वाई जे कैप प्लस डी जेड के कैप फिर हमने यहाँ फोर्स की वैलू रखी यहाँ डी आर वेक्टर रखा आई वाले को आई से मिल्टिप्लाई किया जे वाले को जे आई वाले को आई से करना है, फिर ये values आई, फिर हमने integration का sign अंदर डाल दिया, x square dx का integration, फिर इसके बाद तो integration है, x cube by 3, फिर value रखी, यहाँ पे इसका integration, और दोनों को जोड़ दो, answer will be in joules, and the answer will be very simple, ऐसा कुछ difference answer नहीं आएगा, चलो इसी में एक और सवाल दिखा देता हूँ, last में, Let's see one more question in this kind, in this category. One more question. If f is equals to minus x cube i cap plus y square j cap, find work done. By this force, if body displaces from, find work done by this force, if body displaces from 2,3 to 6,5. अब क्या करेंगे आप?

ये हमारा vector r1 हो गया, ये vector r2, variable force दो dimension की, तो work done का formula क्या लगाएंगे? integral f.dr, dot dx नहीं, f.dr, what is this dr vector याद रखेंगे आप? से, dr vector क्या होता है dx i cap, dy j cap, dz k cap ऐसा क्यों कर रहे हैं बच्चों क्योंकि motion एक dimension नहीं है, दो dimension तो हम यहाँ पर dx रख देंगे तो force को सिफ एक dimension की वर्क आएगा, मतलब सिर्फ इस वाली force का work done calculate करेंगे, इस वाली force की वाली work done calculate नहीं हो पाएगा, बस अब आगे बढ़ेंगे, integration minus x cube i cap plus y square j cap dot dx i cap plus dy j cap plus dz k cap, आगे बढ़ोगे, तो क्या आएगा, integration minus i cap को i cap से multiply करोगे, minus i cap, x cube dx j cap को j से multiply करोगे plus y square dy और k का कोई term यहाँ पे भी नहीं है खेल खतम कहां से कहां जाओगे r1 से r2 तक फिर यह integration का symbol अंदर चला आएगा दोनों में यहाँ पे x की limit रख दो 2 से 6 यहाँ y की limit रख दो 3 से 5 और integrate कर लो खेल खतम बोले समझ में आ रहा है ओ सर इसका कोई shortcut हाँ एक छोटा दा shortcut मार सकते थे क्या work scalar quantity होता है work कैसी quantity होता है scalar सुनोने हमसे तो total work हो सकता है work in x direction plus work in y direction वर्क स्केलर है, टोटल वर्क, वर्क in x direction plus वर्क in y direction, ठीक है, कर सकते हैं यह चीज, अच्छा, बहुत बढ़िया, so work is equals to x direction का work, x direction की force, dot dx, और यहाँ x x की limit x1 से x2, यहाँ पे y direction की force dot dy, और y की limit y1 से y2, क्या बोला मैंने, मैंने बोला work is a scalar quantity, तो work x में, और y में निकाल के direct जोड़ दो vector addition करने की तो ज़रूरत है नहीं कि यह x है यह y है तो under root a square plus b square नहीं work तो scalar है तो x का work निकालो y का work निकालो जोड़ दो अब x का work क्या होगा force in x direction dot dx force in x direction dot dx force in x direction dot dx y का work क्या होगा force in y direction dot dy आ गया सीधा डियार वेक्टर की जरुबात नहीं पड़ेगी कर सकते थे ऐसे भी पर जो प्रोसीजर है जो तरीका है वो बताना भी जरूरी है लास्ट में तो मैंने तुम्हों को खटाक से बता दिया तरीका क्या है एक्स की फोर्स डॉट डी एक्स आई कैप का मतलब ये फोर्स किस तरफ है एक्स में तो एक्स की फोर्स डॉट डी एक्स प्लस वाई की फोर्स डॉट डी वाई यहां एक्स की लिमिट रखो तू सी सिक्स यहां वाई की तू सी सिक्स यहां वाई की एक सेकेंड में मतलब, short में भी कर सकते हैं इसको खटाक से, अब मैं बोलूं work done कितना है, तो आप बोलो work done in x, plus work done in y, plus work done in z, giving reason work is a scalar quantity, यहां vector addition की जरूरत नहीं है, x का work done क्या होगा, fx.dx, x1 से x2, y का work done क्या होगा, fy.dy, y1 से 1,2, और similarly z में भी हुआ तो, integration of fz.dz, z1 से z2, x direction की force की फोर्स की होती है जो i के साथ है so minus x cube dx और x की limit क्या थी 1 से 6 तक y की force कौन सी है y square dy और y की limit हमारी क्या थी 2 से लेके 5 तक खतम, Z का कोई यहाँ पे था यहीं, तो बच्चों यह हमारा work का first lecture था, जिसमें हमने आपको different तरह से work निकालना सिखाया, work का basic formula F.S, दूसरा तरह का बताया कि force का component displacement direction में, और displacement को multiply कर दो काम बन जाएगा, या displacement का component force के direction में, और force एमिल डिप्लाई कर दो तो काम बन जाएगा, कब work positive होता है, कब negative, positive मतलब energy दी हमने body को, negative मतलब energy ले ली हमने, फिर हमने बताया, define करना ज़रूरी है कि, कौन सी force का work done निकाल रहे हैं, अलग-अलग forces का work done, वर्कडन अलग-अलग होता है ठीक है फिर मैं बताया जीरो पर क्या होगा वर्कडन थीटा इक्वल्स 90 पर क्या होगा 180 पर क्या होगा फिर हमने आपसे बात की कि फोर्स अगर वेरिबिल हो जाए तो वर्कडन कैसे निकालना है तो इंटीग्रेशन F.DX या F.DR अगर वेक्टर फॉर्म दिखता है तो DR में आ जो ठीक फिर हमने बताया एरिया अंडर FX कर्व या डिस्प्लेसमेंट फोर्स कर्व भी क्या देता है वर्कडन तो आज की लेक्चर में सारी बेसिक्स बाते की हमने अगला लेक्चर बड़ा इंपोर्टेंट होने व non conservative force और work energy theorem discuss करने वाला हूँ so देखते रहें all the very best

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